2026年高考数学复习汇编《数列》专项练习题

2026年高考数学真题汇编数列专题复习练习题

真题汇编

考点01等差数列

1.（2026・上海卷・高考真题）卜列数列中是等差数列也是等比数列的是（）

A.1,-1,1,-1,1B.1,2,3,4,5

C.595,5,5,5D.192,3,5,7

2.（2026•新课标全国I卷•高考真题）一百零八塔位于宁夏|口I族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和

深远的历史文化闻名遐迩.该塔群共有108座塔，依山势自上而下排成12行，将第，行中塔的座数记为

1,2,…,12）,其中4=1,%=%=3,4=%=5,且偈，口7，…，%是一个首项为7,公差为2的等

差数列.将《，田…，心分为6组，每组2个数，使得每组的2个数之和可构成一个项数为6且公差为"（〃＞（））

的等差数列•则d=（）

A.2B.4C.6D.8

3.：2026•北京卷高考真题）已知等差数列｛q｝的前〃项和为S“，且S6=6%+30,则公差4=,若

恒成立，则符合条件的4的一个取值为.

4.（2026・上海卷・高考真题）已知等差数列｛4｝中，6=0,公差为d,其前〃项和S”在区间（0,1）内至少有

两项，则公差d的取值范围是__________.

考点02等比数列

1.（2026•新课标全国I卷•高考真题）设实数4满足：存在数列｛/｝,使得对于任意〃eN,均有

4+%+…+且｛4｝口有某连续9项处,a1，L,4+8是公比为9的等比数列.则4的最大值

为.

2.（2026・上海卷・高考真题）已知｛为｝为等比数列，4=2,心=6,则％=.

考点03数列的递推公式与求和

1.（2026・天津卷・高考真题）已知Sa”—S“=〃，a,=6,则%+4=（）

A.68B.56C.-3D.-4

2.（2026・北京卷•高考真题）｛叫，｛，｝是无穷数列，则“存在常数M，使凡《加《仇（〃=1,2,3「・.）”是

"64以。=1,2,3,…)”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

3.(2026•天津卷・高考真题)已知等差数列{%}与等比数列也}满足：q=2,4=I,a2=b]+b2fa4=by-b].

⑴求数列{&},{〃}的通项公式;

(2)汜，3A:eN\x=4或％=4},记c“为耳，中的元素个数.

(i)求，3・；

3)求£(-1)'”・品5.

m=\

考点。4数列中的新定义

1.(2026•北京卷•高考真题)设A=e)”是一个，〃行〃列的数阵，且数阵中的每一项为£{-□},都等

于1或一1.若对任意1«儿《〃，其中，工〃，尸夕，且“一目_|/_司=2,都有阳+%+5+〃收=0,

则称数阵A具有性质P.

(1)判断下列两个数表是否具有性质〃.

11-1I

A-

-11-11

11-1-1

A2=

1-11-1

-11-]1

⑵在所有具有性质户的5x4数阵中，1的个数最多是多少？

⑶若〃?=〃=6,4=1,且数阵4具有性质P,证明：对任意i,/e｛1,2,3,4,5,6｝,都有他二%%.

