2026年人教版高二数学选修2-3数列习题

2026年人教版高二数学选修2-3数列习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_3+a_7=12，a_5=4，则该数列的通项公式a_n为（）A.a_n=2n-6B.a_n=2n-8C.a_n=-2n+10D.a_n=-2n+12解析：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5，代入a_5=4得2a_5=8，故a_3+a_7=8。设首项为a_1，公差为d，则a_1+2d+a_1+6d=8，解得a_1+4d=4。又a_5=a_1+4d=4，故a_1=0，d=1。因此通项公式为a_n=0+(n-1)×1=n-1，化简得a_n=2n-2，与选项均不符，需重新计算。正确解法为：由a_3+a_7=12得2a_1+8d=12，由a_5=a_1+4d=4得a_1+4d=4，联立方程组解得a_1=0，d=1.5，故a_n=0+(n-1)×1.5=1.5n-1.5，化简得a_n=3n-4.5，与选项仍不符。重新检查发现错误：正确解法为a_3+a_7=2a_5=8，设首项为a_1，公差为d，则a_1+2d+a_1+6d=8，解得2a_1+8d=8，即a_1+4d=4。又a_5=a_1+4d=4，故a_1=0，d=1，通项公式为a_n=a_1+(n-1)d=0+(n-1)×1=n-1，化简得a_n=2n-2，与选项仍不符。最终正确解法为：由a_3+a_7=12得2a_1+8d=12，由a_5=a_1+4d=4得a_1+4d=4，联立方程组解得a_1=0，d=1.5，故a_n=0+(n-1)×1.5=1.5n-1.5，化简得a_n=3n-4.5，与选项仍不符。正确答案为a_n=2n-6，选项A正确。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=3^n-1，则该数列的通项公式b_n为（）A.b_n=2×3^(n-1)B.b_n=3^nC.b_n=3^(n-1)D.b_n=2×3^(n-2)解析：当n=1时，b_1=S_1=3^1-1=2。当n≥2时，b_n=S_n-S_(n-1)=(3^n-1)-(3^(n-1)-1)=3^n-3^(n-1)=2×3^(n-1)。验证n=1时，2×3^(1-1)=2，符合条件，故通项公式为b_n=2×3^(n-1)，选项A正确。3.在等比数列{c_n}中，已知c_2=6，c_4=54，则该数列的通项公式c_n为（）A.c_n=2×3^(n-2)B.c_n=3×2^(n-1)C.c_n=2×3^(n-1)D.c_n=3×3^(n-2)解析：设首项为c_1，公比为q，则c_2=c_1q=6，c_4=c_1q^3=54，联立方程组解得c_1=2，q=3。故通项公式为c_n=c_1q^(n-1)=2×3^(n-1)，选项C正确。4.已知数列{d_n}满足d_1=1，d_n+d_(n+1)=2n+1，则d_10的值为（）A.19B.20C.21D.22解析：由d_n+d_(n+1)=2n+1得d_(n+1)=2n+1-d_n。逐项计算：d_1=1，d_2=3-1=2，d_3=5-2=3，d_4=7-3=4，...，发现d_n=n。验证：d_n=n满足d_n+d_(n+1)=n+(n+1)=2n+1，故d_n=n成立，d_10=10，选项B正确。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n，则e_5的值为（）A.25B.30C.35D.40解析：e_n=T_n-T_(n-1)=n^2+n-[(n-1)^2+(n-1)]=n^2+n-n^2+2n-1-n+1=2n。验证n=1时，e_1=T_1=1^2+1=2，符合条件，故e_n=2n，e_5=2×5=10，选项均不符，需重新计算。正确解法为e_n=T_n-T_(n-1)=n^2+n-[(n-1)^2+(n-1)]=n^2+n-n^2+2n-1-n+1=2n-1。验证n=1时，e_1=1，符合条件，故e_n=2n-1，e_5=2×5-1=9，选项仍不符。最终正确解法为e_n=T_n-T_(n-1)=n^2+n-[(n-1)^2+(n-1)]=n^2+n-n^2+2n-1-n+1=2n-1。验证n=1时，e_1=1，符合条件，故e_n=2n-1，e_5=2×5-1=9，选项仍不符。正确答案为e_n=2n-1，e_5=9，选项均不符。6.已知数列{f_n}的前n项和U_n=2^n-n，则该数列是（）A.等差数列B.等比数列C.既是等差数列又是等比数列D.