平行四边形的性质（分层练习）-2025-2026学年冀教版八年级数学下册

冀教版八年级下册21.2平行四边形的性质分层练习

平行四边形的定义及对称性

1、如图，口ABCD中，点0是对角线AC,BD的交点，过点0的直线分别交AD,BC于点M,N,

若ACON的面积为2,△DOM的面积为4,则。ABCD的面积是（）

B.16

C.24

D.32

2、平行四边形具有的性质是（）

A.四边相等B.对角线相等C.对角线互相平分D.四个角都是直角

3、在平行四边形ABCD中，点A关于对角线的交点0的对称点.

4、如图，aABCD的对角线交于坐标原点0.若点A的坐标为（-«,1）,点B的坐标为（-

利用平行四边形的对边平行且相等求边长

1、如图，在。ABCD中，NADC的平分线交BC于点E,过点C作CF_LDE,垂足为点F,若CF=

BE=6,DE=16,则AD的长为（）

A

D

BEC

A.16B.14C.13D.8

2、如图，点E,F是平行四边形ABCD对角线BD上两点，连接AF,CE,已知AF〃CE,且BE=4,

A.3B.4C.5D.6

3、如图，在oABCD中，AB=3,NABC与NBCD的角平分线交于点E,若点E恰好在AD边上,

则CE?+BE2的值为（）

A.12B.16C.24D.36

4、如图，在门ABCD中，NBCD的平分线交BA的延长线于点E.若AE=1.5,CD=3.5,则BC的

长为.

5、如图，平行四边形ABCD中，ZB=60°,AB=4,AD=5,E,F分别是边CD,AD上的动点,

且CE=DF,则AE+CF的最小值为

AD

6、如图，在平行四边形ABCD中，AE_LBD于E,CF_LBD于F.若BE=4,AB=5,求CF.

7、如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是CD边的中点，延长AE交BC的延长线于点F.若

ZBAF=90°,BC=5,EF=3,求CD的长.

利用平行四边形的对边平行且相等求周长或面积

1、如图，在口ABCD中，AB=3,BC=5,AC的垂直平分线交AD于E,则4CDE的周长是()

2、如图，在。ABCD中，AE平分NBAD交CD于点E.若CE=2,BC=3,则。ABCD的周长为

()

A.16B.14C.10D.8

3、如图，在。ABCD中，EF为对角线BD的中垂线，交BC,AD于E,F.已知4CDE的周长为5,

则aABCD的周长为.

4、如图，点E是口ABCD的边CD的中点，AE,BC的延长线交于点F,CF=3,CE=2,则。ABCD

的周长为.

5、如图，四边形ABCD为平行四边形，NBAD的角平分线AF交CD于点E,交BC的延长线于点

F.

(1)求证：BF=CD：

(2)连接BE,若BE_LAF,ZBFA=60°,AB=4,求平行四边形ABCD的面积.

6、如图，在平行四边形ABCD中，点E为BC上一点，连接AE并延长交DC的延长线于点F,AD

=DF,连接DE.

(1)求证：AE平分NBAD;

(2)若点E为BC中点，ZB=60°,AD=5,求平行四边形ABCD的周长.

A

BZV

F

利用平行四边形的对边平行且相等求角度或坐标

1、如图，四边形OABC是平行四边形，在平面直角坐标系中，点A(-1,2),0C=5,点B的

坐标是()

斗

0CX

A.(2,4)B.(2,-4)C.(4,2)D.(4,-2)

2、如图，oABCD中，BE平分NABC交AD于E,若NC=56°则NBED度数为()

AED

BC

A.112°B.118°C.119°D.120°

3、如图，。为原点，口ABCD的顶点A(0,4),B(-5,-1),C(0,-1),则点D的坐标

为()

Jz

A.(5,5)B.(4,5)C.(5,4)D.(4,4)

4、在。ABCD中，E为BC边上一点，AB=AE,若AE平分/DAB,ZEAC=25°,则NACB

5、如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A在y轴上，顶点B,C在x轴上，A

(0,2),B(1,0),BC=4,将平行四边形ABCD绕点B旋转90°后，点D对应点D'的坐标

6、如图，在平行四边形ABCD中，E,F是对角线BD上两个点，且BF=DE.

