函数的奇偶性-高考数学重难点题型专练（新高考地区专用）解析版

专题2.6函数的奇偶性•重难点题型精练

参考答案与试题解析

一.选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）

I.（5分）（2022•东湖区校级一模）已知/（公=0?+布•是定义在［a-1,2a］上的偶函数，那么4+〃的值

是（）

1111

A.—B.-C.-5D.一

3322

【解题思路】依照偶函数的定义，对定义域内的任意实数，/（-幻=f（X）,由此求得/开勺值.且定义

域关于原点对称，故。-1=-2〃，由此求得〃的值，从而得到a+b的值.

【解答过程】解：对于函数知f（幻=（Lr+bx,

依题意得：.f（■外=/（x）,・・.b=0.

又a-1=-2a,Aa=

.皿1

・・a+b=2.

故选：B.

2.（5分）（2021秋•海安市校级月考）设函数/（x）=寻，则下列函数中为奇函数的是（）

人I乙

A.f（A--2）-1B./（x-2）+1C.f（x+2）-1D./（x+2）+1

【解题思路】化简函数/（x）=1-*,分别写出每个选项对应的解析式，利用奇函数的定义判断.

【解答过程】解：由题意得，/（X）=1-2.

人*1乙

对4,/（x-2）-1二一?是奇函数；

对B,f（.x~）+1=2—（,关于（（），2）对称，不是奇函数；

对C,/（.叶2）7=-嘉，定义域为（-8,-4）U（-4,+8）,不关于原点对称，不是奇函数；

对。，/（%+2）+1=2—士:，定义域为（・8,-4）U（-4,+8）,不关于原点对称，不是奇函数：

故选：A.

3.（5分）（2022春•满洲里市校级期末）若函数/（%）是奇函数，当x>0时，/（x）=logw则/'（—）=

)

A.\B.-1C.2D.-2

1

【解题思路】根据题意，由函数的解析式求出/(')的值，结合函数的奇偶性分析可得答案.

【解答过程】解：根据题意，当x>0时，f(x)=log3X，所以=2。,。3义=，。,。33T=-，，

又由/Cr)为奇函数，所以/(-4)=—/(3=l，

故选：A.

4.(5分)(2022秋•渝中区校级月考)已知/(x)是R上的偶函数，当x20时，/(%)=x+/n(x+1),

则x〈0时，/(x)=()

A.-x-In(I-.r)B.x-In(1-x)C.-x+ln(1-x)D.x+ln(I-x)

(解题思路】利用偶函数的性质对应求解即可.

【解答过程】解：令x<0,则・x>0,/(x)=f(-x)=-x+ln(-x+1).

故选：C.

5.(5分)(2022•宝垠区校级模拟)已知函数f(A)是定义在R上的偶函数，且当x>0时，f(x)=ln

【解题思路】根据题意，先通过对称点的方法求出函数在区间(-8,())上的表达式，从而得出函数完

整的表达式，然后利用对数函数y=〃状图象向左平移一个单位的图象与原困数在(0,+8)上图象进行

对照，得到正确的选项.

【解答过程】解：•・•当工>0时，/(x)=/〃(A+1),

・••设/<0,得-x>0,/(-x)=In(-x+1)»

又•・•函数/(x)是定义在R上的偶函数，

・•・/(-x)=f(x),

即当xVO时,f(x)=ln(-A+1),

综上所述，得/⑴二F(”+i)a>o),

由自然对数的底为e=2.71828“・>l,当x>0时原函数由对数函数y=)a图象左移一个单位而来，

得当x>0时函数为增函数，了数图象是上凸的，

根据以上讨论，可得C选项符合条件，

故选：C.

6.(5分)(2022•黄州区校级二模)已知函数f(x)=—(口+1)-?+l,f(a)=2,则j(・a)的值

为()

A.1B.0C.-1D.-2

【解题思路】构造函数g(x)=xln(?'+1)-x2,可判g(x)为奇函数，易得答案.

