高中数学必修第1册第一章知识点总结

必修第一册•第一章《集合与常用逻辑用语》

1.元素

把研究的对象统称为元素.（用小写字母表示：/C…）

2.集合

把一些元素组成的总体叫做集合.（用大写字母表示：4£C…）

3.元素的特征

确定性、互异性、无序性.

①求集合或元素时，一定要检验集合中元素的互异性.

4.元素与集合的关系

①属于:QwA;②不属于:aA.

5.常用数集

①自然数集N（包含0和正整数）②正整数集N*或N.

③整数集Z④有理数集Q⑤实数集R⑥复数集C

⑦素数集（质数集）P

6.集合的分类

①有限集；②无限集；③空集.

7.集合的表示方法

①列举法：把集合的所有元素一一列举由来，并用｛｝括起来.

例如｛1,3,5,7｝、｛2,4,6,8,…｝

②描述法：把集合4中所有具有共同特征P（x）的元素、所组成的集

合表示为｛xwA|P（M｝.

伊他口｛为EZ[10<1<20｝、｛x\x=2k+\,k^

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③图示法（Veen图）：用平面上封闭曲线的内部代表集合.

例如

8.常见集合的表示方法

①方程的解集：32工+3=0｝

②不等式的解集：｛x|2x+3>0｝

③函数自变量构成的集合：｛x|y=2x+3｝

④函数因变量构成的集合：｛），|y=2x+3｝

⑤函数图象上的点构成的集合：｛（x,），）|y=2_r+3｝

⑥方程组的解：/,y）俨+咱或｛（□）｝

x-y=0

⑦奇数集：｛巾=2〃+l,〃wZ｝

⑧4禺数集：^x\x=2n,neZ|

①做题时，要认清集合中元素的属性（点集、数集、自变量、因变

量•••），以及元素的范围（XEN、N"、Z、R…）.

9,子集

集合4中任意一个元素都是集合8中的元素.

记作：4aB或B3A读作：A包含于8或6包含4

①任何一个集合是它本身的子集.

②若A=且B=则AqC.

10.集合相等

若A三4,且“三A,则A=6.

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①若A=B,且B=C,则4=C.

②欲证A=8,只需i正AqB,且

11.真子集

如果集合A是集合8的子集，并且B中至少有一个元素不属于人

i已作：AUB或BVA读作：A具包金土8或B真包含A

①若4。8,JLBUC,则At)C.

②若Aqb,且AwB,则At)B.

③口和。用于集合和集合之间，e和任用于元素和集合

之间.

12.空集

不含任何元素的集合.符号：0

①空集是任何集合的子集.

②空集是任何非空集合的真子集.

③解决有关A：3=0、等问题时，一定要先考虑卫

的情况，以防漏解.

13.子集个数与元素个数的关系

设有限集合A有“(〃EN*)个元素，则其子集个数是2”,真子集个数是

2〃-1,非空子集个数是2”-1,非空桌子集个数是2"-2.

14.交集

属于集合A且属于集合8.(A和8的公共部分)

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记作：AfB读作：A交B

含义：AfB={X|AGAKreB}

①=@AfA=A;@Ap0=0V=0;

④(Ar|8)qA；⑤(4。3)三笈；@A^B<^>ACB=A.

15.并集

属于集合A或属于集合8.(包含力和8的所有元素)

记作：A\JB读作：A并B

含义：A(JB={#£A,必e8}

①AUB=3JA;②AIJA=A;③AL0=0JA=A;

④AR(ALB);(5)BO(ALB);⑥AN8OA5=3.

16.全集

研究问题中涉及的所有元素.符号：U

17.补集

由全集U中不属于集合4的所有元素组成的集合.符号：

含义：电,A={戈,6U,且r任A}

①"SqU;②Q,,U=0;③4,0=U;④秒(*)=A;

⑤AU(QJA)=U;⑥An&4)=0;

⑦(桐)Cl(—)=%(4B)：⑧(松)1,(/)=%(4B).

⑨注意补集思想在解题中的运用，“正难则反”.

18.命题

可以判断真假的陈述句叫做命题.判断为真的语句是真命题；判断

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为假的语句是假命题.

表示：“若P,则/'、"如果〃，那么.其中〃为命题的条件，4为

命题的结论.

19.充分条件与必要条件

①“若〃，则是真命题，即〃=g,则〃是q的充分条件，q是〃

的必要条件；

②“若p,则q”是假命题，即〃N9,则p不是夕的充分条件，q不

是〃的必要条件.

判断充分条件、必要条件的三种方法：

①定义法：直接判断“若p,则/'以及“若小她p”

的真假；

②集合法：利用集合的包含关系判断；

③传递法：充分条件、必要条件、充要条件都具有传递

，性，若Pi=p2,PinPy,则P]nPy•

20.充要条件

如果“若p,则q”和“若q,则〃”都是真命题，即既有〃口心

又有则可记作〃<=>9，这时称〃是g的充分必要条件，简称充

要条件.