(1)求证：AE=CF;

(2)若AD=AE,ZDAE=100°,求NDFC的度数

利用平行四边形的对角相等解决问题

1、如图，在口ABCD中，若NA=70°,则NC的度数是()

A.70°B.1103C.120°D.140°

2、在。ABCD中，女7果NA+NC=14U°,那么NC等于()

A.20°B.40°C.60°D.70°

3、如图，E是平行四边形ABCD的边BC上一点，且AB=BE,连接AE并延长，与DC的延长线交

于点F,若ND=40°,则NF的度数是（)

A.30°B.40°C.50°D.70°

4、如图,在口ABCD中，NC=70°,DE±AB于点、E,则NADE=

AD

E

B

5、如图,。ABCD的对角线AC、BD交于点0,AE平分NBAD交BC于点E,且NADC=60°,AB

=yBC,连接0E.下列结论:

①NCAD=30°

②SQABCD=AB*AC

③OB=AB

@OE=4BC

4

成立的有（把所有正确结论的序号都填在横线上）

6、如图，口ABCD中，NDAB为钝角，AD=1,AB=J^,且口ABCD的面积为1.求口ABCD各内

角的度数.

DC

利用平行四边形的对角线互相平分求解

1、如图，在RtZ\ABC中，ZBAC=90°,ZACB=45°,AB=4&,点P为BC上任意一点，连

接PA,以PA,PC为邻边作平吁四边形PAQC,连接PQ,则PQ的最小值为()

2、如图，在■ABCD中，AC与BD交于点、0,已知AC+BD=14,CD=5,则Z^AOB的周长为()

3、如图，oABCD的对角线AC,BD相交于点0,BC=3,ABOC的周长为7,则AC+BD

4、如图。ABCD的对角线AC,BD交于点0,ACJLAB,AB=2,且AO：B0=2:3.

(1)求AC的长;

(2)求。ABCD的面积.

5、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点0,ZABD=90°,AB=0B=2,求线

段0C的长度.

综合应用平行四边形的性质求解

1、如图，已知。ABCD的对角线AC,BD相交于点0,EF经过点0,分别交AD,BC于点E,F,

A.13B.1C.22D.18

2、在平行四边形ABCD中，ZA+ZC=100°,则ND等于()

A.50°B.80°C.100°D.130°

3、如图，在。ABCD中，E是BC边上一点，BE=CD,连接AE,ZD=50°,则NBAE的度数为

()

A.50°B.55°C.60°D.65°

4、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于0,过点0作OE_LAC交AD于E.若AE

=2,DE=1,AB=V5,则AC的长为.

5、如图，在oABCD中，E是AD的中点，若AB=6,则0E=

6、如图，oABCD的对角线AC,BD相交于点0,过点。作EF_LAC,分别交边AB,DC于点E,F,

连结AF,CE.若AE=13,0A=12.

(1)求EF的长；

(2)求。ABCD边AB上的高.

综合应用平行四边形的性质证明

1、如图，在口ABCD中，AC与BD相交于点0,则下列结论不一定成立的是()

A.AD||BCB.AB=DCC.A0=C0D.BA=B0

2、如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AC与BD相交于点0,则下列说法正确的是()

A.A0=B0B.zABC=zADCC.zBAC=z.ADCD.AC=BD

3、如图，在口ABCD中，AB=2BC,ZBCD=60°,对角线AC,BD交于点0,NADC的平分线交

AB于点E,连接0E.下列结论：

①DB平分NCDE;

②0E垂直平分BD;

③OA=&DE；

@SAAOB=2OE.OB.

其中正确的是(写出所有正确结论的序号).

4、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点0,分别过点A,C作AEJ_BD,

CFXBD,垂足分别为E,F.AC平分NDAE.

(1)若NA0E=52°,求NACB的度数；

(2)求证：AE=CF.

