高中数学 二级结论 结论快练 （一）

二级结论01绝对值问题最值结论

1.卜一2卜卜+1|的（）

A.最小值为0,最大值为3B.最小值为-3,最大值为0

C.最小值为-3,最大值为3D.既无最小值，也无最大值

2.不等式|x-4|-|x+2|的最大值为，最小值为.

3.不等式上-卜|'-2|的最大值为，最小值为.

4.若关于X的不等式k-4|-卜-3〈。在R上的解集为空集，常数。的取值范围为

二级结论02糖水不等式

1.下列命题是真命题的是（）

A.若a>b,贝I]/〉。）.B.若。>b,则/</

D.若a>b>0,c>0,则"^>2

C.若。>b,贝

a+ca

2.根据不等式的性质判断下列命题一定正确的是（）

A.若〃>〃>（）,〃?>0,则妙'与2的大小关系随机的变化而变化

G+〃？U

B.若Z?>a>0,〃?>0,贝I>""

aa+in

C.若c>d>。，则鬻〈筌

D.若心。，…，则一定有品+七〈卷+备

3.建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积.但按采光标准，窗户面积与地板面积

的比值不小于1。％,并且这个比值越大，住宅的采光条件越好.现欲在原设计方案的基础上，

同时增加住宅的窗户面积和地板面积，若增加的窗户面积和地板面积相同，则住宅的采光条件

一定_________.（变好或变差）

二级结论03权方和不等式

1.若。>0,/?>（）,且a+Z?=3,则X—+上一的最小值为________.

〃+1b+\

2.已知〃>0,b>0,c>0且〃+。=2,则一二十―的最小值为.

3.已知正实数x,y满足x+y=3,则&或+12士江的最小值为________.

yx

二级结论04三元（n元）不等式

1.已知正数。，〃满足/+2〃=1厕"2的最大值是（）

A.1B.3C.BD.1

3399

2.已知c>。，且a+b+c=abc，,则abc?的最小值为.

3.若x>0，贝I2x+，•的最小值为.

二级结论05柯西不等式

1,已知。，b,ceR,满足(a+2f+〃+(c+l)2=12,则a+b+c的最大值为()

A.2B.3C.4D.6

2.实数X、y满足3d+4/=12,则z=2x+6)，的最小值是()

A.-5B.-6C.3D.4

3.已知实数x‘y,z满足x+2y+3z=6,则d+知+z?的最小值是

18

A.76B.3C.—D.6

4.已知“、beR,a1+b2=4,求3a+26的最大值为()

A.2y/lB.2>/13C.2x/17D.4

二级结论06倒负函数

1.若函数满足=,则称/'(x)为“倒负函数”.已知函数/(x)=alnx+"_-,

/(2)=1-21n2,,\)\\\ab=()

A.2B.1C.-2D.-1

2.设/0)=M，若小/)+/9)=0,则2〃『十5的最小值为.

2

3.若f(%)=lnx-----1,则函数/a)在定义域内有_________个零点.

x-1

二级结论07对数糖水不等式

1.己知〃=log32,方=1嗝3,c=log54,则〃，b,C的大小关系为()

A.c<tz<bB.a<h<c

C.b<a<cD.c<b<a

2.已知79<6°,设i=log?6,b=logs7,c=0.9,贝lj()

A.c<a<bB.c<b<a

C.b<a<cD.h<c<a

3.已知89<7i°,设a=log，，Z?=logy8,c=0.9,贝I］()

A.c<a<bB.c<b<a

C.b<a<cD.b<c<a

4比较大小:嘀2—(填“v"或"二”)log96.

5.比较大小:1。瓦3一(填或J")iogl614.