【解答过程】解：构造函数g(A)=篦〃(0+1)

则g(-x)+g(x)=-xln(e'2x+l)-x^+xlnCeZx+\)-x2

2x+l

=xln—e—--2x1=xlne2x-2.r=0,

e-2x+l

故函数g(x)为奇函数，

又/(a)=g(a)+1=2,(a)=1,

/./(-a)=g(-a)+1=-g(a)+1=0

故选:B.

7.(5分)(2021秋•城关区校级期末)若f(x)是定义在R上的偶函数，在(-8,0］上是减函数，且/

(2)=0,则使得/(log”)V0的x的取值范围是()

A.(0,4)B.(4,+8)

11

C.(0,-)U(4,+8)D.(-,4)

44

【解题思路】偶函数图象关于)，轴对称，所以只需求出(-8,()］内log”的范围，再根据对称性写出logzt

解集，最后根据对数的单调性求出不等式的解集.

【解答过程】解：/(x)是定义在R上的偶函数，在(-8,()］上是减函数，，在［0,+8)上是增函数，

.*./(log2X)=f(|log2x|)»则不等式等价于f(|k>gzr|)<f(2),A|log2x|<2.

1

:.-2<log2x<2.*.—<x<4.

故选：D.

8.（5分）（2021•河南模拟）设函数/（x）为定义在R上的偶函数，当xVO时，/（x）=/，；（-X）,若

«=/（2L,）,/?=/（504）,c=f（lnV5）,则a,b,c的大小关系是（）

A.a<b<cB.c<b<aC.b<c<aD.c<a<b

【解题思路】由已知先求出七>0时函数解析式，然后结合函数的单调性即可比较大小.

【解答过程】解：因为xVO时，/（x）=ln（-x）,

所以£>0时，-xVO,

所以/（-x）=lnx=f（x）,

因为工>0时，f（x）=/小单调递增，

因为/〃遍V/〃e=l,504>1,

则b>c,

114_____________

因为21」+5°q=2而+5而=-211+54=^3.2768>1,

故2口>5叫

故a>b.

综上

故选：B.

二.多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）

9.（5分）（2021秋•滨州期末）下列函数中，既是偶函数，又在区间（0,+8）上单调递减的是（）

1O

A.y=-B.y=-xC.y=log^\x\D.y=cosx

%2

【解题思路】根据题意，依次分析选项中函数的单调性和奇偶性，即可得答案.

【解答过程】解•：根据题意，侬次分析选项：

对于A,y=l,是反比例函数，不是偶函数，不符合题意；

对于从），=-/,是二次函数，既是偶函数，又在区间（0,+8）上单调递减，符合题意；

log\x,x>0

之，既是偶函数，又在区间（0,+8）上单调递减，符合题意；

（，。91（-%），XV0

对于。，y=cosx,是余弦函数，区间（0,+8）上不具有单调性，不符合题意；

故选：BC.

10.（5分）（2022春•扬州期末）已知奇函数/（x）与偶函数g（x）的定义域、值域均为R,则（）

A./(x)+g(x)是奇函数B./（x）|g（外|是奇函数

C./(x)g(x)是偶函数D.f(g(x))是偶函数

【解题思路】根据奇函数、偶函数的定义逐•判断即可.

【解答过程】解：对于A选项，因为/(・x)+g(r)=-f(x)+g(x)(x)+g(x)且/(・x)

+g(-x)=-f(x)+g(x)-[f(x)+g(x)],

所以/(x)+g(x)既不是奇函数也不是偶函数，故A错误；

对于8选项，因为f(-x)Ig(-X)1=-fix)\g(x)I，所以极(A)I是奇函数，故B正确；

对于C选项，因为/(-K)g]-X)=-/(x)g(A-)乎f(x)g(x),所以J'(x)g(x)是奇函数，不

是偶函数，故C错误；

对于。选项，因为/(g(-工))=/(g(x)),所以/(g(x))是偶函数，故D正确.

故选：BD.

11.(5分)(2022春•烟台期末)若函数/(2x+2)为偶函数，/(x+1)为奇函数，且当.隹(0,1]时，f

(A)=//LV»贝I」()

A.f(X)为偶函数

B.f(e)=1

C./(4-1)=-l

D.当x€[l,2)时，/(x)=~In(2-x)

【解题思路】由函数的奇偶性的定义，推得/(x+2)=-f(x),可得f(X)的奇偶性和周期性，结合

已知区间上的函数解析式，计算可得结论.