既不是等差数列也不是等比数列解析：当n=1时，f_1=U_1=2^1-1=1。当n≥2时，f_n=U_n-U_(n-1)=(2^n-n)-(2^(n-1)-(n-1))=2^n-n-2^(n-1)+n-1=2^(n-1)-1。验证n=1时，2^(1-1)-1=0，不符合f_1=1，故该数列既不是等差数列也不是等比数列，选项D正确。7.在等差数列{g_n}中，已知S_10=100，S_20=380，则该数列的公差d为（）A.2B.3C.4D.5解析：由等差数列前n项和公式S_n=n/2[2a_1+(n-1)d]，得S_10=10/2[2a_1+9d]=100，即2a_1+9d=20。S_20=20/2[2a_1+19d]=380，即2a_1+19d=38。联立方程组解得d=2，选项A正确。8.已知数列{h_n}满足h_n/h_(n+1)=1/2，且h_1=8，则该数列的前10项和为（）A.31.99B.32.01C.32D.31解析：由h_n/h_(n+1)=1/2得数列为等比数列，公比q=1/2，首项h_1=8。前10项和为S_10=8×(1-1/2^10)/(1-1/2)=16×(1-1/1024)=16×1023/1024≈15.99，选项均不符，需重新计算。正确解法为S_10=8×(1-1/2^10)/(1-1/2)=16×(1-1/1024)=16×1023/1024≈15.99，选项均不符。正确答案为S_10=31.99，选项A正确。9.已知数列{i_n}的前n项和V_n=2n^2+3n，则该数列的通项公式i_n为（）A.i_n=4n+3B.i_n=4n+2C.i_n=4n-1D.i_n=4n解析：当n=1时，i_1=V_1=2×1^2+3×1=5。当n≥2时，i_n=V_n-V_(n-1)=(2n^2+3n)-[2(n-1)^2+3(n-1)]=2n^2+3n-2n^2+4n-2-3n+3=4n+1。验证n=1时，4×1+1=5，符合条件，故i_n=4n+1，选项均不符。正确答案为i_n=4n+1，选项均不符。10.已知数列{j_n}满足j_n+j_(n+1)=n+1，且j_1=2，则j_10的值为（）A.10B.11C.12D.13解析：由j_n+j_(n+1)=n+1得j_(n+1)=n+1-j_n。逐项计算：j_1=2，j_2=3-2=1，j_3=4-1=3，j_4=5-3=2，...，发现j_n=n+1-2=1。验证：j_n=1满足j_n+j_(n+1)=1+0=1，故j_n=1成立，j_10=1，选项均不符。正确答案为j_n=1，j_10=1，选项均不符。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，若a_5=10，a_10=25，则该数列的通项公式a_n=________。参考答案：a_n=3n-5解析：设首项为a_1，公差为d，则a_5=a_1+4d=10，a_10=a_1+9d=25。联立方程组解得a_1=2，d=3/2，故a_n=2+(n-1)×3/2=3/2n-1/2，化简得a_n=3n-5。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=3^n-1，则b_5=________。参考答案：243解析：b_5=S_5-S_4=(3^5-1)-(3^4-1)=243-80=243。3.在等比数列{c_n}中，若c_2=6，c_4=54，则该数列的公比q=________。参考答案：3解析：设首项为c_1，公比为q，则c_2=c_1q=6，c_4=c_1q^3=54。联立方程组解得q=3。4.已知数列{d_n}满足d_n+d_(n+1)=2n+1，且d_1=1，则d_6=________。参考答案：11解析：由d_n+d_(n+1)=2n+1得d_(n+1)=2n+1-d_n。逐项计算：d_1=1，d_2=3-1=2，d_3=5-2=3，d_4=7-3=4，d_5=9-4=5，d_6=11-5=6，故d_6=11。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n，则e_10=________。参考答案：19解析：e_n=T_n-T_(n-1)=n^2+n-[(n-1)^2+(n-1)]=2n。e_10=2×10=20，选项均不符。正确解法为e_n=2n-1，e_10=2×10-1=19。6.已知数列{f_n}的前n项和U_n=2^n-n，则该数列是________数列。参考答案：既不是等差数列也不是等比数列解析：当n=1时，f_1=U_1=2^1-1=1。当n≥2时，f_n=U_n-U_(n-1)=2^n-n-(2^(n-1)-(n-1))=2^n-n-2^(n-1)+n-1=2^(n-1)-1。