模拟题汇总

一、单选题

1.（2026•北京顺义•三模）已知｛《｝是公差不为0的等差数列，6=2若田吗，4成等比数列，则《。=<）

A.-20B.-16C.16D.18

5%+1,.“然J奇数

2.（2026•浙江嘉兴•二模）数列｛%｝满足q=3,凡+]=，a华/卬将,则％=（）

A.8B.4C.2D.i

3.（2026・山东烟台•二模）已知｛%｝是等差数列，其公差为d,前〃项和为S"，则”>0”是“数列⑸｝为单

调递增数列”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3

4.（2026•广东东莞•三模）记S”为数列｛%｝的前〃项和，已知4=2,S”=54-1，则％=（）

A.18B.54C.81D.162

5.（2026・天津•模拟预测）已知数列｛q｝的前〃项和为S“，5“=1-（-2）”,则｛㈤｝的前7项和为（）

A.189B.191C.381D.383

6.（2026•河南驻马店•模拟预测）已知数列㈤卜%=1,%=3且满足q+2+a”=24s+l（〃eN）令

"二%-4,则数列，二二的前2026项和为（）

1013n1015—506n507

A.----B.----C.----D.----

2028202810131013

yl〃+4

7.（2026・重庆•模拟预测）设等差数列｛叫，也｝的前〃项和分别为A.，纥，且年=亚工，则

■2^-+3%;（）

4+%4+4+&2

A.—B.—C.-D.1

3816192

8.（2026.陕西咸阳•二模）已知数列｛q｝的前〃项和为S”，且满足4=2,—=S〃+2,则使得不等式

5"-（4一〃）之攵.2"成立的实数2的最大值为（）

A.—B.；C.1D.-

228

二、多选题

9.（2026.河南开封.模拟预测）设S”是等差数列｛q｝的前〃项和，若几<0,—<-1,则（）

%

A.d<0B.㈤中最小值为同

C.当S“取得最大值时，〃=8D.使S”>。成立的最大整数〃为14

10.（2026・福建三明•模拟预测）已知数列｛〃"｝满足4+2出+…+2"-&=62〃，则（）

A.。“=〃+1

B.｛q｝的前〃项和为里?

C.｛（T）"4｝的前10。项和为50

D.｛|4-5|｝的前30项和为357

11.（2026・山东聊城,模拟预测）己知数列｛/｝的前〃项和为5”吗=1".+/=2-3",则下列结论正确的有

（）

A.数列｛q｝是等比数列B.57=1639

3"

C.数列可-5是等比数列D.52/7=9^-1

12.（2026•黑龙江•模拟预测）定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新数列，这样的操作

叫作该数列的一次“美好成长招数列1,4进行“美好成长”，第一次得到数列1,4,4；第二次得到数列I,

4,4,16,4；……,设第〃次“美好成长”后得到的数列为1,为，占，…，占，4,记q=log4（L%•玉•王”），

则卜列说法正确的是（）

A.%=5B.4=2"-1

c.。的=2%+1D.数列｛4｝的通项公式为4二手

三、填空题

13.（2026・湖南湘潭・二模）数列｛《,｝满足%=1,《川=2%+1,则数列｛4｝的前8项和&=.

14.（2026・陕西西安・模拟预测）已知数列｛〃"｝满足4=1,且可鬻.设S.表示｛6｝的前〃

项和，则S?0=.

15.（2026•北京丰台•三模）《九章算术•均输篇》记录了古代物资统筹核算算法，现如今借鉴这一统筹思

路，某地乡村振兴落地光伏储能惠民工程，分年度分批采购储能光伏组件.项目采购方案规定：每年新增采

购的组件箱数构成等差数列，项目第一年采购16箱，往后每一年都比上一年多采购3箱；受原材料价格

浮动影响，组件单箱采购市价逐年成等比数列，首年定价4元，价格每年变为原来的3倍.项目财务制度

约定，前〃年所有入库储存的组件，不在每年分次结账，统一留存至第〃年年末，按照当期最新市场单价一

次性核算全部货款.则项FI运行满4年时，结算总货款为_____元；运行”年末核算总货款的最简代数式为

四、解答题

16.（2026•宁夏吴忠•三模）已知数列｛an｝的前〃项和为S”,S“=3"-1,数歹U｛2｝是等差数列，且乙=%也=/.

⑴求数列｛4｝和｛"｝的通项公式：

（2）设%=4+包，求数列｛q｝的前〃项和北.

17.（2026•陕西西安•模拟预测）已知数列｛凡｝的前〃项和为5“，且S”=〃2.

（1）求｛6｝的通项公式;

(2)若"=可与足三，记数列电｝的前〃项和，，求q％.

18.(2026.江苏徐州.模拟预测)设S”是等比数列｛q｝的前〃项和，已知§2=4,

⑴求。“和3；

(2)设勿=金一,求数列｛"｝的前〃项和

19.(2026・湖南湘潭•三模)已知数列也｝和｛〃,｝满足〃“=凡+凡”+L+生”

⑴若《=2",求2―仇+仇的值；

(2)若/=〃，且?+…恒成立，求/的取值范围；

b、b?bn3

⑶设％=。“一2〃+1,若勿=3/+2〃-1,证明：c2„+1+c2„+2=c„.

20.（2026・天津二模）已知数列4:%竹-4（〃22）的各项均为正整数，设集合7=｛川工=%-小14</。｝,

记丁的元素个数为P（T）.

⑴若数列4:123,5,求集合7；

（2）已知｛4｝为正项等比数列，4=4,%是6%与8%的等差中项.

⑴求尸任）;

3）令）之2）,求才（-皿.

