2026年福建省部编版高二数学选修一第三章综合测试卷

2026年福建省部编版高二数学选修一第三章综合测试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在选修一第三章中，函数f(x)＝ln(x2－2x＋3)的定义域为（）A．(－∞，1)∪(1，＋∞)B．[1，3]C．(－1，3)D．R解析：函数f(x)＝ln(x2－2x＋3)的定义域需满足x2－2x＋3＞0，解不等式得(x－1)2＋2＞0恒成立，故定义域为全体实数R。选项D正确。2.若函数g(x)＝e2x－3在区间[0，1]上的最大值与最小值之差为k，则k等于（）A．e－3B．e2－3C．e－1D．e2－1解析：函数g(x)＝e2x－3在[0，1]上单调递增，故最大值为g(1)＝e2－3，最小值为g(0)＝e0－3＝－2，差值为e2－3－(－2)＝e2－1。选项D正确。3.已知函数h(x)＝2cos(2x＋φ)的图像关于y轴对称，且在[0，π]上单调递减，则φ的值为（）A．π/4B．3π/4C．π/2D．π解析：图像关于y轴对称需满足2x＋φ＝kπ，k∈Z，取k＝0得φ＝0；单调递减需满足2x＋φ∈[π，2π]，即φ∈[π，2π]，唯一满足的解为φ＝π。选项D正确。4.若函数m(x)＝|lnx|在点(1，0)处的切线方程为y＝kx，则k等于（）A．－1B．1C．－2D．2解析：m(x)＝|lnx|在x＝1处分段函数为lnx，导数为1/x＝1，故切线斜率k＝1。选项B正确。5.不等式|2x－1|＜|x＋3|的解集为（）A．(－2，4)B．(－1，2)C．(－2，2)D．(－1，4)解析：平方化简得(2x－1)2＜(x＋3)2，展开后整理为x2－8x＋10＜0，解得(2－√2)x＜4－√2，即x∈(－2，2)。选项C正确。6.函数n(x)＝sin2x＋cos2x－2sinxcosx的最小正周期为（）A．π/2B．πC．2πD．4π解析：n(x)＝1－sin2x＝cos2x，周期为π。选项B正确。7.若函数p(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d在x＝1处取得极值，且其导函数p′(x)的图像如图所示，则p(1)的值为（）A．－1B．0C．1D．2解析：由p′(1)＝0且p′(x)在x＝1处变号，p(x)在x＝1处极值，结合图像p′(x)在x＝1左侧为负、右侧为正，p(1)为极小值点，由图像可知p(1)＝1。选项C正确。8.已知函数q(x)＝ln(1＋x)－x在x＝0处的二阶导数为（）A．－1B．0C．1D．2解析：q′(x)＝1/(1＋x)－1，q′(0)＝0；q′′(x)＝－1/(1＋x)2，q′′(0)＝－1。选项A正确。9.若函数r(x)＝e|x|在x＝0处取得拐点，则下列说法正确的是（）A．r(x)在x＝0处可导B．r(x)在x＝0处不可导C．r(x)在x＝0处取得极值D．r(x)在x＝0处导数为0解析：r(x)＝e|x|在x＝0处左右导数分别为－1和1，不可导，但二阶导数存在且变号，故为拐点。选项B正确。10.若函数s(x)＝2x－lnx在(0，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是（）A．(－∞，1)B．(0，1)C．(1，＋∞)D．(－1，1)解析：s′(x)＝2－1/x＞0需x＞1/2，结合a需使s(x)在(0，＋∞)上单调递增，a＝1满足条件。选项C正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数t(x)＝2sin(2x－π/3)的最小正周期为π，则k＝________。参考答案：1解析：周期T＝2π/|ω|＝π，得|2k|＝2，k＝±1。2.不等式|3x－2|＋|x＋1|＞4的解集为________。参考答案：(－∞，－3)∪(5，＋∞)解析：分段讨论得x∈(－∞，－3)或x∈(5，＋∞)。3.函数u(x)＝ln(x＋1)－x2在x＝0处的三阶导数为________。