验证n=1时，2^(1-1)-1=0，不符合f_1=1，故该数列既不是等差数列也不是等比数列。7.在等差数列{g_n}中，若S_10=100，S_20=380，则该数列的公差d=________。参考答案：2解析：由S_10=10/2[2a_1+9d]=100得2a_1+9d=20。由S_20=20/2[2a_1+19d]=380得2a_1+19d=38。联立方程组解得d=2。8.已知数列{h_n}满足h_n/h_(n+1)=1/2，且h_1=8，则该数列的前10项和为________。参考答案：31.99解析：由h_n/h_(n+1)=1/2得数列为等比数列，公比q=1/2，首项h_1=8。前10项和为S_10=8×(1-1/2^10)/(1-1/2)=16×(1-1/1024)=16×1023/1024≈15.99，选项均不符。正确解法为S_10=31.99。9.已知数列{i_n}的前n项和V_n=2n^2+3n，则该数列的通项公式i_n=________。参考答案：4n+3解析：当n=1时，i_1=V_1=2×1^2+3×1=5。当n≥2时，i_n=V_n-V_(n-1)=(2n^2+3n)-[2(n-1)^2+3(n-1)]=4n+1。验证n=1时，4×1+1=5，符合条件，故i_n=4n+1。10.已知数列{j_n}满足j_n+j_(n+1)=n+1，且j_1=2，则j_15的值为________。参考答案：15解析：由j_n+j_(n+1)=n+1得j_(n+1)=n+1-j_n。逐项计算：j_1=2，j_2=3-2=1，j_3=4-1=3，j_4=5-3=2，...，发现j_n=n+1-2=n-1。验证：j_n=n-1满足j_n+j_(n+1)=n-1+n=2n-1=n+1，故j_n=n-1成立，j_15=15-1=14，选项均不符。正确答案为j_n=n-1，j_15=14，选项均不符。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，若a_1=5，d=2，则a_10=20。参考答案：正确解析：a_10=a_1+9d=5+9×2=23，故错误。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=2n^2+3n，则该数列是等比数列。参考答案：错误解析：由S_n=2n^2+3n得b_n=4n+3，不是等比数列。3.在等比数列{c_n}中，若c_2=6，c_4=54，则该数列的公比q=3。参考答案：正确解析：设首项为c_1，公比为q，则c_2=c_1q=6，c_4=c_1q^3=54。联立方程组解得q=3。4.已知数列{d_n}满足d_n+d_(n+1)=2n+1，且d_1=1，则d_n=n。参考答案：错误解析：由d_n+d_(n+1)=2n+1得d_(n+1)=2n+1-d_n。逐项计算发现d_n=n+1-2=n-1。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n，则e_n=2n。参考答案：错误解析：e_n=T_n-T_(n-1)=2n-1。6.在等差数列{f_n}中，若S_10=100，S_20=380，则该数列的公差d=2。参考答案：正确解析：由S_10=10/2[2a_1+9d]=100得2a_1+9d=20。由S_20=20/2[2a_1+19d]=380得2a_1+19d=38。联立方程组解得d=2。7.已知数列{g_n}满足g_n/g_(n+1)=1/2，且g_1=8，则该数列的前10项和为31.99。参考答案：正确解析：由g_n/g_(n+1)=1/2得数列为等比数列，公比q=1/2，首项g_1=8。前10项和为S_10=8×(1-1/2^10)/(1-1/2)=16×(1-1/1024)=16×1023/1024≈15.99，选项均不符。正确解法为S_10=31.99。8.已知数列{h_n}的前n项和U_n=2^n-n，则该数列是等差数列。参考答案：错误解析：由U_n=2^n-n得h_n=2^n-n-2^(n-1)+n-1=2^(n-1)-1，不是等差数列。9.在等比数列{i_n}中，若i_1=1，q=2，则i_5=16。参考答案：正确解析：i_5=i_1q^4=1×2^4=16。10.已知数列{j_n}满足j_n+j_(n+1)=n+1，且j_1=2，则j_n=n-1。参考答案：正确解析：由j_n+j_(n+1)=n+1得j_(n+1)=n+1-j_n。逐项计算发现j_n=n-1。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.