空间向量的数量积运算【六大题型】-人教A版高中数学选择性必修第一册（解析版）

专题L2空间向量的数量积运算【六大题型】

【人教A版(2019)]

>题型梳理

【题型1空间向量数量积的概念辨析】............................................................2

【题型2求空间向量的数量积1...............................................................................................3

【题型3求空间向量的夹角(余弦值)].........................................................6

【题型4利用空间向量的数量积求模】............................................................8

【题型5空间向量数量积的应用】...............................................................II

【题型6投影向量的求解】.....................................................................14

A举一反三

【知识点1空间向量的数量积与夹角】

i.空间向量的夹角

(1)定义：已知两个非零向量〃，b,在空间任取一点O,作苏=°,OB=b,则/AO8叫做向量a,8的

夹角,记作〈a,b>.

(2)范围：0WQ，b)WTL

特别地，当(。，h)=宠时，Q_L6.

2.空间向量的数量积

已知两个非零向量。，力，则闷|b|cos<.a,b)叫做。，力的数量积，记作。山.

定义即。山=|a||A|cos〈a,b).

规定：零向量与任何向量的数量积都为0.

①。_1_力=。6=()

性质

@a-a=a1=\a\1

®(/.d)b=k(ab),z£R.

运算律②。仍=(交换律).

③a・S+c)=a•力+<rc(分配律).

3.空间向量夹角的计算

求两个向量的夹角：利用公式以^〈3君)=高卷求COS〈H)，进而确定〈13〉.

同例

4.空间向量数量积的计算

求空间向量数量积的步骤：

(1)将各向量分解成己知模和夹角的向量的组合形式.

(2)利用向最的运算律将数最积展开，转化为已知模和夹角的向晟的数显积.

⑶代入a=同k|cos〈a，力求解.

【题型1空间向量数量积的概念辨析】

【例1】(23-24高二下•四川凉山•期中)对于任意空间向量篦J,3下列说法正确的是()

A.若d〃3且勿"，则五〃AB.d-(b+c)>=d-b+d-c

C.若五•B=五E且d工6,则B1D.(a-b)c=d(b-c)

【解题思路】根据数量积的运算律即可判断BCD,根据向量共线的性质即可求解A.

【解答过程】对于A,若6=。,则可〃且力/3不能得到可汇，故A错误，

对于Ba-(b+c)=ab+a-cfB正确,

对于C,若a•B=G•3且、工。则同向cos值办=|d|「|cos值"则B|cos(d,»)==cos<2,"无法得

出E=3所以C错误，

对卜D,(2•石口表示与共线的向量，而d(石•1)表示与五共线的向量,所以(日•3)1与2(刃•F)不一定相等，

故D错误，

故选：B.

【变式1-1](23-24高二上.广东东莞•阶段练习)已知空间向量乙则下列说法正确的是()

A.若du£31|己则diiiB.若|小瓦=@・|瓦，则2与3共线

C.若江•不=石•则&=3D.(a-b)-c=(b-c)'a

【解题思路】对ACD,举特例零向量判断即可；对B,根据数量积公式判断即可.

【解答过程】对A,若3=6,则五|花石II房不能得出五II3故A错误：

对B,怔•同=恨|•同cos值用二|五|•同，当,与族存在零向量时，d与B共线成立：

当3与另均不为零向后时，|cos优可|=1,故日石夹角为0。或180。，则五与9共线，故B正确：

对3若5=6,则2々二3•乙不能得出2=乱故C错误；

对D,(a-b)-c=me,(mER),(b-c)-a=nd,(nGR),故(五•B)，@，1),五不成立，故D错误；

故选：B.

【变式1-21(23-24高三下•广东广州•阶段练习)已知向量洒S,-满足(2-b)c=(a-c)bt(b-c)a=(5-a)c,

(c-a)S=(c-b)a,这三组向量中两两共线的不可能有且仅有()组.

A.3B.2C.1D.0

【解题思路】根据已知条件进行分类讨论，列举出AJB.D三个选项的可能情况即可.

【解答过程】若向量入5,1均为非零向量，则向量五，b,1共线或两两互相垂直，此时三组向量中两两共

线的有0组或3组，故A和D错误；

若其中一个为零向量，则另外两个向量一定不共线，则(五•&*=(&=(&，3)3=(八&)石=

(c-b)a=O,零向量和另外两个向量组成两组共线向量,故B错误.

显然，这三组向量中两两共线的不可能有且仅有1组.

