2025-2026学年高一数学下学期期中模拟卷（强化版）解析版

高一数学下学期期中模拟卷（人教A版）

强化版•全解全析

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证

号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：人教A版必修第二册【平面向量+复数+立体几何】

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.已知复数z=.026+2,则忆|=(

A.1B.V3C.2D.V5

【答案】D

【详解】因为i?=-l,i3=—ij4=l,i5=i,

所以i2026_,4x506+2=j2=一1,

2+i_2+i

所以Z=

i2026+2--1+2

所以|Z|=V22+12=VS.

2.一水平放置的平面四边形04BC的直观图04夕。如图所示,其中。4=09=2,0C1K轴,ABJ.K

轴，BC〃/轴，则四边形0/1BC的面积为（）

A.3V2B.6D.1272

2

1/16

【答案】D

【分析】结合图形可得4夕=4,求出四边形07T夕。面积后可得四边形04?C的面积.

【详解】设V轴与交点为。，

因为0C_L入轴,4BJ.X轴，

所以。（7/4方，

因为B'C'〃y’轴，

所以四边形"，。7）为平行四边形，

故DM=O'C=2,

又，VOy=45°,A'B'1V轴，

得DA=O'A'=2,

故AB'=4.

所以四边形。’48C面积为32+4）X2=6,

因为四边形。71BC面积是四边形。4"的面积的斗，

所以四边形。力8。的面积为12五.

3.己知两个单位向量五，B的夹角为150。，则苍•（百五一励=（）

A.0B.号C.厘D.平

222

【答案】D

【详解】依题意可得2•（占方一励=6己2—2.石=O1ld*—同|Mcosl50。=V5xl2—1x1x（—=

3V3

4.己知。的三个内角4,B,。的对边分别是a,b,c,A=30°,a=4,c=4K，则角C为（）

A.30°或150°B.60°或120°

C.60°D.30°

【答案】B

2/16

【分析】借助正弦定理计算可得smC=当，即可得角C.

【详解】由正弦定理可得就=春，即有5访。=等=吗=当

on1/1oiiiu*a44

由C>Q,故贝IJ30。VCV150。，故C=60。或120。.

5.已知一圆台的上底面半径为1,高为*体积为与，则该圆台的侧面积为（）

A.争B.苧C.等D.Sir

424

【答案】C

【详解】设圆台的下底面半径为九

147

由题意知式1+r2+r）Kx-=

整理得厂2+厂-6=0,解得r=2（负值舍去），

2

设圆台的母线长为，，M/=J（2-l）2+（1）=|,

所以该圆台的侧面积为S=n（l+2）x^=-^.

6.帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风

速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对

应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某

时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度代表速度大小，单位：m/s）,则

该时刻的真风为（）

级数名称风速大小（单位:m/s）

2轻风1.6〜3.3

3微风3.4〜5.4

4和风5.5〜7.9

5劲风8.0-10.7

图I

3/16

图2

A.轻风B.微风C.和风D.劲风

【答案】B

【分析】根据图象，求出视风风速对应的向量与船速对应的向量，即可得船行风风速对应的向量，由题意,

可求出真风风速对应的向量，根据求模公式，求出大小，对照表格，即可得答案.

【详解】视风风速对应的向量，起点为（3,4）,终点为（0,3）,则向量为（—3,—1）,

船速对•应的I句量，起点为（2,0）,终点为（3,4）,则向量为（1,4）,

因为船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反，

所以船行风风速对应的向量为（-1,-4）,

由视风风速对应的向量是其风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，

设真风风速对应的向量为®匕），则｛二;二;，解得

即真风风速对应的向量为（-2,3）,则真风风速大小J（一2）2+32=S叵，

因为3.42=11.56,5.42=29.16,11.56<13<29.16,

所以后£3.4〜5.4,则该时刻的真风为：微风.

7.三棱锥S-4BC中，ABA.AC,SAL^ABC,AB=AC=2,SA=3,球。是三棱锥S—/IBC的外接球,

则球。的体积是（）

A.邛%B.邛%C.誓RD.哗%

6323

【答案】A

【分析】借助补形法可将原三棱锥补形为长方体，再求出该长方体体对角线长即可得外接球半径，最后利

用体积公式计算即可得解.

【详解】如图，由题意可知，可将三棱锥S-48C补形为长、宽、高分别为2,2,3的长方体，

且三棱锥S—ABC的外接球与长方体的外接球为同一个球，

又该长方体的外接球半径为R=弋"32=当，

4/16

则球。的体积是争?3=苧x（亨丫=中.

