2025-2026学陕西省榆林高三数学年下学期检测训练试卷（含解析）

2026届高三年级五月检测训练

数学试题

注意事项：

1.本试卷共4页，满分150分，时间120分钟。

2.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上。

3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂

黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。涂写在本试卷上无效。

4.作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效。

5.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试卷不回收。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的。

1.已知复数z满足z(l—i)=-2+i(i是虚数单位)，则复数z为

31.n31.

A.一二一二1B——-1

2222

13.13.

C.----1D---1

2222

2.已知集合A={1,2,3,4,5},B={x|0<log2x<2},则AnB=

A.{1,2}B.{2,3}

C.{1,2,3}D.{2,3,4}

3.甲、乙、丙、丁、戊五名同学排成一排合影留念，其中甲、乙均不能站在最左端，则不同的站法共有

A.12种B.36种C.72种D.96种

4.已知函数/(x)=sin(o)x+；)(o)>0)的图象关于点(巳0)中心对称，则3的最小值为

36

A.lB,2C.3D.4

5.已知双曲线C:x2=l(b>0)的左、右焦点分别为F](-c,0),F2(C,0),C的一条渐近线与直线

l:x=:交于点M,若AMF1F2的面积为无，则C的离心率为

A.2V3B.V3

C.4D,2

6.在平行四边形ABCD中，E是BC边上的点，BC=4EC,F是线段DE的中点，若

AF=AAB+^iAD,则入+p的值为

7.已知函数/(x)=｛|log3x|,03,若函数g(x)=/(x)-m有三个不同的零点，则m的取值范围为

A.I：0,1)B.[0,1)

C.(0,1]D.[0,1]

8.球面上有A,B,C三点，ZABC=60°,AB=BC=6,球心0到平面ABC的距离是2,则球0的

体积是

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有三个正确选项的，每个选项得2分，有

两个正确选项的，每个选项得3分，有选错的得。分.

9.设抛物线E:x2=4y的焦点为F,过点P(0,3)的直线与E相交于A,B两点，且|AF|=2,|BF|=

10,则

A.E的焦点坐标为(0,1)

B.E的准线方程为y=-1

C.|AB|=4^2

D.AAOF的面积为1

1-L

10.已知函数/(x)=Inx+—-3，贝I」

XX

A.函数f(X)的定义域为(0,+8)

Bjg)+/(x)=0

C.函数f(x)在区间(1,+8)上单调递减

D.函数/(X)有两个不同的零点Xi，X2,且X1X2=1

n

11.已知数列｛aj满足ai=l,an+1=4an+3,设｛aj的前n项和为Sn，则下列结论中正确的是

A.a2=7

B.数列｛an+311｝是等比数列

C.数列｛aj中存在最大项

D.数列｛SQ中存在最小项

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.计算：tan23°+tan22°(l+tan23°)=.

13.已知变量x、y满足线性相关关系，经验回归方程为y=0.4x+a月.x=20,y=7.现有一对观测数

据为(30,n),若该数据的残差为0.6,则口=.

14.对于三次函数/(x)=ax?+bx2+ex+d(aH0),给出定义：设/'(x)是函数/'(x)的导函数，/"(x)

是函数/‘(X)的导函数，若方程/”[X)=0有实数解Xo,则称点(XoJ(Xo))为函数/(x)的拐点.研究发现，

任何三次函数/(x)都有拐点，又有对称中心，且拐点就是对称中心.设g(x)=x3-6x2+17,数列｛a"

的通项公式为a11=-2n+11,则23g⑶)=.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(本小题满分13分)

已知△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足a=2,be=2。

2

(1)若sinA=g，求sinBsinC的值；

(2)求角A的最大值，并判断此时△ABC的形状。

16.(本小题满分15分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD_L底面ABCD,底面ABCD为梯形，AB||CD,AB1BC,

AB=2BC=2CD=2VL

(1)证明：BD1平面PAD：

(2)若4PAD为等腰直角三角形，PA=PD,求二面角B-PD-C的余弦值。

17.(本小题满分15分)

已知函数/'(x)=aex-x。

(1)当a=4l寸，求函数f(x)的最小值；

e

(2)若函数f(x)有极小值，记f(X)的极小值为g(a),证明：g(a)<ea-lo

18.(本小题满分17分)

