高一数学 第一课时 平面与平面垂直的判定

8.6.3平面与平面垂直

第一课时平面与平面垂直的判定

课标要求1.理解二面角的有关概念，会作二面角的平面角，能求简单二面角的

平面角的大小.2.借助长方体，通过直观感知，归纳出平面与平面垂直的判定定理,

并加以证明.3.会应用平面与平面垂直的判定定理注明平面与平面垂直.

【引入】观察任何一个长方体，可以发现长方体的任何两个相邻的面都给我们以

相互垂直的形象.我们知道，两条直线互相垂直，是说它们的夹角是直角，一条直

线与一个平面相互垂直，那么线面角为直角.由此可以猜测，两个平面相互垂直,

那么这两个平面的夹角也应该是直角.

一、二面角

探究1如图，在日常生活中，我们常说“把门开大一些”.

(1)“把门开大一些”是指哪个角大一些？

提示门所在的平面与墙所在的平面形成的角大一些.

(2)用图中的ZAOB能刻画门与墙所成角的大小吗？

提示能.

【知识梳理】

1.二面角的概念

|半平面：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常

概称为半平面.

念从一条直线出发的两个生土面所组成的图形叫做二面角，这条

直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面

图

示

1

棱为/，面分别为G,4的二面箱记为纥上£.如图所示，也可在

记

a，夕内（棱以外的半平面部分）分别取点P,Q，将这个二面角记

法

作二面角PT-O

2.二面角的平面儿的概念

在二面角。一/一夕的棱/上任取一点0,以点。为垂足，在

文字半平面。和夕内分别作垂直于棱/的射线0A和0B,则射

线0A和0B构成的NA0B叫做二面角的平面角

un

图示

平

面

0AQ,OB}«n/?=/,0日,OAL,OB11ZAOB

角符号

是二面角的平面角

范围()OWNAO8W18()。

二面角的大小可以用它的平面角来度量,二面角的平面角是

规定多少度，就说这个二面角是多少度.平面角是直鱼的二面角

叫做直二面角

温馨提示二面角的平面角的定义是两条“射线”的夹角，不是两条直线的夹角，

因此，二面角的取值范围是（）°W〃W180。.

例1如图所示，已知三棱锥A—8CD的各棱长均为2,求二面角A—C。一。的平

面角的余弦值.

解如图，取的中点M,连接AM,BM,

A

则AM_LC。，BM上CD.

由二面角的定义可知NAMB为二面角A—CO—B的平面角.

设点H是△BCD的中心,连接AH,

则A”_L平面BCQ,且点方在线段上.

在RtZkAM/7中，AM=^X2=#,

乙

HM=^X2x1=^,

JJJ

HM卓।

则co*/AMB=^=^=g,

即所求二面角的平面角的余弦值为去

思维升华求二面角的平面角的大小的步骤：

(1)作：作出平面角，一般在交线上找一特殊点，分别在两个半平面内向交线作垂

线.

(2)证：证明所作的角满足定义，并指出二面角的平面向.

(3)求：将作出的角放到三角形中，利用解三角形求出角的大小.

(4)结论.

训练1如图，已知四边形A8CO是正方形，以，平面ABCD

(1)二面角B-PA-D的平面角的大小为

(2)二面角区一雨一。的平面角的大小为.

答案(1)90。(2)45°

解析（1）：%_L平面48CO,48,AD平面ABCQ,

：.ABA-PAfADVPA,

・・・NBAD为二面角8一%一。的平面角.

又由题意知N84O=90。，

・•・二面角B一办一。的平面角的大小为90°.

(2)'.•%J_平面ABCQ,A&AC平面A8CZ),

：.AB1.PA7ACLPA,

・・・/84。为二面角B—以一C的平面角.

又四边形ABC。为正方形，

・・・N84C=45。，

故二面角8一以一。的平面角的大小是45。.

二、平面与平面垂直的定义与判定定理

探究2建筑工人在砌墙时，泥水匠为了保证墙面与地面垂直，常常在较高处固定

一条端点系有铅锤的线，再沿着该线砌墙，如图，这样就能保证墙面与地面垂直.

(1)由上述可知当直线与平面垂直时，过此直线可作无数个平面，那么这些平面与

已知平面有何关系？

⑵若要判断两平面是否垂直，根据上述问题能否得出一个方法？

提示(1)垂直.

(2)可以，只需在一平面内找一直线垂直于另一平面即可.

【知识梳理】

1.平面与平面垂直

(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面鱼，就说这两

个平面互相垂直.平面。与平面//垂直，记作：皿.