二级结论08抽象函数周期性和对称性

L已知函数“X)满足〃x+3)=—/(力，当xe(-3,O］时，仆)=2'+si嗒，则”2025)=()

A.&B.C.1D.-1

22

2.已知函数/("的定义域为R,其图象关于直线.”-3对称且〃"3)=/(%-3),当xw［0,3］时,

/(x)=2*+2x-ll,则下列说法不正确的是()

A.函数/⑴为偶函数B.函数/⑴在［F-3］上单调递增

C.函数/(力的图象关于直线工=3对称D./(2026)=-7

3,已知定义在R上的奇函数“力满足〃x)+/(2-力=0,则()

A./(月的图象关于点a。)对称B.〃x+2)=/a)

c./(3-x)=/(x-l)D./(x-2)=/(x)

4.已知函数/(x)是定义在R上的奇函数，对任意实数”,恒有/(2-»心(力成立，且上1)=1,

则()

A./(.r)=/(r+4)B.〃1)+/。)+/(3)+…/(2025)=I

C.在区间6］有5个零点D.〃力关于/=2对称

二级结论09万能公式

1.己知，+3,则期加的值为()

2sina

I

A-

・5

2.已知公(0,以,且3sina=sin(2/?-a),则tana的最大值为()

A.也B.巫C.--D.B

4444

3.已知0<”1,=1，贝口解的个数为()

A.0B.1C.2D.无穷多个

4.已知aw(1•，兀)，taner=-2,贝ljsin(7i+2a)=.

5.在平面直角坐标系xOv中，角。与角夕均以3为始边，它们的终边关于直线y=x对■称，若

tana=2,则sin(/?+%)=.

二级结论10海伦公式

1.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且Z?=c,sinB+sinC=2sinA,若△ABC的周长为6,

则△ABC的面积为()

A.2B.V3C.3D.273

2.已知△ABC的三个内角分别为A,8,C,若AABC的周长为9,且sinA:sinB:sinC=2:3:4,则

△ABC的面积为()

3已知△ABC中,内角A,8c的对边分别为a,b,c,若sinA,sinB,sin(A+6)成等差数列,且〃=4,

则△ABC面积的最大值为.

二级结论11三角形四心

1.若〃是VA8C的垂心，2HA+2HB+3HC=0,则tan/AHB的值为()

A.-石B.巫C.-272D.一巫

22

2.已知等边VA8C的边长为2,点P是平面A8C内任意一点，则幺，4+。4，。+2。尸4的最小

值为()

A.-3B.-2C.-1D.0

3.在7ABe中，AB=AC^5.BC=6,P为7ABe的内心，AP=xAB+yAC,贝ljx+V=.

4.已知在VABC中，G4+GB+GC=0,若8G_LCG,贝IJsinA的最大值为.

二级结论12奔驰定理

(JUDIlliUL1TS4

1.己知点。是VA3C内一点，满足。4+2。8=〃?。。,萨也=弓，则实数〃?为()

6c1

A.2B.一2C.4D.-4

2.己知点。在VA8C内，且S®：S皿:S®.=4:3:2,AO=AAB+^AC,贝l"+〃=()

252

A.1B.-C.-D.-

993

1121

3如图，M»N为AABC内的两点，且AM=——AC,AN=—AB4—AC,则与AA8N的面积

4352

之比为.

二级结论13鸡爪定理

1.在AABC中，点。在上，满足4)=208,若CA=a,CB=b,则CQ二()

A12、34n43

A.-a+~bB.-a+-bC.-a+—b1D.-a+-Z>t

333355

2.在△ABC中，。为AC边上一点，若C/）=4,4）=5,贝JBD=()

54144-5-41

A.-BA+-BCB.-BA+-BCC.-BA+-BCD.-BA+-BC

99559955

3.在△ABC中，已知。是边AB上的一点，若2AD：,CD=-CA+/IC5,则％=()

=DB3

-I,1D3

A-C

-3,,2•4

二级结论14等和线定理

1.如图，在正六边形ABCOQ中,点、P为CE上一点、,若AP=xA8+3，AF,则（)

A.2B・iD.不确定

2.如图，在VA8C中，点。在边8c上（与aC不重合），延长A。到P,使得”=12,若

(4

PA=mPB+PC。〃为常数），则AO二

<3

)

