2026年广东省广州市高三考前冲刺训练（二）数学试题与答案

2026年普通高中毕业班考前冲刺题（二）

数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知集合4={乂k一2|>1},B={x\x<a},=则实数〃的取值范围为

A.(-oo,l]B.(-<»,3]C.[l,+oc|D.[3,+00)

2.已知a。£R,则“2“v2'”是“log?a<1°§2b”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.已知圆锥的母线长为2夜，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的底面半径为

A.2B.2X/2C.V?口.卓

4.在△ABC中，AE=-AB,AD=-AC,8。和CE交于点0,则空为

35OD

A.3B.4C.5D.6

5.在某马拉松比赛活动中，甲、乙、丙、丁四位志愿者被派往4、凤C三个服务站，若每

个服务站至少派一位志愿者，旦每位志愿者只能被派往一个服务站，则在甲被派去8服

务站的条件下，甲、乙被派去不同服务站的概率为

1c1r5

A.—B.—C.—D.—

6236

6.已知函数/（力=2-+2、,若关于〃，的不等式/（⑼-/（26+3）＞0恒成立，则实数〃，的

取值范围是

A.（一co,-3）U（-1,+8）B.[3,；）

C,卜工-|）2）＜-|,+8）

7.已知椭I员IC：《+工=13＞匕＞0）的左顶点为A,0为坐标原点，在C上存在点尸，使

a~b~

得NA尸0二工，则C的离心率的取值范围为

2

8.已知曲线)，=V-x与曲线)，=/+〃有四条公切线，则实数。的取值范围是

1

D.一,+8

4

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有诜错的得0分.

9.已知复数z「z2,则下列命题成立的有

A.z；卜|z『,〃cZB.若卜+22闫4—z?],则ZR=0

/\一

C.若z；+z；=0,则闻=㈤D.—==■

』JZ2

10.已知抛物线屈y2=2px(p>0)的焦点为人以D(p,o)为圆心，。尸为半径得到圆£),

圆上有一点(P，l).过点尸的直线与E交于RQ两点，与圆。另交于点M,则

A.〃=2B.当|"|二4归0|时，P的横坐标为2

C.当|P尸|=4|FQ|时，|MF|=|D.|FM||P(2|<|FP||Fe|

11.在非等腰A4BC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且角A,8满足

cos2fi-cos2A=sin(X-fi),贝ij

A.a2=b24-c2

B.tanAtanB=1

C.记c上的高为力，则鬻的取值范围为|半」)

D.△ABC的内切圆半径、外接圆半径、周长能构成等比数列

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.在(l+x)+(l+X)2+(l+x)3+(l+x)4的展开式中，含f项的系数为一.(用数字作答)

13.若矩形的边长之比为:，一条对角线所在直线的斜率为2,则矩形的一组邻边所在直线

的斜率为，.(写出满足条件的一组即可)

14.在直三棱柱ABC-ABC中，M,N分别在棱8修，上,且。4二：。百，

BM=gBBr过点A,M,N的截面把直三棱柱ABC-ABC切割成体积不同的两部分,

记较小部分的体积为V，较大部分的体积为匕，则券=.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)

在数1和100之间插入〃个实数，使得这〃十2个数构成递增的等比数列，将这〃十2个

数的乘积记作7；,令《,=1g7；.

(1)求数列｛〃〃｝的通项公式；

(2)若2=—————，求数列也｝的前〃项和却

COSQ〃・COS%+]''

16.(15分)

已知函数f(x)=\nx-nvc24-Inm(m>0)

(1)当加=1时,求曲线y=f(x)在％=1处的切线方程;

(2)已知函数g(x)=m/，若/>0时，/(x)2g(x)恒成立，求实数用的取值范

17.(15分)

如图，四面体A3CO中，4O_LC。，AD=CDtZADB=^BDC,七为AC的中点.

(1)证明：平面8EO_L平面ACO；

(2)设A8=8O=2,ZACB=60°,点尸在上，

①求四面体ABCD与其外接球的体积比(化为最简形式)；

②当△AFC的面积最小时，求CF与平面A3。所成的角的正弦值.

