2025-2026学年高一数学下学期第三次月考卷02（（人教A版））解析版

高一数学下学期第三次月考卷02（人教A版）

全解全析

（考试时间：120分钟，分值：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：人教A版（2019）必修第二册第六章〜第八章。

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1.（25-26高一下•福建龙岩•期中）已知复数z满足zi=-3+4i（i为虚数单位），则z的虚部

为（）

A.3B.-4C.-3D.4

【答案】A

【详解】zi=-3+4i=>zi(-i)=(-3+4i)(-i),故z=3i+4,故虚部3.

2.（25-26高一下•北京丰台•期中）如图所示，观察四个几何体，下列选项中，错误的是

D.④是棱柱

【答案】A

【详解】图①不是由棱锥截到的，所以①不是楼台;

图②上、下两个面不平行，所以②不是圆台；

图③是棱锥.

1/16

图④前、后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以⑷

是棱柱.

3.(25・26高一下•吉林•月考)己知a,b,。是空间中的三条直线，下列说法中错误的是

()

A.若a"b,b//ct则

B.若〃与人垂直，6与c垂直，则〃与c•可能相交、平行或异面

C.若a,。分别在两个相交平面内，则这两条直线可能平行、相交或异面

D.若。与c相交，Z?与c异面，则。与6异面

【答案】D

【详解】对于A,由平行的传递性知A正确：

对于B,如图①，在正方体力灰481GA中,

当力。48J,44时，4。与44］相交;

当ADJ.AB,48J_BC时，AD//BC；

当4DJ.4B,481CG时，与CG异面;

所以由"13,人1c可得。与c可能相交、平行或异面，故B正确;

对于C,若a,b分别在两个相交平面内，如图所示,

可知这两条直线可能平行、相交或异面，故C正确;

对于D,如图①，在正方体力〃co—44cA中,

力4与4c相交，G。与8c异面，此时力4与JA平行;

2/16

⑷5与AC相交，力4与8C异面，此时4?与力4相交;

与4c相交，DD］与BC异面,此时与。2异面；

所以。与c相交，6与c异面，则。与b可能相交、平行或异面，故D错误.

4.(25-26高一下•陕西宝鸡•月考)已知点4-2,-3),8(2,1),C(O,I),则下列结论正确的是

()

A.A,B,C三点共线B.~ABLJC

C.△/8C为等腰三角形D.为钝角三角形

【答案】D

【详解】方=(4,4),第二(-2,0),，刀工九比，/./I,C三点不共线，故选项A错误；

前灰=-8/0，则刀，灰不成立，故选项B错误：

而二(2,0),CA-(-2,-4),则而.声=-4<0，所以。是钝角，故选项D正确；

v|^|=A/42+42=4V2,p|=>/4+0=2,|C4=42?+42=2后,因三边长度均不相等，

48,C不是等腰三角形的顶点，故选项C错误.

故选：D.

5.(新情境)(25-26高一下•四川成都・期中)如图，一张残损的纸条上写着：“在△力中,

”=7,JC=8,(隐约可见数字，6D,满足条件的△48C有两个，”则残损处可能

是()

在△力3。中，AB=1,XC=8，16

满足条件的△力6CW两个。

A.BC=6B.A=60°C.8=60。D.C=60°

【答案】D

【详解】选项A,当8C=6时，此时三角形△48C的三边确定，此时三角形唯一，不符合

题意.

选项B,当4=60时，在。中，由余弦定理：

BC2=AC2+z452-2/1C-J5cosJ=82+72-2x7x8cos60=57,

所以占。=后，此时三角形唯一，不符合题意.

3/16

对JC,当5=60°时，设8C=X,在△力中，由余弦定理：COSB=BC2+AB2~AC2,

2BCAB

即■!■=3+72—82,整理得42一7%一15=0,解得％=7+啊或x=7-阿<0

22x7x22

此时三角形唯一，不符合题意.