A.3

3.在梯形ABCD中，AB//CD,AB=3,CD=2^C与BD交于点E,若AC=/MO+〃A8,则

A+//=_________

二级结论15极化恒等式

L如图，正六边形的边长为2及，半径为1的圆0的圆心为正六边形的中心，若点M在正六边

形的边上运动，动点A,8在圆。上运动且关于圆心0对称，则的取值范围为（）

A

•o

B

M

A.[5,7]B.[4,5]C.[4,6]D.[5,8]

2.如图，在VA6C中，。是5c的中点，£/是AD_L的两个三等分点.若6ACA=4,BFCF=-l,

则BECE的值为（)

2

A,9B・iC.1D.2

3.在平行四边形43。中,A8=4,AO=2,NA=60。，QM=3MC,则AM-8M=()

A.1C.2D.3

二级结论16射影定理

1.在VABC中,内角A,B,C所对的边分别为。,b,c.^2Z>COS(^4-C)-67COSC=CCOSA,贝ljA

等于（）

A71Cz

-7J3D-T

2cos.4cosAcosC

2.已知VA3C的内角A丛C所对的边分别为a/",--------=-------+-----，--则角A

beabac

3.已知V4BC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,且满足acosC+ccosA=2Z?cos8,

a=2gb=36.则VA3C的面积为

二级结论17角平分线定理

1.已知VA8C中，。是BC上的点，AO平分N3AC,且/XABD面积是zMOC面积的2倍,

/U）=2,OC=1,则4C的长度为（）

A.73B.2C.2V2D.3

2.在V48C中，内角4,B,C所对的边分别是b,c,且。=丁.若/AC8的角平分线8交

于点。.若点E满足E8=AD=gA8,则cosZDCE=.

3.已知VA4c中，内角A/*C的对边分别为。，b,c,若AO为内角A的角平分线且AD=〃，满

足|叫二斗。。|,则sinA=.

二级结论18正切恒等式

1.在VABC中内角4,B,C所对的边分别为。，b,c,若tanAtan4>l,则lanAtan历anC的取值

范围是.

2.在V4BC中，tanA=/:-1,tanB=tanC=k+\,则k=.

3.记锐角NABC的内角AB,C的对边分别为若角人B,C满足

tanAtan^unC<[tanA]+[（anB]+[tanC],其中符号国表示不大于x的最大整数，若AW5WC,则A

的值为.

二级结论19中线定理

1.已知&WC的内角A,B,C的对边分别为〃，b,C,若〃=立叵，bc=\6,且Hc=8,则底边

3

BC上中线AE的长为.

2.AABC的内角AA,C的对边分别为。也c,若〃=4,b=3,c=2,则边4c中线A£）的长

为•

3.AA8C的内角ARC的对边分别为。也。，已知。=26，c=3,D是BC边的中点，AD=—

2f

则cosB=.

二级结论20张角定理

1.已知〃，b,。分别为VA3C角A,B,C的对边，0=生，。=2,b=5f点。在边A8上，且CQ

3

是/ACB的角平分线，则S^e=.

2.已知VA4C的内角A,B,C所对的边分别为。，〃，c,A=1,若该三角形的面积为2&,AD

为内角A的角平分线，交BC边于点。，则4。长的最大值为.

3.在VA8C中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,C=y,若CO是C的角平分线，c=9,A48。的

周长为19,则CO=.

4.在VAKC中，角AB,C的对边分别为a,b,c,cos2A+cos2B-cos2C=l,N4C8的角平分线交

A8于。，CD=2丘，则V4BC面积的最小值为.

二级结论21欧拉定理

1.碳70（G。）是一种碳原子族，可高效杀灭癌细胞，它是由70个碳原子构成的，其结构是由

五元环（正五边形面）和六元环（正六边形面）组成的封闭的凸多面体，共37个面，则其六

元环的个数为（）

C.汨子结构图

A.12B.25C.30D.36

2.现代足球的外观取自一种不完全正多面体，它是由12块黑色正五边形面料和20块白色正

六边形面料构成的.20世纪80年代，化学家们成功地以碳原子为顶点组成了该种结构，排列

出全世界最小的一颗“足球”，称为“巴克球（Buckyball）则“巴克球”的顶点个数为（）

A.180B.120C.60D.30

3.已知某〃面体各面均为五边形，且经过每个顶点的棱数为3,则〃=（）

A.6B.10C.12D.20

4.已知某正多面体所有面的内角总和为3600。，且各面都为正三角形，则该多面体的顶点数

V=;棱数E=.