(2)画法：如图，画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的

一组边画成垂直.

2.两平面垂直的判定定理

自然语言图形语言符号语言

如果一个平面过另一个平面〃ua,al.£=

一1

的垂线，那么这两个平面垂直。_1_£

温馨提示判定定理的关键词是“过另一平面的垂线”，所以应用的关键是在平

面内寻找另一个面的垂线.

例2（链接教材P158例7）如图所示，在K方体AbCO-AibiCiOi中,A6=AO=1,

AAi=2tM是棱CG的中点.证明：平面平面

证明由长方体的性质可知AWi_L平面

又.BM平面BCCiB,所以

又CG=2,M为CG的中点，

所以CiM=CM=l.

在中，BiM=qBiG+MG=®

同理BM=7BC?+CM2=®

又88=2,所以8|知2+8M2=3山2,从而8MJ_8M.

又451nBM=3i,AIBI,B\M平面AIHIM,

所以8M_L平面

因为3M平面A3M,

所以平面平面A\B\M.

思维升华1.证明面面垂直主要有两种方法：

（1）面面垂直的定义，（2）面面垂直的判定定理.

2.利用面面垂直的判定定理：要证面面垂直，只需证线面垂直，即在其中一个平

面内寻找一条直线与另一个平面垂直.这是证明面面垂直的常用方法，其基本步骤:

（定4路卜分析题意,根据题H条件选择证明哪个平

面的垂线

（汕线向H恰'［选择方法证明纹面垂直

（证向向H根据血血垂直的判定定理证明］

训练2如图，在三棱锥A-8CO中，点E,“分别为AC,A。的中点，AO_LC。,

BA=8D.求证：平面EF8_L平面ABD.

证明在△ACO中，因为区尸分别是AC,AO的中点，所以EF〃CD,

又A3_LC。，所以E/LAD,

因为在△AB。中，BA=BD,/为4。的中点，所以

因为EF平面EFB,BF平面EFB,

且所以AO_L平面EM,

因为A。平面ABD,所以平面EFB_L平面4BD

三、平面与平面垂直条件的探求

例3（链接教材PI65T21）如图，在四棱锥P-4BCD中，底面ABC。为菱形，N84。

=60。，侧面△以。为等边三角形.

⑴求证:ADLPBx

⑵若E为6c1边上的中点，能否在棱尸C上找到一点尸，使平面。M_L平面A6C。?

并证明你的结论.

⑴证明设G为AO的中点，连接PG,BG,如图.

因为△办。为等边三角形，所以尸G_LAD

在菱形ABC。中，ND4B=60。，

G为4。的中点，所以BGJ_AD

又因为BGCPG=G,BG,PG平面PGB,

所以AO_L平面PGB,

因为08平面PGB,所以AO_L尸及

⑵解当尸为PC的中点时，满足平面。平面A8CD

证明如下：

如图，设b为PC的中点，连接OF,EF,DE,

则在△PBC中，EF//PB,从而EF〃平面PGB.

在菱形A8c。中，GB〃DE,

从而。石〃平面PGB,

而EF平面OEF,DE平面。EEEFC\DE=E,

所以平面。石尸〃平面PGB.

由(1),得AOJ_平面PGB,而AQ平面ABC。，所以平面PGBJ_平面ABC。，

所以平面。所_1_平面ABCD.

思维升华根据条件，找特殊点的位置，然后利用面面垂直的判定定理证明面面

垂直.

训练3如图所示，在四棱锥P-ABC。中，底面ABCQ,且底面各边都相等，

M是PC上的一动点，当点M满足______时，平面平面尸CD(只要填写一

个你认为是正确的条件即可)

答案3M_LPC（或BMLPC等）

解析连接AC,由题意得8D_LAC,

;弘，平面45c。，30u平面A3CD,

：.PALBD.

又阳门AC=A,

・・・BQJ_平面PAC,

：.BD±PC.

：.当OM_LPC（或BA/1P0时，即有PC_L平面MBD,而PCu平面PCD,

・•・平面MBO_L平面PCD.

【课堂达标】

1.在二面角a-1-p的棱/上任取一点0,若乙4。8是二面角a-1-p的平面角，

则必须具有的条件是（）

A.A0_l_80,AOa,BOp

B.A0J_/,BOA-l

CABLLAOa,BOp

D.A0.LLBOL,且40a,BOp

答案D

解析由二面角的平面角定义，应满足的条件为D项.

2.已知LLa,则过/与以垂直的平面（）

A.有1个B.有2个

C.有无数个D.不存在

答案C

解析由面面垂直的判定定理知，凡过/的平面都垂直于平面a,这样的平面有

无数个.