对于D,当C=60,时，设3C=x,在△ABC中，由余弦定理：cosC二对+心―2,

2BCAC

即J/+8T,整理得、2-以+15—0,解得x=3或x=5.

22x8x

经检验8c=3和8。=5均可以构成三角形，满足条件.

6.（新文化）（25-26高二上•广东肇庆•期中）《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧

棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.阳马尸-44。中，若尸。_L平面如火?。，且

PD=CD=2AD=2,则异面直线PC与8。所成角的余弦值为（）

D.孚

5

【答案】C

【详解】由题意，将尸补全为如下图所示的长方体，且PE//BD.

所以异面直线PC与所成角，即为尸CPE所成角乙。PE,

由PD=CQ=2/O=2,N\PC=2Q,PE=CE=>5,

PC2+PE2-CE28+5-5VlO

所以cos/C尸石二

2PCPE2x272x75~5

4/16

所以异面直线尸。与8。所成.角的余弦值为我.

5

故选：C

7.（25-26高一下•安徽阜阳•期中）已知单位向最涓的夹角为方，则，eR时铲动|

的最小值为（）

A.YB.且C.1D.-

224

【答案】C

【详解】由题设得罕4=以1'（^^二不，

所以h一（1_2目『二|（1-居+2后（=（lT）2+4/（lT）xg+4/=3J+]Nl,

当f=0时，,T修-2码取得最小值1.

8.（25-26高一上•湖南邵阳・期末）已知底面半径为1,轴截面为正三角形的圆锥体内放一棱

长为小的正四面体，若正四面体可以在圆锥体内任意转动，则正数州的最大值是（）

A.—B.—C.y/2D.

333

【答案】B

【分析】当正四面体的外接球为圆锥的内切球时，加的值最大，根据已知条件求出两个球的

半径，解不等式即可.

【详解】当正四面体的外接球为圆锥的内切球时，加的值最大.

因为圆锥的底面半径为1,轴截面为正三角形，所以正三角形的边长为2,

如图（一），圆锥轴截面内切圆的半径即为圆锥内切球的半径，〃=£lsin3（）o=且，即内

33

切球的半径为史.

3

因为正四面体的边长为阳，则补全为正方体时其棱长为/，如图（二）所示，

5/16

所以正四面体的外接球半径火='，限应=华4走，所以“4士叵，

2、22&33

故选：B.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.（25-26高二下•云南昭通•开学考试）下列结论正确的是（）

A.若复数N满足14=2,则2=划

B.若复数3+i与-2+4i在复平面内分别对应向量方与丽，则向量而对应的复数为

-5+3i

C.若复数z在复平面内对应的点为Z（2,-l）,则复数£在复平面内对应的点在第一象

限

D.若复数z满足2引z区3,则复数z在复平面内对应的点所构成的图形的面积为5兀

【答案】BCD

【详解】对于A,z=±2也满足忖=2,A错误.

对FB,因为以=（3,1）,砺=（-2,4）,所以方=（-5,3）,B正确.

J（，Z”二对应的点为Z（2=1）,则复数£对应的点为（2,1）,该点在第一象限，C正确.

对于D,更数n对应的点构成的图形为圆环，它的面枳为兀（3?-22）=5兀，D正确.

10.（25-26高一下•河南许昌•期中）在△力8c中，AB=3,AC=4,NB4C=：，点D为边

2

8C上一动点，则（）

A.BC=5

12

B.当力。为边8C上的高线时，AD=—

C.当4。为边8c上的中线时，AD=^

12

D.当力。为/助。的平分线时，AD=—

【答案】ABC

【详解】A：根据勾股定理3。2=/外+4。2,

将48=3,4C=4代入可得802=32+4?=25，所以4。=5,A对；

6/16

B：根据三角形面积公式=

1112

代入得二x3x4=^x5xXO,解得力。=一,B对；

225

C：因为直角三角形斜边二的中线等于斜边的一半，3c=5,所以=C对:

D：因为力。为次C的平分线，所以如。=/。。弋,

由S“BC=S4D+S&ACD»n]*^—x3x4=—x3xJDxsin-4■-x4x/IDxsin—

AB22424

即6=g/lQx（3+4）x孝，解得力。=苧，D错.