故选：C.

【变式1-3](23-24高二上•北京期中)设2、次5是空间向量，则以下说法中错误的是()

A.6、b一定共面B.&、b、c一定不共面

C.db=b'dD.d-(b+c)>=d-b+dc

【解题思路】利用共面向量的定义可判断AB选项；利用空间向量数量积的运算性质可判断CD选项.

【解答过程】对于A选项，任意两个空间向量都共面，A对；

对于B选项，G、b.不可能共面，也可能不共面，B错；

对于C选项，d-b=ba,C对；

对于D选项，a•(b4-c)=a-/?4-a-c,D对.

故选:B.

【题型2求空间向量的数量积】

【例2X23-24高二上•天津静海•阶段练习)已知向量d和3的夹角为120。,且㈤=2,\b\=5,则(2G-b)-a=

()

A.12B.8+A/13C.4D.13

【解题思路】根据空间数量积的运算性质求解.

【解答过程】(2G-a•&=2彦一B•五=2|a|2-|a||b|cosl20°=2x4-2x5x(-0=13.

故选：D.

【变式2・1】(23-24高二上.安徽宣城.期末)已知正四面体ABC。的棱长为a,点E,”分别是8C,A。的

中点，则荏•标的值为()

A.a2B.-a2C.-a2D.—a2

242

【解题思路】根据向量的线性运算得出荏=X而+冠），AF=^AD,根据正四面体的性质得出所|=

\AC\=\AD\=a,且而、AC,而三向量两两夹角为不即可通逆向量数量积的运算率得出答案.

【解答过程】c

•.•四面体A8CO是正四面体，

A|S|=\AC\=\AD\=Q,且近、AC.而三向量两两夹角为今

•••点E,尸分别是BC,4。的中点，

•••荏=1（屈+硝，而=；而，

则荏.而=行+^C）-AD=AD+AC-AD）=：（a2cosg+a2cosg）=：小，

故选：C.

【变式2・2】（23-24高二上•重庆•期中）己知EF是棱长为8的正方体的-■条体对角线，点M在正方体表面上

运动，则就•丽的最小值为（）

A.-48B.-32C.-16D.0

【解题思路】求得正方体外接球的半径，根据空间向量的数量积运算求得砒•标的表达式|丽产-48,确

定|而|的最小值，即得答案.

【解答过程】如图，EF•是校长为8的正方体的一条体对角线，则也是正方体外接球的一条直径，

由正方体的特征可得其外接球半径为亚手£=4®

设外接球球心为0,则而=一而，

则注•~MF=（M0+函•而+而）=（M0+0E）•而-0E）

=砌2_|05|2=।而『_代遮）2=|丽/_48,

由干点M在正方体表面上运动，

故|宿产的最小值为球心。与正方体面的中心连线的长，

即为正方体棱长的一半，为g=4,

所以砒•市的最小值为4?-48=-32,

故选：B.

【变式2-31（23-24高二上•辽宁沈阳•阶段练习）如图，在四棱锥F-4BCD中，PD1底面48CD,四边形4"。

是边长为1的菱形，且4ADC=120°,PD=40,则（）

P

A.(pA+DC^DP=1B.(DP+DB)-AD

C.CP-PA=-lD.瓦•丽书

【解题思路】由空间向量的线性运算对选项一一计算即可得出答案.

【解答过程】对于A,因为PO_L氐面ABC。，所以O4OCu底面力8c。，

所以PD_L£M,PD1OC,所以（5X+反）•丽=万彳•万？+反•而=0,故A错误;

对于B,因为N/WC=120°,40=DC=1,所以44D8=60°,

所以△408为等边三角形，所以。B=l,

所以丽•AD=一丽•DA=-\DB\­DCOS

|7|60°=--2

(而+丽).而=丽•前+而=而故B错误:

对于C,CPPA=(CD+DP)-(DA-~DP)=CD-DA-CD-DP+DPDA-DP2

=-\DC\•|53|cosl200-0+0-1=1-1=故C正确；

对于D,DC-BP=DC-(DP=DC-DP-DC-DB=0-\DC\-|D5|COS60°=

故D错误.

故选：C.

【题型3求空间向量的夹角(余弦值)】

【例3】(23-24高二上.山东烟台.期中)已知空间向量2b,1满足㈤=2,同=3,随|=近且@+族+才=6,

则d与族的夹角大小为()

A.30°B.60°C.120°D.150°

【解题思路】由0=_0+1)，利用向量数量积的运算律有产=或+2,不+岸，即可求,与石的夹角大小.