已知椭圆C：4+S=l(a>b>0)的离心率为，，右顶点为N(l,0)o

aDz

(I)求椭圆c的方程;

(2)过点M(L1)的直线1与C交于A,B两点，在线段AB上取异于A,B的点P,且满足

|MA|_|AP|

|MB|一丽。

(i)求证：点P在定直线上；

(ii)设直线NA,NP,NB的斜率分别为ki，k2,k3,求证：kPk2,1<3成等差数列。

19.(本小题满分17分)

某校园社团为分析一款文创产品在学生群体中的受欢迎程度与传播规律，构建如下概率模型：

研究团队选定n名学生进行研究，假设每名学生对该产品的“基础心动度”参数均相同，记为a(0<

a<l)o规则如下：第一天，研究团队从n名学生中随机招募m(l<m<n,且mGN*)名进行初始体

验，每名学生体验后购买的概率为p,且彼此相互独立。从第二天起，每一天每名购买者会推荐未购买者

参与体验，一旦成为购买者，将参与后续的推荐传播，以此类推。

(1)当m=5,p=g时，求第一天结束，初始体验的学生中恰有3名成为购买者的概率；

(2)求第一天结束，m名初始体验的学生中，成为购买者的人数为奇数的概率；

(3)对卜任意一位未购买者，若某大有k(kEN')名购买者尝试向他推荐，则他当大成为购买者的概率

为1一(1-a)t当n=6,m=2,p=g时，求在前两天，学生甲成为购买者的概率(用含a的式子

表示)；基于此模型，简要说明为什么在实际校园场景中，一款产品有时会突然“爆发式”走红。

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数学试题参考答案及评分标准

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1.【参考答案】A

-2+i(—2+i)(l+i)=31

由题意,知Z=1故选A.

1-i(l-i)(l+i)-22

2.【参考答案】B

由log2X>0=log2l,得x>1,由logzx<2=log24,得0Vx<4,所以B={x|l<x<4},

又A={12345},故AnB={2,3}.故选B.

3.【参考答案】C

因为甲、乙均不能站最左端，最左端有3种排法，剩下的位置共4个元素，全排列为A：种，厅以共有

3=72种不同的站法.故选C.

4.【参考答案】D

/(X)=sin(u)x+m)(3>0)的图象关于点像,0)中心对称，所以3+"kn(keZ),即o)=6k—

2(kGZ),所以3的最小值为4.故选D.

5.【参考答案】B

不妨取C的渐近线y=bx,与X=:联立,得点M的坐标为G3),

SAMF1F2=1x2cx=V2,所以b=V2,从而c=V1+2=V3,故离心率为6.故选B.

6.【参考答案】C

因为F是线段DE的中点，所以&'=:(/+£：),又/=晶+辰=豌+。鼠=

所以嘉=：(n+*=所以入=3口="入+口=：+：=4.故选c.

2\/2828288

7.【参考答案】A

解法1：令g(x)=0得f(x)=m.由题意可知函数/(x)的图象与直线y=m有三个交点，由右图可知

0<m<1,故选A.

解法2：当m=0时，g(x)=/(x).令g(x)=0得x=1或x=9,不满足题意，因此排除B、D选项.

当m=1时，g(x)=f(x)-1.

如图，设Oi是AABC外接圆的圆心,则0011平面ABC,因为NABC=60。，

AB=BC=6,所以等边AABC的外接圆的半径O]C=^%=2A/5,所以球0的半径R=

C

-22+(2百/=4,所以球0的体积V=^nR3=空p,故选C.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有三个正确选项的，每个选项得2分，

有两个正确选项的，每个选项得3分，有选错的得0分.

9.

【参考答案】ABD

因为抛物线E的方程为x2=4y,所以p=2,则E的焦点坐标为(0,1),准线方

程为y=-1,选项A,B均正确；

设A(x「yi),8乂,丫2)，则yi=2g=1,y2=10-^=9,

27

得

如可*

X==^

把丫1=1，丫2=9代入x214y1

不妨设A(—2,1),B(6,9),W0|AB|=8V2,选项C错误;

因为八(一2,1),则凶(^的面积品(^=4四忖=卜"2=1,选项D正确.

故选ABD.