参考答案：－2解析：u′(x)＝1/(x＋1)－2x，u′′(x)＝－1/(x＋1)2－2，u′′′(x)＝2/(x＋1)3，u′′′(0)＝－2。4.若函数v(x)＝ax2＋bx＋c在x＝1处取得极大值，且v(1)＝2，v′(1)＝－1，则a＋b＋c＝________。参考答案：0解析：v′(1)＝2a＋b＝－1，v(1)＝a＋b＋c＝2，联立解得a＝－3，b＝1，a＋b＋c＝0。5.函数w(x)＝e|x|－x在x＝1处的切线方程为________。参考答案：y＝2x－1解析：w′(1)＝2，w(1)＝e－1，切线方程为y－(e－1)＝2(x－1)，化简得y＝2x－1。6.若函数x(x)＝sinx＋cosx在[0，π/2]上的最大值为M，则M＝________。参考答案：√2解析：x(x)＝√2sin(x＋π/4)，最大值为√2。7.不等式|2x－1|＋|3x＋2|＜5的解集为________。参考答案：(－3/4，3/2)解析：分段讨论得x∈(－3/4，3/2)。8.函数y(x)＝lnx＋1/x在x＝1处的二阶导数为________。参考答案：－1解析：y′(x)＝1/x－1/x2，y′′(x)＝－1/x2＋2/x3，y′′(1)＝－1＋2＝1。9.若函数z(x)＝2cos2x－sin2x在[0，π]上的最小值为m，则m＝________。参考答案：－3解析：z(x)＝1－2sin2x－sin2x＝1－3sin2x，最小值为－3。10.函数p(x)＝ex－x在(0，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是________。参考答案：(－∞，1)解析：p′(x)＝ex－1＞0需x＞0，结合a需使p(x)在(0，＋∞)上单调递增，a＝1满足条件。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)＝sin2x＋cos2x在[0，π/2]上单调递减，则f(x)在该区间上取得最小值。参考答案：×解析：f(x)＝1－sin2x，在[0，π/2]上单调递增，最小值在x＝0处取得。2.不等式|3x－2|＜|2x＋1|的解集为(－1，2)。参考答案：√解析：平方化简得x2－4x+4<0，解得x∈(2-2√2,2+2√2)。3.函数g(x)＝ln(x2＋1)在x＝0处取得极小值。参考答案：√解析：g′(x)＝2x/(x2＋1)，g′(0)＝0，g′′(0)＝2＞0，极小值。4.若函数h(x)＝e|x|在x＝0处可导，则其导数为0。参考答案：×解析：左右导数分别为1和－1，不可导。5.不等式|2x－1|＋|x＋3|＞4的解集为(－∞，－3)∪(5，＋∞)。参考答案：√解析：分段讨论得x∈(－∞，－3)或x∈(5，＋∞)。6.函数k(x)＝sinx＋cosx在[0，π/2]上取得最大值√2。参考答案：√解析：k(x)＝√2sin(x＋π/4)，最大值为√2。7.若函数m(x)＝lnx－x在x＝1处取得极大值，则m′(1)＝0。参考答案：√解析：m′(x)＝1/x－1，m′(1)＝0，极值点。8.函数n(x)＝e|x|在x＝0处取得拐点。参考答案：√解析：二阶导数在x＝0处变号，拐点。9.不等式|3x－2|＋|x＋1|＜4的解集为(－3/4，3/2)。参考答案：√解析：分段讨论得x∈(－3/4，3/2)。10.函数p(x)＝ex－x在(0，＋∞)上单调递增，则p(x)在x＝1处取得极小值。参考答案：×解析：p′(x)＝ex－1，p′(1)＝e－1＞0，非极值点。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求函数f(x)＝ln(x＋1)－x2在x＝0处的导数和二阶导数。参考答案：f′(0)＝0，f′′(0)＝－2解析：f′(x)＝1/(x＋1)－2x，f′(0)＝1－0＝1；f′′(x)＝－1/(x＋1)2－2，f′′(0)＝－1－2＝－3。2.若函数g(x)＝ax2＋bx＋c在x＝1处取得极值，且g(1)＝2，g′(1)＝－1，求a＋b＋c的值。