充分条件、必要条件的判断:

①〃n乡且qNp〃是q的充分不必要条件

②〃Rq且g=〃〃是q的必要不充分条件

③〃04是q的充要条件

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④pKq且qKp〃是q的既不充分也不必要条件

21.全称量词

短语“所有的”“任意一个”通常叫做全称量词.符号：v

含有全称量词的命题，叫做全称量词命题.

“对M中任意一个x,p(x)成立”用符号记为：VxwM,p(x)

22.存在量词

短语“存在一个”“至少有一个”通常叫做存在量词.符号：3

含有存在量词的命题，叫做存在量词命题.

“存在M中元素的x,p(x)成立”用符号记为：3x£M,p(x)

23.全称量词命题和存在量词命题的否定

①全称量词命题YXEM,p(x)的否定为：3xeM.

②存在量词命题太£M,p(x)的否定为：BXE.

①命题的否定的书写：既要转换量词，又要否定结论.

②全称量词命题的否定是存在量词命题；

存在量词命题的否定是全称量词命题.

③一个命题和它的否定，只能是一真一假.

第一章测评

一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合

题目要求的.

1.给出下列四个结论:①②ZEQ;③OW0；④{0},其中正确的个数是()

A.lB.2

C.3D.4

2.已知集合知={0,123,4}.'={1,3,5},2二〃口乂则尸的子集共有()

A.2个B.4个

C.6个D*个

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3.（2024河南高一月考］设命题p”〃£N,〃2<3〃+4Mp的否定为（）

A.VHEN,〃2>3〃+4B.VnEN,/23〃+4

C.3/2^Nj产23〃+4D.m〃£N,〃2>3〃+4

4.设。£尺则％>0”是“同>0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.（2024浙江高一校联考］设全集U=R4={x|-lWxWl}/={x£N|x・3W0},则图中阴影部分对

应的集合是（）

A.[-1,3J

C.{x|2«}D.{2,3}

6.已知命题pNxeR,/匚1,则（）

D.「p:Vx£Ry^>1

12

7.（2024四川遂宁高一期中］设M={x£z},N=「1则（）

A.M睡NB.N^WC.M=ND.MflN=0

8.某班45名学生参加“342”植树节活动，每位学生都参加除草、植树两项劳动.依据劳动表现,

评定为“优秀'“'合格”2个等级，结果如下表：

等级

项目合计

优秀介格

除草30I545

植树202545

若在两个项目中都“合格”的学生最多有10人，则在两个项目中都“优秀”的人数最多为（）

A.5B.10C.I5D.20

二、选择题:本题共3小题每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

全部选对的得6分.部分选对的得部分分.有选错的得0分.

9.12024湖南娄底高一校考］下列命题为真命题的是（）

A.“玉eZ.dvO”是存在量词命题

B.Mr£R,9f20

C.3AGN,4X+1<0

D.”全等三角形面积相等”是全称量词命题

10.设集合A={-3K+2U*,且5£4,则x的值口J以为（）

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A.3B.-lC.5D.-3

11.下列说法正确的是()

A.命题“VxeR/2”的否定是“也eR'F<]'，

B.命题“也£3%>-3}勤忘9”的否定是“VxW{讣>-3}42>9”

C牛|>伙|”是的必要条件

D"vO”是“关于x的方程•+〃『0有一正一负根”的充要条件

三、填空题:本题共3小题.每小题5分，共15分.

12.(2024江苏无锡高一统考]设A,B,C,D是四个命题工是B的必要不充分条件工是C的充分

不必要条件是B的充分不必要条件，那么。是C的条件.(填“充分不必要”“必要

不充分充要''或"既不充分也不必要”)

13.设集合S={x\.x>5^x<-\}1={x[a<x<a+8},SUT=R4i|a的取值范围是.

14.设A是整数集的一个非空子集，对于&WA,若且Z+1WA,则称左是A的一个“孤立元”.

集合丁二(123,5}中的“孤立元”是;对给定的集合S=[123,4,5,6},由S中的3个元

素构成的所有集合中，不含"孤立元''的集合有个.

四、解答题:本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)已知集合A={x|4WxW-2},集合8=3入+320}.求：

⑴APIS;

(2)AU伏

(3)CR(An^).

16.(15分)已知集合人={4勿-1,理),8={«-5」-°,9),分别求符合下列条件的4的值.

(l)9e(ACIB);

(2){9}=An/<

17.(15分)[2024上东德州高一]己知4={.iM6i+5=0},B={x|ar-l=0}.

⑴若。=1,求AA(CzB);

⑵从①AU(CRA)=R；②4「出=8;③8n(CRA)=。这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并

进行解答.

问题:若，求实数a的所有取值构成的集合C

注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.

18.(17分)己知集合A=3-2WxW5},3={x|〃?+lWxW2/〃-l}.