3.对于直线/〃，〃和平面a,B，能得出a_L/?的一个条件是（）

A."7_L〃，m//a,n//P

aC°=m,na

C.m〃n,nl。,ma

D.M〃〃，mA-a,nA.fi

答案C

解析m//n,mYp,又加a,

由面面垂直的判定定理得。_L£.

4.在正方体A5CD—Ai5iCi。中，截面A1O与底面A4C。所成的二面角A\~BD

一4的平面角的正切值为.

答案也

解析如图，连接AC交B。于点。,

连接40,A\C.

由题可知A4i_L平面ABCDf

因为3。平面ABC。，所以A4J_3D

因为底面ABC。为正方形，所以ACJ_8D

又AAiGAC=4,所以BQ_L平面44C.

因为A0平面4AC,AiO平面4AC,

所以8QJ_A0,BDA.A\O,

所以N40A即为二面角Ai-BD-A的平面角.

在RtZ\40A中，设A4=〃，则A0=*n,

AA\a

所以tanN404=而二正=啦.

2°

------------------------课时精练----------

一、基础巩固

1.直线/_!_平面a,/平面尸，则。与夕的位置关系是（）

A.平行B.可能重合

C.垂直D.相交不垂直

答案C

解析由面面垂直的判定定理，得。与夕垂直.

2.（多选）下列命题正确的是（）

A.两个相交平面组成的图形叫做二面角

B.异面直线〃，〃分别和一个二面角的两个面垂直，则4,〃所成的角与这个二面

角的平面角相等或互补

C.二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角

D.二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系

答案BD

解析由二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，

所以A不对，实质上它共有四个二面角；

由4,〃分别垂直于两个面，则4,〃都垂直于二面角的棱，故B正确；

C中所作的射线不一定垂直于二面角的棱，故C不对；

由定义知D正确.

3.自二面角内任意一点分别向两个面引垂线，则两垂线所成的角与二面角的平面

角的关系是（）

A.相等B.互补

C.互余D.相等或互补

答案D

解析如图，A为二面角。一/一万内任意一点，AB-La,AC-Lfi,

过8作8。_!_/于。，连接C。，

则N8DC为二面角a—/一4的平面角，

乙48Q=NACO=90。，

N84C为两条垂线48与A。所成角或其补角，

IZA4-ZBDC=180°,

・••当二面角的平面角为锐角或直角时，

A3与AC所成角与二面角的平面角大小相等，

当二面角的平面角为钝角时，

与AC所成角与二面角的平面角大小互补.

4.如图，点尸在二面角。一八5一”的棱AA上，分别在a,内引射线PM,PN,

截得PM=PN.若N3PM=NBPN=45。，NMPN=60。，则二面角1一八3一夕的平

面角的大小为（）

A.45°

C.9O0

答案C

解析过点M作MQ_LA8,交A8于点Q,

连接QN,MN,易诋4MPQQ4NPQ,

则NPQM=NPQN=90。，:・QNLAB,

则/MQN即为二面角4—AN—£的平面角，如图所示.

设PQ=a(a>0),

•:/QPN=NQPM=45。,

：.QN=QM=a,PN=PM=y/2a.

又•：/MPN=6U。,

・•・△MPN为等边三角形，则MN=ja.

■:QM+QM?=MM,

：./MQN=90°.

5.（多选）如图所示，在三棱锥V—A3C中，ZVAB=ZVAC=ZABC=90°,下列

结论正确的是（）

A.平面以C_L平面ABC

B.平面E4B_L平面A8C

C.平面区。，平面V8C

D.平面E4B_L平面VBC

答案ABD

解析由题设VA.LAC,且48nAe=4,，侬，平面ABC,

又四平面VABtVA平面VAC.

.••平面E4C_L平面4BC,平面％81,平面ABC,则A,B正确;

又易知侬J_BC,BCA.AB.且必GAB=A,

・・・BC_L平面VAB,

又BC平面V8C,从而平面口W_L平面V8C,故D正确.

6.如图，在正方体A8CD—48G"中，二面角。］一48—。的大小为

答案45°

解析易知48_LAO,4B_LA£h,

所以N。/。就是二面角Di-AB-C的平面角，显然/。以。=45。,

所以二面角Di—48—C的大小为45°.