1()

【参考答案】BD

A选项，由题意可知x>0且1—X2R0,解得X>0且X¥L函数f(x)的定义域为(O,l)U(l,+

8),A

选项错误：

B选项，fG)+f(x)=ln：+j昔+lnx+?=O,因此B选项正确；

C选项r(x)=2+7Tj>0,函数f(x)在(0,1)和(L+8)上单调递增，因此C选项错误；

D选项，因为/(0)=告<0,f(e2)=^>0,所以存在唯一的x°€(e,e2),使得/(x0)=0.由选

项B可知/(《)=一/Go)=0,5€(**)'因此函数/(x)有两个不同的零点Xi，X2,不妨设

X1=—,X2=X。，则X1X2=1.故选BD.

X。

II.【参考答案】ABD

n

解法1：当n=1时，可得a2=4al+3,又=1,所以a2=7,A正确；因为④什1=4an+3,所

以曳喑二="五黑二=如黑=4,又ai+3=4#0,所以数列｛an+3与是以4为首项，4为

nnn1

an+3an+3an+3i“j

公比的等比数列，B正确；由B选项分析可得an+3n=4-4n-i=4n,所以an=纳一3%所以a^i一

n+1n+1nnnnnn

an=4-3-(4-3)=3-4-2-3>2-4-2-3>0恒成立，所以a^i>an,所以数列

｛aj为单调递增数列，所以｛aj中不存在最大项，C错误；因为数列小口为单调递增数列，所以a】12

a]=1>0,所以对任意n€N",Sn>St=ax=1,D正确，故选ABD.

nn+1nn+1n

解法2：因为an+1=4an+3,所以an+i+3=4an+34-3=4(an+3).又为4-3=

4学0,所以数列｛an+311｝是以4为首项，4为公比的等比数列，所以an+3n=4-451=41所以

nn

an=4-3,所以a2=42-32=7,A,B正确；因为

手=竺泻二=写亨=3+$>1，且4n>3t所以%>0,an+1>an,所以数列日工为

单调递增数列，所以｛an｝中不存在最大项，C错误；因为an>0,所以对任意n6N*,Sn>S1=a[=

1,D正确，故选ABD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.【参考答案】1

tan230+tan22°(l+tan23°)=tan230+tan220+tan23°tan22°,

又tan45°=tan23Fan22。=1=tan23o+tan22°=1-tan23°tan22°,

1-tan23tan22

故tan23°+tan22°(l+tan23°)=tan23°+tan22°+tan23°tan22°=1.

13.【参考答案】11.6

由题意可知，将(20,7)代入i=0.4x+；,得7=0.4x20+；,解得;=一L

所以j=0.4x-l.当x=30时，预测值;=30X0.4—1=11,则n=11+0.6=11.6.故答案

为：116

14.【参考答案】8

解法1：g'(x)=3x2-12x,g"(x)=6x-12,令g"(x)=0得x=2.又因为g(2)=1,所以g(x)

的对称中心为(2,1),g(x)+g(4—x)=2.由于an=-2n+ll,因此数列｛aQ为等差数列，因为+

as=4,所以a2+a7=a34-a6=…=a8+ax=4.设g(aj+g(a2)+…+g(a8)=t,则

g(a8)+g(a7)+…+g(at)=t,两式相加得2x8=2t,解得t=8,因此

Elig®)=8.

解法2：g'(x)=3x2-12x,g"(x)=6x-12,令g"(x)=0得x=2。又因为g(2)=1,所以

g(x)的对称中心为(2,1),g(x)+g(4-x)=2o因为=9,a2=7,a3=5,a4=3,a5=1,

=T，a7=-3,a8=-5,所以g(a。+g(a8)=2,g(a2)+g(a7)=2,g(a3)+g(a6)=2,

g(a。+g(a5)=2,因此，匕g(a)=80

四、解答题：本题共5小题，共“分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.【参考答案】⑴J(2)p等腰直角三角形

b_c

(I)AABC中,由止弦定理得—-二=3,(2分)

sinAsinBsinC

sinB=psinC=p..................................................................................................(4分)

•••sinB-sinC=^=|»..................................................................................................(6分)

（2）AABC中，由余弦定理得

b2+cz-a22bc-a2_2x2-22

cosA>=0,（9分）

2bc2bc-2x2

当且仅当b=c=/时，等号成立，...........................................................

