2026年山西省北师大版高一数学必修第一册第7单元复习题

2026年山西省北师大版高一数学必修第一册第7单元复习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在北师大版高一数学必修第一册第7单元中，函数f(x)=log₃(x-1)的定义域为（）A.(-∞,1)B.(1,+∞)C.[1,+∞)D.(-1,+∞)解析：函数f(x)=log₃(x-1)的定义域需满足x-1>0，即x>1，故定义域为(1,+∞)，正确选项为B。选项A错误因不包含1，选项C错误因包含1导致函数在x=1处无意义，选项D错误因包含(-1,1)区间导致对数无定义。2.若函数y=2^x与y=ax^2在(0,1)区间内恰有一个交点，则实数a的取值范围是（）A.(0,1)B.[2,+∞)C.(0,2]D.(-∞,0)∪(1,+∞)解析：在(0,1)区间内，y=2^x单调递增且取值(1,2)，y=ax^2单调递增且取值(0,a)。若恰有一个交点，需满足2=a，即a=2，选项B正确。选项A错误因a<1时无交点，选项C错误因a>2时有两个交点，选项D错误因不包含a=2的情况。3.已知函数f(x)=3^x-1，若f(m)=8，则m的值为（）A.2B.3C.2.5D.3.5解析：由f(m)=3^m-1=8可得3^m=9，即3^m=3^2，故m=2，正确选项为A。选项B错误因3^3=27，选项C错误因3^2.5≈11.4，选项D错误因3^3.5≈40.3。4.函数y=1/2^(-x)的图象关于（）对称A.x轴B.y轴C.原点D.y=x解析：y=1/2^(-x)=2^x，为指数函数y=2^x的变形，其图象关于y=x对称，正确选项为D。选项A错误因指数函数图象不关于x轴对称，选项B错误因指数函数图象不关于y轴对称，选项C错误因指数函数图象不关于原点对称。5.若函数f(x)=logₐ(x+3)在(-3,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是（）A.(0,1)B.(1,2)C.(2,+∞)D.(0,1)∪(1,+∞)解析：对数函数y=logₐ(x+3)在(-3,+∞)上单调递增需满足a>1，正确选项为C。选项A错误因0<a<1时对数函数单调递减，选项B错误因1<a<2时仅部分单调递增，选项D错误因未排除0<a<1的情况。6.函数y=2^x-4x+3的零点所在区间是（）A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)解析：令f(x)=2^x-4x+3，计算f(1)=2-4+3=1，f(2)=4-8+3=-1，f(1)f(2)<0，由零点判定定理可知零点在(1,2)区间，正确选项为B。选项A错误因f(0)=1>0，选项C错误因f(3)=8-12+3=-1，选项D错误因f(4)=16-16+3=3。7.若函数y=3^x+1与y=a^x在(-∞,0)区间内恰有一个交点，则实数a的取值范围是（）A.(0,1)B.(1,3)C.(3,+∞)D.(-∞,0)∪(1,+∞)解析：在(-∞,0)区间，y=3^x+1单调递减且取值(2,1)，y=a^x单调递减需0<a<1。若恰有一个交点，需满足3^0+1=a^0，即a=2，正确选项为A。选项B错误因1<a<3时无交点，选项C错误因a>3时无交点，选项D错误因未包含a=2的情况。8.函数y=2^x-1在区间[1,4]上的值域是（）A.[1,15]B.[1,15)C.[0,15]D.[0,15)解析：函数y=2^x-1在[1,4]上单调递增，当x=1时y=1，当x=4时y=15，故值域为[1,15]，正确选项为A。选项B错误因包含15，选项C错误因不包含1，选项D错误因不包含15。9.若函数f(x)=log₃(2x-1)在(1/2,+∞)上单调递增，则实数k的取值范围是（）A.(0,1/2)B.(1/2,1)C.(1,2)D.(2,+∞)解析：函数f(x)=log₃(2x-1)在(1/2,+∞)上单调递增需满足2x-1>0且2x-1=k>0，即k>1，正确选项为D。选项A错误因k<1时单调递减，选项B错误因1/2<k<1时仅部分单调递增，选项C错误因1<k<2时仅部分单调递增。10.函数y=3^x+1与y=a^x在(0,+∞)区间内恰有一个交点，则实数a的取值范围是（）A.(0,1)B.(1,3)C.(3,+∞)D.(-∞,0)∪(1,+∞)解析：在(0,+∞)区间，y=3^x+1单调递增且取值(2,+∞)，y=a^x单调递增需a>1。若恰有一个交点，需满足3^0+1=a^0，即a=2，正确选项为B。选项A错误因0<a<1时无交点，选项C错误因a>3时无交点，选项D错误因未包含a=2的情况。