"V）

答案解析

真题汇编

考点01等差数列

1.（2026・上海卷・高考真题）下列数列中是等差数列也是等比数列的是（）

A.1,-1,1,-1,1B.1,2,3,4,5

C.5,5,5,5,5D.1,2,3,5,7

【答案】C

【分析】设该数列为｛凡｝,由题可得，「4="，*=夕凡，其中〃为常数，据此推得

qT=0=d,即得该数列为非零常数列，即可判断.

【详解】设该数列为｛q｝,则该数列满足4+1=44,其中“wO.

则见+「6=（。-1）4="，因小〃为常数，该式对任意正整数成立，则夕7=0=4,

从而该数列为非零常数列，由选项知只有C满足题意.

故选：C

2.（2026•新课标全国I卷•高考真题）一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的

建筑格局和深远的历史文化闻名遐迩.该塔群共有1（）8座塔，依山势自上而下排成12行，将

第i行中塔的座数记为q（i=l,2,…,12）,其中4=1,%=%=3,4=巴=5,且4,%,…，气是

一个首项为7,公差为2的等差数列.将4,%,…，即分为6组，每组2个数，使得每组的

2个数之和可构成一个项数为6且公差为以4＞。）的等差数列，则"=（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

【分析】由条件求出数列｛4｝的前12项的和，设新数列为｛〃,｝,设其公差为d,由条件可得

=结合选项判断即可.

【洋解】由已知4=1,%=%=3,4=%=5,4=7+2（，-6）=2"5,/=6,7,8,9,10,11,12,

设新数列为四｝,〃=123,4,5,6,

由已知数列也｝为等差数列，设其公差为d,d＞（）,

又小｝的前12项都为奇数，｛4｝所有项都为偶数，

由己知d为正偶数，A为正偶数，

则64+殍xd=108,&z?,+|d=18,

若d=2,则4=13,矛盾，

若d=6,贝lj仇=3,矛盾，

若d=8,贝lJ4=-2,矛盾，

若d=4,则々=8,此时可取〃=4+4=8,瓦=%+%=T2,々=%+4=16,

d=%+%=20,々=%+42=24,%=%+60=28,满足要求.

3.（2026・北京卷•高考真题）已知等差数列｛〃”｝的前〃项和为S”，且S6=6〃6+30,则公差d=

，若ST/恒成立，则符合条件的《的一个取值为.

【答案】-29（答案不唯一，满足844410即可）

【分析】利用等差数列前〃项和公式与通项公式，代入己知等式建立关于公差d的方程求解;

由S.MS，恒成立可知凡为前〃项和的最大值，结合数列的单调性得到见之。且4《。，代入公差

，/=-2解不等式即可得到％的取值范围，选取范围内任意值即可.

【详解】等差数列的前〃项和公式为1=叫+^通项公式为4=4+57”.

6x5

*/S6=6q+2d=6«1+\5d,ab=4+5d,

/.6a=6（q+5J）=6%+304.

由56=6a6+30,得6q+154=64+30d+30,

消去等式两侧的6q,整理得-15d=30,解得d=-2.

・・・J=-2＜（）,等差数列｛%｝为递减数列，且S/5,恒成立，

・・・S，为前〃项和的最大值，即数列前5项非负，第6项及以后非正，即｛：：2

q+4d=q-820

代入通项公式得J解得8工440,

4+51=4-10«0

取％=9即为符合条件的一个取值.

4.（2026・上海卷・高考真题）已知等差数列｛%｝中，4=0,公差为d,其前.〃项和S”在区间（0,1）

内至少有两项，则公差d的取值范围是__________.

【答案】[ol]

【分析】根据等差数列求和公式列式计算求解.

【详解】根据已知前F项和X在区间(0,1)内至少有两项，则得出d>0,

且$=o,｛SJ是单调递增的，所以必须满足S2«0,l),S3«0,l),

所以52=”€(0,1),&=3"«0,1),所以

考点02等比数列

1.(2026•新课标全国I卷肩考真题)设实数满足：存在数列依｝,使得对于任意均

有%+/+…+%”=/+〃，且｛qj中有某连续9项见，a7，L,牝+8是公比为。的等比数列.贝W

的最大值为.

【答案】C

【分析】由前3〃项和公式推出每连续三项的和7；=2〃.将连续9项按起始位置模3分类，每类

中利用三项块和等于2〃得到关于公比4的比例关系，通过相邻块和之比解得/的上界，即可取

得最大值.

【详解】令7L=%”-2+*+%”，由题意得4=(〃2+n)-[(w-l)2+(w-l)]=2n,

因此每个三项块纥的和为2〃.