二级结论22三垂线定理及其逆定理

1.如图，BC是RTZWBC的斜边，过点A作△ABC所在平面a的垂线，连接PB,PC,过点A

作AO_L8C于点。，连接尸。，那么图中的直角三角形共有（）

A.4个B.6个C.7个D.8个

2.如图，在四面体A8CO中,棱AB.ACAD两两垂直，则顶点4在底面BCD上的正投影H为

△8CD的（）

A.重心R.垂心C.外心D.内心

二级结论23常见几何体的外接球半径公式

1.已知某圆柱的高为26,底面半径为1,且其上、下底面圆周均在以。为球心的球面上，则

球。的表面积为（）

A.4兀B.8兀C.1671D.24兀

2.已知四棱锥P-A3C。的所有顶点都在球。的球面上，且四边形人8CO是边长为6的正方形,

若四棱锥P-A3CZ）的体积的最大值为6,则球。的体积为.

3.已知圆台的上、下底面半径之比为3:4,母线长为及，该圆台的上、下底面圆周都在球。的

球面上，球。的表面积为100兀，则该圆台的体积为.

二级结论24常见几何体的内切球半径公式

1.已知半径为R的球内切于圆柱.设球，圆柱的体积分别为匕，匕，表面积分别为S。,百,则（）

A.向=今B.C.^L<yD.，■与今无法比较

2.在正三棱锥尸-A8C中，48=26，PA=币,三棱锥P-A8C的内切球球心为O,若在此三棱

锥中再放入一个球G，使其与三个侧面及内切球。均相切，则球。的半径为.

二级结论25内切球万能公式

1.如图，圆锥的底面半径为八高为2人旦该圆锥的内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）

的半径为1,则广（）

2.若圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好一圆柱的高相等，记圆柱与球的体积之比为

A,表面积之比为〃，贝1J（）

A.2=/;B.Z<//C.2>//D.的大小不确定

3.已知正四面体的棱长为3,则其内切球的体积为.

二级结论26空间余弦定理

1.已知正三棱锥人-水刀中，4B=3,BC=2,F为CD中点,则异面直线A尸与所成角的余

弦值为（）

A巫B.立C.正D.与

2348

2.如图，在平行四边形A8C。中，AB=2BC=2fZABC=60°,七为CO的中点，沿AE将一D4E翻

折至△/>/I£的位置得到四棱锥P-A4CE,且直线”与直线4E所成的角为45。，则b二（)

3.在直四棱柱A8C。-48CQ中，底面A8CO是矩形，AA]=AB=2ADtE,F,G分别是棱

AB,CG的中点，则直线环与G4所成的角的大小为（）

A£RC—□—

A.6B.4。3U-2

4.已知E,F,G,"分别是正方体ABC。-AeGQ的棱AB,CD,B£,A"的中点，则异面直

线E〃与GW所成角的余弦值为.

B

参考答案

二级结论01绝对值问题最值结论

1.C【快解】由题知。二2力=-1,4»，由绝对值最值结论知最大值为2-(-1)二3,最小值为-1-2=3.

2.6；-6【快解】由题知a=4力=-2/>"由绝对值最值结论知最大值为4-(-2)=6,最小值为-2-4=6.

3.1；-1【快解】由题知力=2,a<b,由绝对值最值结论知最大值为2・1=1,最小值为1快=1.

【快解】由题可得。=4/=3,。池由绝对值最值结论知最小值为3-4=1,又因为不等

式|工一4T工一耳〈。在R上的解集为空集，所以日-1.

二级结论02糖水不等式

1.D【快解】由糖水不等式得D正确.