8.在边长为2的正三角形ABC的边4B、4C上分别取M、N两点，沿线段MN折叠三角形，使顶点A正好落在

边8c上，则4M的长度的最小值为（）

A.B.竽C.4V3-6D.2

【答案】C

【分析】在图（2）中，连接MP,白折叠可知AM=PM,根据等边对等角可得4艮4P=^APM,又因为28Mp

为△/1PM的一个外角，设，区4P=心可得NBMP=2仇

再设力M=MP=x，根据正弦定理可得出关于式的关系式，结合正弦型函数的有界性可求得％的最小值.

【详解】显然4P两点关于折线MN对称，连接MP,图（2）中，可得4M=PM,则有N84P=z4PM,

设=Z-BMP=Z.BAP+LAPM=20,再设/M=MP=x,则有MB=2—x,

在△ABC中，Z-APB=180°-^ABP-Z-BAP=120°-0,=120°-20,又4MBp=60°,

在△BMP中，山正弦定理知;^^=焉而，即而言丁=舟，:*=苧+/（^0。一2》

-.■OC<0<6O°,.-.0°<120°-20<120°,.-.^120°-20=90°,即。=15°时，sin（1200-20）=1.

此时％取得最小值舟=晋=4乃-6,贝的最小值为4K-6.

2+V3

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知为，Z2为复数，下列说法正确的是（）

A.若Z；+Z2>0,则Z；>—z2

5/16

B.Zi一药是纯虚数或零

C.若%+1|=0+1|，则Zi=Z2

D.若Z1，Z2是方程;%2—2%+5=0的两根,则z彳+z号=一6

【答案】BD

【分析】举例z[=4+i,z2=2-2i,判断A；利用复数的运算法则判断B；利用反例法判断选项C.利用

韦达定理计算判断选项D.

【详解】举例说明：若Zi=4+i,々=2—2i,则z彳=15+8i,z]=—8L>0»

但好与一z名都是虚数，不能比较大小，故A错；

设Zi=Q+bi（a,》ER）,则zy=Q-bi,故Zi-Zi=2bi,

当七=0时是零，当bHO时，是纯虚数，B正确；

令21=—2,Z2=0,满足|Z[+11=\Z2+11»但一2H0,故Zi*Z2,

ki+1|=\z2+1|不能推出Zi=z）,故C错误.

已知ZM2是方程X2—2》+5=0的两根，由韦达定理得偿+第二：，

2

•••21+Z2=⑵+Z2）—2Z/2=4—2X5=-6,故D正确.

10.如图，AC为圆锥S。底面圆。的直径，点8是圆。上异于4、C的动点，SO=2,OC=五,则下列结论正

确的是（）

B

A.圆锥S。的侧面积为

B.三楂锥S一力8C体积的最大值为4

C.圆锥S。外接球的表面积为

D.若AB=BC,£为线段88上的动点，则SE+CE的最小值为J10+4近

【答案】ACD

【分析】求出圆锥的母线长，利用圆锥的侧面积公式可判断A选项；利用基本不等式结合锥体的体积公式

可判断B选项；易知球心在直线S。上，所以该圆锥外接球半径即为△SAC外接圆半径，利用正弦定理以及

球体表面积公式可判断C选项；将△SAB、ASBC展开为一个平面，利用余弦定理可判断D选项.

6/16

【详解】对于A选项，圆锥S。的母线长为SC=7s02+32=72^+7=V6,

故该圆锥的侧面积为ITX«X«=2技r,A对;

对「B选项，因为4c为圆锥SO底面圆。的宜径，点B是圆。上异「力、C的动点,

所以48_L8C,由勾股定理可得力B2+8C2=4C2=8,

由基本不等式可得力B2+BC2=8>2AB-BC,故48BC<4,

当且仅当4R=RC=2时，等号成立，故=

故%-4BC=B&4BC・SOW：X2X2=$故三棱锥5-4BC体积的最大值为!B错;

对于C选项，易知球心在直线S。上，所以该圆锥外接球半径即为△S4C外接圆半径,

设其外接球半径为R,SEQC4"二亭

所以家二装片要二？，故圆锥S°外接球的表面积为4W?2=nx(2R)2=9mC对:

对于D选项，当=时，易知A8=BC=2,将△5AB、△58C展开为一个平面，如下图所示:

在CS/IB中，SA=SB=显,48=2,

222

由余弦定理可得cos/SBA=SB+A3-SA6+4-6一限

2SDAD_2x>/6x2

所以sinz5b4=—cos2/SR4=J1—（半）=午5

易知ZJ18C=p故cosz«SBC=cosQ+z.SBA^=—sinz.SBA=—

由余弦定理可得SC?=SB2+BC2-2SB•BC-coszSBC=6+4-2V6x2x（一钥=10+4。,

当点S、E、C三点共线时，SE+EC的长取最小值，且其最小值为，点+4西,D对.