参考答案：0解析：g′(x)＝2ax＋b，g′(1)＝2a＋b＝－1；g(1)＝a＋b＋c＝2，联立解得a＝－3，b＝1，a＋b＋c＝0。3.求函数h(x)＝sin2x＋cos2x在[0，π/2]上的最大值和最小值。参考答案：最大值√2，最小值0解析：h(x)＝1－sin2x，在[0，π/2]上单调递减，最大值1，最小值0。4.若函数k(x)＝lnx＋1/x在x＝1处的导数为1，求k′(x)的表达式。参考答案：k′(x)＝1/x－1/x2解析：k′(x)＝1/x－1/x2，k′(1)＝1－1＝0，与题意不符，需重新检查题目条件。5.求不等式|2x－1|＋|3x＋2|＜5的解集。参考答案：(－3/4，3/2)解析：分段讨论得x∈(－3/4，3/2)。6.若函数m(x)＝sinx＋cosx在[0，π/2]上单调递增，求其导数m′(x)的符号。参考答案：m′(x)＞0解析：m′(x)＝cosx－sinx，在[0，π/4)上＞0，单调递增。7.求函数n(x)＝e|x|在x＝0处是否可导，并说明理由。参考答案：不可导解析：左右导数分别为1和－1，不相等，不可导。8.若函数p(x)＝ex－x在(0，＋∞)上单调递增，求p(x)在x＝1处的二阶导数。参考答案：e－1解析：p′(x)＝ex－1，p′′(x)＝ex，p′′(1)＝e。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知函数f(x)＝ln(x＋1)－x2在[0，a]上单调递减，求a的取值范围。参考答案：a∈(0，1]解析：f′(x)＝1/(x＋1)－2x，f′(x)＜0需x∈(1/2－√3/4,1/2＋√3/4)，结合[0，a]得a∈(0，1]。2.若函数g(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d在x＝1处取得极值，且g(1)＝2，g′(1)＝－1，求g(0)的值。参考答案：g(0)＝4解析：g′(x)＝3ax2＋2bx＋c，g′(1)＝3a＋2b＋c＝－1；g(1)＝a＋b＋c＋d＝2，联立解得a＝－3，b＝1，c＝－5，d＝7，g(0)＝d＝4。3.求函数h(x)＝sin2x＋cos2x在[0，π]上的最大值和最小值。参考答案：最大值1，最小值－1解析：h(x)＝1－sin2x，在[0，π/2]上单调递减，最大值1，在[π/2，π]上单调递增，最小值－1。4.若函数k(x)＝lnx＋1/x在x＝1处的导数为1，求k(x)在[1，2]上的最大值和最小值。参考答案：最大值1，最小值1－1/2解析：k′(x)＝1/x－1/x2，k′(1)＝0，极值点；k(1)＝1，k(2)＝ln2＋1/2，最大值1，最小值1－1/2。5.求不等式|3x－2|＋|x＋1|＞4的解集。参考答案：(－∞，－3)∪(5，＋∞)解析：分段讨论得x∈(－∞，－3)或x∈(5，＋∞)。6.若函数m(x)＝sinx＋cosx在[0，π/2]上单调递增，求其导数m′(x)的符号。参考答案：m′(x)＞0解析：m′(x)＝cosx－sinx，在[0，π/4)上＞0，单调递增。7.求函数n(x)＝e|x|在x＝0处是否可导，并说明理由。参考答案：不可导解析：左右导数分别为1和－1，不相等，不可导。8.若函数p(x)＝ex－x在(0，＋∞)上单调递增，求p(x)在x＝1处的二阶导数。参考答案：e解析：p′(x)＝ex－1，p′′(x)＝ex，p′′(1)＝e。标准答案及解析一、单项选择题1.D2.B3.D4.B5.A6.B7.C8.A9.B10.C二、填空题1.112.(－∞，－3)∪(5，＋∞)13.－214.015.y＝2x－116.√217.(－3/4，3/2)18.－119.－320.(－∞，1)三、判断题1.×22.√23.√24.×25.√26.√27.√28.√29.√30.×四、简答题1.导数f′(x)＝1/(x＋1)－2x，二阶导数f′′(x)＝－1/(x＋1)2－2，f′(0)＝1，f′′(0)＝－3。2.联立g′(1)＝2a＋b＝－1，g(1)＝a＋b＋c＝2，