2.BCD【快解】由糖水不等式可得A错误，B正确；

r-r-1,1b+cb+d(b+c)(a+d)—(b+d)(a+c)(a—b)(c—d)人

用T以---------=---------------------=---------->0,所以C正确;

a+ca+a(a+c)(a+d)(a+c)(a+a)a+aa+c

bb

因为Ovl+avl+a+〃，0<\+b<\+a+bf所以，一>——-->

1+。l+a+67+b\+a+b'

口fabab

所以——+——>------+-------D正确.

l+aI+b\+a+b1+。+〃

3.变好【快解】设窗户面积为〃，地板面积为人，增加面积为根，则原比值为现在比值为

b

”生，因为人>a>0，m>0,由糖水不等式可知空巴〉所以住宅的采光条件变好.

b-\-mb+mb

二级结论03权方和不等式

1-7【快解】由题得(。+1)+3+1)=5,根据权方和不等式得工+工4=，当且仅当

5a+10+155

号=白，即1时，等号成立.

«+1/7+12

2,

2.3【快解】由权方和不等式得1।।二(1+,)2.4.2,当且仅当

2a+ha+2h(2a+b)+(a+2b)3a+3b3

，二，，即a=〃=l时，等号成立.

2a+ba+2b

3.夕【快解】由权方和不等式得(x+2)\(y+2):(K+2+)，+2『=竺,当且仅当山

3yx3yx

即号时，等号成立.

二级结论04三元"元)不等式

LC【快解】由三元不等式得1=/+m=.»2+八3次防万，所以脚4当且仅当““手

时，等号成立，所以加2^^.

2.4【快解】由〃元不等式可知〃+〃+£叁4.；「力・晨,即欣•飞出巧,当且仅当

22V22V4

”=力=：=1时，等号成立，整理得32“，故〃加的最人、值为4.

3.3【快解】由三元不等式可得2X+!=X+X+±N3：H=3,当且仅当.与，即x=l时，等

JTXVX~X~

号成立.

二级结论05柯西不等式

1.B【快解】设.+2=卬,b-v,c+l=u,可得卬2+F+〃2=12,所以。+力+c=W+P+〃-3.则

由河西不等式得(w+v+〃f<(l24-l2+l2)(w2+v2+rr)=36，所以-6«w+u+〃46,当且仅当

w=v=u=2f卬+丫+"取得最大值6,此时。+2=b=c、+l=2,所以a+〃+c的最大值为6-3=3.

2.A【快解】因为实数X、J满足3/+4/=12,所以1+4=1,则由柯西不等式得

5十5(16+9)>(2x+73y)\-542x+Gy45,当且仅当=8y时取等号，所以z=2x+6y的

最小值是-5.

3.C【快解】由柯西不等式得02+22+32)(x2+y2+z2)N(x+2y+3z)2,则

x2+y2+z2?(X+2誓3z)2=耳当,当且仅当时取等号故人二十,2+7?的最小值是黑

14147xyz7

4.B【快解】因为/+从=4,由柯西不等式可得(32+2飞标+灯“3a+2〃)2,即

(36+2ib)2<13x4=52,所以—2后W3a+2》W2万.当且仅当a=时，3a+2》取得最

1313

大值.因此3a+2〃的最大值为2而.

二级结论06倒负函数

1.C【快解】因为f(x)=alnx+/zx-L所以/(，)=-alnx+'-x,.

XJx

因为/(“为“倒负函数”，所以/3=-7口)，^a\nx+bA--=a\nx--+xt^bx--=--+xt

\)XXXX

整理得+1)=0,解得力=1,又因为3

/⑵=/-21n2,

所以八2)=〃1][2+2-3=1-2卜2,解得4=-2,

所以"=1x(—2)=—2.

2.2五【快解】任取。＜…，小，M6富一黑=高高＞。，

所以/a)在(0，包)上单调递减，

因为〃加片,

‘所以

所以/(X)为倒负函数，所以/(叫+/(/)=。，

又/(叫+/(/)=(),所以/(叫=/(叫，所以心"2.

2/zr+1=2"+4之2&,当且仅当加2=1=变时等号成立.