【解答过程】解：若函数/(21+2)为偶函数，可得/(-2%+2)=/(21+2),

即为/(・x+2)=/(x+2),即/(・％)=/(x+4),

又/(x+1)为奇函数，可得4/(x+l)=0,

即有/'(-x)+fCx+2)=0,

所以/(x+4)=-/(x+2),

即有/(x+2)=-/(x),

可得/(-x)=f(x),即f(x)为偶函数，故A正确；

当xW(0,1]时,f(x)=lnx,

由/(x+4)=-f(x+2)=/(1)，可得/(x)的最小正周期为4,

f(e)=/(-e)=f(4-e)=・/(e・2)=-In(e-2),故B错误；

f(4-1)=/(-；)=/(,)='":=一1’故0正确；

当x£[l,2)时，2-尤(0,1],/(2-x)=ln(2-x),

而/(2-x)=-f(-x)=-f(x),

则/(x)=-In(2-x),xE[[,2),故。正确.

故选：ACD.

12.(5分)(2022春•荷泽期中)已知函数/(x)是定义在R上的奇题数，当x>0时，/(X)=丁)・(x

-I),贝lj()

A.当xVO时，/(x)=，・(A+1)

B.函数/(x)有2个零点

C.f(x)>0的解集为(・1,0)U(1,+8)

D.V.vi,A-26R,都有>(川)-f(A-2)|<2

【解题思路】由已知结合函数的性质分别检验各选项即可判断.

【解答过程】解：因为/(X)是定义在R上的奇函数，当七>0时，/(x)=e"・a-I),

当x<OH寸，-x>0,

则/(-x)=ex*(-x-1)=-f(x),

所以/(x)=夕・(x+1),A正确；

当x>0时，/(x)=/工・(x-1)有一个零点x=l,

当xVO时，/(x)="・(x+1)有一个零点”=-I,

由奇函数性质得/(0)=0,故有3个零点，8错误；

当％>0时，/(%)=e"・(x-1)>0得％>1,当xVO时，f(x)="・(x+1)>0得・1VXV0,。正

确；

当x>0时，f(x)=er・(X-1),

则/(%)=符，

易得，当工>2时，f(x)<0,函数单调递减，当()VxV2时，f(x)>0,函数单调递增，

故当x=2时，函数取得极大值/(2)=/，x-+8时，/(x)-0,x-0时，/(x)-*-1,

故此时函数有最大值/(2)=也，

根据函数对称性可知，xVO时，函数取得最小值/(2)=一3,

故I/'（XI）-f（X2）|<2,。正诵.

故选：ACD.

三.填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）

13.（5分）（2022春•满洲里市校级期末）设函数/（%）=（x+1）（卢4）在区间（\-b,2）上为偶函

数，则2。+〃的值为

【解题思路】根据题意，由偶函数的定义域要求可得的值，结合二次函数的性质可得。的值，计算可

得答案.

【解答过程】解：根据题意，因为函数/（x）=（x+l）（户。）在区间（I-〃，2）上为偶函数，

必有.（1-〃）+2=0,即1-/尸-2,解得h=3.

乂二次函数=『+（4+1）X+4为偶函数，则其对称轴为），轴，

必有a+\=0,则有a=-1,

所以2。十〃=1；

故答案为：1.

14.（5分）（2020秋•丰台区期中）已知偶函数/（x）部分图象如图所示，且/（3）=0,则不等式/.（x）

<0的解集为（-3,3）.

【解题思路】根据题意，由函数的图象分析.f（x）>0与/G）V0的区间，结合函数的奇偶性分析可得

答案.

【解答过程】解：根据题意，由函数f（x）在［0,+8）上的图象，

在区间［0,3）±,f（x）<0,在区间（3,+8）上，y（x）>0,

又由/（x）为偶函数，则区间（-3,0］上，/（x）<0,在区间（-8,-3）上，/（x）>0,

综合可得：不等式/（x）V0的解集为（-3,3）,

故答案为：（-3,3）.