11.（25-26高一下•浙江•期中）如图，彳。为圆锥SO底面圆。的直径，点4是圆O上异于

A,C的动点，SO=OC=2,则下列结论正确的是（）

A.圆锥SO的表面积为（4+4&）兀

B.圆锥SO的外接球体积是一

C.圆锥SO的内切球半径为近-1

D.若AB=BC,七为线段45上的动点，则SE+CE的最小值为2+2JJ

【答案】ABD

【分析】A求出底面积和侧面积相加即可；B求出外接球半径即可；C根据体积公式可得:

D展开共线时最短；

【详解】根据题意可得底面半径和母线的长分别为r=2,1=2五、

所以侧面积为用”=%x2、2行=4缶，底面积为也「=xx2?=4兀，

所以圆锥S。的表面积为（4+4&）兀，故A对；

设外接球的半径为氏，球心到圆锥底面的距离为do

由于圆锥的高SO=2,底面半径〃=2,

所以尸=屋+/，代入d=R-2得

7/16

R2=&2-4A+4+4n0=-4R+8=4R=8=R=2,

44X）

所以尸=3万/?3=5乃x2'=子7r，故B正确；

圆锥的体积P=；xm二x/?=gx/rx2,x2=-^,V=；xSx/%,「.日=；x（4+4&）;rx〃,

,r-8_2_2（72-1）_2（V2-1）

・八4+4应,+&一（出+1雁_|）一2-1-2、2,故C错误;

由4B=8C,E为线段48上的动点，乙48。=90°〃。=4得/18=8。=2近，

又SA=SB=2&，所以△S48为等边三角形，则NSA4=60，

将AS/IB以AB为轴旋转到与△U8共面，得到qAB,

所以迄/出为等边三角形，则比1=60',

则(S£+CEL=SC,

因为S/=AC=2&,NS|BC=ZS,BA+NABC=150：

2222

S1C=S15+5C-2XS1^XBCXCOS150°=8+8+8>/3=(273+2),

则（跖+以*“=£0=2（石+1）,故口正确

第二部分（非选择题共92分）

三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。

4+3i

I2.（25.26高一下•山西晋中•期中）己知复数2=y，其中i为虚数单位，则z+*

【答案】1

■一.4+3i(4+3i)(l+i)4+7i+3i217i_,17i”

【详解】z=H=l0M=F^=5+E，所以八5-丁所以z+-L

13.（25-26高一下•浙江•期中）如图测量河对岸的塔高时，选择与塔底8在同•水平面

8/16

内的两个测点。与现测得N8CQ=75。，Z5DC=60°,CO=20,并在点。测得塔顶力

的仰角为60。，则塔高力4为,

【答案】30立米

【详解】在△8。。中，ZCBD=180°-75°-60°=45°,

nn

由正弦定理得三*=3，

sin60sin45

解得8c=10x^(m),

在RtAJBC中，AB=BCtan^ACB=1Ox/6x73=3072（m）.

14.（新题型）（25-26高二上•四川成都・期中）如图，正方体A8C。-力£G2的棱长为4,

点E、产分别为棱4G、的中点，点G为线段4。上的一个动点，则/_由7=

;直线/G与平面力。。4所成角为g，则sin9的最大值为

【分析】根据4。〃平面BCC禺可知G到平面BCCA的距离为4，计算%®:%附即可;

取线段44的中点“，可知化简sin夕求AG最小值即可.

【详解】因平面力。〃4〃平面夙彳九4。u平面4DD4,则Afi//平面BCC.B,,

则G到平面8CC声的距离为4,

9/16

因点石、尸分别为棱片£、8片的中点，则4£=87=2,

则SAMM=；BRBF=；X2X2=2,

1Q

八则.匕O？|-EtrFUG=VOG-cFrFOB|=一3X4X2=3—、：

取线段的中点”，易知产，i平面力。44,

则直线FG与平面力所成角o=/FGH,

在等腰直角三角形44。中，当〃G_L4。时，匕最短,

此时〃G=力4"二

故Sin。的最大值为

四、解答题：本题共5小迓，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)(25-26高一下•江苏南京•期中)如图，在菱形中,

BE=2EC,CF=2FD.