（10分）

（0,71）,.•・A的最大值为今此时不等式等号成立,

（11分）

即a=2,b=c=V2,AABC为等腰直角三角

形。..................................................（13分）

16.【参考答案】⑴证明见解析⑵当

解法1：（1）证明：因为AB||CD,AB1BC,AB=2BC=2CD=2/，所以4BCD=90。，所以

BD=2,乙ABD=45。，所以在AABD中，由余弦定理得人口2=人82+8口2—

2-ABBD-coszABD=4,所以AD=2,所以AD?+BD2=AB2,所以

AD1BD,..................................................................................................（3分）

又因为侧面PADJL底面ABCD,侧面PADC1底面ABCD=AD,BDu底面ABCD,所以BD1平面

PAD。……（7分）

（2）以D为坐标原点，DA,DB所在直线分别为x轴，y轴，过点D且垂直于底面ABCD的直线为z

轴，建立如图空间直角坐标系D-xyz,因为侧面PAD1底面ABCD,所以PW平面xDz,又APAD为

则D(0,0,0),B(0,2,0),C(-1.1,0),P(l,0,l),

所以而=(0,2,0),DP=(1,04)，DC=(-14,0),...........................(9分)

—>

设平面PBD的法向量为n=(x,y,z),则｛n，,二。％”?:0人令x=l，则y=0,z=-l,即

n-DP=0,x+z=U,

n=(1A-1)..................................................................................................(11分)

同理，平面PCD的一个法向量

为m=(1,1,-1),..................................................(13分)

则|cos〈m,n)|=|端|=累亲=三，又二面角B-PD-C为锐角，故其余弦值为

17.

(1)当a=:时，/(x)=iex-x,函数/(x)的定义域为R,f'(x)=................(1

分)

当xV1时f'(x)<0,f(x)单调递减;当x>1时"(x)>0,/(x)单调递

增，.................................(3分)

因此八x)min=/(I)=0・................................................................................................................................(4分)

(2)证法I：函数f(x)的定义域为R,/'(X)=aex-1.....................................

(5分)

当a40时，/<(x)<0,f(x)在R上单调递减，f(x)无极小值，不符合题

意；...............................(6分)

当a>0时，令/'(x)=0,解得x=ln*

当KVIn34，/(X)<0,/(x)单调递减；当x>ln-W/(x)>0,/(x)单调递

aa

增........................(8分)

因此函数f(x)有极小值，极小值为r(ln3=1+Ina,故

g(a)=1+Ina..........................(9分)

令h(a)=ea-1-(1+Ina)=ea-Ina-2,则h'(a)=eah'(a)在(0,+8)上单调递

3

增.............(10分)

因为h'(g)=返一2VO,h'(l)=e-l>0,所以存在唯一的XoEG，l),使得h'(Xo)=O,exo：

—,BPx=—lnx.

沏00

....................................................................................................................................................(12分)

当ae(O,x())时，h'(a)<0,h(a)单调递减;当a€(x(),+8)时,h'(a)>0,h(a)单调递增,

...................(13分)

因此h(a)>h(x)=ex°-lnx-2=—+x-2="°一,)>0,故g(a)<ea-1.

00xo0xo

...........................................(15分)

证法2：函数f(x)的定义域为R,f'(x)=aex-1...........................(5分)

当a40时，<(x)<0,/(x)在R上单调递减，f(x)无极小值，不符合题意；....................

(6分)

当a>0时，令/'(X)=0,解得x=In，.

当xVIn细,<(x)<0,/(x)单调递减；当X>In［时，/'(x)>0,f(x)单调递增.

aa

...............(8分)

因此函数/(x)有极小值，极小值为/(in：)=14-Ina,故g(a)=1+Ina..................(9

分)

由(I)知ex》ex,当且仅当x=l时取等号.............................(10分)

令u(a)=ea-1-g(a)=ea-Ina—2,则u(a)>ea-Ina-2......................(11

分)

PPI—11*1

令m(a)=ea-Ina-2,则m'(a)=—•当0<a<1时，m(a)<0,m(a)单调递减；当a>%

时，m'(a)>0,m(a)单

调递增.因此m(a)>m(B=°，即ea-lna-2>0,当且仅当a=曰寸取等号，................

(14分)

由干等号不能同时取到，因此u(a)>0,即g(a)vea-l.........................(15分)

证法3：函数/'(x)的定义域为R,/'(X)=aex-1.........................(5分)

当a40时，/'(X)<0,/(x)在R上单调递减，f(x)无极小值，不符合题意；....................