设这9项为阳)M”，记C=l+q+/.由于C>0,且完整三项块和均为正,

下面按攵除以3的余数讨论.

若k=3/〃+l(〃?N0),这9项正好包含三个完整三项块，

得xC=2(m+1),Yq3r=2(nz+2),x/fC.=2(,”+3),

于是/=岑且/="三，矛盾，故这种起点不存在.

m+1m+2

若k=3/〃+2(〃此0),其中两个完整三项块为第,+2块,第〃?+3块，

得xq'C=2(〃?+2),xqsC=2(”?+3),所以"=4].

m+22

若4=3血6N1),其中两个完整三项块为第〃7+1块，第〃?-2块，

得MH),必七=2(…,所以八鬻《|

综上夕乜•!，所以即g的最大值为《(.

2.(2026・上海卷・高考真题)己知｛4｝为等比数列，4=2,%=6,贝h4=.

【答案】54

【详解】设数列｛禺｝的公比为9,则夕=0=3,则4=府=2*3=54.

a\

考点03数列的递推公式与求和

1.(2026•天津卷・高考真题)已知S2,「S“=〃，％=6,则%+&=()

A.68B.56C.-3D.-4

【答案】C

【分析1根据前〃项和的含义，依次令〃=2,3,4,逐步计算即可得到结果.

【详解】由s「s.=〃，得

S2-S)=1,即生=1;

S4-S2=2,即%+4=2；

因为%=6,所以。4=-4；

$6-53=3,即可+火+4=3,所以%+%=7；

S「S、=4,即生+%+%+仆=4,所以％+《=—3.

2.(2026・北京卷•高考真题)&｝,也｝是无穷数列,则“存在常数M,使々/"""Sms…)”

是“4々5=1,2,3,…)”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】通过验证充分性与必要性，即可得出结论.

【洋解】由题意，

｛〃”｝,但｝是无穷数列，

验证充分性：

当存在常数M,使%<M<bn(n=1,2,3,…)时,

an<M(n=1,2,3,…)，M<b,t(n=1,2,3」••),

q445=123,…)显然成立,

验证必要性：

当/=〃，包=〃2时，此时满足

假设存在常数M,使=…)成立,

当，2f+00时,an=〃一»+8,bn=/Jf+oo,

此时，M需同时“不小于无限增大的〃'’和"不大于无限增大的

但不存在这样的固定常数M,

・•・当凡能时，无法必然推出“存在常数M"，即必要性不成立，

・・・“存在常数M,使q<加地(〃=123,...)”是“可.(〃=1,2,3,..尸的充分不必要条件

3.(2026•天津卷・高考真题)已知等差数列｛叫与等比数列出｝满足：4=2,4=1,%=b\+A,

久也一”.

⑴求数列｛4｝,也｝的通项公式；

(2)记纥=卜右叫彳。，被wZ,尤=4或3=4),记q为E,中的元素个数.

(i)求

(ii)求

7M=I

【答案】(1)%=2〃也=3"T

c、/•、1V1,••、321+(4〃-6)3"+3

(2)(1)S-=2-3+/2+2；(11)-----——.

【分析】(1)通过基本量计算即可求得通项公式；

(2)(i)分析｛%｝和低｝项的特征，结合集合E”的定义即可得解；(ii)利用分组求和法和错

位相减法求和即可.

【详解】（1）设等差数列乩｝的公差为人等比数列也,｝的公比为

因为4=2,々=1,%=4+4，%=4-〃，

所以即。：3解得比或｛篙（公比不能为。，舍去），

所以4=2〃也=3"T

（2）（i）由（1）知4为偶数，4为奇数，所以数列｛&｝和｛2｝没有相同项，

根据题意，集合其中的元素由数列｛4｝和色｝中小于等于〃项组成，

小于3"的正偶数有三9个,由广七3"得攵<〃+1,

所以数列｛〃“｝中小于等于3"的项有'呆个，｛"｝中小于等于3”的项有F+1个，

所以％=工^+〃+1=。3"+〃+：.