(l)^EF=xAB+yAD,求盯的值；

(2)若44=3,/84。=60。，求灰.而的值.

29

【答案】(1)一W；(2)-彳

vZ

10/16

【详解】⑴EF=EC+CF=-BC+^CD=-jAS+-/D,------------------------3分

_______212

因而，通不共线,t&x=--,y=-,故肛=一§.---------------------------------6分

__..一2__•2

（2）荏=而+砺=益+5前=存+5而-----------------------------------9分

故衣历「在+|利•卜：方+g到

2一22-21-------22119

=一一AB+-AD一一ABAD=一一x9+-x9一一x3x3x-=——,--------------------13分

39939922

16.（15分）（25-26高一下•吉林・期中）在△力8c中，sinJsin5+cos2A=sin2B+cos2C.

（1）求角C的大小；

Q）若AB=币，△04。的面积为毡，求△〃?（?的周长.

2

【答案】（1）9;（2）5+4

【详解】（1）解：在△/8C中，设内角/、8、C的对边分别为〃、b、C,

因为sin4sin8+cos?A=sin25+cos2C»即sinJsinB+l-sin2A=sin2B+l-sin2C，

由题意得：sinzlsinB-sin2A=sin2i?-sin2C----------------------------------2分

由正弦定理得M-/=〃_C2,即/+/一。2=必，-----------------------------乙分

所以，cosC=—+Z?"-C--=—=-,又因为。©（。，万），所以，C=f..............6分

2ab2ab2'’3

（2）解：AB=4i=c,代入。力一。2=从一。2,则7=/+从一"b,

即（a+b）2-3而=7,...................................................9分

因为S"8C《“加由八日"二?^，所以，ab=6,-------------------------------12分

贝1」（。+〃）2-18=7,可得。+6=5,-------------------------------------------14分

因此，△“6C的周长为〃+b+c=5+近.-----------------------------------------：5分

17.（15分）（23-24高一下•四川广安•月考）如图,在四棱锥尸-（5CO中,AD//BC,

ADVDC,8C=CD=；4D=1,E为棱力。的中点，P/_L平面48CQ.

11/16

p

(2)求证：平面P力8,平面尸30；

(3)若二面角P-CD-A的大小为45°,求四棱锥尸-48CO体积.

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)1

【详解】(1)因为8C//4E且8c=力a所以四边形8CE4为平行四边形，则48/7EC,-2分

乂AB(Z平面PCE,ECu平面PCE,

所以48〃平面尸CE；-=--------------------------------------------4分

(2)由产4_L平面/BCO,4。u平面力8c。，得P4LBD,连接

由BC//DE且BC=DE,

所以四边形BCDE为平行四边形，又DE1CD,BC=CD=1,

所以平行四边形5CDE为正方形，所以8。1EC,-------------------------------6分

又ABHEC,所以8Q_Z4B,-------------------------------------------------7分

乂PAC4B=A,PA、48(=平面"8,

所以8。_£平面048,由8Ou平面080,

所以平面P8Z)_L平面PAB:..................................9分

(3)由41.平面/8C。，CQu平面48CQ,所以产力ICO,

又CZ)_L力。,404。=4尸44Ou平面尸力。，

所以《。，平面产力。，又PQu平面尸40.所以CO1P。，---------------------11分

故NPD4为二面角尸一8-4的平面角，即NPZM=4S，-------------------------13分

在Rt△尸为O中，PA=4D=2,则/“8S=.X2X(I±2)11=].............................................15分

12/16

18.(17分)(25-26高一下•江苏南京期中)在△45C中，角4B,C的对边分别为a,b,

c.且满足b=2a-2ecos8.

