新能源汽车有限元分析 课件 第1-10章 概述、有限元方法的力学基础-新能源汽车强度问题的有限元分析

第1章概述第1章概述1.1新能源汽车技术发展现状新能源汽车技术发展迅速，在多个关键领域取得令人瞩目的进展。如图1-1所示。从电池技术的革新，到充电设施的完善，再到智能驾驶的广泛应用，这些技术的迭代升级不仅重塑了汽车行业的格局，更为未来出行描绘了全新的蓝图。1.2有限元方法的起源与发展有限元方法的思想可以追溯到古人的“化整为零”、“化圆为直”的作法，如“曹冲称象”的典故，我国古代数学家刘徽采用割圆法来对圆周长进行计算；这些实际上都体现了离散逼近的思想，即采用大量的简单小物体来“冲填”出复杂的大物体。有限元法发展历史1870年，英国科学家Rayleigh采用假想的“试函数”来求解复杂的微分方程，1909年Ritz将其发展成为完善的数值近似方法。1956年，Turner和Clough第一次用三角形单元离散飞机机翼，借助有限元法概念研究机翼的强度及刚度,并在1960年，正式提出有限元法（FEM）。有限元法发展历史1.2有限元方法的起源与发展1.3有限元方法的基本思想有限元法——FEM(FiniteElementMethod有限单元法)一种将连续体离散化为若干个有限大小的单元体的集合，以求解连续体力学问题的数值方法。有限元分析——FEA(FiniteElementAnalysis)使用有限元法，以计算机为工具，对实际物理问题进行模拟求解。真实系统有限元模型

有限元模型是真实系统理想化的数学抽象。有限元分析步骤:结构离散化1.3有限元方法的基本思想④①③●●●●●②325●划分单元离散节点单元146对于实体结构来说，必须经过离散化的过程，将连续体划分为一系列的离散单元的组合体，形成有限元分析的模型。有限元分析步骤:结构离散化1.3有限元方法的基本思想①②③④①③●●●●●②325④●④①③●●●●●②●划分单元离散节点单元单元分析整体分析

求解146组合1.3有限元方法的基本思想1.4有限元方法在新能源汽车中的应用汽车结构有限元分析的重要性1.4有限元方法在新能源汽车中的应用人机工效环境舒适性安全性结构分析工程设计虚拟试验工艺分析整车及零部件强度分析;整车及零部件刚度分析；整车及零部件模态及动力学分析；疲劳寿命分析；基于计算流体力学（CFD）的流场分析。整车及部件碰撞安全性分析；汽车结构有限元分析内容1.4有限元方法在新能源汽车中的应用感谢关注与支持第2章有限元方法的力学基础本章的学习要求(1)

弹性力学的基本概念；(2)

弹性力学的基本假定和基本方程；(3)

平面问题中的平面应力问题和平面应变问题。重点和难点内容：杆件在外力或温度作用下的应力、变形、材料的宏观力学性质、破坏准则等。任务：解决杆件的强度、刚度、稳定性问题。材料力学结构力学弹性力学内容：杆件系统（杆系结构）在外力或温度作用下的应力、变形、位移等变化规律。任务：解决杆系的强度、刚度、稳定性问题。内容：弹性体在外力或温度作用下的应力、变形、位移等分布规律。任务：解决弹性体的强度、刚度、稳定性问题。2-1弹性力学的研究内容弹性力学内容：弹性体在外力或温度作用下的应力、变形、位移等分布规律。任务：解决弹性体的强度、刚度、稳定性问题。2-1弹性力学的研究内容↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓在材力中引入平截面假定，得出结果：横截面正应力按直线分布。在弹力中无须引入平截面假定，结果表明：对于深梁横截面正应力按曲线分布。最大正应力与材力计算结果相差悬殊。↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓混凝土深梁σx2-1弹性力学的研究内容↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓材料力学结果弹性力学结果qq3q3qq2-1弹性力学的研究内容位移应力应变外力内力2-2弹性力学的基本概念1.外力：-其他物体对研究对象（弹性体）的作用力。

外力

体积力

表面力2-2弹性力学的基本概念体力：弹性体内单位体积上所受的外力xyzO单位:N/m3面力：作用于物体表面单位面积上的外力xyzO—体力分布集度单位:N/m2—面力分布集度（矢量）2-2弹性力学的基本概念2.内力：假想切开物体，截面两边互相作用的力（合力和合力矩)，称为内力。内力是由于外力作用引起的相互作用力2-2弹性力学的基本概念2.内力：假想切开物体，截面两边互相作用的力（合力和合力矩)，称为内力。内力是由于外力作用引起的相互作用力xyzΔFpΔAστ2-2弹性力学的基本概念3.应力：截面上某一点处，单位截面面积上的内力称为应力ΔAPn(法线)应力分量应力的法向分量——正应力应力的切向分量——剪应力

P点的内力面分布集度2-2弹性力学的基本概念应力关于坐标连续分布2-2弹性力学的基本概念各边边长

dxdydz微元yxz各面上应力分量

xx

xy

yy

xz

yx

yz

zx

zy

xx九个应力分量

zz

zz

yy当微小的平行六面体趋于无穷小时，六面体上的应力就代表P点处的应力。应力：由外力引起的在P点的某一面上内力分布集度2-2弹性力学的基本概念正应力剪应力

x面的应力：第1个下标x表示τ所在面的法线方向；第2个下标y表示τ的方向.2-2弹性力学的基本概念正应力剪应力

y面的应力：2-2弹性力学的基本概念正应力剪应力

z面的应力：2-2弹性力学的基本概念用矩阵表示：只有6个量独立。剪应力互等定理应力正负号的规定：正应力——拉为正，压为负。剪应力——坐标正面上，与坐标正向一致时为正；坐标负面上，与坐标正向相反时为正。2-2弹性力学的基本概念4.应变--