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)=logₐ(x+1)在(-1,+∞)上单调递减，则实数a的取值范围是______参考答案：(0,1)解析：对数函数y=logₐ(x+1)在(-1,+∞)上单调递减需满足0<a<1，故答案为(0,1)。2.函数y=2^x-4x+3的零点个数是______参考答案：2解析：令f(x)=2^x-4x+3，计算f(0)=1>0，f(1)=1-4+3=0，f(2)=-1<0，f(3)=8-12+3=-1，f(4)=16-16+3=3，由零点判定定理可知零点在(0,1)和(2,3)区间，故有2个零点。3.函数y=3^x+1与y=a^x在(-∞,0)区间内恰有一个交点，则实数a的值为______参考答案：2解析：在(-∞,0)区间，y=3^x+1单调递减且取值(2,1)，y=a^x单调递减需0<a<1。若恰有一个交点，需满足3^0+1=a^0，即a=2。4.函数y=2^x-1在区间[1,4]上的最大值是______参考答案：15解析：函数y=2^x-1在[1,4]上单调递增，当x=4时y=2^4-1=15，故最大值为15。5.若函数f(x)=log₃(2x+k)在(-k/2,+∞)上单调递增，则实数k的取值范围是______参考答案：k>0解析：函数f(x)=log₃(2x+k)在(-k/2,+∞)上单调递增需满足2x+k>0且2x+k=k>0，即k>0。6.函数y=3^x+1与y=a^x在(0,+∞)区间内恰有一个交点，则实数a的取值范围是______参考答案：(1,3)解析：在(0,+∞)区间，y=3^x+1单调递增且取值(2,+∞)，y=a^x单调递增需a>1。若恰有一个交点，需满足3^0+1=a^0，即a=2，故答案为(1,3)。7.函数y=2^x-4x+3在区间[1,4]上的值域是______参考答案：[0,15]解析：函数y=2^x-4x+3在[1,4]上单调递增，当x=1时y=0，当x=4时y=15，故值域为[0,15]。8.函数f(x)=logₐ(x-1)在(2,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是______参考答案：a>1解析：对数函数y=logₐ(x-1)在(2,+∞)上单调递增需满足a>1。9.函数y=2^x-1在区间[1,4]上的最小值是______参考答案：0解析：函数y=2^x-1在[1,4]上单调递增，当x=1时y=0，故最小值为0。10.若函数f(x)=log₃(2x-1)在(1/2,+∞)上单调递增，则实数k的取值范围是______参考答案：k>1解析：函数f(x)=log₃(2x-1)在(1/2,+∞)上单调递增需满足2x-1>0且2x-1=k>0，即k>1。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数y=3^x与y=3^(-x)的图象关于x轴对称。参考答案：错误解析：指数函数y=3^(-x)可变形为y=(1/3)^x，其图象与y=3^x关于y=x对称，而非x轴对称。2.若函数f(x)=logₐ(x+1)在(-1,+∞)上单调递减，则实数a的取值范围是(0,1)。参考答案：正确解析：对数函数y=logₐ(x+1)在(-1,+∞)上单调递减需满足0<a<1，故取值范围正确。3.函数y=2^x-4x+3在区间[1,4]上的值域是[0,15]。参考答案：正确解析：函数y=2^x-4x+3在[1,4]上单调递增，当x=1时y=0，当x=4时y=15，故值域为[0,15]。4.函数f(x)=log₃(2x-1)在(1/2,+∞)上单调递增，则实数k的取值范围是k>1。参考答案：正确解析：函数f(x)=log₃(2x-1)在(1/2,+∞)上单调递增需满足2x-1>0且2x-1=k>0，即k>1。5.函数y=3^x+1与y=a^x在(0,+∞)区间内恰有一个交点，则实数a的取值范围是(1,3)。参考答案：正确解析：在(0,+∞)区间，y=3^x+1单调递增且取值(2,+∞)，y=a^x单调递增需a>1。若恰有一个交点，需满足3^0+1=a^0，即a=2，故取值范围正确。6.函数y=2^x-1在区间[1,4]上的最大值是15。参考答案：正确解析：函数y=2^x-1在[1,4]上单调递增，当x=4时y=2^4-1=15，故最大值为15。7.函数f(x)=logₐ(x-1)在(2,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是a>1。参考答案：正确解析：对数函数y=logₐ(x-1)在(2,+∞)上单调递增需满足a>1。8.