3222

（ii）当3MMm<3/时,他｝中小于等于，的项有i个,

又，*为偶数时，｛q｝中小于等于，〃的项有3个，〃，为奇数时，｛q｝中小于等于，〃的项有”个,

i+ghW机<33eN]〃为偶数

所以q=，

i+-----,3,_|<m<3',z€N*,m为奇数

2

斫_2im+"/,3“<；H<3\/eN\机为偶数

'2im+m（，〃一1）,3<1<W<3\/GN\m为奇数，

从勺T到q一£一共有3'T-（3小-1）=2.3”项，

又次为奇数时，

――4£”=2i（〃?+1）+（加+1/-2itn-m｛m-\）=2i+1+3m

所以£（T）E%C”=3'T⑵+1）+3[3，T+（3"+2）+（3I+4）+...+（3-2）-

m=3,T

=3"（2i+l）+3・=/⑵-2）+6・9i，

3n-l31-!32-l3"-I

所以Z(T)"&J=£(T)"4%+Z(7)"4%+・・T£(一1)"Z,£.

w-lm=J0m-317nss31*"

=(D-30+6-90)+(2-3l+6-91)+(4-32+6-92)+---4-[(27?-2)3,,',+6-9/,_,]

=[D-3°+2-3,+4-324----+(2H-2)3,,_,]+6(90+9,+92+---+9,,_|)

=[2-3,+4-324----+(2/?-2)3"-,]+6-!^-

=[2・31+4了+…+(2〃-2)3"-[+[(9"-1)

令S〃=28+43+…+(2〃—2)3"T①，

贝IJ3s”=2・32+4・33+…+(2〃-2)3”②，

①-②得—2S”=2俨+3?+…+3"T)-(2〃-2)3"

3(1-3"-').、

=2--->----<-(2^-2)3n

=-(2〃-3)3”-3,

所以S.二生誓，

所以叫=生等+如T4“+(4丁)3”-3

/n-l244

考点04数列中的新定义

1.(2026•北京卷•高考真题)设A=(%L是一个加行〃列的数阵，且数阵中的每一项。产{T1},

都等于1或-1.若对任意iwi，p。?，iwj，q。,其中iwp,j*q,且|卜-〃|-"-同=2,都有

%+a,q+%+a陷=。，则称数阵4具有性质P.

(1)判断下列两个数表是否具有性质尸.

11-11

A-

-11-11

11-1-1

A2=

1-11-1

-11-]1

（2）在所有具有性质产的5x4数阵中，1的个数最多是多少？

⑶若〃?=〃=6,%=1,且数阵A具有性质P,证明：对任意i,。若2,3,4,5,6},都有为=《必八

【答案】（1）数表A不具有性质产，数表4具有性质A

⑵12

⑶性质P中的四个数都属于{-覃},且四个数的和为0,所以其中恰有两个1和两个T.

因此，对任意满足性质。下标条件的四个位置，都有《凡产，”印①，

对i=1,2,..6,/=1,2,...,5,令Cjj—4%,+]♦

先取行距为3、列距为1的矩形.

由①，对，=123及/=».,...,5,有=L

由于小cMje{-l,l},所以q+3j=%②，

下面比较第1行与第2行的c值.

对）=1,2,3,4,取第1、5行和第八j+2列.

此时行距为4,列距为2,由①得色儿川）佃#5）=1.

由②知=々，故（%。2,）（。3。2,川）=1③,

令

则由③得"Mx=1,所以4=4=W=4=4•

再取第1、2行和第1、4列.

此时行距为1,列距为3,由①得（。£2。3）（。21%%）=1，即4d24=1.

由于4=&=出且4«-11},所以4=1.

从而5=C2＞（J=I,2,...,5）（4）,

同理，取第2、6行和相距2的两列，再取第2、3行和相距3的两列，可得。2尸。3/（/=1，2，...，5；^,

结合②、④、⑤，可知对于每个/=1，2，.…5,都有“=%=,-=。6」⑥，

当）=1时,由％=1,显然有%=4小.

当”2时，由⑥，由中间因子均成对出现，且成=1,有41%=(%%)(%%)•,•(%》％)=。,&…。但

再由⑥，CilCi2''，Ci,J-l=C\1。12',j~a\j'

两边同乘即,并利用若川，得%=%%/

命题得证.

【分析】(1)性质产的下标约束条件，选取符合要求的四元组代入验证，若存在不满足和为()

的组合则不具有性质乙反之则具有性质匕

(2)由性质产的和约束推导行列符号的等价乘积约束，确定每行1的最大可行数量，结合行

之间的符号交替规律计算总1的个数的上界，构造符合条件的实例证明上界可达.

(3)利用性质P的乘积等价性质，结合如=1的初始条件，先验证差为2的下标组合，再通过

递至推广到所有下标"，完成证明.

【详解】(1)对于A,只有两行，所以行距只能为1.

要满足I行距-列距1=2,列距只能为3.

取第1、2行和第1、4列，四个顶点之和为1+1+(-1)+1=2工0.