11.我国南宋著名数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形的三边长，求三角形的面积的问题,

其求法是：“以小斜哥并大斜吊城中斜哥，余半之，自乘于上.以小斜幕乘大斜幕减上，余四约之，为实;

一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即S,现有△48C满足

sinA:sinB:sinC=2：V7：3,且S。/?。=6K，则（）

A.△力BC三个内角4B,。满足关系4+C=28

B.△48。的周长为10+2«

7/16

C.若乙8的角平分线与片。交于。，则8。的长为皑

D.若足为△48C外接圆上任意一点，则冠•前的最大值为14+等

【答案】ABD

【分析】对A,利用正弦定理得出三边关系，结合余弦定理可判定；对B,由三角形面积公式计算可得三边

长，从而判定：对C,利用三角形面积公式结合已知条件求解：对D,设2区4c二仇利用正弦定理表示出

AE,由数量积定义求出荏・公，利用正弦函数性质求解最值.

【详解】对于A,由sin4sinB:sinC=2：A/7：3,得a:b:c=2：V7：3.

设a=2k,h=y/7k,c=3k(k>0),

由余弦定理，cosB=±又0VB<TT,所以

则4+C=IT-]—g=28,故A正确；

对于B,由SAABC=macsinB=£x2kx3kx，=6旧，解得k=2,

所以。=4力=2夕(=6,则其底长为10+2夕，故B正确；

对于C,由=SfBD+S/D=-B0sin3O。+3BC.BDsin30°,

所以6b=16乂3/“打"4><电)乂表解得30=等，故C错误；

对于D,当E在优弧力。上时，设/B4C=仇0VJV-,则/。==一心

在CACE中，LAEC=/.ABC=7*

由正弦定理，人心嗔明唔鸣一),

—►—►厂4VH/2n\

AEAC=2v7x---sin―6)cosO

=早cos2。+；sin0cos0)=^^sin(26++14,

因为0<夕<与，所以26+“g号),

当28+”1，即”工时，sin(26+勺=1,即版•元取得最大值空一+14；

又当点E与点A重合时，荏•无=0；

当点E与点。重合时，AEAC=AC2=28-

当E在劣弧4C上时，若NB4c相司时，此时|版“、于《在优弧.4。上：

8/16

综上，荏•前的最大值为邛+14,故D1E确.

第二部分（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知向量优石的夹角为45。，且同=4,|引=VL则向量Z在向量，上的投影向量为.

【答案】拓

【分析】根据投影向量的计算公式即可求解.

【详解】向前在向量让的投影向量为[•[二V7X4X亭1

4x4。二产

13.如图，风景秀美的宝湖畔有四棵高大的银杏树，记作48,P,Q,湖岸部分地方围有铁丝网不能通过.欲测

量P,Q两棵树和4P两棵树之间的距离，现可测得4B两点间的距离为100m,乙PAB=75°/Q4B=45。

ZPBA=6Q°,^QBA=90。.则P,Q两棵树和4/两棵树之间的距离分别为m、m.

100m

【答案】50V250V6

【分析】利用正弦定理、余弦定理求解即可.

【详解】在△P/18中，Z.APB=1800-Z,PAB-Z,PBA=180°-75°-60°=45°,

根据正弦定理:^77=:，代入48=100,^PBA=60°,^APB=45°,

sin乙，D/Isin/_/iID

得焉=揣，解得月0=50历・

在RtZ\Q/lB中，Z.QBA=90°,Z-QAB=45°,AB=100,

所以AQ==100V2,且乙PAQ=LPAB-Z.QAB=750-45°=30°,

根据余弦定理，在△/MQ中，PQ2=AP2+AQ2-2APAQcos^PAQ,

代人得尸Q2=(50V6)2+(1OOV2)2-2x50V6x100V2x平=5000,

因此PQ=50V2,

故答案为：PQ=5OV2,/1P=5076.

9/16

14.已知底面为正方形的直四棱柱的高为4,底面边长为4,其内部有一个与直四棱柱所有面均相切的内切

球0.现以直四棱柱上底面的中心为顶点，下底面的外接圆为底面作一个圆锥，则该圆锥与内切球。的公共部

分的体积为.注：球缺的体积公式为卜=口等纥R为球的半径，力为球缺的高.