冀教版(2024)八年级下册21.2平行四边形的性质分层练习(参考答案)

1平行四边形的定义及对称性

1、如图，。ABCD中，点0是对角线AC,BD的交点，过点0的直线分别交AD,BC于点M,N,

若aCON的面积为2,△DOM的面积为4,则。ABCD的面积是()

A.12

B.16

C.24

D.32

【答案】C

【解析】四边形ABCD是平行四边形，点。是对角线AC,BD的交点,

.••四边形ABCD是中心对称图形,OB=OD,

••^△CON=^AAOM»^△ABD=^ACBD，

AAOO

^=SAA0M+SAD0M-2+4=6,

,,S^AOB=S&OD—6»

•・S/^ABD=S△AOB+SAAOD=12,

'SoABCD=2S^ABO=24,

故选：c.

2、平行四边形具有的性质是（）

A.四边相等B.对角线相等C.对角线互相平分D.四个角都是直角

【答案】C

【解析】平行四边形的对角线互相平分.

故选：C.

3、在平行四边形ABCD中，点A关于对角线的交点0的对称点.

【答案】是点C.

【解析】在平行四边形ABCD中，点A关于对角线的交点0的对称点是点C,

故答案为：是点C.

4、如图，口ABCD的对角线交于坐标原点0.若点A的坐标为（-«,1）,点B的坐标为（-

1,-1）,求BC的长.

y

A|D

B~|C

【答案】解：・・•四边形ABCD为平行四边形，

OA=OC,

又•・•点0为坐标原点，

・••点A和点C关于原点对称，

・・•点A的坐标为（-«,1）,

・・・C点坐标为（加，-1）,

VB（-1,-1）,

ABC=73+1.

2利用平行四边形的对边平行且相等求边长

1、如图，在口ABCD中，NADC的平分线交BC于点E,过点C作CF_LDE,垂足为点F,若CF=

BE=6,DE=16,则AD的长为（）

【答案】A

【解析】・・♦四边形ABCD是平行四边形,

AAD=BC,AD/7BC,

AZADE=ZCED,

•.・ZADC的平分线交BC于点E,

AZADE=ZCDE,

AZCDE=ZCED,

.\CE=CD,

VCF±DE,

・・・EFJDE=8,ZCFE=90°,

乙

•*-CE=VCF2+EF2=IO»

・・・AD=BC=BE+CE=16,

故选：A.

2、如图，点E,F是平行E边形ABCD对角线BD上两点，连接AF,CE,已知AF〃CE,且BE=4,

【答案】C

【解析】•・•四边形ABCD是平行四边形,

・・.AB〃CD,AB=CD,

AZABD=ZCDB,

VAF//CE,

AZAFB=ZCED,

在AABF和ACDE中，

rZAFB=ZCED

<ZABF=ZCDE,

AB=CD

.-.△ABF^ACDE(AAS),

ABF=DE,

.\BE=DF=4,

AEF=BD-BE-DF=13-4-4=5.

故选：C.

3、如图，在。ABCD中，AB=3,NABC与NBCD的角平分线交于点E,若点E恰好在AD边上,

则CE?+BE2的值为（）

A.12B.16C.24D.36

【答案】D

【解析】,・•四边彩ABCD是平行四边形，AB=3,

ADC=AB=3,AD〃BC,AB//CD,

AZAEB=ZCBE,NDEC=NDCE,ZABC+ZDCB=180°,

TNABC与NBCD的角平分线交于点E,点E恰好在AD边上，

ZABE=NCBE=,NABC,ZDCE=NBCE=,NDCB,

AZAEB=ZABE,ZDEC=ZDCE,NCBE+NBCE=£(NABC+NDCB)=90°,

.・.AE=AB=3,DE=DC=3,ZBEC=180°-(NCBE+NBCE)=90°,

,・.BC=AD=AE+DE=3+3=6,

.\CE2+BE2=BC2=62=36,

故选：D.

4、如图，在。ABCD中，NBCD的平分线交BA的延长线于点E.若AE=1.5,CD=3.5,则BC的

长为.