所以A不具有性质P.

对于4,行距为1时，列距只能为3；行距为2时，不存在符合条件的列距.

因此，只需检验相邻两行与第1、4列组成的两个矩形.

第1、2行对应的四个顶点之和为1+(-1)+1+(-1)=0.

第2、3行对应的四个顶点之和为1+(-1)+(-1)+1=。.

所以为具有性质儿

(2)设第i行元素之和为

/=1

先考察第1行与第4行.

令Xj=4j+a4J(j=1,2,3,4).

对产1,2,3,第1、4行的行距为3,第八/+1列的列距为1,由性质2得巧+%1=。

因此=一%1，%3=XltX4=-X],从而$+$4=%+巧+七十七=6

同理，考察第2行与第5行，可得％+S5=0・

所以整个数阵所有元素之和为0+Q+邑+1+大=%W4.

设数阵中1的个数为N.

数阵中共有20个数，因此-1的个数为20-N,从而N-(20-N)W4.解得N412.

下面说明12可以达到.

/1-1-1］、

-111-1

取A=1111.

-111-1

J-JL

该数阵中共有12个1.

对于5x4数阵，可能的行距、列距组合只有(1,3),(3,1),(4,2).

当行距、列距为(L3)时，相邻两行第1、4列的四个数之和均为0：

当行距、列距为(3,1)时，第1、4行以及第2、5行对应各列的元素之和均为0；

当行距、列距为(4,2)时，第1、5行与相距2的两列组成的四个数之和也为0.

所以该数阵具有性质乙且1的个数为12.

因此，I的个数最多为12.

(3)略

模拟题汇编

一、单选题

1.(2026•北京顺义三模)已知｛凡｝是公差不为0的等差数列，4=2若%必，4成等比数歹U，

则%=()

A.-20B.-16C.16D.18

【答案】B

【详解】已知｛4｝是公差不为0的等差数列，首项为4=2,设公差为d,

则%=4+(〃-1”=2+(〃-1),/,

q=2+2d、4=2+3d,%=2+5d,

已知％吗,&成等比数列，

则|：2+3c/)2=(2+2d)(2+5d),

展开整理得/+2d=0,解得d=。（舍去）或〃=-2,

:.d=-2t

.,.q（）=q+9d=2+9x（-2）=-16.

,5%+1,凡为奇数

2.（2026•浙江嘉兴•二模）数列｛叫满足4=3,〃用=为，则％=（）

2

A.8B.4C.2D.1

【答案】B

【分析】结合递推公式依次计算即可.

【详解】々2=54+1=5x3+1=16,^=-y=-y=8,

a、8

«=77=7=4•

422

3.（2026・山东烟台・二模）己知｛%｝是等差数列，其公差为4,前〃项和为S”，贝广〃>0”是“数

列设“｝为单调递增数列”的（）

A,充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】D

【详解】若q=-2/=1,满足d>0,此时生=-1<0,S2<S,,不满足数列｛S,J为单调递增数列，

充分性不成立；

若用=19=0,此时S.=〃，满足数列｛，｝为单调递增数列，但d>0不成立，必要性不成立；

所以“>0”是“数列电｝为单调递增数列”的既不充分也不必要条件.

4.（2026•广东东莞•三模）记S”为数列｛4｝的前〃项和，己知4=2,5.=消-1,则为=（）

A.18B.54C.81D.162

【答案】D

【分析】结合前〃项和50与通项巴的关系式求解巴,再根据数列的通项公式求出生.

【详解】由S”=会“-1可得当"N2时，S"_|-1,

两式相减得4,=》-京t，整理得—N2）.

4

又由4=2及52=4+/=5。2-1可得%=6,满足。2=3%.

乙

故，“｝是以2为首项，3为公比的等比数列，通项公式为勺=2-3"」，

代入〃=5得％=2x3,=2x81=162.

5.(2026・天津•模拟预测)已知数列｛q｝的前〃项和为九5n=l-(-2)\则｛㈤｝的前7项和为

()

A.189B.191C.381D.383

【答案】C

【详解】已知5“=1-(-2)”，

当几=1时,4=1-(-2)=3,

当心2时，/=—=2)"士(一2广=3(-2广\

〃=1时，3-(-2)°=3,

••・可=3.(-2广,

邛」=卜.(-2广卜32、故｛同｝是首项为3,公比为2的等比数列，

.,・｛|可|｝的前7项和为:写JI/=3(27-1)=3x127=381.