形状的改变。描述微元体各部分线段的长度和两线段夹角的改变。以通过一点的沿坐标正向微分线段的正应变和切应变

来表示。xyzOPBCA应变无量纲；应变分量均为位置坐标的函数2-2弹性力学的基本概念应变正应变：各线段单位长度的伸缩。

伸长为正，缩短为负。εxεyεz剪应变：各线段之间的夹角改变。以两正交线段的直角变小为正，变大为负。γyzγzxγxy

微元体的正应变

剪应变2-2弹性力学的基本概念2-2弹性力学的基本概念5.位移：一点位置的移动，用

表示,量纲为L。以坐标正向为正。变形前

，变形后xyzOSwuvP位移分量：u——x方向的位移分量；v——y方向的位移分量；w——z方向的位移分量。2-2弹性力学的基本概念弹性力学问题：已知外力、物体的形状和大小（边界）、材料特性（E、μ）、约束条件等，求解应力、应变、位移分量。需建立三个方面的关系：（1）静力学关系：应力与体力、面力间的关系；（2）几何学关系：应变与位移间的关系（3）物理学关系：应变与应力间的关系2-3弹性力学的基本假定位移产生应变应变产生应力应力和外力平衡几何方程物理方程平衡方程弹性力学问题：已知外力、物体的形状和大小（边界）、材料特性（E、μ）、约束条件等，求解应力、应变、位移分量。2-3弹性力学的基本假定1.发展简史1956年，M.J.Turner(波音公司工程师)，R.W.Clough(土木工程教授)，H.C.Martin(航空工程教授)及L.J.Topp(波音公司工程师)等四位共同在航空科技期刊上发表一篇采用有限元技术计算飞机机翼的强度的论文，《StiffnessandDeflectionAnalysisofComplexStructures》，第一次用三角形单元离散飞机机翼，借助有限元法概念研究机翼的强度及刚度。一般认为这是工程学界上有限元法的开端。2-3弹性力学的基本假定工程问题的复杂性是诸多方面因素组成的。如果不分主次考虑所有因素，则问题的复杂，数学推导的困难，将使得问题无法求解。根据问题性质，忽略部分暂时不必考虑的因素，提出一些基本假设。使问题的研究限定在一个可行的范围。基本假设是学科的研究基础。超出基本假设的研究领域是固体力学其它学科的研究。2-3弹性力学的基本假定弹性力学的基本假定五个基本假定：1、连续性(Continuity)2、线弹性(Linearelastic)3、均匀性(Homogeneity)4、各向同性(Isotropy)5、小变形假定(Smalldeformation)2-3弹性力学的基本假定球墨铸铁的显微表示实际上，组成固体的粒子之间存在间隙，但这种间隙与构件的尺寸相比极其微小，

故略去不计。1、连续性(Continuity)：微观不连续，宏观连续2-3弹性力学的基本假定连续性(Continuity)：整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满,不留任何空隙。即，各个质点之间不存在任何空隙。好处：物体内的物理量,例如应力形变和应变,才可能是连续的,才可以用连续函数来表示。作用：使得σ、ε、u

等量表示成坐标的连续函数。保证中极限的存在。2-3弹性力学的基本假定2、线弹性(Linearelastic)物体的变形与外力作用的关系是线性的，除去外力，物体可回复原状，而且这个关系和时间无关，也和变形历史无关，称为完全线弹性材料好处：应力应变之间的函数简化为线性函数，且材料弹性常数不随应力或应变的变化而改变

2-3弹性力学的基本假定比例常数——弹性常数（E、μ）脆性材料——一直到破坏前，都可近似为线弹性的；塑性材料——比例阶段，可视为线弹性的。作用：可使求解方程线性化2、线弹性(Linearelastic)假定物体完全服从虎克（Hooke）定律，应力与应变间成线性比例关系（正负号变化也相同）。2-3弹性力学的基本假定3、均匀性(Homogeneity)物体是均匀的,整个物体由同一材料组成因此，

E、μ等与位置

无关。好处：各部分物理性质相同，不因位置改变而改变。可以截取任意部分为研究对象。2-3弹性力学的基本假定普通钢材的纤维组织均匀性假设，认为物体内的任何部分，其力学性能相同。力学性能指的是固体在外力的作用下表现出的变形和破坏方面的性质。对于发生于晶粒那样大小范围内的现象，均匀连续性假设则不成立微观不均匀，宏观均匀2-3弹性力学的基本假定4、各向同性(Isotropy)物体的弹性性质在所有各个方向都相同因此，E、μ等与方向无关。好处：物体材料常数不随坐标方向改变而改变像木材，竹子以及纤维增强材料等，属于各向异性材料。符合上述4个假定的物体，称为理想弹性体。2-3弹性力学的基本假定灰口铸铁的显微组织各向同性假设在物体内各个方向上的力学性能相同。大多数工程材料虽然微观上不是各向同性的，例如金属材料，其各个晶粒呈结晶各向异性，但当它们形成多晶聚集体的金属时，呈随机取向，因此在宏观上表现为各向同性微观各向异性，宏观各向同性2-3弹性力学的基本假定高分子材料的显微组织沿不同的方向力学性能不同，如：木材，胶合板，竹子等微观各向异性，宏观各向异性2-3弹性力学的基本假定

材料的均匀性假设与各向同性假设的区别均匀性和各向同性是完全不同的性质，不应混淆。如用矢量的长短来表示材料某力学性能的强弱，则图a表示均匀而非各向同性的材料；图b表示各向同性而非均匀的材料；图c表示均匀且各向同性的材料。(a)(b)(c)2-3弹性力学的基本假定5、小变形假定(Smalldeformation):物体的位移和形变是微小的。即物体的位移远小于物体原来的尺寸,而且应变和转角都远小于1。好处：变形与结构原尺寸相比属高阶小量，可略去因变形引起的结构尺寸变化，可用变形前的尺寸代替变形后的尺寸使求解的方程线性化。2-3弹性力学的基本假定变形远小于构件的最小尺寸，所以通过静力平衡求各杆受力时，把变形略去不计。对构件进行受力分析时可忽略其变形2-3弹性力学的基本假定小变形假定的应用：a.简化平衡条件：考虑微分体的平衡条件时，可以用变形前的尺寸代替变形后的尺寸。b.简化几何方程：在几何方程中，由于

可略去

等项,使几何方程成为线性方程。

2-3弹性力学的基本假定弹性力学基本假定，确定了弹性力学的研究范围:理想弹性体的小变形问题。2-3弹性力学的基本假定弹性力学的基本假设，主要包括弹性体的连续性、均匀性、各向同性、完全弹性和小变形假设等。这些假设都是关于材料变形的宏观假设。弹性力学问题的讨论中，如果没有特别的提示，均采用基本假设。这些基本假设被广泛的实验和工程实践证实是可行的。2-3弹性力学的基本假定思考题弹性力学和材料力学相比，其研究对象有什么区别？弹性力学和材料力学相比，其研究方法有什么区别？试考虑在土木、水利工程中有哪些非杆件和杆系的结构？2-3弹性力学的基本假定

弹性力学基本变量位移微元变形后的位置变形体的描述及所需变量应

变应

力微元的变形程度微元的受力状态弹性模量等物体的材料特性2-4弹性力学的基本方程2-4弹性力学的基本方程几何方程物理方程平衡方程弹性力学三大方程位移应

变应

力边界条件位移应变应力2-4弹性力学的基本方程1.平衡方程：物体整体平衡，内部任何部分也是平衡的。弹性力学要求变形体的任意一点均满足平衡条件。平衡条件：（1）沿x方向主矢投影为零（2）沿y方向主矢投影为零（3）沿z方向主矢投影为零（4）关于任意点的主矩为零2-4弹性力学的基本方程：平衡方程弹性体受力以后仍处于平衡状态,因此其上的应力和体力在x,y,z三个方向上分别满足以下平衡方程。2-4弹性力学的基本方程：平衡方程A：微分算子矩阵形式2-4弹性力学的基本方程：平衡方程2.几何方程：设变形前为平面正方形OACB，而变形后为OA’C’B’从以下几个方面描述变形：（1）x方向的相对伸长量（2）y方向的相对伸长量（3）夹角的变化2-4弹性力学的基本方程：几何方程BCACBA

xY0dxdyBCAC’xyOA’B’O’（1）x方向的相对伸长量2-4弹性力学的基本方程：几何方程dxdyBCAC’xyOA’B’O’（1）y方向的相对伸长量2-4弹性力学的基本方程：几何方程dxdyBCAC’xyOA’B’O’（3）夹角的改变同理：