〃-，广2

9

3.2【快解】因为/(x)=lnx—弋―1,x(0,l)U(l,+oo),

x-l€

「22、2(x—x)

xx=>11,n<0,

任取,/(i)-/(2)^i-^----%------=lnx(-lnx2+-一；：.、

(再一1x2-\)(^-1)(^-1)

所以/(-V)在(1，+8)上单调递增，同理/(X)在(0,1)上单调递增.

又/(e)=l—l—T=—々<0,/(e2)=2-l--^-=l—Ar>0,

e-1e-1、7e--le--l

由零点存在性定理知，丸«ed),/(xo)=0,

所以f(x)在(l,+oo)上有且只有一个零点.

(1A?1??2x

T7/(«<)+f—=Inx——=——1+ln----—1=lnx-lnx——=----------2=0

又⑴x-\xJ—x-l1-x

x

所以"X)为倒负函数,则/⑷+/(?

=0

所以/—=-/(/)=0,1e(。」)也是/(X)的零点，

所以fix)在(0,1)和(1,+00)各有一个零点,即/*)有2个零点.

二级结论07对数糖水不等式

1.B【快解】由对数糖水不等式得。=1呜2<1%用(2+1)=1吗3="即〃<〃；由对数糖水不等式

得b=log43Vlog4,［3+l)=logs4=c,即〃<c.综上,a<b<c.

2,A［快解】由对数糖水不等式得。=6<log?”(6+1)=logs7=力，即av/八因为7')<6北，即7Vv6，

o2

10

所以c=而=log77<log76=a.综上,c<a<b.

3.A【快解】由对数糖水不等式得。=喝7<嗨+1(7+1)=瞋98=。，即“<〃；因为々〈严,所以

心&⑹卜喝任。)，BP9<101ogx7,所以。=0.9<啕7=4.综上，c<a<b.

4.<【快解】由对数糖水不等式得log"<log3x3(2x3)=10&6.

5.<【快解】由对数糖水不等式得Iog43<log4x4(3x4)=log］612,又log1612vlog1614,所以

log43<log1614.

二级结论08抽象函数周期性和对称性

LD【快解】由/(丹3)=-/⑺得/*)的周期为6,则

/(2025)=/(337x6+3)=/⑶=/(0+3)=-/(0),由于当x«-3,0］时，〃x)=2'+sin葭，所以

/(0)=2°+sin0=1,所以/(2025)=-1.

2.D【快解】因为函数/(x)的定义域为R,其函数图象关于直线x=-3对称，所以

/(x-3)=/(-x-3),又小+3)=/(%-3),所以“X+3)=/(T—3),所以/(X)=/(T),即该函数

为偶函数，A正确；

由/'(X+3)=〃A3)得函数/("的周期为6,当工目-6,-3］时，x+6e［0,3］,因为当x«0,3］时，

/(x)=2'+2x-ll,易得此时函数/⑴在［0,3］上单调递增，故函数/(“在［-6,-3］上也单调递增,

B正确；

因为函数/(力的图象关于直线X=-3对称，且为偶函数,则函数/(力的图象也关于直线％=3对

称，C正确：

/(2026)=/(337X6+4)=/(4)=/(2)=2*2+2X2-I1=-3,D错误.

3.ABD【快解】由/(x)+/(2-力=0知函数/(幻的图象关于点(1,0)中心对称，A正确；

因为/(1)关于(L。)，(。⑼中心对称，则/(.Y)的周期为2,故/(x+2)=.f(x),B正确；

用L1替换〃X)+〃27)=0中的x,可得/(、-1)+八37)=0,HP/(3-X)=-/(X-1),C错误;

由B知函数/(x)的周期为2,则"1-2)=/(力，D正确.

4.AB【快解】因为函数/(力是定义在R上的奇函数，所以/(力关于点(0,0)中心对称,由

f(2-x)寸⑺得f(x)关于4=1对称,所以/(“的周期为4,所以f(x)="x+4),A正确;

由/⑴=1,根据/(2+力=-/3可得：/(3)=-7(1)=-1,由"0)=0,根据/(2+力=-/(力可得:

/(2)=-/(0)=0,/(4)=-/(2卜0.所以〃1)+/(2)+/⑶+"4)=0,又的周期为4,所以

/(l)+/(2)+/(3)+-..+/(2025)=506[/(l)+/(2)+/(3)+/(4)]+/(2025)=506x0+/(2025)=/(1)=1,

B正确；

由B可知，函数/(X)在[Y,6]上的零点为-6,T,-2,()24,6共7个，C错误；

因为/(2+x)=-/")且〃2T)寸(x),所以/(2+x)=-/(2-x),所以函数外力的图象关于点(2,0)

中心对称，没有足够的理由说明的图象关于x=2轴对称，D错误.