15.（5分）（2022春•福州期末〕设函数/（公的定义域为R,/（1+1）-2为奇函数，/（x+2）为偶函数,

当大41,2］时，f（x）=a.r+b.若f（-I）4/（0）=1,则/（当当

【解题思蹂】先由题设得函数f（%）关于点（1,2）和直线x=2对称，再由对称性得出函数周期

为4,再结合/(1)=2以及/(-I)4/(0)=1求出小方的值，最后由周期性求函数值即可.

【解答过程】解：由/(x+1)-2为奇函数，可得/(x+1)-2=-/(7+1)+2,函数/(工)关于点(1,

2)对称.

又定义域为R，则有/(I)=2,又/(x+2)为偶函数.

可得/(x+2)=/(-x+2),函数/(%)关于直线x=2对称，则/(x)=4-/(2-x)=4-/(2+x).

又/(2+x)=4-/(-x),则/(4)=/(-x),则/(x+2)=/(-x+2)=f(x-2),函数f(x)周

期为4.

则..2023=/(1012-11)1=/(1-)=4-/(3-)•

由上可得八-1)=/(1)=""(0)=4-/(2)=4-4«-b,则｛煞:;：_4Q—=1'解得卷;；

则e/(；3)号9+1=竽13，则e20/23(丁3)=73.

故答案为：

4

16.(5分)(2022春•湖南月考)函数/皂)=/+〃(〃>0,b>(),例)是偶函数，贝、

fCab)与/(2)三者间的大小关系是f(ab)Vf(2)<f(a+b).

【解题思路】由偶函数的定义推得时=1,再由指数函数和对勾函数的单调性可得/£)的单调性，结

合基本不等式可得所求大小关系.

【解答过程】解：函数/(x)=/+〃(。>0,b>0,4/1,万W1)是偶函数,

可得/(-x)=/(x),即4

ax+bx

即7777“5

(ab)x

1

可得(ab)x=l,即有必=1,即。=热

由a+b>2>/ab=2,

又/(X)当。>0时，若则〃>1；若OVaVI时，则小、>1,

令，=/,x>0,

若。>1时，则/=/递增;

又在(1,+8)递增，可得/(x)在(0,+8)递增;

若OVqVl时，则/="递减,

又y=f+/i在(0,1)递减，可得/(x)在(0,+8)递增;

由l〈2〈a+b,可得/(I)</(2)<f(a+b),

即/(必)</(2)</(〃+〃).

故答案为：f(ab)</(2)</(〃+〃).

四,解答题(共6小题，满分70分)

17.(10分)(2021秋•长泰县校级期末)已知函数/(%)=旦要是奇函数，且/(2)=-行求/(x)的解

析式.

【解题思路】先由奇函数的定义得到等式八-x)=-/(x)由其恒成立的特性得出q的值，再由/(2)=

求出p,即可得到函数的解析式.

【解答过程】解：/(%)=名著.

V/(X)是奇函数，

・•・对定义域内的任意的乂都有/(・x)=・/a),

即竺等=一丝等，整理得：q+3x=-q+3x,

q+3xQ—3x

：,q=0(8分)

乂・.・/(2)=-I，

f(2)==—率解得〃=2

，所求解析式为/«二名著.

18.(12分)(2022春•三元区校级月考)已知/(x)为R上的奇函数，当x>0时，f(x)=--2x.

(1)求/(・2)；

(2)求/(x)的解析式：

(3)画y=/(x)的草图，并通过图像写出)=/(》)的单调区间.

【解题思路】(1)由已知先求/(2),然后结合奇函数定义可求;

(2)由已知区间上函数解析式，结合奇函数定义及性质可求；

(3)结合二次函数的图象及性质即可求解.

【解答过程】解：(1)因为/(#为R上的奇函数，当x>0时，/(x)=？-2x.