2-4弹性力学的基本方程：几何方程以上是考察了微原体在

xoy一个平面内的变形情况，同样方法来考察微原体在xoz和yoz平面内的变形情况，可得2-4弹性力学的基本方程：几何方程联立得到几何方程，表明应变分量与位移分量之间的关系：2-4弹性力学的基本方程：几何方程几何方程描述几何量应变和位移之间的关系,其矩阵形式为L：微分算子2-4弹性力学的基本方程：几何方程zxy材料常数：E,G,μE：弹性模量（elasticmodulus）G：剪切模量（shearmodulus）

：泊松比（Poisson’sratio）三个常数之间的关系：2-4弹性力学的基本方程：物理方程3.物理方程：广义Hooke定律zxy材料常数：2-4弹性力学的基本方程：物理方程对称D：弹性矩阵2-4弹性力学的基本方程：物理方程dyxyzuvwdzdx(x,y,z)SuSpΩT两类边界条件：Sp：力的边界Su：位移边界弹性力学边界条件（(Boundarycondition)2-4弹性力学的基本方程：边界条件弹性力学基本方程的一般形式为

平衡微分方程

(在内)几何方程

(在内)物理方程

(在内)边界条件

(在上)(在上)2-4弹性力学的基本方程：边界条件弹性力学问题解法---（位移法、应力法）物理方程

应力平衡微分方程静力边界条件

变形(位移与应变)变形协调方程(位移单值连续)位移边界条件以位移作为未知数几何方程求应变物理方程求应力位移解法方程联立求解2-4弹性力学的基本方程：边界条件自然界的很多工程问题都很复杂，如果可以将三维问题简化成二维问题，那么问题的解决就会简单很多三维问题

二维问题2-5平面问题的基本理论三维问题

二维问题满足平面应力问题和平面应变问题就可以将三维简化为二维平面应力平面应变2-5平面问题的基本理论2-5平面问题的基本理论平面应力问题平面应力问题就是所有的应力都作用在弹性体的一个平面内2-5平面问题的基本理论1.平面应力问题yxyzt/2t/22-5平面问题的基本理论：平面应力问题a.应力中只有平面应力存在；b.且仅为

。2-5平面问题的基本理论：平面应力问题例题1：试分析AB薄层中的应力状态。2-5平面问题的基本理论：平面应力问题纵向轴压力管道纵向轴水坝2-5平面问题的基本理论：平面应变问题条件是：（1）很长的常截面柱体；（2）体力作用于体内，平行于横截面，沿柱体长度方向不变；（3）面力作用于柱面，平行于横截面，沿柱体长度方向不变；（4）约束作用于柱面，平行于横截面，沿柱体长度方向不变。

2-5平面问题的基本理论：平面应变问题隧道挡土墙oyxyox2-5平面问题的基本理论：平面应变问题弹性体受力以后仍处于平衡状态,因此其上的应力和体力在x,y,z三个方向上分别满足以下平衡方程2-5平面问题的基本理论平面问题的几何方程：2-5平面问题的基本理论代入：

得：平面应力问题的物理方程：在z方向：D2-5平面问题的基本理论代入：

得：平面应变问题的物理方程：在z方向：2-5平面问题的基本理论平面应力与平面应变问题对于平面应力情况下的弹性矩阵，应采用：而对于平面应变则采用：2-5平面问题的基本理论感谢关注与支持第3章有限元方法的数学基础本章的学习要求(1)

加权残值法；(2)

虚功原理与最小势能原理；(3)

变分原理与里兹法。重点和难点固体力学流体力学电磁场对于工程问题，还通常会有边界条件和初始条件第3章有限元方法的数学基础弹性力学问题解

答控制方程变分原理

（精

确）

（近

似）（1）取微元体建立控制方程直接法（2）解控制方程（4）计算应变能、外力势能能量法（5）利用变分法直接近似计算里兹法、伽辽金法、有限元法（3）近似计算差分法、加权残值法、有限元法第3章有限元方法的数学基础1.简明问题的解析方法基本变量：ux(x),σx(x),εx(x)微分方程的边值问题微分方程3.1解析法基本方程：几何方程物理方程平衡方程边界条件3.1解析法1.简明问题的解析方法基本方程：几何方程物理方程平衡方程边界条件c=F/A,c1=03.1解析法1.简明问题的解析方法三维问题，运动方程为：对于三维问题，对应工程应变的几何方程为：3.1解析法基本概念3.2加权残值法通过引入权函数/试函数，将近似解带入微分方程会有余值，在余值形式中引入权函数，把这种余值的加权积分，称为加权余值法。权，然后知轻重。----《孟子》采用使余量的加权积分为零求得微分方程近似解的方法，称为加权余量(余值、残量)法。基本概念3.2加权残值法假定一个试函数作为方程的近似解待定系数试函数(形函数)3）完备性。n

时,1）一定的连续条件。2）线性独立。试函数要满足：一般选用简单形式的函数，一旦选定就是已知的了真正的求解系数利用加权的方法消除残值的计算方法3.2加权残值法是一种应用广泛的求解微分方程的方法.该方法先假定一族带有待定参数的定义在全域上的近似函数,该近似解不能精确满足微分方程和边界条件,即存在残差.在加权平均的意义下消除残差,就得到加权残值法的方程.由于试函数定义在全域上,所得方程的系数矩阵一般为满阵.选取不同的权函数,可得到不同的加权参量法。

3.2加权残值法设满足以下方程和边界条件的位移场为公式中的L为微分算子。由于平面弯曲梁的平衡方程为故3.2.1受均布外载荷简支梁的Galerkin加权残值法求解3.2加权残值法3.2.1受均布外载荷简支梁的Galerkin加权残值法求解假设能找到事先满足式中的边界条件的一个试函数，将其带入到控制方程，则一定存在残差，记为对于更一般的情形，设有一组满足所有边界条件的试函数，将其线性组合为新的试函数其中c1,c2,c3…cn为待定系数。3.2加权残值法3.2.1受均布外载荷简支梁的Galerkin加权残值法求解将试函数代入原始方程组，则必有残差，真实的c1,c2,c3…cn使得残值的积分为零，即其中w1,w2,w3…wn为权函数。以上为关于c1,c2,c3…cn的方程组，由上式可以求出他们，最后由线性组合形式的试函数得到真实的。如果将权函数w1,w2,w3…wn取为