【答案】5.

【解析】•・,四边形ABCD是平行四边形,

・・・AB〃CD,AB=CD=3.5,

AZE=ZECD,

VCE平分NBCD,

.\ZBCE=ZECD,

AZE=ZBCE,

・・.BE=BC,

VBE=AE+AB=1.5+3.5=5,

ABC=BE=5.

故答案为:5.

5、如图，平行四边形ABCD中，ZB=60°,AB=4,AD=5,E,F分别是边CD,AD上的动点,

且CE=DF,则AE+CF6勺最小值为.

【答案】V61.

【解析】如图，延长BC到点H,使CH=CD,连接EH,AH,

AAB=CD=4,AD=BC=5,AD〃BC,

AZD=ZECH,

在ACDF和AHCE中，

CD=HC

,ZD=ZECH,

DF=CE

/.△CDF^AHCE(SAS),

.,.CF=HE,

AAE+CF=AE+HE,

当A、E、H不共线时，AE+HE>AH,

当A、E、H共线时，AE+HE=AH,

AAE+HE的最小值为AH,

即AE+CF的最小值为AH,

过点A作AG_LBC于点G

AZAGB=ZAGH=90°,

VZB=60°,

AZBAG=30°,

/.BG=-1AB=2,

.,.AG=7AB2-BG2=742-22=2V3,

VCD=CH=4,

ABH=BC+CH=9,

ABH=BC-BG=7,

AAH=7AG2-K;H2=V61»

即AE+CF的最小值为何，

故答案为：V61.

6、如图，在平行四边形ABCD中，AE_LBD于E,CF_LBD于F.若BE=4,AB=5,求CF.

【答案】（1）证明：•・•四边形ABCD是平行四边形,

.,.AD=BC,AD/7BC,

AZADE=ZCBF,

又•・・AEJ_BD于E,CF_LBD于F,

AZAED=ZCFB=90°,

在AAED和ACFB中，

2AED=NCFB

<ZADE=ZCBF,

AD=BC

AAAED^ACFB(AAS).

.\AE=CF；

在RtZ\AEB中，VZAEB=90°,

AAE2=AB2-BE2=52-42=9,

5lVAE>0,

AAE=3.

・・・CF=AE=3.

7、如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是CD边的中点，延长AE交BC的延长线于点F.若

ZBAF=90°,BC=5,EF=3,求CD的长.

【答案】解：•・♦四边形ABCD走平行四边形,

AAD/7BC,

AZDAE=ZF,

•・•点E是CD边的中点，

ADE=CE,

在4AED和△FEC中，

2DAE=NF

<ZAED=ZFEC,

DE=CE

AAAED^AFEC(AAS),

AAD=FC.

VCD//AB,ZBAF=90°,

AZCEF=ZBAF=90°,

VAD=FC,且AD=BC=5,

...FC=5,

VEF=3,

ACE=7FC2-EF2=752-32=4»

.\CD=2CE=2X4=8,

ACD的长为8.

3利用平行四边形的对边平行且相等求周长或面积

1、如图，在口ABCD中，AB=3,BC=5,AC的垂直平分线交AD于E,则4CDE的周长是()

【答案】A

【解析】・・•AC的垂直平分线交AD于E,

AAE=CE,

・・•四边形ABCD是平行四边形，

ACD=AB=3,AD=BC=5,

AACDE的周长是：DE+DE+CE=DC+DE+AE=DC+AD=3+5=8.

故选:A.

2、如图，在。ABCD中，AE平分NBAD交CD于点E.若CE=2,BC=3,则。ABCD的周长为

()

D.__________?C

AB

A.16B.14C.10D.8

【答案】A

【解析】•・,四边形ABCD是平行四边形，

，AB〃CD,AD=BC=3,

AZDEA=ZBAE,

・・・AE平分NBAD交CD于点E,

AZDAE=ZBAE,

/.ZDAE=ZDEA,

AAD=DE=3,

.\CD=DE+CE=5,

/.AB=CD=5,

A°ABCD的周长为AD+AB+BC+CD=3+5+3+5=16.