函数y=3^x与y=3^(-x)的图象关于y=x对称。参考答案：正确解析：指数函数y=3^(-x)可变形为y=(1/3)^x，其图象与y=3^x关于y=x对称。9.函数f(x)=log₃(2x-1)在(1/2,+∞)上单调递增，则实数k的取值范围是k>0。参考答案：错误解析：函数f(x)=log₃(2x-1)在(1/2,+∞)上单调递增需满足2x-1>0且2x-1=k>0，即k>1，而非k>0。10.函数y=2^x-4x+3在区间[1,4]上的最小值是0。参考答案：正确解析：函数y=2^x-4x+3在[1,4]上单调递增，当x=1时y=0，故最小值为0。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知函数f(x)=2^x-1，求f(x)在区间[0,2]上的值域。参考答案：[0,3]解析：函数f(x)=2^x-1在[0,2]上单调递增，当x=0时y=-1，当x=2时y=3，故值域为[-1,3]。2.若函数f(x)=log₃(x+1)在(-1,+∞)上单调递减，求实数a的取值范围。参考答案：(0,1)解析：对数函数y=log₃(x+1)在(-1,+∞)上单调递减需满足0<a<1，故取值范围正确。3.函数y=3^x+1与y=a^x在(0,+∞)区间内恰有一个交点，求实数a的值。参考答案：2解析：在(0,+∞)区间，y=3^x+1单调递增且取值(2,+∞)，y=a^x单调递增需a>1。若恰有一个交点，需满足3^0+1=a^0，即a=2。4.函数y=2^x-4x+3在区间[1,4]上的最大值和最小值分别是多少？参考答案：最大值15，最小值0解析：函数y=2^x-4x+3在[1,4]上单调递增，当x=1时y=0，当x=4时y=15，故最大值为15，最小值为0。5.若函数f(x)=log₃(2x-1)在(1/2,+∞)上单调递增，求实数k的取值范围。参考答案：k>1解析：函数f(x)=log₃(2x-1)在(1/2,+∞)上单调递增需满足2x-1>0且2x-1=k>0，即k>1。6.函数y=3^x与y=3^(-x)的图象有何对称关系？参考答案：关于y=x对称解析：指数函数y=3^(-x)可变形为y=(1/3)^x，其图象与y=3^x关于y=x对称。7.函数f(x)=log₃(x-1)在(2,+∞)上单调递增，求实数a的取值范围。参考答案：a>1解析：对数函数y=log₃(x-1)在(2,+∞)上单调递增需满足a>1。8.函数y=2^x-1在区间[1,4]上的值域是什么？参考答案：[0,15]解析：函数y=2^x-1在[1,4]上单调递增，当x=1时y=0，当x=4时y=15，故值域为[0,15]。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知函数f(x)=2^x-4x+3，求f(x)在区间[1,4]上的值域。参考答案：[0,15]解析：函数f(x)=2^x-4x+3在[1,4]上单调递增，当x=1时y=0，当x=4时y=15，故值域为[0,15]。2.若函数f(x)=log₃(x+1)在(-1,+∞)上单调递减，求实数a的取值范围。参考答案：(0,1)解析：对数函数y=log₃(x+1)在(-1,+∞)上单调递减需满足0<a<1，故取值范围正确。3.函数y=3^x+1与y=a^x在(0,+∞)区间内恰有一个交点，求实数a的值。参考答案：2解析：在(0,+∞)区间，y=3^x+1单调递增且取值(2,+∞)，y=a^x单调递增需a>1。若恰有一个交点，需满足3^0+1=a^0，即a=2。4.函数y=2^x-4x+3在区间[1,4]上的最大值和最小值分别是多少？参考答案：最大值15，最小值0解析：函数y=2^x-4x+3在[1,4]上单调递增，当x=1时y=0，当x=4时y=15，故最大值为15，最小值为0。5.若函数f(x)=log₃(2x-1)在(1/2,+∞)上单调递增，求实数k的取值范围。参考答案：k>1解析：函数f(x)=log₃(2x-1)在(1/2,+∞)上单调递增需满足2x-1>0且2x-1=k>0，即k>1。6.函数y=3^x与y=3^(-x)的图象有何对称关系？参考答案：关于y=x对称解析：指数函数y=3^(-x)可变形为y=(1/3)^x，其图象与y=3^x关于y=x对称。7.函数f(x)=log₃(x-1)在(2,+∞)上单调递增，求实数a的取值范围。参考答案：a>1解析：对数函数y=log₃(x-1)在(2,+∞)上单调递增需满足a>1。8.函数y=2^x-1在区间[1,4]上的值域是什么？参考答案：[0,15]解析：函数y=2^x-1在[1,4]上单调递增，当x=1时y=0，当x=4时y=15，故值域为[0,15]。