所以/(2)=0,

则/(-2)=-/⑵=0；

(2)当x=0时，/(x)=0,

当xVO时，-x>0,f(x)=X2+2¥=-f(x),

所以/(x)=-f-2t,

x2-2x,x>0

0,x=0,

(-x2-2x,x<0

(3)结合函数图象可知，函数的增区间为(・8,・1)和(1,+8),减区间为(・1,1).

19.(12分)(2021秋•海安市校级月考)设/(x)是定义在R上的奇函数，且当xVO时，f(x)=2以3工

(1)求函数/(x)在R上的解析式；

(2)解关于x的不等式/(x)>2.5、.

【解题思路】(1)根据奇函数，利用换元法求出当x>0时解析式，即可得到函数/(x)在R上的解析

式；

(2)分别对xVO,x=0,x>0三种情况解不等式/(x)>25\

【解答过程】解：(1)当x<0时，/(x)=2"3，.

当x>0时，-xVO,所以/(-x)=2'x+3'x.

因为/(x)是定义在R上的奇函数，所以/(-工)=-/(工).

所以/(x)=-(2X+3X).

当x=0时，W/(-0)=・/(0),从而/(0)=0.

2X+3X,x<0

(0,x=0

一(2一工+3一，x>0

(2)由(1)知，当x>0时，因为2i>0,3r>0,所以-(2'x+3'-v)<0.

当x=0,/(0)=0.所以当x20时，/(x)W0.

而当时，2.5'>0,所以不等式/(x)>2.5、在［0,+°°)上无解.

23

当XV0时,不等式/(%)>2.5、为。+3”>2.5工,所以(-)x-(-)t>2.

55

23

记函数g(X)=(-)*+(-)r,X<().

55

2323

因为三，(o，1),所以函数了=(-)y=(-)”均为"上的单调减函数，从而函数g(x)为R上

的单调减函数.

23

又g(0)=1+1=2.所以不等式(一)以(一)”>2的解集为(-8,0).

55

从而关于x的不等式/J)>2.5工的解集为(-8,0).

20.(12分)(2021秋•包头期末)函数/(x)=log2(2-x)+Iog2(2+x).

(1)求/(x)的定义域，判断并证明函数/(x)的奇偶性；

(2)若2a=3〃=〃?(lVmV2),比较/(2a)与/(・3〃)的大小.

【解题思路】(1)根据对数函数成立的条件，建立不等式，以及利用函数奇偶性的定义进行判断即可：

(2)利用指数基和对数之间的关系进行转化，利用复合函数单调性之间的关系进行转化即可.

2—xJ-->0(x

,得，得-2<x<2,即函数的定义域为

(2+x>0U>-2

(-2,2),

则/(-X)=log2(2+x)+log2(2-x)=f(x),即f(x)是偶函数.

(2)V/(x)是偶函数，

/./(-3b)=f(3b),

由2a=3h=m得n=log2〃i,〃=log3〃?，

Vl</n<2,AO<t/<l,0<Z><L

则2。=210g2〃?，3。=310g3〃?，

2lnm

2a2logm方寸2ln3In9

则五二标2丁晅=痂"嬴"

ln3

则2a>3bt

f(x)=log2(2-x)+Iog2(2+x)=log2(2-x)(2+x)=log2(4-x2),

则/(x)在(0,2)上为减函数，

则/(2a)</(3Z?),即/(2a)<fC-3b).

21.(12分)(2022春•大兴区校级期末)已知函数/(%)二2《.

(1)判断函数的奇偶性，并进行证明；

(2)若实数。满足2/(，。92。)+/(，。91。)+/(-1)工0,求实数〃的取值范围.

【解题思路】(1)利用奇函数的定义证明即可；

(2)利用对数的性质化简，利用函数的单调性脱去/,即可得解.

【解答过程】解：(1)函数/(A•)为奇函数，证明如下:

函数f(幻=基r的定义域为R

旦/(7)

•V(X)为奇函数.

△，，_ex-e-x_e2x-l2

2

由于为增函数且为减函数，.・./J)为R上的增函数;

e2x+l'

/.2f(log2«)+f(logia)+f(I)=2f(log2t/)-f(log2«)+/'(1)WO；

2

,V(Iog2«)W-/(I)=/(-1)；

1

，log2。龙-l=log2-；