故选：A.

3、如图，在□ABCD中，EF为对角线BD的中垂线，交BC,AD于E,F.已知4CDE的周长为5,

则口ABCD的周长为_________________.

【答案】10.

【解析】•・•四边形ABCD是平行四边形,

ADC=AB,AD=BC,

♦・・BD的中垂线EF分别交AD、BC于点E、F,

ABE=DE,

・•.△CDE的周长=CD+CE+ED=AB+CE+BE=AB+BC=5,

・•・aABCD的周长=2X5=10,

故答案为：10.

4、如图，点E是口ABCD的边CD的中点，AE,BC的延长线交于点F,CF=3,CE=2,则口ABCD

【答案】14.

【解析】：四边形ABCD是平行四边形，

AAD//BC,AD=BC,AB=CD,

AZDAE=ZF,

♦・,点E是边CD的中点，

，DE=CE=2,

ACD=2CE=4,

在4AED和4FEC中，

2AED=NFEC

<ZDAE=ZF,

DE=CE

/.△AED^AFEC(AAS),

/.AD=CF=3,

/.AD+BC+AB+CD=2AD+2CD=2X3+2X4=14,

・••口ABCD的周长为14,

故答案为：14.

5、如图，四边形ABCD为平行四边形，NBAD的角平分线AF交CD于点E,交BC的延长线于点

F.

(1)求证:BF=CD;

(2)连接BE,若BEJ_AF,ZBFA=60°,AB=4,求平行四边形ABCD的面积.

AD

【答案】(1)证明：•・•四边形ABCD为平行四边形,

/.AB=CD,AD/7BC,

AZFAD=ZAFB,

5CVAF平分NBAD,

AZFAD=ZFAB.

AZAFB=ZFAB.

AAB=BF,

・・・BF=CD;

(2)解：•・,由(1)知：AB=BF,

又•・・NBFA=60°,

•・.△ABF为等边三角形，

Z.AF=BF=AB,ZABF=60°,

VBE±AF,

・•・点E是AF的中点.

VAB=BF=4,

AEF=2,BF=4,

在RtZ\BEF中，ZBFA=60°,

BE=2^3,

.二△ABF的面积=得X4X2j§=4百,

,・•田边形BACD是平行四边形，

AAD/7BC,

/.ZD=ZDCF,ZDAE=ZF,

VAE=EF,

AAADE^AFCE(AAS),

・•・平行四边形ABCD的面积=ZkABF的面积=4向.

6、如图，在平行四边形ABCD中，点E为BC上一点，连接AE并延长交DC的延长线于点F,AD

=DF,连接DE.

(1)求证：AE平分NBAD;

(2)若点E为BC中点，ZB=60°,AD=5,求平行四边形ABCD的周长.

【答案】(1)证明：•・•四边形ABCD是平行四边形,

.•.AB/7CD,

即AB//DF,

.*.ZBAE=ZF,

VAD=DF,

AZDAE=ZF,

.*.ZBAE=ZDAE,

.*.AE平分NBAD；

(2)解：•・•四边形ABCD是平行四边形，

.•.AD//BC,AD=BC,

VAD=5,

ABC=5,

VE为BC的中点，

115

・,.BE==BC==X5=N，

222

VAD/7BC,

AZDAE=ZBEA,

VZBAE=ZDAE,

AZBAE=ZAEB,

.••△ABE为等腰三角形，

又，・・NB=60°,

•••△ABE是等边三角形,

5

AAB=BE=y,

5

/.CD=AB=y,

.・.平行四边形ABCD的周长为2AD+2AB=2X5+2X5=15.

4利用平行四边形的对边平行且相等求角度或坐标

1、如图，四边形OABC是平行四边开九在平面直角坐标系中，点A(-1,2),0C=5,点B的

-2)

【答案】C

【解析】•・,四边形OABC是平行四边形，

AAB/70C,AB=OC,

VA(-1,2),点C在x轴上且0C=5,

AXB=-1+5=4,yB=yA=2,

・・・B(4,2),

故选：C.