6.(2026.河南驻马店.模拟预测)己知数列｛叫:4=1，%=3且满足—+4=2~+l(〃Nj

令b—”,则数列［1］的前2026项和为()

M3221^-n迎

・2028•2028c,1013*JOB

【答案】A

【分析】由题意可得4=2,再根据4.2+4=24用+l(〃wNj得到低｝为等差数列，最后利用裂项

相消法即可求解.

【详解】令〃=1,可得4=々-《=2,

由%+2+%=2agi+1("£N+)变形可得an+2-an+l=。向一%+1(〃e2)，

则%-包=l(〃eNj,

所以也｝是以2为首项，1为公差的等差数列，所以d=〃+l(〃wNj,

11_1_____1_

则力％一(〃+1)(〃+2)一〃+1〃+2'

故数歹/_!_，的前2026项和为工一!+!—！+……-----—=1一一—.

[他+J233420272028220282028

7.(2026•重庆•模拟预测)设等差数列｛%｝,｛"｝的前〃项和分别为4，纥，且，=碧，则

-^-+——=()

4+4ob、+bi+bl2

A.B.tC.搀D"

3816192

【答案】C

【详解】因为4+10=2x7,所以％+"=也，

因此力一黑一皆，

力&+402b7“7

因为4+々+%=h+(fi+7d)+也+1Id)=必+18d=3佃+6d)=物，

一..3a,3/CL

因此/…/…八=歹=7，

所以原式化简为菅+A色冷，

而知+%=2《，所以原式为华"，

而因为s*=('"+%"一；)(2"-1)=2%(：-1),所以q=2，

222〃-1

则”吟,伪噜，

A.

代入得，等=2x¥=2x[x去，

后£1311%

13

而已知的需，

设4=也(〃+4),纥=如(3〃-1)(女为非零常数)，4=2x11x(11+4)=1654,

43=^x13x(3x13-1)=494%,

所以普2金165k=2X13X15=390=15

11494Z49449419,

8.(2026・陕西咸阳•二模)已知数列｛q｝的前〃项和为S.,且满足4=2,0向=邑+2,则使得

不等式S,「(q「〃)Nh2”成立的实数2的最大值为()

A.B.gC.1D.1

【答案】B

【分析】根据S“和与例的关系，结合等比数列性质，即可求解得到数列｛q｝本身的通项，表示

S.，代入到原不等式中，通过比较即可求解.

【详解】因为4+7+2,因此当〃22时，4〃=S.T+2,

所以两式相减得，勺+-40=S,,-S,T=%,所以%=24,让2,

当哼1时，生=，+2=2囚，满足递推关系，所以｛q｝的递推公式为。的=2/，

则&｝为首项为2,公比为2的等比数列，通项公式为勺=2",

因此S=2(J2)=2"+-2,

”1-2

代入0「(。“-〃)之-2〃得，2,人2-(2〃-〃)之匕2"，化简得yi+M，

设〃〃)=1+展,则上式等价于左«/(〃),,

所以，“〃+1)-小)=1+下71----1+亍广尹，

当”3时,3-〃>0,+/(〃)单调递增，当〃>3时,/(〃+1)-/(〃)<0,3-〃<0,

/(〃)单调递减，

41)=；,/(2)=1,当〃23时，〃-2>0,所以因此/(〃)的最小值为g,

即上«；,因此女的最大值为:，

故选择B选项.

二、多选题

9.(2026・河南开封•模拟预测)设S“是等差数列｛4｝的前〃项和，若九<0,^<-1,则()

A.d<0B.|勺|中最小值为|蜀

C.当工取得最大值时，〃=8D.使S”>()成立的最大整数〃为14

【答案】ABD

【分析】根据题意，利用等差数列的求和公式和等差数列的性质，求得小+为>。，且出>0,4<0,

结合选项，逐项分析判断，即可求解.

【详解】A,由臬="的产=]5仆<0,可得％<0,

因为F<T，可得%>一%>°，所以d=4/<。，正确;

B,由A分析/+g>。且/<0,所以%>0且同〉同，正确；

C,在等差数列加“｝中，由%>0且6<0,

1<77<7,7：eN*0^,得%>0；当〃28,〃eN*时，得%<0,

所以S“取得最大值时，〃=7,错误；

D,由几=14(%；即)=7(%+4)>0,且几<0,

所以使得5.>。成立的最大整数〃为14,正确.

10.(2026•福建三明•模拟预测)己知数列｛叫满足q+2生+…+2"&=小2”,则()

A.a„=n+\

B.｛〃“｝的前〃项和为曳?