(6分)

当a>0时，令/'(X)=0,解得x=ln*

当xVIn与时，/(X)<0,/(x)单调递减；当x>In芍寸，/'(x)>0,/(x)单调递增.

a3

.............(8分)

因此函数/(x)有极小值，极小值为f(lng)=1+Ina,故g(a)=l+lna..................(9

分)

要证g(a)Vea-l,即证(e，-a—1)+(a-1-Ina)>0........................(II分)

令h(x)=ex—x—1,则h'(x)=ex—1.当xV0时，h(x)<0,h(x)单调递减：当x〉0时,

h'(x)>0,h(x)单调递增.因此

h(x)>h(0)=0,当且仅当x=0时取等号.故h(a)>0,即ea-a-1>0,..............

(13分)

h(lna)>0,即a—l—lna>0,当且仅当a=1时取等号，..........................：14分)

因此(ea-a-l)+(a-l-Ina)>0,原不等式成立.............................(15分)

证法4：函数/(x)的定义域为R,/'(x)=ae'_1.........................(5分)

当a40时，/(x)<0,/(x)在R上单调递减，/(x)无极小值，不符合题意；....................

(6分)

当a>0时，令/'(X)=0,解得x=In，.

当xVIn4寸，/(x)<0,f(x)单调递减；当x>ln4寸，fix)>0,f(x)单调递增.

3a

...............(8分)

因此函数f(x)有极小值极小值为/'(inJ=14-Ina,故g(a)=1+Ina.

分)

令h(x)=ex-x-1,则h'(x)=ex-1.当xV0时，h(x)<0,h(x)单调递减;当x>0时,

h'(x)>0,h(x)单调递增.因此

h(x)>h(0)=0,当且仅当x=0时取等号.故h(a)>0,即屋-a-1>0................

(11分)

令u(a)=ea—1—g(a)=ea-Ina—2,则u(a)>a4-1-Ina—2=a—Ina—1.

(12分)

令m(a)=a—Ina—1,则m'(a)=当0VaV1时，m'(a)<0,m(a)单调递减；当a>1

时,m'(a)>0,m(a)单调递

增.因此m(a)>m(l)=0,BPa-l-lna>0,当且仅当a=1时取等号,

.....................(14分)

因此u(a)>0,即g(a)<ea-1。.....................................(15分)

18.【参考答案】

(1)由题意可知，b=1,-=v*...............................(2分)

a2

又a2-c2=b2,所以a2-[a2=l,解得a=2(a=-2舍去)，

..............................(3分)

所以椭圆C的方程为：=+x2=1。.........................................(4分)

4

(2)证明：(i)由题意直线1的斜率存在，设直线1的方程为y-1=k(x-1),

不妨设A(X],yD，B(x2,y2)»P(x,y),且一lWXiVxzVL..........................(5

分)

y-1=k(x—1)

由｛y2x2_1,可得(4+k2)x2—(2k2—2k)x+k2-2k—3=0,

2k2-2k

依题意222所以

A=(2k-2k)2-4(4+k)(k-2k-3)=32k+48>0,4-x2=4-k2'

k2-2k-3

XG2=（7分）

22

又|MA|=|Vk+l|xt-1|=Vk4-1(1—Xi),

T

同理|MB|=—X2),|BP|=Vk+7(x2-x),|AP|=4=T(x-xi),

♦(9分)

I心=空1得上u=±ux

,化简得2X1X2一(i+x2)=(xi+x2-2)x,

|MB||BP|l-x2x2-x

口一一rk2-2k-32k2-2k2k2—2kr、ihVE/日i-4x+3

所以2x-^-4b-2)x,整理得k==

（11分）

代入y-1=k(x-1),并化简得4x+y-4=0,

所以点P在直线4x+y-4=0±.o..............................................................................(12分)

(ii)依题意ki=力,1<2=~^7，1<3=>°............................................................(13分)

A1JV—1JYc—1

由（i）易知k2=£=-4（点N,P都在直线4x+y-4=0上），

.......................................................（14分）

.,.yi,yzyi(x2-i)+y2(xi-i)

ki+k3=-------+--------=—7--------

X1—(X1—

1X2-11)(X2-1)

_的一l)(kxi+1-k)+(X1-1)(%+1-k)

(X1-1)(X2-1)

_2kX]