高中数学 加练 专题10　第100练　二项分布与超几何分布、正态分布

第100练二项分布与超几何分布、正态分布(分值：40分)一、单项选择题(每小题5分，共10分)1.若随机变量X~B(4，p)，D(X)=1，则P(X=3)等于()A.16 B.14 C.1答案B解析由题设D(X)=4p(1-p)=1，可得p=12所以P(X=3)=C4312.某地生产红茶已有多年，选用本地两个不同品种的茶青生产红茶.根据其种植经验，在正常环境下，甲、乙两个品种的茶青每500克的红茶产量(单位：克)分别为X，Y，且X~N(μ1，σ12)，Y~N(μ2，σ22)A.Y的数据较X更集中B.P(X≤c)<P(Y≤c)C.甲种茶青每500克的红茶产量超过μ2的概率大于1D.P(X>c)+P(Y≤c)=1答案D解析对于A，Y的密度曲线更“瘦高”，即数据更集中，A正确；对于B，记x=c，x=μ2，y=0与Y的密度曲线围成的面积为S1，x=c，x=μ1，y=0与X的密度曲线围成的面积为S2，则S1>S2，又P(Y≤c)=12+S1，P(X≤c)=12+S∴P(X≤c)<P(Y≤c)，B正确；对于C，∵μ2<μ1，∴甲种茶青每500克的红茶产量超过μ2的概率P=P(X>μ2)>12，C对于D，由B知P(X>c)=12-S2，P(Y≤c)=12+S∴P(X>c)+P(Y≤c)=1+S1-S2>1，D错误.二、多项选择题(每小题6分，共12分)3.已知随机变量ξ~N(0，σ2)，φ(x)=P(ξ≤x)，其中x>0，则下列等式正确的是()A.φ(-x)=1-φ(x)B.P(|ξ|≤1)=1-2φ(1)C.P(|ξ|≤1)=2φ(1)-1D.P(|ξ|>1)=2-2φ(1)答案ACD解析因为随机变量ξ~N(0，σ2)，则正态曲线关于直线x=0对称，因为φ(x)=P(ξ≤x)，则由正态曲线的对称性可得φ(-x)+φ(x)=1，即φ(-x)=1-φ(x)，故A正确；又P(|ξ|≤1)=P(-1≤ξ≤1)=P(ξ≤1)-P(ξ≤-1)=φ(1)-φ(-1)，由于φ(-1)=1-φ(1)，所以P(|ξ|≤1)=2φ(1)-1，故B错误，C正确；P(|ξ|>1)=1-P(|ξ|≤1)=1-2φ(1)+1=2-2φ(1)，故D正确.4.在一个袋中装有质地、大小均一样的6个黑球、4个白球，现从中不放回地任取4个小球，设取出的4个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是()A.P(X=2)=3B.随机变量X服从二项分布C.随机变量X服从超几何分布D.E(X)=8答案ACD解析随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，4，P(X=k)=C4kC64-kC104因此随机变量X服从超几何分布，B错误，C正确；P(X=0)=C64CP(X=1)=C41CP(X=2)=C42C62P(X=3)=C43CP(X=4)=C44CE(X)=1×821+2×37+3×435+4×1210=8三、填空题(共5分)5.在一次考试中，考生成绩X~N(80，σ2)，若P(70≤X≤90)=35，则从参加这次考试的考生中任意选取3名考生，至少有2名考生的成绩高于90分的概率为答案13解析根据X~N(80，σ2)，P(70≤X≤90)=35所以P(80≤X≤90)=12P(70≤X≤90)=3则P(X>90)=12-P(80≤X≤90)=12-310设从参加这次考试的所有考生中选取3人，至少有2名考生成绩高于90分为事件A，有2名考生成绩高于90分为事件B，有3名考生成绩高于90分为事件C，所以A=B∪C，事件B和事件C互斥，所以P(A)=P(B∪C)=P(B)+P(C)=C32152×45+C3四、解答题(共13分)6.(13分)为了引导人民强健体魄，某市组织了一系列活动，其中乒乓球比赛的冠军由A，B两队争夺，已知A，B两队之间的比赛采用5局3胜制，且本次比赛共设有3000元奖金，奖金分配规则如下：①若比赛进行3局即可决定胜负，则赢方获得全部奖金，输方没有奖金；②若比赛进行4局即可决定胜负，则赢方获得90%的奖金，输方获得10%的奖金；③若比赛打满5局才决定胜负，则赢方获得80%的奖金，输方获得20%的奖金.已知每局比赛A队、B队赢的概率分别为13，23(1)若比赛进行4局即可决定胜负，则A队赢得比赛的概率为多少？(4分)(2)求A队获得奖金金额X的分布列及数学期望.(9分)解(1)因为比赛进行了4局即可决定胜负，且A队赢得比赛，所以第4局必然是A队赢，且前3局比赛中A队赢2局，所以若比赛进行了4局即可决定胜负，则A队赢得比赛的概率为C32×132×23(2)由题意知X的所有可能取值为3000，2700，2400，600，300，0，则P(X=3000)=133=P(X=2700)=C32×132×23P(X=2400)=C42×132×23P(X=600)=C42×232×13P(X=300)=C32×232×13