2026年北师大版高中数学第9单元数列习题集

2026年北师大版高中数学第9单元数列习题集一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_1=3，a_5=9，则该数列的通项公式a_n等于（）A.6n-3B.2n+1C.3nD.4n-1解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9可得9=3+4d，解得d=3/2，故a_n=3+(n-1)×3/2=3/2n+3/2。选项A正确。2.已知数列{b_n}满足b_1=1，b_n=b_{n-1}+2n（n≥2），则b_6的值为（）A.21B.22C.23D.24解析：根据递推关系b_n=b_{n-1}+2n，逐步计算b_2=b_1+4=5，b_3=b_2+6=11，b_4=b_3+8=19，b_5=b_4+10=29，b_6=b_5+12=41。选项均不正确，需重新计算递推公式：b_n=b_{n-1}+2n，变形为b_n-b_{n-1}=2n，累加b_2-b_1=4，b_3-b_2=6，…，b_n-b_{n-1}=2n，得b_n-b_1=4+6+…+2n=2(1+2+…+n-1)=n(n-1)，故b_n=n(n-1)+1，b_6=6×5+1=31。选项均不正确，需修正题目或选项。3.若数列{c_n}的前n项和S_n=2n^2-3n，则该数列一定是（）A.等差数列B.等比数列C.摩尔数列D.以上均非解析：由S_n=2n^2-3n，得a_1=S_1=2-3=-1，当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=(2n^2-3n)-[2(n-1)^2-3(n-1)]=4n-5，发现a_1=-1不满足a_n=4n-5，故该数列非等差数列。又因为a_1≠0且不存在公比q，故非等比数列。摩尔数列（Möbius数列）与题意无关。选项D正确。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，则该数列的公比q等于（）A.3B.2√3C.-3D.±3√2解析：由等比数列通项公式d_n=d_1q^{n-1}，代入d_2=d_1q=6，d_4=d_1q^3=54，联立可得q^2=9，解得q=±3。选项A、C正确，D错误。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n，则e_3的值为（）A.7B.9C.11D.13解析：由T_n=n^2+n，得e_1=T_1=1+1=2，当n≥2时，e_n=T_n-T_{n-1}=n^2+n-[（n-1）^2+(n-1)]=2n，发现e_1=2不满足e_n=2n，故该数列非等差数列。重新计算e_3=T_3-T_2=9+3-(4+2)=6，选项均不正确，需修正题目或选项。6.若数列{f_n}满足f_1=1，f_n=f_{n-1}+n（n≥2），则f_5等于（）A.15B.31C.55D.120解析：根据递推关系f_n=f_{n-1}+n，逐步计算f_2=f_1+2=3，f_3=f_2+3=6，f_4=f_3+4=10，f_5=f_4+5=15，选项A正确。7.在等差数列{g_n}中，若a_3+a_7=18，则a_5+a_9等于（）A.20B.22C.24D.26解析：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5，得2a_5=18，故a_5=9。又由a_5+a_9=2a_7，得a_5+a_9=2(a_3+a_7)/4=2×18/4=9，选项均不正确，需修正题目或选项。8.已知数列{h_n}的前n项和S_n=3^n-1，则该数列一定是（）A.等差数列B.等比数列C.摩尔数列D.以上均非解析：由S_n=3^n-1，得a_1=S_1=3-1=2，当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=(3^n-1)-(3^{n-1}-1)=2×3^{n-1}，发现a_1=2不满足a_n=2×3^{n-1}，故该数列非等比数列。又因为a_n与n的线性关系不存在，故非等差数列。摩尔数列与题意无关。选项D正确。9.在等比数列{i_n}中，若i_1=2，i_3=8，则该数列的前6项和S_6等于（）A.62B.64C.66D.68解析：由等比数列通项公式i_n=i_1q^{n-1}，代入i_1=2，i_3=8可得8=2q^2，解得q=2，故S_6=2(1-2^6)/(1-2)=126，选项均不正确，需修正题目或选项。10.已知数列{j_n}的前n项和T_n=2^n-n，则该数列一定是（）A.等差数列B.等比数列C.摩尔数列D.以上均非解析：由T_n=2^n-n，得a_1=T_1=2-1=1，当n≥2时，a_n=T_n-T_{n-1}=(2^n-n)-[2^{n-1}-(n-1)]=2^n-n-2^{n-1}+n-1=2^{n-1}-1，发现a_1=1不满足a_n=2^{n-1}-1，故该数列非等比数列。又因为a_n与n的线性关系不存在，故非等差数列。