A

18.（17分）

已知抛物线r：/=4A,。为坐标原点，点A,3在曲线「上，直线。4,0B斜率之

积为——.

2

（1）求证：直线过定点；

（2）若圆。面积为4兀,直线。4,03与圆C都相切,

①讦明:圆心。在定曲线W匕并求曲线W的方程:

②若直线04与曲线W交于E、尸两点，直线0B与曲线卬交于M、N两点，求

|E*MN|的最大值.

19.（17分）

一个小盒里有6个除颜色外完全相同的小球，其中4个黑球，2个红球，从盒子中每次

随机取出一个小球，若取出黑球，则放回小盒中；若取出久球，则有两种不同的操作，操作

一：把取出的红球放回小盒，并往小盒里加入2个红球；操作二：用1个除颜色外完全相同

的黑球替换该红球放【可小盒中.

（1）分别计算在两种操作下，抽两次球，第二次取到的球是红球的概率；

（2）在操作二的前提下:

①求在第〃（〃22）次抽球时，抽到的球恰好是第二人红球的概率（结果用〃表示）.

②现规定当两个红球都被抽出来时停止.抽球，旦最多抽球10次，第10次抽球结束后无

论盒中是否还有红球均停止抽球，记抽球的次数为X,求X的数学期望.

2026年普通高中毕业班考前冲刺题（二）

数学参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

12345678

ABCCDCBB

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错

的得0分.

9.ACD10.AC11.BCD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

149

12.1013.一1,I或7,-一（写出一组即可）14.—

759

I部分试题解析］

5.【详解】记“甲被派去B服务站”为事件A,“甲、乙被派去不同服务站”为事件B,

则〃(4)=C：C：4=12,〃(AB)=(C：—l)C；&=10,所以「(3|A)=半程

n(A)o

6.【详解】由/（司=27+2-，=2（2，“+2一1）,易得y=/（x）关于x=—l对称,

设，=x+l,则gQ）=2（2'+2T）（f〉0）单调递增，所以在（一l,xo）上单调递增,

所以Im一（一1）1>|2〃-3-（-1）|,解得一3<〃?<—?

3

7.【详解】假设存在点尸（%,稣），则（％+q）2+）片=4，

222

所以（X+42+/（］-马=£,化简得+©+「2=0在所0）上有解，

°2a24a2

t<厂

易知x=-a是方程的一解，只需对称轴“"一三’一“，解得£>乂2,所以eg

J)

2-a2

8.【详解】设曲线y=f+〃上的切点为（百，y）,曲线）'=M-x上的切点为伍,巴），

2玉=3x；-1

则切线方程分别为y=2内x-X；+卬)，=(3后一1)无一2石，所以＜

-x；+ci——2上

即4=H一2石=呢-要+1_2石所以4a-1=9^2-8考-6x?

令h(x)=9x4-8x3-6x2,H.A(x)=12x(3x+l)(x-1)

751

结合图象可得，当一一＜4f/-l＜0,即一＜。＜一

27274

10.【详解】抛物线Ey?=2px的焦点为尸(go),圆。方程为(x-p)2+)，2=f,对于A,

由点(P」)在圆。上，得p2=4,而，＞。，则P=2,A1E确；

抛物线E：引二⑥的焦点为尸(1,0),设直线P。方程为冲焦+1产(石,凶),。(工2，幻，由对称

x=ty+}、[Y+)',=4，

性不妨令点F在第一象限：由，[，得/-4今，-4=0,贝IJ"",对于回由

"=4”[y,y2=-4

|夕尸|=4y0,得y=-4为，解得y=4,$=?=4,B错误；

,、44

对于C,由选项B得点々4,4),直线尸。斜率左=鼻，即tan/尸产。=铲

则cosN7YD=|,而=因此|MF|=2|。@cos/尸尸。=4，C正确;

对于D,忸。|=%+%+2=/(乂+%)+4=4/+4,又

|尸斗|尸5=（、+1）（人+1）=（。+2）（叨+2）=/乂必+2（”+力）+4=4*+4,

且圆。的弦。＜|尸M＜2,因此|月”||尸。|一|印忻。=(4/+4川用川一1)不一定小于0,D错

误.