7.已知△ABC中，NB4c=90。，尸为平面ABC外一点，且见=28=PC,则平面

PBC与平面ABC的位置关系是

答案平面PBCJL平面ABC

解析因为B4=P8=PC,所以尸在△ABC所在平面上的射影必落在AABC的外

心上,

P

又RtAABC的外心为3c的中点，设为O,则PO_L平面A3C,又PO平面PBC,

所以平面P3C_L平面ABC.

8.已知三棱锥O—ABC的三个侧面与底面全等，且A8=AC=S，BC=2,则二

面角D-BC-A的大小为.

答案900

解析如图，由题意知A8=AC=BD=C7)=小，BC=AD=2.

A

取8C的中点E,连接DE,AEf

贝】」AE_LBC,DEIBC,

所以NOEA为所求二面角的平面角.

易得AE=OE=也，

又AO=2,所以。/+AE2=A》，

则NOEA=90。，故所求二面角的大小为90。.

9.在直三棱柱ABC-A向G中，AB1BC,。为棱CG上任一点.求证:

⑴直线ABi〃平面ABD；

⑵平面A8OL平面BCCB.

证明(1)由直三棱柱4BC—AIBIG,

得4B〃A8,

因为AiB平面48。，AB平面48。,

所以直线48〃平面A8D

(2)因为三棱柱ABC—A81G为直三棱柱,

所以A8_L88i.

又因为AB_LBC,BB\平面3CG5i,

BC平面BCCiBi,且8BiGBC=8,

所以ABJ_平面BCGBi.

又因为AB平面ABD,

所以平面平面BCC\B\.

10.如图，已知N8SC=90。，N3SA=NCSA=60。，SA=SB=SC.求证：平面ABC_L

平面SBC.

证明・・・/8S4=NCSA=60。，SA=SB=SC,

：.△AS8和△ASC都是等边三角形，

则SA=SB=SC=AB=AC.

则△ABC且△SBC.

又NGSC-9（尸，

・・・△ABC和3c都为等腰直角三角形.

如图，取3c的中点。，连接A。，SD,

则AD_L3C,SDLBCy

・•.NAOS为二面角A—8C-S的平面角.

设SA=a,在RtZkSBC中，•:SB=SC=a,

：.SD=^a,BD=^a.

在RtZ\A8£)中，AB=a,BD=^a,

历

则AD=2a.

在△AOS中，9：Sb1^Ab1==〃2=SA2,

・・・NAQS=90。，即二面角A-8C-S为直二面角,

故平面45C_L平面SBC.

二、综合运用

II.在中国古代数学典籍《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为

“鳖嚅”.如图，四面体是一个鳖嚅，且平面BCQ,BOJ_C。.在下

列判断中

①COJ_平面A8Q；

③平面ACOJ_平面A8D；

@若48=3。=。。=1,点夕在棱4。上运动（不包括4,C两点），则三棱锥4一

PBD的体积），是AP长度x的正比例函数.

判断正确的共有（）

A.1个B.2个

C.3个D.4个

答案D

解析由A8_L平面BC。可得A8JLCO,

又BD1CD,ABQBD=By

所以C0_L平面A8Q,故①正确；

因为AO平面A3O,由①知，ADLCD.故②正确;

由COJ_平面AB。，CD平面4C£>,

所以平面ACO_L平面430,故③正确;

过P作PE〃CD,交AD于E,

C

则PE_L平面43。，如图所示.

因为AB=8D=CQ=1,

所以BC=NBU+CD2=®

AC=7AB?+BC2=小.

,APPE一尸x小

由恁=而，知PE=^3=3x,

所以y=VA-PBD=VP-ABD=\X^ABBDPE=TPE=-^.xf故④正确.

J乙kJ1O

12.6(,£是两个不同的平面，m,〃是平面。及£之外的两条不同直线，给出四个

论断：

①〃?_!_〃；②1_1_夕；③〃_!_£；④"z_La.

以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题

答案①③④②

解析将相和〃平移到一起，则确定一平面，

・；^_L0,〃zJ_a.

・•.该平面与平面a和平面夕的交线也互相垂直，

从而平面。和平面夕的二面角的平面角为90。，_夕.

故答案为①③④②.

13.如图所示，把等腰直角三角形4BC沿斜边AB旋转至的位置，使。。=

AC.

(2)求二面角C一8。一4的余弦值.

⑴证明取A8的中点。，连接。。，0C,则有OOJ_AB,OC1AB,即/C0Q

是二面角C—AB—。的平面角，

D

E

C

设AC—ci-,则OC=OD=2"，

又CD=AE)=ACj；•CD=a,

・•・△COD是直角三角形,即NCOQ=90。，

,二面角是直二面角，即平面ABO_L平面4