1,

2,

3…

n，则该方法称作伽辽金法。代入控制方程得残差由Galerkin加权残值方程分析可得，3.2加权残值法若取一项试函数，用一个待定系数近似表达。可以写成：3.2.1受均布外载荷简支梁的Galerkin加权残值法求解3.2加权残值法求解上式可得3.2.1受均布外载荷简支梁的Galerkin加权残值法求解代入控制方程，由Galerkin法，可得得残差，3.2加权残值法若取两项试函数，用两个个待定系数，近似表达。可以写成：3.2.1受均布外载荷简支梁的Galerkin加权残值法求解3.2加权残值法求解左式可得3.2.1受均布外载荷简支梁的Galerkin加权残值法求解3.2加权残值法几种函数结果比较

1、仅仅取1项试函数时，由伽辽金加权残数法得到的结果与精确解得相对误差为0.3861%。2、仅仅取2项试函数时，由伽辽金加权残数法得到的结果与精确解得相对误差为-0.027%。由以上比较可以看出，此解法精度还是比较高的。对于弹性体的平衡方程和位移边界条件等，通常可以采用能量法，例如虚功原理、最小势能原理等得到与其等价的方程间接解法——虚功原理：3.3虚功原理与最小势能原理（1）功：功包含了力和位移两个因素。（2）实功：所谓实功，是指力在其自身引起的位移上所做的功。（3）虚位移是一种假想的、满足约束条件（对于弹性体来说，其约束条件就是几何方程和位移边界条件）的，任意的微小的位移。（3）虚功：外力在虚位移上做的功,虚功是状态量，没有过程的概念。（4）应变能：应变能是由内力（或应力）所做的实功来计算的。虚位移原理虚位移是一种假想加到结构上的可能的、任意的、微小的位移。所谓“可能的”是指结构允许的，即满足结构的约束条件和变形连续条件的位移；所谓“任意的”是指位移类型（平移、转动）和方向不受限制，但必须是结构所允许的位移；所谓“微小的”就是在发生虚位移过程中，各力的作用线保持不变。在发生虚位移过程中真实力所做的功，称为虚功。3.3虚功原理与最小势能原理内力的虚变形能：总的变形位移虚功等于应力与虚应变的乘积在整个梁上的积分，即：外力所做的虚功等于弹性体的虚应变能几何方程3.3虚功原理与最小势能原理定义一个外力势能V：系统发生虚位移时，外力和内力均保持不变，则外力势能的一阶变分为：上式中，体力面力是不变的，因此只对位移求变分为最小势能原理3.3虚功原理与最小势能原理比较外力虚功和外力势能的一阶变分，可得因此，上式代入虚功原理方程，就可以得到：当弹性体处于稳态平衡，具有极值时，可以将弹性体的变分符号提出，得到：最小势能原理3.3虚功原理与最小势能原理定义弹性体的总势能等于外力势能和内力势能的和，也就是因此，总势能的表达式就是：在所有满足弹性体的几何方程和位移边界条件的允许位移中，真实位移必使弹性体的总势能有驻值。当弹性体为稳定平衡时，其总势能为极小值。

最小势能原理3.3虚功原理与最小势能原理在所有满足弹性体的几何方程和位移边界条件的允许位移中，使弹性体的总势能取最小的位移一定是弹性体满足平衡条件的真实位移。

最小势能原理弹性力学的平衡微分方程和应力边界条件3.3虚功原理与最小势能原理总势能方程中包含了位移场函数u，因此如果我们能够假设一个满足几何方程和位移边界条件的位移场函数（位移场函数可以含有待定参数），那么将这个位移场函数代入总势能泛函求极值就可以寻找到真实的位移。这也就是说，我们可以不用直接利用弹性体的平衡条件，而选择间接利用最小势能原理，对总势能泛函求极值去得到位移解。3.3虚功原理与最小势能原理3.4变分原理与里兹法间接解法——变分原理：变分法最终寻求的是极值函数：它们使得泛函取得极大或极小值。把一个物理学问题用变分法化为求泛函极值（或驻值）的问题，后者就称为该物理问题的变分原理。在当代，变分原理已成为有限元法的理论基础。在实际应用中，通常很少能求出精确的解析解，因此大多采用近似计算方法。3.4变分原理与里兹法间接解法——变分原理：变分法最终寻求的是极值函数：它们使得泛函取得极大或极小值。把一个物理学问题用变分法化为求泛函极值（或驻值）的问题，后者就称为该物理问题的变分原理。在当代，变分原理已成为有限元法的理论基础。在实际应用中，通常很少能求出精确的解析解，因此大多采用近似计算方法。3.4变分原理与里兹法2.里兹法该方法假设一位移函数，只令其先满足位移边界条件，然后通过建立方程，求解方程组，得到的结果近似满足力边界条件和平衡方程具体过程如下3.4变分原理与里兹法2.里兹法若能找到的近似解，由一组线性无关的函数的线性组合表示其中Φ1、Φ2、Φ3...为一族坐标函数序列，满足如下条件1、Φi∈[x1,x2]且满足相应的几何边界条件；2、互相线性无关；3、是完备的，即对于任何y∈[x1,x2]，和ε>0，存在正整数N和常数组ai，使得|y-ΣΦiai|<ε，其中

i=1,2,...,N3.4变分原理与里兹法3.4.1受均布外载荷简支梁的Rayleigh-Ritz法求解解：用瑞利—里兹法。位移试函数满足梁的位移边界条件在x=0，l处，w=0总势能3.4变分原理与里兹法3.4.1受均布外载荷简支梁的Rayleigh-Ritz法求解根据则所以故3.5有限元方法有限元法基本思想：把整个求解区域分成许多个有限小区域，这些小区域称之为单元。在每个单元上构造近似位移函数，即进行所谓的分片插值。在每一个单元上求势能。将所有单元上的势能加起来得弹性体的总势能。最后应用最小势能原理求解单元节点位移。3.5有限元方法将左边的应力板离散为右边的四分之一形状之后用三角形单元离散直接法虚功原理变分原理加权残值法有限元计算格式用于简单结构问题，如杆梁等用于结构问题，如弹性力学等用于泛函存在的普遍问题，如温度场、流体场等具有普遍性问题，如结构场、温度场、流体场等3.5有限元方法感谢关注与支持第4章有限元方法的求解过程本章的学习要求(1)

单元的位移模式和形函数；(2)

应力矩阵和应变矩阵；(3)

单元刚度矩阵与整体刚度矩阵；(4)等效节点力；(5)整体平衡方程的求解。重点和难点第4章有限元方法的求解过程基于全域

的函数展开与逼近第4章有限元方法的求解过程基于子域

的函数展开与逼近第4章有限元方法的求解过程为所采用的基函数，它定义在全域

上第4章有限元方法的求解过程基于子域

的函数展开与逼近4.1单元的位移模式和形函数分片插值的思想:针对每一个单元选择试探函数(插值函数),积分计算在单元内完成。一维函数的整体插值与分片插值4.1单元的位移模式和形函数在有限元的位移法求解中。按照有限元分片插值思想,首先假设一种函数来近似表示单元内部的实际位移分布,该函数称为位移函数,又称位移模式。位移函数必须具备的条件（１）在节点上的值应等于节点的位移；（２）所采用的函数必须保证有限元的解收敛于真实解。4.1单元的位移模式和形函数(1)常数项(2)线性项(3)位移连续性