(1)求角。的大小：

(2)若△/AC的面积S=4月，内切圆的半径为/・=苧，求c；

(3)若/力。的平分线交力4于。，且CO=4,求的面枳S的最小值.

【答案】(l)C=g;(2)c=4；(3)心巨.

33

【分析】(1)由题设结合正弦定理边角互化可得答案：

(2)由Si8c=46,可得必=16,由S“8c=；(〃+力+。)〃，可得a+b=12—c,然后由

余弦定理可得答案；

(3)由S-guS-e+SMe结合。。=4可得〃+/)=正如，然后由基本不等式可得答案.

4

【详解】(1)因为b=2a-2ccos8,由止弦定理边角互化，可得：

sin5=2sinJ-2sinCcos5=2sin(C+5)-2sinCcos^=2cosCsin5,-----------------------2分

又sin8>0,则1=2cosC=cosC=-=>C=-；------------------------------------------4分

23

(2)S3=—abs\r\C=46=>ab=16,----------------------------------------------6分

4/loc2

又S“BC=^(^+b+c)r=>a+b+c=\2=>a+b=\2-c,-------------------------------------------8分

由余弦定理：c2=a2+b2-labcosC=(a+b)~-3ab,

所以cP=(12-c)2—48=144—24c-48=0=c=4：-------------------------------------------------10分

(3)由题可得/4CO=N8CO=四,

6

则S,*=S心+S=-C/1-CDsinAACD+,C8•CQsin乙BCD

a/foCAACDABCD?2

」。•C8sinNBCAa+b=—ab------------------------------------------------------------13分

24

>2\[ab=>yfab2-4==>ab,

由基本不等式，—ab=a+b15分

4出3

则5皿=-absin-=Bab>幽，当且仅当a=b='巨时取等号.------17分

"改23433

19.(17分)(24・25高一下•山东泰安・期末)在△相，中，/比1C=45°,AB=4五,

4c=4,/是边8c上的动点(不与8,C重合)，过点尸作力。的平行线交于点E,将

13/16

△8£6沿切折起，点8折起后的位置记为P,得到四棱锥尸-力。心，如图所示.

（1）证明：力。〃平面尸£7-

（2）若尸为8c中点，且平面平面/C刊?，求二面角P-EC-尸的余弦值；

（3）若。为力。中点，是否存在点产，P,使得9_L/E,若存在，求Cb的取值范围；若不

存在，请说明理由.

【答案】（1）证明见解析；（2）立；（3）存在：CM=2

3

【分析】（1）利用线面平行的判定定理讦明即可：

（2）利用余弦定理8C,结合题意求出6='，然后找角：方法1,作尸O_LEC于。，

连接。尸，则OP在平面4。1的射影为。尸，利用已知条件证明置，。尸，CELOF,则

NPOF为二面角P-EC-尸的平面角：

方法2：取CE中点为。，连09，OP,则OF人CE,OP上CE,则NP。尸为二面角P-EC-F

的平面角，然后求出二面角P-EC-尸的余弦值即可；

（3）先证明平面PFCJ■平面XC产E,过尸作尸MJ.C尸卜"，利用已知条件确定点”的位

置.，结合已知所给条件画出平面图分析求出即可.

【详解】（1）由题意知后「〃/C，又E/u平面尸EE,/ICC平面PE尸

所以彳C//平面尸防-------------------------------------------------------3分

（2）在△/15C中，由余弦定理

BC1=AB2+AC2-2ABxACcosABAC

=32+l6-2x4V2x4x—

2

=16

:.BC=4,AC1+BC2=AB1,

:.AC1BC,乙4BC=45。

•••在翻折过程中，EFlPF,EFLCF

NPA?为二面角P—Eb—C的平面角

14/16

平面9尸!平面ACFE,

/.ZPFC=90°,PF±FC

又PF工EF,且EF,"U平面力C尸E,EFcFC=F

一.Ph平面力CFE

,••尸为BC中点,ACF=PF=2--------------