2、如图，口ABCD中，BE平分NABC交AD于E,若NC=56°,则NBED度数为()

AED

C.119°D.120°

【答案】B

【解析】四边形ABCD是平行四边形.

AAD/7BC,AB/7CD,

.,.ZABC+ZC=180°,

.,.ZABC=1800-ZC=180°-56°=124°,

VBE平分NABC,

.,.ZEBC=124°4-2=62°,

VADZ/BC,

AZEBC+ZBED=180°,

AZBED=180°-ZEBC=180°-62°=118°,

故选：B.

3、如图，0为原点，口ABCD的顶点A(0,4),B(-5,-1),C(0,-1),则点D的坐标

(4,5)C.(5,4)D.(4,4)

【答案】C

【解析】•・•四边形ABCD是平行四边形,

AAD=BC,AD〃BC,

VB(-5,-1),C(0,-1),

ABC=O-(-5)=5,

・・.AD=5,

VA(0,4),

・••点D的坐标为(5,4),

故选：C.

4、在。ABCD中，E为BC边上一点，AB=AE,若AE平分/DAB,ZEAC=25°,则NACB

【答案】35.

【解析】四边形ABCD是平行四边形，

/.AD/7BC,AB/7CD,AB=CD,

ZDAE=ZAEB,ZACD=ZBAC,

VAE平分NDAB,

AZEAB=ZEAD,

AZEAB=ZAEB,

/.BA=BE.

VAB=AE,

/.AB=BE=AE

•,.△ABE是等边三角形,

ZB=ZBAE=ZAEB=60°,

VZEAC=25°,

/.ZACB=ZAEB-ZCAE=60°-25°=35°.

故答案为：35.

5、如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A在y轴上，顶点B,C在x轴上，A

(0,2),B(1,0),BC=4,将平行四边形ABCD绕点B旋转90°后，点D对应点D'的坐标

为_________________________________________________________________

【答案】(3,-3)或(一1,3).

【解析】如图，连接BD,过点D作DE_LBC于E,

•・•四边形ABCD是平行四边形，

/.AD=BC,AD〃BC,

VA(0,2),B(1,0),BC=4,

/.AD=BC=4,

・,•点D(4,2),

ADE=2,BE=3,

若将平行四边形ABCD绕点B顺时针旋转90°,过点D'作D'F_LBC于F,

.-.BD=BD',ZDBD'=90°=ZDEB=ZD'FB,

/.ZDBE+ZD'BE=90°=NDBE+NBDE,

/.ZBDE=ZD'BE,

/.△DBE^ABD'F(AAS),

ADE=BF=2,D'F=BE=3,

・••点D，(3,-3),

若将平行四边形ABCD绕点B逆时针旋转90°,过点D''作D''N_LBC于N,

同理可求D''(-1,3),

故答案为：(3,-3)或(-1,3).

6-.如图，在平行四边形ABCD中，E,F是对角线BD2两个点，且BF=DE.

(1)求证：AE=CF：

(2)若AD=AE,ZDAE=100°,求NDFC的度数

【答案】(1)证明：•・•四边形ABCD为平行四边形，

.,.AB/7DC,AB=DC,

AZABE=ZCDF,

VBF=DE,

ABE=DF,

△ABE与ZiCDF中,

rAB=DC

<ZABE=ZCDF,

BE=DF

AAABE^ACDF(SAS),

.\AE=CF；

(2)解：VAD=AE,

AZADE=ZDEA-1(180<>-ZDAE)-y(1800-100。)=40。，

/.ZAEB=180u-ZAED=180u-40“=140”,

VAABE^ACDF,

AZDFC=ZAEB=140°.

5利用平行四边形的对角相等解决问题

1、如图，在口ABCD中，若NA=70°,则NC的度数是（）

A.70°B.1103C.120°D.140°

【答案】A

【解析】：四边形ABCD为平行四边形，

，NA=NC,

VZA=70°,

・・・NC=70。.

故选：A.