(4)几何各向同性

充分条件刚体位移坐标位置无关的常应变

必要条件（完备性条件）位移函数应满足的条件协调单元的有限元解一定是收敛的,但非协调单元的解不一定不收敛。4.1单元的位移模式和形函数（4）几何各向同性单元的位移分布不应与人为选取的坐标方位有关,即位移函数中坐标x,y应该是能够互换的。为满足这种几何各向同性要求,位移多项式应按下图所示的巴斯卡三角形来选择。巴斯卡三角形4.1单元的位移模式和形函数位移函数一般为多项式形式，进行数学运算（如微分，积分）较简单而且提高多项式的阶次可以近似地表示精确解，其一般形式为：为待定系数或二维问题一维问题4.1单元的位移模式和形函数4.1单元的位移模式和形函数4.1单元的位移模式和形函数4.1单元的位移模式和形函数4.1单元的位移模式和形函数用插值法把求解多项式中的待定系数

转化为推导相对应的

，显然

是x的函数

4.1单元的位移模式和形函数单元内任一点的位移单元的节点位移单元形函数矩阵4.1单元的位移模式和形函数研究一个2节点一维等截面杆单元：L—杆长A—截面积E—弹性模量1.一维杆单元的位移模式和形函数推导（1）设定位移函数

一个单元包含两个节点，只能求解两个待定系数，因此设：（2）形函数矩阵的推导两个节点坐标为xi、xj

，两个节点位移为所以有位移模式采用一次多项式是因为单元只有2个轴向位移分量，只能对应2个多项式系数。4.1单元的位移模式和形函数1.一维杆单元的位移模式和形函数推导4.1单元的位移模式和形函数得到形函数矩阵1.一维杆单元的位移模式和形函数推导4.1单元的位移模式和形函数通过形函数将单元内任一点位移表示成了节点位移的插值函数形式1.一维杆单元的位移模式和形函数推导4.1单元的位移模式和形函数1.一维杆单元的位移模式和形函数推导4.1单元的位移模式和形函数一维单元形函数的性质1.一维杆单元的位移模式和形函数推导4.1单元的位移模式和形函数三节点三角形单元，三个节点的编号为i,j,m,三个节点的坐标分别为：

每个节点的位移在单元内有两个分量：2.二维三角形单元的位移模式和形函数推导4.1单元的位移模式和形函数（1）位移函数的设定：

最简单的情况，可以选取位移函数为坐标的线性函数形式2.二维三角形单元的位移模式和形函数推导4.1单元的位移模式和形函数位移函数(displacementfunction)位移函数真实位移分布近似位移分布2.二维三角形单元的位移模式和形函数推导4.1单元的位移模式和形函数三节点三角形单元位移函数位移函数写成矩阵形式为：（2）形函数矩阵的推导：2.二维三角形单元的位移模式和形函数推导4.1单元的位移模式和形函数

三个节点的位移分别为将节点位移和节点坐标代入位移函数得6个方程,可以求出6个待定系数.2.二维三角形单元的位移模式和形函数推导4.1单元的位移模式和形函数位移函数写成矩阵形式

求解2.二维三角形单元的位移模式和形函数推导4.1单元的位移模式和形函数

A为三角形单元

ijm的面积由克来姆法则可知：若2A0，方程有唯一解：2.二维三角形单元的位移模式和形函数推导4.1单元的位移模式和形函数为了描述方便，引入系数

ai=xjym-xmyjbi=yj-ymci=-xj+xmaj=xmyi-xiymbj=ym-yicj=-xm+xiam=xiyj-xjyjbm=yi-yjcm=-xi+xj2.二维三角形单元的位移模式和形函数推导经过数学推导可得：令：即为三角形单元的形函数则：4.1单元的位移模式和形函数2.二维三角形单元的位移模式和形函数推导4.1单元的位移模式和形函数以矩阵表示:

形函数矩阵单元节点位移阵列形函数节点位移单元内任意一点的位移2.二维三角形单元的位移模式和形函数推导4.1单元的位移模式和形函数当节点在某坐标方向发生单位位移而其他节点的位移为零时,单元内的位移分布形状。三节点三角形单元形函数的性质当其他节点的位移为零的物理意义:2.二维三角形单元的位移模式和形函数推导4.1单元的位移模式和形函数形函数的形状4.1单元的位移模式和形函数形函数具有以下三条性质：(1)在节点上的值为1,而在其他节点处为零,即同理4.1单元的位移模式和形函数：二维三角形单元的位移模式和形函数推导(3)单元每一条边的形函数只与该边上的节点位置有关,而与其他节点的位置无关。例如在边上,有(2)在单元的任一处,三个形函数之和等于1,即4.2应变矩阵和应力矩阵形函数N（插值函数）几何方程物理方程应变矩阵B应力矩阵S单元刚度矩阵k虚功原理等效节点力整体刚度矩阵K节点位移单元内各点位移单元内各点应变单元内各点应力4.2应变矩阵和应力矩阵形函数N（插值函数）几何方程物理方程应变矩阵B应力矩阵S单元内各点位移单元内各点应变单元内各点应力设定位移函数并求得形函数以后，就可以通过节点位移得到单元内任一点的位移，进而利用几何方程，就可以得到单元内任一点的应变，通过物理方程，又可以求得应力。4.2应变矩阵和应力矩阵弹性体平面问题的基本量及基本方程的矩阵表示，以平面三节点三角形单元为例几何方程:物理方程:简写D为弹性矩阵4.2应变矩阵和应力矩阵其中4.2应变矩阵和应力矩阵4.2应变矩阵和应力矩阵4.2应变矩阵和应力矩阵(l=i，j，m)

应变矩阵bi、bj、bmci、cj、cm常数矩阵与单元形状有关4.2应变矩阵和应力矩阵应力—应变关系：4.2应变矩阵和应力矩阵应力矩阵(l=i，j，m)

应力分量也是一个常量。在一个三角形单元中各点应力相同，一般用形心一点表示。其应变也可同样表示。4.2应变矩阵和应力矩阵单元的应变列阵与应力列阵三节点三角形单元:(1)位移的误差是坐标Δx或

Δy尺寸的二阶小量;(2)应变和应力的误差是坐标Δx或

Δy尺寸的一阶小量;要根据工程计算精度确定单元尺寸(3)应变和应力为常量;(4)整个弹性体内位移连续,应变和应力不连续;(5)提高计算精度方法:减小单元尺寸或采用高精度单元.4.2应变矩阵和应力矩阵基本未知量4.3单元刚度矩阵

单元分析的主要目的是建立单元的刚度矩阵。建立单元刚度矩阵的方法有直接法、变分法等,下面利用基于变分原理的虚功虚位移原理来建立。单元节点力与节点位移之间的关系在位移型有限元法中，对单元的力学特性分析，最终是需要建立节点位移和节点力之间的关系，也就是确定单元的刚度矩阵。应用虚功原理来建立这种关系式。