【解答过程】由题设5=—(a+b),则产=m+5)2=a2+2d-5+S2=4+2x2x3xcos伍,£)+9=7,

所以cos(G,3)=一右又(五㈤£(0m),可得值研二g,BP(a,b)=120°.

故选：C.

【变式3-1X23-24高二上•北京顺义•阶段练习)如图，在平行六面体48CD-48iCiDi中，4B=40=441=

1,二匕48力力1=乙644=9则直线BDi与直线4C所成角的余弦值为()

24

【解题思路】由线段的位置关系及向量加减的几何意义有西=而+京-而、AC=AB+AD,利用向

量数量积的运算律求尼•西、|西|，最后应用夹角公式求直线夹角余弦值.

【解答过程】由西=瓦(+而+西=而+而一荏，AC=AB+AD,

所以衣-BDl=(AB+AD>)-(AD^AA^-AB)=AB-lS+AB-AAi-AB2+AD2+AD-AA^-AD-AB,

又AB=AD=AAr=1,4BAD=^,/.BAA1=^DAAr=：,

所以痔西=0+当-1+1+9-0=&，M|ZC|=V2,

•I.....♦♦/»_»2»......，1・・・・,・・*.........—…”

222

\BD1\=l（AD+AAX-AB）=^AD4-AAj+AB+2AD-AAA-2AD-AB-2AAX-AB

=V1+1+1+V2-0-V2=V3,

综上，直线8劣与直线4c所成角的余弦值为|需森|=段=£

故选：D.

【变式3-2]（23-24高二•江苏•课后作业）已知蔡，盛是两个空间单位向量，它们的夹角为60。，设向昂W=

—>—♦——>—>

2m4-n,b=—3m+2n.求：

（1）：•8；

（2）向量温与I的夹角.

【解题思路】（I）由题知/■二%进而根据数量积的运算律得计算即可得答案；

（2）由向量模的计算公式得问二夕，恸二被，进而根据夹角公式即可求得答案.

【解答过程】（1）解：因为薪，品是两个空间单位向量，它们的夹角为60。，

所以m-n=|n||TTI|COS60°=

所以Z♦b=（2m4-n）•（—3m+2n）=-6m|+zn-n+2n|=-6+|+2=-^；

（2）解：因为=（2m4-n）=4|m|4-4m-n+|n|=4+4x|+l=7,

7*/TT\2IT2TT[T[21

b=（—3m+2n）=9|TH—12m-n+4|n|=9-12x-+4=7

所以同二夕，Z）|=yfl,

又因为之-b=-^

所以8s的=崩=急=/

因为色,，€[0,汨，所以G，3二今即向量3与拓夹角为等

【变式3-3]（23-24高二上.广东江门•期中）如图，在平行六面体48。0-4&。1。1中，以顶点A为端点的

三条楂长度都为2,且两两夹角为60。.求：

DiG

(l)8〃i的长；

(2)西与前夹角的余弦值.

【解题思路】(1)表达出西=-&+^+人平方后，结合数量积运算法则计算出西之=8,求出西的

长为2或：

(2)计算出国|=26,西•元=4,从而利用向量的夹角余弦公式求出答案.

【解•答过程】(1)设A*=a,AD=b,AA[=c,由题意知：|五|二|同=|曰=2,<a,b>=<b,c>=<c,a>

=60°,

.*.a-b=b-c=c-d=2x2xcos600=2,

又*•西=BA+=-a+c+b,

222

BDl=(b+c—a)=S+c+a+2b-c-25-a—2c-5=44-4+4+4-4-4=8,

・・・|西|=2&，即西的长为2vL

(2)yAC=AB+AD=a^b,

,.AC2=(d+J)=a2-^-2a-b+b2=4+2x24-4=12,

：.\AC\=2V3,

22

BDi-AC=(b+c-a)-(<d+b')=d'b+d'C-d+b+b-c-d'b=4,

Acos<BD[.AC>=萼客==西，

1忸北|2V2X2V36

即西与前夹角的余弦值为

【题型4利用空间向量的数量积求模】

[ft4](23-24高二上.新疆和田期中)已知2、b,乙均为单位向量，值研=(方㈤=90。,(afc)=60%则

\a-b+c\=()

A.4B.V2C.2D.V3

【解题思路】利用空间向量数量积的定义与运算性质可求得怔-B+4的值.