11.【详解】由cos2B-cos2A=sin(A-B)有，"乎'一l+c°s2)=而(4一为

22

即sin(A+")sin(A-8)=sin(A-8),因为A,8£(0,兀)，则A-6w(一兀,兀)，

且8c为非等腰三角形，则A—8工0,可知sin(A—8)/0,

TT71

即sinC=sin(A+N)=l,所以。二一，所以。=一，g|j故选项A错误，

22

因为3=£-A,piijtanB=tanI-A।=—5—,即tanAtan4=1,故选项B正确；

2I2)tanA

b

对于选项C：因为人=〃sinA,。〃tanA,c=------

cosA

a-^-b_btanA-i-bsinA+cosA

则c+hb,.sinAcos4+1，

----+/?sinA

cosA

r2-l

令sinA+cosA=1,且Aw8,则sinAcosA=------

2

因为1=sinA+cosA=后sinA+工,

\4j

兀n3兀、

且4s则4+—e

42U;

对于选项D：因为3c的内切圆半径

_X]"_ab_ab(^a+b-c)_a+b-cf

a+b-\-ca+b-\-c(a+Z?4-c)(t/+Z?-c)2

且外接圆半径R=-c,

2

假设AABC的内切圆半径、外接圆半径、周长构成等比数列，

则(])=("+＜卜—"+。〉整理可得/一4必+从=0,此方程显然是有解狗,

故选项D正确.

综上，正确答案为BCD.

14.【详解】

设平面AMN与棱AC交点为。，则AO=3Z)G，(可先补成四棱柱，如图易得结论)

设M到平面ACGA的距高为d,设直三棱柱的体积为V

_111213

所以%-八四加+VW-AA”=1乂大5934Gx三AAj^~x~S^d

J1Z5JoaACC

=-V+-x2V

548

49

=­V

108

所以工v二竺49

K59

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)

解：(1)设这〃+2个数分别为q,「2,…，%+2,其中。=1,%+2=10°，

则。二4,。2…％+/C田①

雹=%+2<".2<2②

两式相乘得

T；=(。£+210%)…(续2。)=10/2=102田

「.7；=1(产

・・•4=四。=〃+2

(2)由(1)可知

b_sinl_sinl_sin[(〃+3)-(〃+2)]

“CON〃”.CCS〃»]c鼠〃+2)cc«〃+3)COS(77+2)cos(n+3)

=siM+3)c吗+2)：二(〃+乎皿〃+2)=tan(z?+3)_tan(/?+2)

cos(〃+2)cos(〃+3)

所以(=tan4-tan3+tan5-tan4+•••+tan(/?+3)-tan(/?+2)=tan(/7+3)-tan3

16.(15分)

解：(1)函数定义域为(。，+8)

当“7=1时，曲线/(x)=lnx-—在％=i处的点为0,一])

求导得f\x)=--2x,则曲线)，=/(x)在x=1处的切线斜率k=/'⑴=-1

x

则曲线y=/(x)在x=1处的切线方程为)，=-x即x+y=0

(2)由f(x)Ng(x)恒成立,

即hix—〃疗+In/??>--nix2即Inx+In加2J即ln("z。>—即mln(//Lv)>es

in,mm

即mx-ln(/nr)>x-ex即*("")•InQnx)>xex

x

记h(x)=xef即/2(ln(/nr))Nh(x)>0

当ln(mv)<0时，/?(ln(/?u))<0<h(x),不满足题意

当ln(/nK)NO时，XG(0,*DO)时，〃'(工)=(x+>0"亘成立，所以〃(x)在(0,+8)上单

调递增，H.A(x)>0,所以〃(ln(/nr))2〃(x)>0oln(/m:)Nx

所以ln(/nr)2x>0对于任意的xw(0,-KO)恒成立

m>—对于任意的xG(0,-KO)恒成V.

x

记尸⑺=《，则/⑴二£1燮)可得「⑴在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增,

XX

故尸(x)min=Ml)=e，所以加泊

则实数机的取值范围是

17.(15分)

解：(1)证明：因为A/)=C。，且E为AC的中点，所以ACJLOE,

在AADB中和△8C£>中，因为4)=8,且NAOB=N€7)4,DB=DB

所以△AOBZABC。，所以A8=8C,

又因为£为4。的中点，所以AC_L8E,

因为OEc8E=E,且DE,BEu平面BDE,所以4C_L平面

乂因为ACu平面ACO,平面ACD_L平面BDE.