4.3单元刚度矩阵

虚功原理：设有一受外力作用的物体，如下图所示：

4.3单元刚度矩阵以平面三角形单元为例：设作用在单元节点上的力为

,则单元节点力列阵为：若单元在节点处发生虚位移：相应的单元内部引起的虚应变物体在外力和内力以及边界固定点A、B、C处支反力作用下处于平衡状态。4.3单元刚度矩阵

根据虚功原理：外力虚功等于内力虚功。所以节点力在节点的虚位移上所作的虚功应等于单元内部应力在虚应变上所作的虚功。这就是单元保持平衡状态所必须满足的条件，即单元的平衡条件。则节点力在虚位移上所做的虚功为：4.3单元刚度矩阵单元内存储的应变能为由于且节点位移仅与节点坐标有关,因此将

移到积分以外4.3单元刚度矩阵外力虚功等于虚应变能平衡方程4.3单元刚度矩阵称为单元刚度方程，式中的k称为单元的刚度矩阵，反映了节点力与节点位移之间的关系。同样，可采用最小势能原理来建立单元节点力与节点位移的关系式。这里得到的单元刚度矩阵k是普遍公式，适用于各种类型的单元。4.4单元的等效节点载荷有限元分析的重要一步是把一个连续的结构看成是由离散单元在节点处连接拼装而成。而把作用在结构上的荷载统统考虑作用在节点上。然而结构上的载荷，常常是分布作用在单元上。对这种非节点荷载的处理：方法一：把分布荷载改用若干集中荷载代替，并把集中荷载的作用点选作节点方法二：等效节点荷载法。4.4单元的等效节点载荷等效节点载荷实际上作用在物体上的外力可以直接作用在节点上，也可以不作用在节点上，然而在有限元法中要求作用在物体上的各种外力必须用作用在节点上的力表示。（有限元法中，单元与单元之间只能通过节点联系）作用在物体上的各种外力也必须用作用在节点上的力表示，这一过程称为外力的静力等效移置，所得到的节点力称为等效节点力。4.4单元的等效节点载荷静力等效原则对于刚体来说，所谓静力等效原则就是单元上原有的外力系和将外力系向各节点移置所得的等效节点力，二者向同一点简化应具有相同的主矢和主矩。对于弹性体来说，所谓静力等效就是指单元上的外力系和将该力系向各节点移置后的等效节点力，二者在虚位移上的虚功相等，也即外力作用在单元上所引起的变形能和移置后等效节点力在单元上引起的变形能相等，在一定的位移模式下这种移置是唯一的。4.4单元的等效节点载荷实际上作用在物体上的外力可以直接作用在节点上，也可以不作用在节点上，然而在有限元法中要求作用在物体上的各种外力必须用作用在节点上的力表示。这一点体现了有限法中“离散化”这一概念，即将连续体离散成只有在节点处相连的单元体，单元与单元之间的联系只能通过节点。单元内任意点的位移、应力、应变等变量最终都用单元节点位移来表示。

同样，作用在物体上的各种外力也必须用作用在节点上的力表示，这一过程称为外力的静力等效移置，所得到的节点力称为等效节点力。等效节点载荷4.4单元的等效节点载荷

荷载向节点移置单元的节点荷载列阵必须将作用于单元中的外荷载向节点移置,化为等效节点荷载;这种移置按静力等效原则进行。4.4单元的等效节点载荷载荷移置与等效节点载荷1.由于在进行有限元分析中，单元和单元之间仅通过节点相互联系当外载不是直接作用在节点上，那么需要将非节点载荷向节点移置，也就是真实外载（理想化）节点上的集中载荷移置后的载荷称之为等效节点载荷。２.结构的非节点载荷移置将各单元所受的非节点外载荷分别移置到各单元的相应节点上，在公共节点处应用载荷叠加原理３.载荷移置的原则——能量等效的原则单元的实际载荷与移置后的等效节点载荷在相应的虚位移上所做的虚功相等。4.4单元的等效节点载荷载荷移置与等效节点载荷４.单元载荷移置的方法（１）直接法：利用能量等效原则，直接进行单元载荷移置＊只适用于线性位移函数的单元（２）普遍公式法：根据能量等效原则，推导出普遍公式＊适用于各种类型的单元说明：由圣维南原理可知，载荷移置后，只会在结构的局部产生误差。对整个结构的变形或应力状态的影响不大，由于有限元分析中，单元一般都很小，移置的结果不会带来很大的误差。4.4单元的等效节点载荷弹性体静力等效原则-虚功原理虚功等效：就一个单元来说，把作用在单元上的外力移置到节点上后，应当与原来的实际外力所作虚功等效。计算方法：对任意允许的微小虚位移，原外力所作虚功等于移置后的等效节点力所做的虚功。弹性力学中三种外力。4.4单元的等效节点载荷虚功原理Fe：等效节点力FC：集中力q:表面力G：体积力

：节点虚位移

：单元虚位移场:集中力作用处虚位移4.4单元的等效节点载荷单位体积中的体积力如式所示。ijmxy·PVyijmxy·uvPVx4.4单元的等效节点载荷(1)体积力势能单元上体积力具有的势能

为单元内各点位移：4.4单元的等效节点载荷（2）表面力势能面积力虽然包括单元之间公共边上互相作用的分布力，但它们属于结构内力，成对出现，集合时互相抵消，在结构整体分析时可以不加考虑，因此单元分析时也就不予考虑。只考虑弹性体边界上的表面力，它只在部分单元上形成表面力（右下图）。设边界面上单位面积受到的表面力如下式：①②③④

qs

4.4单元的等效节点载荷l—单元边界长度t—单元厚度A—表面力作用面积①②③④

qs

沿厚度均匀分布，则单元表面力的势能

为4.4单元的等效节点载荷（3）集中力势能当结构受到集中力时，通常在划分单元网格时就把集中力的作用点设置为节点。于是单元集中力

Pg

的势能Wg为p①②③④③

e

③p/2

g

4.4单元的等效节点载荷（4）总势能把上式中括符内的部分用列阵

代替，

具有和

相同的行、列数。综合以上诸式，单元外力的总势能V为就是单元等效节点力单元外力势能为4.5整体分析-整体刚度矩阵和平衡方程总刚集成总刚集成的任务:将所有单元的刚度矩阵集成为整个结构的刚度矩阵,称为整体刚度矩阵或总体刚度矩阵,简称总刚。总刚集成原理：单元分析时已对单元的每一个节点建立了平衡方程.如i节点的平衡方程为：它表明单元在任一节点发生位移时,都将在节点i处产生节点力(实际上是节点力引起位移),且力的大小等于各个节点位移所引起节点力的叠加。4.5整体分析-整体刚度矩阵和平衡方程在整体结构中,一个节点往往为几个单元所共有,根据线性叠加原理,该节点上的节点力应为所有单元引起的节点力之和。结构平衡时,每个节点也是平衡的。设作用在节点i上的载荷为{Fi},则节点i处的平衡方程为：4.5整体分析-整体刚度矩阵和平衡方程对结构中的所有节点,则有式中,n为节点总数。将上式记为整个结构的平衡方程称为有限元方程(刚度方程)4.5整体分析-整体刚度矩阵和平衡方程