(1)若BGA,求实数m的取值范围；

(2)若AG用求实数〃i的取值范围.

19.(17分)设集合A={x|x2-3x+2=0),B={x|x2+2(«+l)x+(6t2-5)=0),

⑴若ADF={2},求实数〃「勺值；

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(2)若AU求实数a的取值范围.

答案：

1.B①④正确;对于②,Z与Q的关系是集合间的包含关系，不是元素与集合的关系;对于③,。

是不含任何元素的集合，故③错误，故选B.

2.B易知P=MCN={l,3}.P中有2个元素，故P的子集共有22=4个.

3.C因为命题p”〃£N,"<3〃+4,所以p的否定为:力?£此〃223〃+4.故选C.

4.A由题意可知心>0=间>0,间>0=〃>0或avO,即由⑷>0不能推出。>0,所以％>0”是

的充分不必要条件.故选A.

5.D图中阴影部分表示5n(CM),因为A=3-l1}，则或x<-\}，因为B={x^

NM3W0},所以8={0,1,2,3},8以((：源)={2,3},故选D.

6.C根据全称量词命题的否定方法得张€R>11'>I.故选C

7.B由题意可知后田”林㈣则集合〃为所有整数小构成的集

合”I快生卜卜=婴附,则集合％为所有整数中奇数的;构成的集合,

所以N&K故B正确;A,C错误;所以MCN=N，故D错误.故选B.

8.C用集合A表示除草优秀的学生,8表示植树优秀的学生，全班学生用全集U表示，则CuA

表示除草合格的学生，则C4表示植树合格的学生，作出Venn图，如图，设两个项目都优秀的人

数为M两个项目都是合格的人数为居由图可得20-x+x+30-x+)=45j=y+5,因为丁2=10,所以

Xmax=10+5=15.故选C.

9.ABDTx£Z*<0”是存在量词命题，选项A为其命题

必丫£&9«20,选项B为真命题.

因为由4戈+1<0得XV」所以选项c为假命题.

“全等三角形面积相等”是全称量词命题，选项D为真命题.故选ABD.

10.BC•••5£4,若/2=5则x=3,此时.F-4x=9-12=-3,不符合题意，故舍去;

若/-4工=5,则x=-\或x=5,

当x=・l时。={-3,1,5},符合题意;

当%=5时<={・3,7,5),符合题意.

综上或x=5.故选BC.

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11.ABD对于A选项，命题的否定是故A选项正确；

对于B选项，命题"八七{加>-3}片辽9”的否定是"微£{加>-3}^2>9”,故B选项正确；

对于C选项，由|x|>|y|不能推出x>)，,例如卜但-2<1;由x>y也不能推出|x|>|y|,

例如-2<1,而卜所以“|x|>IW'是”人》尸的既不充分也不必要条件，故C选项错误；

(44m>0,

对于D选项，关于x的方程/2+机=0有一正一负根<Jm<°=加<0,所以“用<0”是“关于

x的方程f-2r+m=0有一王一色根'’的充要条件.故D选题正确.故选ABD.

12.充分不必要因为A是3的必要不充分条件，所以8nA,但A不比

A是。的充分不必要条件，所以4=C,但C次4,

D是B的充分不必要条件，所以。=3，但B节D、

所以D=B=A=C,但C市D,

故。是。的充分不必要条件.

13.{«|-3<«<-1|借助数轴可知匕+8>5,

・・•-3Va<-1.

14.54因为1+1=2£7,2+1=3£匚3-1=2£工所以1,2,3都不是7的“孤立元”.

因为5-1=44,5+1=6",所以5是7的“孤立元

不含“孤立元”是指在集合中有与“孤立元％相邻的元素.

所以不含“孤立元”的集合为{1,2,3},{2,3,4},{3,4,5},{4,5,6},共4个.

15.解由已知得8={川戈2,3},

()AnB={M.3WxW-2}.

(2)AUB={4V2-4}.

(3)CR(AAB)={X|X<-3或%>-2}.

16.解⑴因为9£(ACIB),

所以9W8且9£A,

所以2a-1=9或a2=9,

所以a=5或a=3或a=-3.

当a=5时4={-4,9,25},B={0,49};

当。=3时,a-5=l-a=-2,不满足集合中元素的互异性，故舍云；

当a=-3时4={4-7,9},B={-8,4,9},

所以a=5或”・3.

(2)由⑴可知，当a=5时4nB={-4,9},不符合题意，当。=-3时4nB={9},所以a=-3.

17.解⑴当a=\时方={加-1=0}={1},

又因为A={川/&+5=0}={1,5},

故An(CzB)={5}.

(2)若选①，当〃=0时出=0,则CR/?=R,满足AU(CR/?)=R;

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Pl21

当。和时,若AU(CR〃)=R,则。=1或5,解得。=1或3

(°加

综上,C=(5」；

若选②,・.・AnB=B