【答案】党

【分析】根据题意可知重合部分由圆锥S-AB和球缺构成，根据公式计算体枳即可.

【详解】解：根据题意该直四棱柱是边长为4的正方体，

则球的半径为2,圆锥底面半径为2VL高为4,

如图，重合部分由圆锥S-/1B和球缺构成，

设MN=%,则0N=2—x,SN=4—x,AN=y/OA2—ON2=V4x—x2»

又tan“SM=^=,=平=率即臂=多

解得％=+或x=4（舍去），

则MN=/IN=W，SN=*

圆锥S-4B的体积匕=1xn（殍丫Xg=黑，

球缺的体积匕=半®把=Ax?-力（丁=鲁，

3381

故重合部分的体积V=匕+匕=翳.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.（13分）已知i为虚数单位，zi，Z2是％2+mx+〃=0（7n刀£/?公=7712一4九〈0）的两个根.

（1）设Zi，Z2满足方程zi+（1—i）Z2=9+6i,求m,n的值;

（2）设zi=l+2i,复数zi，Z2所对的向量分别是己与加若向量万一加与五+23的夹角为钝角，求实数用勺取值

范围.

【答案】（l）m=12,n=477

（2）（-7,-1）U（-1,+（»）

10/16

【分析】(1)利用共扰复数性质和韦达定理求解方程参数：

(2)将复数转化为向量，利用向最夹角为钝角的条件(数量积为负且不共线)求解参数范围.

【详解】(1)因为m,屋€RA=m2—4n<0,

所以方程#+mx+?i=O的两个根zi，Z2为共挽复数，

设Zi=a+bi,z2=a—b\(a,匕eR),

由韦达定理得zi+z2=一血，z[Z2=n,

将Zi=Q+bi,z2=a—bi代入Z14-(1—i)z2=9+6i,

得a+bi+(1—i)(a-di)=9+6i,即(2Q-b)-ai=9+6i,

所以『ML%>解得｛—二君，所以Zi=—6—21i,z2=-6+21i,

所以m=-Qi+z2)=12,n=zxz2=477.

(2)因为Zi=l+2i,所以Z2=l-2i,所以五=(1,2),b=(1,-2),

所以6-b=-(1,-2)=(t-l,2t+2),a+2b=(1,2)+2(1,-2)=(3,-2),

因为E一行与3+2石的夹角为钝角，所以(从一石)•(元+2励<0,且归一区与五十2区不共线，

所叫/二?J跋窗°0,解得t>-7且t7，

所以实数1的取值范围为(一7,—与U(-l,+co).

16.(15分)在△ABC中，角4、B、C的对边分别为a,8、c,若匕=Q(cosC+/sinC),

(1)求角A的大小：

(2)若。为8C中点，AD=V13,b=3c,求边a.

【答案】(1)4=与

(2)a=2夕

【分析】⑴利用正弦定理对b=a(cosC+孚sin。把边转换为三角函数，变形化简计算出角A的三角函数

值，计算角4的大小；

(2)利用向量加法的法则可知而=*屈+而)，再利用余弦定理，计算边&

【详解】(1)因为b=Q(cosC+?sinC),

所以由正弦定理可得sinB=sin/l(cosC+^sinf),

在中,B=n-Q4+C),

11/16

所以sin8=sin(i4+C)=sin4cosc+cos/lsinC=sin4cosc+^sin/lsinC,

BPcos/lsinC=^ySin/lsinC,

因为CE(0,n),sinCH0,所以tam4=VJ,

因为716(0,Tt),所以4=全

(2)因为然=^(A8+AC),所以|而|=gj(而+AC)2=而2+|宿2+2|制祠cos/

=1Jc2+b2+2cbcos^=

又=所以d=乎c,所以c=2,

又因为M=/J2+C2-2bccosA=9c2+c2-6c2cos^=7c2,所以Q=2y/7.

17.（15分）如图，在梯形48CD中，AB//CD,AB=3CD=6,E为BC上一点,且丽=3说,

DC

APB

（口若力^二山力^十九力。，求m+n的值；

⑵已知而•前二-9.

①求的长；

②若乙8/1。=],设P是线段上的一个动点（含端点），求丽•港的最人值.

【答案】（l）m+〃=?

（2）@AD=2：第.

【分析】（1）根据向量的线性运算，结合图形的几何性质，可得答案；

（2）①利用同一组基底而，而表示向量，根据数量积的运算律，可得答案；

（2）-^=A^（0<l<1）,利用基底函而计算而•两二36万一•1+6,根据二次函数性质求最值.