是所有节点的位移分量组成的列阵,称为节点位移列阵;

是所有作用在节点上的载荷组成的列阵,称为节点载荷列阵;[K]就是要求的总刚矩阵,表达式为

中每个元素kij的物理意义和单刚元素相同,即在节点

j发生单位位移而其他节点位移为零时,在节点i处产生的节点力。4.5整体分析-整体刚度矩阵和平衡方程单元刚度矩阵k

等效节点力整体刚度矩阵K

节点位移边界条件①②③④单元分析④①③●●●●●②325●146整体计算4.5整体分析-整体刚度矩阵和平衡方程通过节点平衡方程建立以整体刚度矩阵为系数、节点位移为未知量的线性代数方程组方程组的左端向量就是总体节点载荷列矩阵，可由单元载荷移置结果迭加求得。因此，整体结构合成的主要任务是形成整体刚度矩阵。完成这一步的关键，在于怎样将单元的刚度矩阵和节点荷载列阵，分别“组装”成整体刚度矩阵和整体节点荷载列阵。这里通过研究任意节点的平衡来建立整体刚度矩阵，该方法不但比较直观、易懂，而且对怎样编写计算机程序是很有帮助的。4.5整体分析-整体刚度矩阵和平衡方程结构总体刚度方程的合成原则：(1)各单元变形后，应在节点处保证协调地相互连接。即相聚于节点i的单元，在节点i处必须有相同的位移：（上标1,2,···,n表示单元编号）

{δi1}={δi2}=···={δin}={δi}(2)各节点处应满足力的平衡条件，即环绕节点的各单元对其作用力的合力应等于该节点上的节点载荷。∑—环绕节点i的所有单元求和:—节点上的载荷4.5整体分析-整体刚度矩阵和平衡方程

4.5整体分析-整体刚度矩阵和平衡方程●o①②33

2421①321②4234.5整体分析-整体刚度矩阵和平衡方程4.5整体分析-整体刚度矩阵和平衡方程BoundaryConditions4.6整体平衡方程的求解方法形成了载荷向量，集成了总刚度矩阵，并且引进约束条件后，便可由整体平衡方程求解节点位移。这一过程实际上是将复杂的物理问题转化为求解大型线性代数方程组的数学问题。线性代数方程式组的解法：直接法和迭代法。其中，直接解法主要包括高斯消去法，及其派生的Lower-UpperDecomposition（LU）、Lower-Diagonal-LowerTransposeDecomposition（LDLT）三角分解法。迭代法主要是指塞德尔迭代法。感谢关注与支持第5章杆系结构的有限元分析方法本章的学习要求(1)

坐标变换；(2)

一维拉压直杆的有限元分析；(3)

二维平面拉压直杆（平面桁架中的杆件）的有限元分析；(4)三维空间拉压直杆的有限元分析。重点和难点第5章杆系结构的有限元分析方法a)b)c)图

杆件结构实例第5章杆系结构的有限元分析方法

(a)Liebherr塔式起重机

(b)Liebherr履带式起重机(c)钢结构桥梁

(d)埃菲尔铁塔

第5章杆系结构的有限元分析方法杆系结构包括平面或空间形式的梁、桁架、刚架、拱等，其组成形式虽然复杂多样，但用计算机进行分析时却较为简单。杆系结构中的每个杆件都是一个明显的单元。杆件的两个端点自然形成有限元法的节点，杆件与杆件之间则用节点相连接。5.1结构的离散化图5-3弯曲杆件以及变截面杆的离散化在实际应用场景中，杆件虽可能存在曲线形态，但在一定精度要求范围内，以直线段近似曲线部分，既能大幅简化计算过程，又能较好地反映结构的力学行为。5.2坐标变换图5-4整体坐标和局部坐标有限元中的坐标系有整体坐标系和局部坐标系。如果局部坐标系与整体坐标系不一致，则需进行坐标变换，将局部坐标系下的单元特性转换为整体坐标系下的单元特性。5.2坐标变换单元位移和单元力都是按局部单元坐标系的坐标分量定义的，由此建立的单元刚度矩阵属于局部单元刚度矩阵。在进行系统分析之前，需把单元力按统一的结构整体坐标的分量表示出来，以便建立节点平衡方程。图5-5坐标系的方向约定5.2坐标变换单元位移和单元力都是按局部单元坐标系的坐标轴分量定义的，由此建立的单元刚度矩阵属于局部单元刚度矩阵。在进行系统分析之前，需把单元力按统一的结构整体坐标轴的分量表示出来，以便建立节点平衡方程。因此，必须把局部坐标系中的单元力以及单元刚度矩阵都转换到整体坐标系中去。此外，还需要把整体坐标系中的节点位移转换到局部坐标系中去，以计算结构内力。这一转换过程称为坐标变换。5.3一维拉压直杆的有限元分析

如图所示，作用于杆件两端方向相反的两个外力，其作用线与杆件轴线重合，使杆件发生拉伸（虚框）。杆件受力后的拉伸5.3一维拉压直杆的有限元分析用有限元法求解拉压杆的受力和变形问题的基本步骤为：（1）结构离散，设定位移函数，推导形函数，形成每个单元刚度矩阵；（2）由各单元的刚度矩阵按节点号叠加整个系统的刚度矩阵；（3）引入约束条件；（4）以节点位移为未知量求解线性方程组（5）用每个单元的力-位移关系求的单元力。5.3一维拉压直杆的有限元分析1结构离散

一般原则：杆系的交叉点、边界点、集中力作用点、杆件截面尺寸突变处等都应该设置节点，节点之间的杆件即构成单元。

杆系单元为一维单元。F节点1节点2单元①节点3节点2单元②5.3一维拉压直杆的有限元分析自然离散,坐标系建立成一维,单元划分为两个,给出相应的节点1、2、3以及相应的坐标值。取杆单元的左端点为坐标原点，下图为单元1。5.3一维拉压直杆的有限元分析单元描述:拉压直杆单元节点坐标:在x轴的坐标：单元节点位移:沿x轴的位移：单元节点力:L—杆长A—截面积E—弹性模量5.3一维拉压直杆的有限元分析应力—应变关系：——杆单元位移——杆单元应变——杆单元应力应变—位移关系：5.3一维拉压直杆的有限元分析5.3.1一维拉压杆单元的位移模式和形函数单元位移函数的设定位移函数：形函数：用插值法把多项式中的待定系数转化为待定节点位移,从而得到插值形式的假设位移函数：ijlxuiuj5.3一维拉压直杆的有限元分析5.3.1一维拉压杆单元的位移模式和形函数则：