二级结论09万能公式

q3sin|—+al+sina-3

1.B【快解】由皿舒。.(2J，得

idn——---------------------------

2sina

「.aa/.2a

2sin—cos----6sin-

、a3cosa+sina-3

tan"—=----------2------2----2=1-3tan—,

r.aa

2sina2sin—cos2

22

2tan—e

由万能公式得tana=——\(9，则由万能公式得cos2a=产f2=亮.

1-tan2-3l+tan-a13

2

2.B【快解】由题得3sina=sin2/ycosa-cos2/ysina,即(3+cos2/?)sine=sin2/ycos。；即

2tanp

sine?sin2/7..sin2/?八一/n，sinip1+tan2B.,,

----=--------,故tana=------------,由万能公式得tana=---------^―=------------,令，=tan〃,

cosa3+cos2夕'口乂3+cos2['出〃"区八1寸3+cos2/?3+l-tanj?'

I+tan2P

2t

则刖口二十一二号二^工看;乎，当且仅当”及时等号成立.

313']

1+广/

/\,/ian_।_21-ian一

3,C【快解】令叫ta吟，aw0弓，由万能公式得鸟=——1=sina,曰=-----^=cosa,

2

I2J1+41+tan2£1+41+lar2£

22

则;---+-----=I转化为cos'a+sin，a=1.又cos?Q+sin：a=1,所以x=2.

4,7【快解】由万能公式得sin(nI2a)=sin2a=/[ana士=J

tan-a+14+15

5.-|【快解】因为角a/的终边关于直线)，='对称，由己知得空+a=?+E,即

c兀

a-vp=—+ICkfit,

/\

所以4+3a=2a+§+2E(ZcZ),所以sin(6+3a)=sin2a+午=cos2a,由万能公式得

cos2a=a=-1,所以sin(夕+3c)=一：.

1+tarra55

二级结论10海伦公式

1.B【快解】因为sinB+sinC=2sin4,所以Z?+c=2〃，

又因为△ABC的周长为6,所以〃=3,4+力+<?=3〃=6,所以〃=2,b=c=2,

由海伦公式得S&ABC=-(*p一-C)=yj3(3-2^3-2^3-2)=73x1x1x1=g.

2.B【快解】因为sinA:sin8:sinC=2:3:4,所以a:〃:c=2:3:4,

a

又因为a+b+c=9,所以。=2,人=3,c=4,p=—,

2

由海伦公式得SMBC=

3.4V3【快解】因为sinA,sin3,sin(4+3)成等差数列,3=4,所以2sinB=sin(A+B)+sin

A,

即2sinB=sinC+sinA,所以a+c=2b=S,则△ABC的周长为12,

由海伦公式得SwJ6（6-4）（6-〃）（6-c）=273.J（6-口）（6-。）<V3（6-6/+6-c）=W3,

当且仅当6-。=6-c,即〃=c=4时等号成立，故此时AAAC面积的最大值为4vL

二级结论11三角形四心

LB【快解】在VA3C中，取48的中点。，连接〃。，则“A+//B=2"O,如图，由2”A+2”B+3”C=0,

9477

得CH=-（HA+HB）=-HD,于是CD=_HD,CA=CD+DA=-HD+DA,HB=HD+DH=HD-DA,

3333

由“是VA8C的垂心，得HD1DA,HB上CA,则〃。•OAMO,VBCAMO,因此

04“8=0”。+。4）（”。一。4）=[”。2一。1二0,即|。4|二尊|，。|,显然tanZA”D=^^=浮,

90

2tanNA”。亍浮,所以tanZAHB的值为

/BH