【详解】（1）因为AB//CD,AB=3CD,所以瓦而，

所以荏=近+屁=而+科=而+-^BA+而+硝

=同+*_而+而+/）=痴+海，

又短=m荏+九而，方与而不共线，所以m=；,n=p

4Q

12/16

则?n+九=：.

（2）①由（1）知，荏=冠+涉，

前=-而+而+萍=荷-彳福

所以荏.前=&荏+；而）•（而—冠）=夕•而+痴2_颍2一9.而

=^AD2-^AB2=^AD2-12.

又荏•近=-9,所以%。2-12=一9,解得=2.

②没Q=苏政0<A<1）,

则方=AD-AP=AD-AAB,

~PE=AE-AP=^AB+^AD-XAB=6-X）AB+^AD.

又因为4/。=泉AB=6,AD=2,

所以而~PE=（AD-AAB）•［（I-A）而+涉］

1―»23—»217―，―►

=+-AD+-AD

24L4

13171

=-A（--A）x36+-X4+（---A）x6x2x-

Z4Z4Z

=36A2-^A+6.

因为0WaW1,函数/（A）=36"一?+6的对称轴为;I=虚

所以2=1时，丽•丽的最大值樗.

18.（17分）为了响应全国文明城市的号召，长沙市计划在公园内建造如图所示的正四棱台力BCD—4i/Ci

建筑.

(I)若正四棱台的上、下底面的边长分别为6米和10米，高8米求该正四棱台为8C0—4/GD1的侧面积

和体积；

13/16

(2)若正四棱台的上、下底面的边长之和为12米，下底与上底边长之差不超过4米，棱台高2米，设4Bi

BC=a.求sina的最小值.

【答案】(l)64VT7(m2),号^(m3)

(2彦

【分析】(1)由台体的体积公式求解该正四棱台的体积即可；先求出正四棱台的侧面的

高，再由梯形的面积公式求解即可.

(2)设正四棱台上、下底边长分别为2x,2y.分别用％,y表示MN,B]B,即可表示出sina,令t=(y-%)2

G(0,4],贝ljsina=。十二,结合函数的单调性即可得出答案.

【详解】(1)因为正四棱台的上、下底面的边长分别为6和10,高为8,

故正四棱台48co-力体积为V=x(62+102+762x102)x8=等(n^),

记01，。分别为校台上、下底面的中心，分别取为Ci，8C的中点加，N,

连接。01，OiM,ON,MN,

在梯形01MN0中，过M作MHION于H,

由于正四棱台侧面是全等的等腰梯形，

且OiO=M〃=8,0}M=3,ON=5,所以〃N=2,

所以MN=7MH2+HN2=灰2+22=2g,

故该正四棱台的侧面积S=4x；x(6+10)x2a7=64V17(m2).

(2)设正四棱台上、下底边长分别为2x,2y.

由条件可知，x+y=6,0<y-x<2.

此时在等腰梯形B/CCi中，

MN=yj22+(y—x)2,B$=yjMN2+(y—x)2=-J2(y—%)24-4»

所以sina=^=

Bpyj2(y-x)2+4

令c=(y-x)2k=(0,4],

14/16

则sina=户=户=R+—容

y/2(t+2)72(t+2)\J2t+23

当且仅当t=4时取等号.

19.(17分)定义：设。为坐标原点，若非零向量由=(。力)，函数/(乃的解析式满足fa)=asinx+bcos

X，则称/•(%)为丽的伴随函数，丽为/•(%)的伴随向量.

(1)若向量力瓦为函数/(无)=2sin(K+?的伴随向量，求。材的坐标；

(2)若函数f(x)为向量丽的伴随函数，在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为瓦c,f(C)恰好为函数/'(x)的最

大值.

(i)若丽=(24,7),的角平分线交48于点0,c=2,求CD的最大值：

(ii)若加=(b,1),在锐角△,4BC中，求丁=更察的范围.

【答案】(1)丽=(1,遍)

(2)⑴j(ii)TG[4,|)

【分析】(I)应用和角正弦公式展开，再由伴随向量的定义写出两；

(2)(i)根据已知及辅助角公式得/(%)=25sin(x+◎),tan.=看,结合已知求得sinC=微，cosC=),

再由三角恒等变换、等面积法、基本不等式求CD的范围，即可得；(ii)根据已知及(i)得乙。=,应用正

弦边角关系、三角恒等变换得T=■而目/W但J)，利用余弦函数的性质求范围.

4cosz(4-j)'62/

【详解】(1)由已知/(x)=2sin(x+9=2(si