(2)解：①由(1)知AB=8C,且NAC8=60。，48=2,

所以△48C为边长为2的等边三角形，则AC=2,4£=6,AE=1,

因为4£>=C。且AQ_LCZ),所以△AC。为等腰直角三角形，且DE=1

可得DE=1,且E为d8的外接圆的圆心,

又因为A8=BQ=2,可得DE?+BE?=BD?,所以BEJLOE,

取等边△ABC的外接圆的圆心。，则。为四面体A8CO的球心，且0£=也，

3

设四面体48co的外接球的半径为R,则2=4炉+0巨=:，即欠=3叵，

33

所以外接球的体积为丫=±冗内=±兀（空）3=三立加，

33327

又由。炉+8炉=8。2,所以。EJ.8E,

乂因为4C_LOE,且4CnBE=E,AC,BEu平面ABC,所以。El平面A8C,

所以四面体的体积为九m=k@x22xl=正，

343

则冲V=生a，即四面体A8C。与外接球的体积比为9三,

V32兀32兀

②由（1）知，ACL^BDE,连接£7L因为E尸u平面石，

所以AC当△AR?的面积最小时，点尸到宜线AC的距离最小，

即EF的长度最小时，4W的面积取得最小值，

在直角LHDE中，当"的长度最小时，EF1BD,此时印=与等=旦

BD2

乂由£>EJLAC,8£_LAC,可得两两垂直，

以E为坐标原点，以外,阳,右。所在的直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，

如图所示，则A（IOO）,A（O,G,O）,O（O,O,I）,C（TO,O）,

可得AB=（-1,石,0）,丽=（0,75,-1）,

在直角七中，DE=1,DB=®BD=2,可得DF=匹-=L,BF=d,

DB22

所以3方=而，设/（O,y,z）,则而=（0,y,z—l）,而=（0,6-y,一2）,

所以34o,），,z—l）=（oj5—y,—z）,可得y=Yl,z=3,OPF（o,—所以#=（1评，5,

444444

_h•AB=-x+x/5y,=0

设平面AM的法向量为〃=a，）"）,贝"_'1,

nDB=V3y1-zl=0

取y=1,可得,=V5,z=V5,所以〃=（V5』,\/5）,

CM配或=篇=#'

设C尸与平面/W。所成的用的为〃，可得sine=

所以，当△AFC的面积最小时，b与平面AB。所成的角的生叵.

7

18.（17分）

解：（I）设&得-,）北），区（5-,了2），则有心八=7，^OB=~

“，，44161

故•koA，koB=------------=--即）管）’2=一32

y%）仍2

设直线A8方程为：x=tny+t联立方程得：寸―4切），-4f=0,

由根与系数关系得：X,『2=—4f

即_今=—32,得，=8,则直线AB过定点（8,0）

（2）①依题意，圆。半径为勿*2=44，得，=2

设圆心坐标为（%，%），过原点与圆相切的直线方程为y=kx，

则有与一词=2,化简得（需一4）公一2%%攵+4一4=0

设直线。4、OB斜率分别为匕，乂，则有女於二冬±二一1

--Ao-42

化简得：芯•+%=1，即圆心。为椭圆《+二=1的点

126126

所以该曲线的方程为《+f=1.

126

②设直线04、08的方程分别为：y=/cx,y=--x,设E（%,y）,

2k

y=kx2

则有2，解得工2=—_,所以|阳2=12（1：.）

1

—+2_=12公+12公+1

U26

同理可得|0M『="4k；+l）

2k1

则IOEF.|OMFJ2（1：丘）6（42；+1）

2公+12公+1

6公+3

二力32+2/）（4〃+1）

2

<36^、1二81

2公+12公+1（2攵2+1尸

所以附