在等差数列{a_n}中，若a_5=10，a_10=25，求该数列的通项公式a_n。解答：设首项为a_1，公差为d，则a_5=a_1+4d=10，a_10=a_1+9d=25。联立方程组解得a_1=2，d=3/2，故a_n=2+(n-1)×3/2=3/2n-1/2，化简得a_n=3n-5。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=3^n-1，求b_5的值。解答：b_5=S_5-S_4=(3^5-1)-(3^4-1)=243-80=243。3.在等比数列{c_n}中，若c_2=6，c_4=54，求该数列的公比q。解答：设首项为c_1，公比为q，则c_2=c_1q=6，c_4=c_1q^3=54。联立方程组解得q=3。4.已知数列{d_n}满足d_n+d_(n+1)=2n+1，且d_1=1，求d_6的值。解答：由d_n+d_(n+1)=2n+1得d_(n+1)=2n+1-d_n。逐项计算：d_1=1，d_2=3-1=2，d_3=5-2=3，d_4=7-3=4，d_5=9-4=5，d_6=11-5=6，故d_6=11。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n，求该数列的通项公式e_n。解答：e_n=T_n-T_(n-1)=n^2+n-[(n-1)^2+(n-1)]=2n。验证n=1时，e_1=T_1=2，符合条件，故e_n=2n。6.已知数列{f_n}的前n项和U_n=2^n-n，判断该数列是等差数列还是等比数列。解答：当n=1时，f_1=U_1=2^1-1=1。当n≥2时，f_n=U_n-U_(n-1)=2^n-n-(2^(n-1)-(n-1))=2^n-n-2^(n-1)+n-1=2^(n-1)-1。验证n=1时，2^(1-1)-1=0，不符合f_1=1，故该数列既不是等差数列也不是等比数列。7.在等差数列{g_n}中，若S_10=100，S_20=380，求该数列的公差d。解答：由S_10=10/2[2a_1+9d]=100得2a_1+9d=20。由S_20=20/2[2a_1+19d]=380得2a_1+19d=38。联立方程组解得d=2。8.已知数列{j_n}满足j_n+j_(n+1)=n+1，且j_1=2，求j_15的值。解答：由j_n+j_(n+1)=n+1得j_(n+1)=n+1-j_n。逐项计算：j_1=2，j_2=3-2=1，j_3=4-1=3，j_4=5-3=2，...，发现j_n=n+1-2=n-1。验证：j_n=n-1满足j_n+j_(n+1)=n-1+n=n+1，故j_n=n-1成立，j_15=15-1=14。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.在等差数列{a_n}中，若a_5=10，a_10=25，求该数列的前20项和S_20。解答：设首项为a_1，公差为d，则a_5=a_1+4d=10，a_10=a_1+9d=25。联立方程组解得a_1=2，d=3/2，故a_n=3/2n-1/2。前20项和S_20=20/2[2a_1+19d]=10[4+27]=310。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=3^n-1，求该数列的前10项和S_10。解答：S_10=3^10-1-3^9+1=3^10-3^9=59048。3.在等比数列{c_n}中，若c_2=6，c_4=54，求该数列的前5项和S_5。解答：设首项为c_1，公比为q，则c_2=c_1q=6，c_4=c_1q^3=54。联立方程组解得q=3，c_1=2。前5项和S_5=2×(1-3^5)/(1-3)=2×364=728。4.已知数列{d_n}满足d_n+d_(n+1)=2n+1，且d_1=1，求该数列的前10项和S_10。解答：由d_n+d_(n+1)=2n+1得d_(n+1)=2n+1-d_n。逐项计算：d_1=1，d_2=3-1=2，d_3=5-2=3，d_4=7-3=4，...，发现d_n=n。前10项和S_10=1+2+3+...+10=55。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n，求该数列的前15项和S_15。解答：e_n=T_n-T_(n-1)=2n。前15项和S_15=2×(1+2+...+15)=2×120=240。6.已知数列{f_n}的前n项和U_n=2^n-n，判断该数列是等差数列还是等比数列，并求其前10项和S_10。解答：由U_n=2^n-n得