【解答过程】因为2、b.1均为单位向量，值㈤=仿©=90。，60=60。，

由空间向量数量枳的定义可得五.J=b-c=0,d-c=\a\'|c|cos600=

所以，|,-族+42=&2+中+产-2&不+2G々-2族1=3—0+2x：-0=4,

因此，|G-G+4=2.

故选：C.

【变式4-1］（23-24高二上•湖南•期中）如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱48CD-&B1GD］,底面4BC。

是正方形，CQ=2,CD=3,且4&。8=〃：1。。=60。，则向量碇的模长为（）

A.V29B.34C.52D.V34

【解题思路】由后=初+而+而，结合向量数量积的运算律求向量砧的模长.

【解答过程】由碇=羽+而+而，又底面4BC。是正方形，CCi=2,CD=3且4GCB=4\CD=60°,

所以碇2=（币+AB+而产=不2+而2+而2+2^1•AB4-2A^A•AD+2AB•而=4+9+9+

6+6+0=34,

故|砧|=V34.

故选：D.

【变式4-2］（23-24高二上•浙江•期中）平行六面体力BCD-41BiGDi中，AB=AD=1,AAX=2,乙DAB=

90°,^AtAD=^ArAB=120°,则线段4G的长度是（）

A.4B.2V2C.2D.V2

【解题思路】根据温=丽+而+丽\根据向量数量积的定义和运算律可求得|福广，由此可得结果.

【解答过程】

vACi=AC+CCi=ABAD+AAX,

•••|殖:=（ABAD+丽=画2+质:+|对2+2通而+2而.丽*+2通.丽=1+1+

4+0+4cosl20°+4cosl20°=6-2-2=2,

|裾|=或，即线段AC1的长度为VI

故选：D.

【变式4-3］（2024•辽宁・模拟预测）已知空间向量五万,丽两夹角均为60。，且|汨=\b\=1,用=2.若向量£,歹

满足H•（H+d）=£•歹•CP+通=歹•F,则|£一步|的最小值是（）

A.1B.—C.0D.-

222

【解题思路】根据题意，取一个三棱锥，用其棱表示对应的向量，结合题中所给的条件，将柞应的边长求

出，之后应用空间向量运算法则，表示出对应的结果，从而判断出取最值时对•应的情况，求值即可.

且440B=Z.AOC=Z-BOC=60°,OA=OB=1,OC=2,所以48=1,

AC=BC=y]UB2+UC2-2UB-VC-COS6U0=V1+4-Z=W,

设加=x,AY=y,

因为£•(;?+,)=£•3,所以衣•(衣+成一而)=0,即衣•或=0,

所以X在以为直径的球上，球半径为点设球心为O，

又由夕•（歹+日）=歹㈤司理可知丫在以4c为直径的球上，球半径为弓，设球心为E,

球心距。£=今所以两球相交，即x点与y点可以重合，

又伉一歹|=I萩一而|=\YX\,

所以氏一到min=I我Lnin=°，

故选：C.

【题型5空间向量数量积的应用】

【例5】（23-24高二上•四川绵阳•期中）如图，在平行六面体ABCO中，底面ABCD是边长为I

的正方形，侧棱力H的长为2,且乙4S8=£A'AD=120°.求:

⑴片厂的长；

（2）直线BD'与4C所成角的余弦值.

【解题思路】（I）利用空间向量数量积的运算律求解；

（2）利用空间向量的数最积的运算律以及夹角公式求解.

【解答过程】（1）AB2=l.AD2=l,A^2=4,ABAD=0,

AB-AAf=\AB\•\AAf\cos£A'AB=-1,AD-AA^=\AD\•|而|cos乙AAD=-1,

因为而=AB+AD+彳R,

所以

I砌=J（而+AD+码）2=J而2+而2+疝2+2（而-AD+AB-AA;+AD-Z47）

=71+1+4+2（0-1-1）=&.

（2）'BD7=~BA+~BC+F57,

|两|=函+说+两=J丽2+痔+两2+2廊•丽+丽•两+旅.两）

=Jl+1+4+2（0+|明.瓯|cos60。+国•瓯|cosl20。）=倔

|回=V2,

BD7-AC=（BA+~BC+丽）•由+砌

=-AB2+而屈+万•两+丽•而+刷而+•同=-1+0-1+0+1-1=-2,

所以cos<BD',AC>=|鸳M=房"2=-4，

忸叫|ac|V6XV23

因为直线80与4c所成角€［0,3,

所以直线BD'与4。所成角的余弦值为苧.