称为形函数。将

写成矩阵形式5.3一维拉压直杆的有限元分析单元应变：

所以：

B---单元应变矩阵单元应力：S---单元应力矩阵5.3.2

单元的应变矩阵和应力矩阵5.3一维拉压直杆的有限元分析5.3.3单元的刚度矩阵单元1的刚度矩阵：单元2刚度矩阵：

5.3一维拉压直杆的有限元分析5.3.4单元的等效节点力如果杆单元沿杆轴向施加均匀分布荷载，如图5-7所示：当分布力集度q为常数时，轴向均布荷载转换为作用在杆单元节点的等效节点荷载，计算公式为：5.3一维拉压直杆的有限元分析5.3.5整体分析单元1的节点力列阵：单元2节点力列阵：

单元1的平衡方程：单元2的平衡方程：

5.3一维拉压直杆的有限元分析5.3.5整体分析（建立整体平衡方程）整体刚度矩阵的组装：整体刚度矩阵5.3一维拉压直杆的有限元分析5.3.5整体分析（建立整体平衡方程）整体节点力列阵：整体平衡方程：

整体位移列阵：5.3一维拉压直杆的有限元分析5.3.5整体分析（求解（引入边界位移约束和载荷））

刚度矩阵是一个奇异阵，即它的行列式为0，矩阵的逆阵不存在，为使方程组有定解，需给系统加上一定的约束。引入边界位移约束和载荷5.3一维拉压直杆的有限元分析5.3.5整体分析（求解（引入边界位移约束和载荷））

刚度矩阵是一个奇异阵，即它的行列式为0，矩阵的逆阵不存在，为使方程组有定解，需给系统加上一定的约束。引入边界位移约束和载荷5.4二维平面拉压直杆（平面桁架中的杆件）的有限元分析如果杆的轴线是直线,则称为直杆；如果轴线为曲线,则称为曲杆；如果杆的各个横截面尺寸和形状不变,则称为等截面杆,反之则称为变截面杆。杆件结构5.4二维平面拉压直杆（平面桁架中的杆件）的有限元分析

杆系单元分类桁架单元：桁架中的杆件刚架单元：刚架中的杆件区别：桁架节点：铰节点传递力！

刚架节点：刚节点

传递力和力矩！5.4二维平面拉压直杆（平面桁架中的杆件）的有限元分析和其他结构采用铰连接的杆称为桁杆,如图(a)所示。桁杆的连接处可以自由转动,因此这类结构只承受拉压作用,内部应力为拉压应力。影响应力的几何因素主要是截面面积,与截面形状无关;5.4二维平面拉压直杆（平面桁架中的杆件）的有限元分析杆件结构可分为桁杆和梁两类。和其他结构采用固定连接的杆称为梁,如图(b)所示。梁的连接处不能自由转动,因此梁不仅能够承受拉压,而且能承受弯曲和扭转作用。这类杆件的内部应力状态比较复杂,应力大小和分布不仅与截面大小有关,而且与截面形状和方位有很大关系。建立有限元模型时,这两类杆件结构可用相应的杆单元和梁单元离散。5.4二维平面拉压直杆（平面桁架中的杆件）的有限元分析杆系结构单元主要有铰接杆单元和梁单元两种类型。它们都只有2个节点i、j。

约定：单元坐标系的原点置于节点i；节点i到j的杆轴（形心轴）方向为单元坐标系中x轴的正向。y轴、z轴都与x轴垂直，并符合右手螺旋法则。对于梁单元，y

轴和z

轴分别为横截面上的两个惯性主轴。xyzij··5.4二维平面拉压直杆（平面桁架中的杆件）的有限元分析坐标系有限元中的坐标系有整体坐标系和局部坐标系。对于一个结构，整体坐标系一般只有一个；而局部坐标系有很多个，一个单元就有一个局部坐标。并且局部坐标系每一个单元的规定都是相同的，这样，同类型单元刚度矩阵相同。XY○○○○○Pxyxy5.4二维平面拉压直杆（平面桁架中的杆件）的有限元分析整体坐标符号约定：

——结构整体坐标单元位移

——结构整体坐标单元力

——结构整体坐标单元刚度矩阵局部单元坐标中的符号约定：——局部单元坐标单元位移——局部单元坐标单元力——局部单元坐标单元刚度矩阵5.4二维平面拉压直杆（平面桁架中的杆件）的有限元分析平面桁架的有限元分析：节点力向量的坐标变换整体坐标系OXY：节点位移为:

节点坐标为：局部坐标系Oxy：节点位移为

节点坐标为：ijxyXYOαUjVjUiViujui5.4二维平面拉压直杆（平面桁架中的杆件）的有限元分析网格离散单元分析：在局部坐标系下建立单元平衡方程整体分析：在整体坐标系下组装整体平衡方程因此，组装过程中需要两个坐标系之间的转换：整体坐标系:OXY局部坐标系:OxyijxyXYOα5.4二维平面拉压直杆（平面桁架中的杆件）的有限元分析xyiUXYUiViui

局部坐标系中的ui是节点在整体坐标下的位移分量Ui和Vi沿局部坐标系x的投影，所以：5.4二维平面拉压直杆（平面桁架中的杆件）的有限元分析平面桁架的有限元分析：节点位移向量的坐标变换整体坐标系OXY：节点位移为局部坐标系Oxy：节点位移为ijxyXYαUjVjUiViujui局部坐标系中的vi是节点在整体坐标下的位移分量沿局部坐标系y的投影，所以5.4二维平面拉压直杆（平面桁架中的杆件）的有限元分析整体坐标系OXY：节点位移为局部坐标系Oxy：节点位移为ijxyXYαUjVjUiViujui5.4二维平面拉压直杆（平面桁架中的杆件）的有限元分析组合上述结果，得平面铰接杆单元的单元坐标单元位移和结构坐标单元位移之间关系：

i、j两节点间的位移变换关系互不耦合。5.4二维平面拉压直杆（平面桁架中的杆件）的有限元分析平面桁架的有限元分析：节点位移向量的坐标变换ijxyXYOαUjVjUiViujui从整体坐标到局部坐标的坐标变换矩阵[T]5.4二维平面拉压直杆（平面桁架中的杆件）的有限元分析1.坐标变换矩阵定义把单元位移从结构整体坐标系转换到局部单元坐标系的变换矩阵定义为坐标变换矩阵，用符号[T]表示。有

上式给出了结构整体坐标下单元位移转换为局部单元坐标下单元位移的转换式，同时是坐标变换矩阵[T]的定义式。5.4二维平面拉压直杆（平面桁架中的杆件）的有限元分析在转换矩阵中，有：

上式中，

为单元长度

令:

则转换矩阵T可表示为：ijxyXYOα5.4二维平面拉压直杆（平面桁架中的杆件）的有限元分析平面桁架的有限元分析：单元应变计算5.4二维平面拉压直杆（平面桁架中的杆件）的有限元分析平面桁架的有限元分析：单元应力计算同理：5.4二维平面拉压直杆（平面桁架中的杆件）的有限元分析在局部坐标系中，有结构整体坐标单元刚度矩阵上式两端左乘5.4二维平面拉压直杆（平面桁架中的杆件）的有限元分析则整体坐标系下的单元刚度矩阵为用单元刚度矩阵组装系统整体刚度矩阵的方法与一维杆单元情况相同，按节点号对子块重新排列。5.4二维平面