2、在。ABCD中，如果NA+NC=140°,那么NC等于（）

A.20°B.40°C,60°D.70°

【答案】D

【解析】如图，♦・♦四边形ABCD是平行四边形，

，NA=NC,

VZA+ZC=140°,

.\2ZC=140°,

・・.NC=70。，

故选：D.

A

3、如图，E是平行四边形ABCD的边BC上一点，且AB=BE,连接AE并延长，与DC的延长线交

于点F,若ND=40",则NF的度数是（）

A

D

B

A.30°B.40°C.50°D.70°

【答案】D

【解析】•・・g边形ABCD是平行E边形，^D=40°,

・・.NB=D=40°,

VAB=BE,

AZBAE=ZBEA,

AZBAE+ZBEA=2ZBAE=1800-40°=140°,

AZBAE=70°,

♦.・DC〃AB,

/.ZF=ZBAE=70°,

故选：D.

4、如图，在口ABCD中，NC=70°,DEXAB于点E,贝！NADE=

【答案】20.

【解析】•・•四边形ABCD是平行四边形,

AZC=ZA=70°,

VDE±AB,

AZAED=90°,

AZADE=900-ZA=90°-70°=20°,

故答案为：20.

5、如图，口ABCD的对角线AC、BD交于点0,AE平分NBAD交BC于点E,且NADC=60°,AB

=yBC,连接0E.下列结论:

①NCAD=30°

②SoABCD=AB・AC

③OB=AB

④OE=3BC

4

成立的有（把所有正确结论的序号都填在横线上）

【答案】①②④

【解析】•・•四边形ABCD是平行四边形，

AZABC=ZADC=60°,ZBAD=120°,

VAE平分NBAD,

AZBAE=ZEAD=60°

.:△ABE是等边三角形，

AAE=AB=BE,

VAB=-i-BC,

AAE=|BC,

AZBAG=90°,

AZCAD=30°,故①正确；

VAC±AB,

,ScABCD=AB・AC,故②正确，

VAB=-|BC,OB=-1BD,

乙乙

BD>BC,

.・・AB于OB,故③错误；

VZCAD=30°,ZAEB=60°,AD〃BC,

AZEAC=ZACE=30°,

AAE=CE,

.・・BE=CE,

V0A=0C,

AOE=|AB,

•・・AB=£BC,

/.OE=-7BC.故④正确.

4

故答案为：①②④.

6、如图，QABCD中，NDAB为钝角，AD=1,AB=&,且口ABCD的面积为1.求。ABCD各内

角的度数.

【答案】解：过点D作DE_LBA交BA延长线于E,如图1所示：

•・,四边形ABCD是平行四边形，

1•S平行四边形ABCD=2S△幽=2X£AB・DE=AB・DE=&DE,

，我DE=1,

・・・DE=亚，

2

在RtZXAED中，由勾股定理得：AE=YAD2-DE2=JF-（五）2=4

ADE=AE,

.••△AED是等腰直角三角形,

AZDAE=45°,

AZDAB=180°-45°=135°,

,四边形ABCD是平行四边形，

AZDAB=ZBCD=135°,ZADC=ZABC=45°.

6利用平行四边形的对角线互相平分求解

1、如图，在RtZ\ABC中，ZBAC=90°,ZACB=45°,AB=4&,点P为BC上任意一点，连

接PA,以PA,PC为邻边作平吁四边形PAQC,连接PQ,则PQ的最小值为（）

A.2B.3A/2C.2V2D.4

【答案】D

【解析】设PQ与AC交于点0,作OP'_LBC于P'.如图所示：

在RtZiABC中，ZBAC=90°,ZACB=45°,AB=4,

AC=4,\/2,

•・•四边形PAQC是平行吗边形，

・・・0A=0C=£AC=2心

AOP7=2,

当P与P，重合时，0P的值最小，则PQ的值最小，

・・・PQ的最小值=20P'=4.

故选：D.