【变式5-1］（23-24高二上•河南•阶段练习）已知不共面的三个单位向量瓦工而，而两两之间的夹角均为60。,

OM=OA+OB+0CfON=OB+OC.

⑴求证：0M1BC；

（2）求cos（。双丽）.

【解题思路】（1）根据向量的数量积运算即可证明.

（2）利用向量的夹角公式即可计算.

【解答过程】（1）因为为•。万=雨•配=砺•觉=1X1XCOS60O=5

所以南-BC=（pA+OB+OCy（OC-OB）>=OA-（OC-OB）+（pB+OCy（OC-OBy）

=0C2-0B2=1-1=0,

所以丽1就，即。M18C.

（2）因为画•丽=丽•沃=US-U?=lxlxcos60o=5

所以两•西=（OA+08+OC）•（OC+UK）=4,|UM|2=（UA+CTB+OC）2=6,

2?

所以I而I=（而+沆）=3.

所以|而|=在，|而|=V3.

所以cos西丽）=jggi=焉=半

【变式5-2］（23-24高二上•重庆九龙坡•期末）如图，已知平行六面体力BCD—4B£Di中，底面力BCO是

（1）求线段C%的长;

(2)求证：CA1LB1D1.

【解题思路】

(1)西=而+而+西，结合向量数量积运算，求模即可.

(2)B^=-CB+CD,由向量数量积关于垂直的表示即可判断.

【解答过程】(1)设而=d,^B=b,CCi=c,则|五|=\b\=1,\c\=2,

•；=乙BCD=乙GCD=60\W>Ja-c=6•c=2x1xcos60°=1,a-6=lxlxcos60°=

VCA[=CD+CF+CC；=d+5-Fc»|C4；|=|d+5+c|=J(G+B+c)2=

Ja2+52+c2+2(a•5+a•c+5-c)=Jl+l+4+2xQ+l+l)=VTl.

故线段C4的长为“I.

(2)证明：=-CS4-CD=a-5,=(a+b+c)•(a-S)=a2-b2-5-c+a•

c=1—1--+-=0.

22

故C418iD「

【变式5-3](2024高二.全国・专题练习)如图，正方体A8CD—4B1GD1的棱长是a,CDi和OG相交于点。•

⑴求可•办

（2）求同与13的夹角的余弦值

（3）判断刀与两是否垂直.

【解题思路】

（1）利用数量积的公式可得；

（2）先用荏，而，何表示而，利用数量积运算律可得前•3、|布|进而利用公式可得而与次的夹角的余

弦值.

（3）利用数量积运算律得彩・可=0,进而可得而与可是否垂直.

【解答过程】（1）正方体ABCD-&8iGDi中，CD[=&a,（可，而）=：,

故)2

C£i•CD=V2axaxcos-4=a

(2)由题意知，AB-AD=O,AB-AA^=O,AA^-AD=0,

AO=AD+~DO=AD+^(AB+,

画=J［而+洒+砌2=J而2+(而2+］丽*2=亨

故而-CB=-AOAD=-［Z5+；(而+而)1AD=-a2,

故侬阳函=布=e=-9

(3)由题意，AB-AD=0,AB-AA^=0,AA^-AD=0,

万•E=［而+X近+标)］•(赤-硝

=3矶2一g府2=o,

故而与E垂直.

【知识点2向量的投影】

1.向量：的投影

(1)如图(1),在空间，向量。向向量力投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平

面a内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量力共线的向量c,c=|a|cos〈a,b＞卷，向量。称为向量

a在向量。上的投影向量.类似地，可以将向量。向直线/投影(如图(2)).

(2)如图(3),向量。向平面夕投影，就是分别由向量。的起点4和终点8作平面口的垂线，垂足分别为

A',8',得到A'B1,向量A'8,称为向量。在平面夕上的投影向量.这时，向量a,A'Br的夹角就

是问量。所在直线与平面P所成的角.

【题型6投影向量的求解】

【例6)(23-24高二下•安徽合肥・开学考试)已知空间向量闷=V13,\b\=5,且五与3夹角的余弦值为一誓

则d在月上的投影向量为()

.9V13r09V13r

A.--------bB.------bD--舒

1313c3

【解题思路】根据题意和投影向量的概念计算即可求解.

【解答过程】•••闷=反，网=5,五与3夹角的余弦值为-誓