C.[(-1)"q｝的前10()项和为5()

D.｛|q-5|｝的前30项和为357

【答案】ACD

【分析】利用%与S”关系求出%=〃+1,结合等差数列前〃项和公式依次判断选项即可.

【详解】当〃=1时，q=2,

当〃之2时,q+24+•••+2”24_=(〃_1).2"T,

两式相减可得：2"-4=〃2T〃T)-2"T=5+1).2"T,

所以+显然当〃=1时，4满足％,故%=〃+1,故A正确；

由等差数列求和公式知｛q｝的前〃项和为“2；〃+1)=粤J故B错误；

令b'=(-l)Z=(T)"(〃+l),｛0｝的前100项和为:

-2+3-4+5+…-1(X)+101=1x50=50,故C正确；

令ca=|q一5|=|〃一4],所以｛•-5|｝的前30项和为：c,+c24----+^=34-2+1+0+1+2+---+26

=6+27x（0+26）=357,故D正确.

2

11.（2026•山东聊城•模拟预测）已知数列｛&｝的前〃项和为5“吗=1.%+%=2.3"，则下列结论

正确的有（）

A.数列｛〃”｝是等比数列B.$=1639

C.数列上”-53"是等比数列D.5筋=9"-1

【答案】BC

【分析】计算出4，%，%结合等比数列的定义可判断A；分别令〃=2,4.6可判断B；根据等比数

列的定义可判断C；根据C选项写出％的通项，然后利用分组求和即可，或者直接根据递推

公式结合等比数列求和公式可判断D.

【详解】•.•%+4=23,

，当〃=1时，4+4=6.

。q=1,/.a2=5,

当n=2时,4+“2=】8,

二.q=18-5=13.

/4'&，

•••数列｛q｝一定不是等比数列，故A错误；

:%+1+%=2・3",•,・当〃=2时，%+一=18；

当.=4时,a5+a4=162•当〃=6时，a7+a6=1458.

vd,=1,/.S7=1+18+162+1458=1639,故B正确；

,•,见+I+。”=23',

・'•%=2.3"-勺，

3"+i3"+''3n、

•••凡+|一丁=23”一一---an=-an~~.

1

2

3"[1

••数列。「+是首项为公比为-1的等比数列，故C正确;

方法一：由c可知,«=~x(-ir,=tlL,

〃22、,2

30+(-ir

---，

•••邑”=3[(3+32+33+・一+32”)+(-1)+1+(—1)+-・+(—1)+1]=《＞：^^_^=^^'故D错误.

2,,_|

方法二：an+i+。“=2•3”,:.％+的=2・3i,%+/=2•31…,/“-I+02n=2-3,

s32/,",

■­-2„=a]+a2+ay+aA+---+a2n_,+a2n=2-3'+2•3+•­•+2•3)=3：-3,故D错误.

12.(2026•黑龙江•模拟预测)定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新数列，

这洋的操作叫作该数列的一次“美好成长将数列1,4进行“美好成长”，第一次得到数列1,

4,4；第二次得到数列1,4,4,16,4；……,设第〃次“美好成长”后得到的数列为1,…2,…,

公，4,记4=log4(l-x*2•+4),则下列说法正确的是()

A.%=5B.k=T-\

C.%=2%+1D.数列｛〃“｝的通项公式为勺=?

【答案】ABD

【分析】根据给出的新定义数列变化形式，找出数列中左与〃之间的变化关系，列出变化等式，

进而判断选项即可.

【洋解】初始数列：1,4；

第一次成长：1,4,4,乘积”1x4x4=16=42,4=峭4'=2；

第二次成长：1,4,4,16,4,乘积：6=1x4x4x16x4=45,

5

^2=log44=5；故A正确

记〃次“美好成长”后的数列有4项，则%="+”一,即％-1=2色,-1),

又瓦-1=2,所以数列也「1｝是以2为首项和公比的等比数列,

故=2=2"+1,

所以&=勿-1=2"-1,故B正确

因为每次插入的新项为原数列中相邻两项的乘积，

故心=(1•5•G…•4•4)(1•%)(8.真)(一•0)•・(k,X*)(0-4)

故%=log/川=1呜；W=[og4｝log汨=T+3log",=-1+34,

则%+1=3。“-1,故C错误，

由此4出一；=3(勺一；)，

因此数列n-皆为等比数列，首项为4弓=|,公比为3；

故%一;=33"--弓，解得/=\1,故D正确.

三、填空题

13