【标准答案及解析】一、单项选择题1.B2.B3.A4.D5.C6.B7.A8.A9.D10.B解析：2.定义域需满足x-1>0，即x>1，故B正确。3.函数y=2^x与y=ax^2在(0,1)区间内恰有一个交点，需满足2=a，即a=2，故B正确。4.由3^m-1=8可得3^m=9，即3^m=3^2，故m=2，故A正确。5.函数y=1/2^(-x)=2^x为指数函数y=2^x的变形，其图象关于y=x对称，故D正确。6.对数函数y=logₐ(x+3)在(-3,+∞)上单调递增需满足a>1，故C正确。7.令f(x)=2^x-4x+3，计算f(1)=1>0，f(2)=-1<0，f(1)f(2)<0，由零点判定定理可知零点在(1,2)区间，故B正确。8.在(-∞,0)区间，y=3^x+1单调递减且取值(2,1)，y=a^x单调递减需0<a<1。若恰有一个交点，需满足3^0+1=a^0，即a=2，故A正确。9.函数y=2^x-1在[1,4]上单调递增，当x=4时y=15，故值域为[1,15]，故A正确。10.函数f(x)=log₃(2x-1)在(-3/2,+∞)上单调递增需满足2x-1>0且2x-1=k>0，即k>1，故D正确。11.在(0,+∞)区间，y=3^x+1单调递增且取值(2,+∞)，y=a^x单调递增需a>1。若恰有一个交点，需满足3^0+1=a^0，即a=2，故B正确。二、填空题1.(0,1)12.213.214.1515.k>016.(1,3)17.[0,15]18.a>119.020.k>1解析：2.对数函数y=logₐ(x+1)在(-1,+∞)上单调递减需满足0<a<1，故(0,1)。3.令f(x)=2^x-4x+3，计算f(0)=1>0，f(1)=0，f(2)=-1<0，f(3)=-1<0，f(4)=15>0，由零点判定定理可知零点在(0,1)和(2,4)区间，故有2个零点。4.在(-∞,0)区间，y=3^x+1单调递减且取值(2,1)，y=a^x单调递减需0<a<1。若恰有一个交点，需满足3^0+1=a^0，即a=2。5.函数y=2^x-1在[1,4]上单调递增，当x=4时y=15，故最大值为15。6.函数f(x)=log₃(2x+k)在(-k/2,+∞)上单调递增需满足2x+k>0且2x+k=k>0，即k>0。7.在(0,+∞)区间，y=3^x+1单调递增且取值(2,+∞)，y=a^x单调递增需a>1。若恰有一个交点，需满足3^0+1=a^0，即a=2，故(1,3)。8.函数y=2^x-4x+3在[1,4]上单调递增，当x=1时y=0，当x=4时y=15，故值域为[0,15]。9.函数f(x)=log₃(x-1)在(2,+∞)上单调递增需满足x-1>0且x-1=k>0，即k>1。10.函数y=2^x-1在[1,4]上单调递增，当x=1时y=0，故最小值为0。11.函数f(x)=log₃(2x-1)在(1/2,+∞)上单调递增需满足2x-1>0且2x-1=k>0，即k>1。三、判断题1.错误22.正确23.正确24.正确25.正确26.正确27.正确28.正确29.错误30.正确解析：2.指数函数y=3^(-x)可变形为y=(1/3)^x，其图象与y=3^x关于y=x对称，而非x轴对称，故错误。3.对数函数y=logₐ(x+1)在(-1,+∞)上单调递减需满足0<a<1，故正确。4.函数y=2^x-4x+3在[1,4]上单调递增，当x=1时y=0，当x=4时y=15，故值域为[0,15]，故正确。5.函数f(x)=log₃(2x-1)在(1/2,+∞)上单调递增需满足2x-1>0且2x-1=k>0，即k>1，故正确。6.在(0,+∞)区间，y=3^x+1单调递增且取值(2,+∞)，y=a^x单调递增需a>1。若恰有一个交点，需满足3^0+1=a^0，即a=2，故正确。7.函数y=2^x-1在[1,4]上单调递增，当x=4时y=15，故最大值为15，故正确。8.对数函数y=log₃(x-1)在(2,+∞)上单调递增需满足x-1>0且x-1=k>0，即k>1，故正确。9.指数函数y=3^(-x)可变形为y=(1/3)^x，其图象与y=3^x关于y=x对称，故正确。10.函数f(x)=log₃(2x-1)在(1/2,+∞)上单调递增需满足2x-1>0且2x-1=k>0，即k>1，故错误。11.函数y=2^x-1在[1,4]上单调递增，当x=1时y=0，故最小值为0，故正确。四、简答题1.[0,3]解析：函数f(x)=2^x-1在[0,2]上单调递增，当x=0时y=-1，当x=2时y=3，故值域为[-1,3]。2.(0,1)解析：对数函数y=log₃(x+1)在(-1,+∞)上单调递减需满足0<a<1，故取值范围正确。3.2解析：在(0,+∞)区间，y