2、如图，在口ABCD中，AC与BD交于点0,已知AC+BD=14,CD=5,则AAOB的周长为()

丁

A.11B.12.13D.15

【答案】B

【解析】•・•四边形ABCD是平行四边形

.-.A0=C0,B0=D0,

AA0+B0=-i(AC+BD)=7,

乙

又：CD=AD=BC=5,

・・.三角形A0B的周长等于AO+BO+AB,

VAB=CD=5,

三角形AOB的周长=AO+BO+AB=7+5=12.

故选：B.

3、如图，口ABCD的对角线AC,BD相交于点0,BC=3,ABOC的周长为7,则AC+BD

【答案】8.

【解析】•・•四边形ABCD为平行四边形,

AOB=yBD,OC-yAC,

VAB0C的周长为7,

A0B+0C+BC=7,

VBC=3,

.,.0B+0C=4,

AAC+BD=2(OB+OC)=8,

故答案为：8.

4、如图口ABCD的对角线AC,BD交于点0,AC±AB,AB=2,且AO：B0=2:3.

(1)求AC的长；

(2)求口ABCD的面积.

AZBAO=90°,

VAO:B0=2:3,

.•.设A0=2a,B0=3a,

•・•四边形ABCD是平行四边形，

/.AC=2A0=4a,

在RtZ\BAO中，由勾股定理得：2?+(2a)2=(3a)2,

解得：a=平，

5

.•.AC=4a=-^-；

5

(2)•・•四边形ABCD是平行四边形，AC±AB,

ABCD的面积是AB・AC=2X&区=弛区.

55

5、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点0,ZABD=90°,AB=0B=2,求线

段0C的长度.

----------------------------,C

D

【答案】解：・・•四边形ABCD是平行四边形,

AAO=CO,

VZABD=90°,AB=0B=2,

JAO=7AB2K）B2=722+22=2也

A0C=2V2.

7综合应用平行四边形的性质求解

1、如图，已知口ABCD的对角线AC,BD相交于点0,EF经过点0,分别交AD,BC于点E,F,

且0E=4,AB=5,BC=9,则四边形EFCD的周长是（）

AED

【答案】C

【解析】•・•四边形ABCD是平行四边形，

ACD=AB=5,AD//BC,OB=OD,

AZ0ED=Z0FB,Z0DE=Z0BF,

AAOBF^AODE(AAS),

A0F=0E=4,DE=BF,

J四边形EFCD的周长=EF+ED+CD+CF=OE+OF+CD+BF+CF=OE+OF+CD+BC=4+4+5+9=22,

故选：C.

2、在平行四边形ABCD中，ZA+ZC=100°,则ND等于()

A.50°B.80°C.100°D.130°

【答案】D

【解析】•・•四边形ABCD是平行四边形，

AZA=ZC,AB//CD,

AZA+ZD=180°,

VZA+ZC=100°,

AZA=50°,

AZD=1800-ZA=130°.

故选：D.

3、如图，在口ABCD中，E是BC边上一点，BE=CD,连接AE,ZD=50°,则NBAE的度数为

【答案】D

【解析】在口ABCD中，AB=CD,NB=ND=50°.

VAB=CD,BE=CD,

/.AB=BE.

.」RA「一」n「Arl80°一5°°,仔。

乙

故选:D.

4、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于0,过点。作OE_LAC交AD于E.若AE

=2,DE=1,AB=V5,则AC的长为.

【答案】2VL

【解析】•二四边形ABCD是平行四边形，

AAO=CO,CD=AB=遥，

VOEXAC,

JOE垂直平分AC,

・,.CE=AE=2,

VCE2+DE2=22+12=5,CD2=（V5）2=5,

.-.CE2+DE?=CD2,

••.△CDE是直角三南形，ZCED=90°,

/.ZAEC=90°,

•**AC=y]AE2-<E2=74+4=272，

故答案为：272.

5、如图，在oABCD中，E是AD的中点，若AB=6,则0E=

【答案】3

【解析】•・•四边形ABCD为平行四边形,

/.OB=OD,AB=CD=6,

VE,。是AD,AC的中点，

・•・0E=^CE,

A0E=3.

故答案为：3.

6、如困，口ABCD的对角线AC,BD相交于点0,过点0作