摩尔数列与题意无关。选项D正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，若a_5=10，a_10=25，则该数列的公差d等于______。解：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_5=a_1+4d=10，a_10=a_1+9d=25，联立可得5d=15，解得d=3。2.已知数列{b_n}满足b_1=1，b_n=b_{n-1}+n（n≥2），则b_4等于______。解：根据递推关系b_n=b_{n-1}+n，逐步计算b_2=b_1+2=3，b_3=b_2+3=6，b_4=b_3+4=10。3.若数列{c_n}的前n项和S_n=n^2+n，则c_3等于______。解：由S_n=n^2+n，得c_1=S_1=1+1=2，当n≥2时，c_n=S_n-S_{n-1}=n^2+n-[（n-1）^2+(n-1)]=2n，发现c_1=2不满足c_n=2n，故该数列非等差数列。重新计算c_3=T_3-T_2=9+3-(4+2)=6。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，则该数列的公比q等于______。解：由等比数列通项公式d_n=d_1q^{n-1}，代入d_2=d_1q=6，d_4=d_1q^3=54，联立可得q^2=9，解得q=±3。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n，则e_4等于______。解：由T_n=n^2+n，得e_1=T_1=1+1=2，当n≥2时，e_n=T_n-T_{n-1}=n^2+n-[（n-1）^2+(n-1)]=2n，发现e_1=2不满足e_n=2n，故该数列非等差数列。重新计算e_4=T_4-T_3=16+4-(9+3)=8。6.在等差数列{f_n}中，若a_3+a_7=18，则a_6+a_8等于______。解：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5，得2a_5=18，故a_5=9。又由a_6+a_8=2a_7，得a_6+a_8=2(a_3+a_7)/4=2×18/4=9，需修正题目或选项。7.已知数列{g_n}的前n项和S_n=3^n-1，则该数列一定是______。解：由S_n=3^n-1，得a_1=S_1=3-1=2，当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=(3^n-1)-(3^{n-1}-1)=2×3^{n-1}，发现a_1=2不满足a_n=2×3^{n-1}，故该数列非等比数列。又因为a_n与n的线性关系不存在，故非等差数列。摩尔数列与题意无关。8.在等比数列{h_n}中，若h_1=2，h_3=8，则该数列的前4项和S_4等于______。解：由等比数列通项公式h_n=h_1q^{n-1}，代入h_1=2，h_3=8可得8=2q^2，解得q=2，故S_4=2(1-2^4)/(1-2)=30，需修正题目或选项。9.已知数列{i_n}满足i_1=1，i_n=i_{n-1}+2n（n≥2），则i_5等于______。解：根据递推关系i_n=i_{n-1}+2n，逐步计算i_2=i_1+4=5，i_3=i_2+6=11，i_4=i_3+8=19，i_5=i_4+10=29。10.已知数列{j_n}的前n项和T_n=2^n-n，则该数列一定是______。解：由T_n=2^n-n，得a_1=T_1=2-1=1，当n≥2时，a_n=T_n-T_{n-1}=(2^n-n)-[2^{n-1}-(n-1)]=2^{n-1}-1，发现a_1=1不满足a_n=2^{n-1}-1，故该数列非等比数列。又因为a_n与n的线性关系不存在，故非等差数列。摩尔数列与题意无关。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和S_n=2n^2-3n，则该数列一定是等差数列。（×）解析：由S_n=2n^2-3n，得a_1=S_1=-1，当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=(2n^2-3n)-[2(n-1)^2-3(n-1)]=4n-5，发现a_1=-1不满足a_n=4n-5，故该数列非等差数列。2.在等比数列{b_n}中，若b_2=6，b_4=54，则该数列的公比q一定是3。（√）解析：由等比数列通项公式b_n=b_1q^{n-1}，代入b_2=b_1q=6，b_4=b_1q^3=54，联立可得q^2=9，解得q=±3。3.若数列{c_n}的前n项和T_n=n^2+n，则该数列一定是等差数列。（×）解析：由T_n=n^2+n，得a_1=T_1=2，当n≥2时，a_n=T_n-T_{n-1}=n^2+n-[（n-1）^2+(n-1)]=2n，发现a_1=2不满足a_n=2n，故该数列非等差数列。4.在等差数列{d_n}中，若d_3+d_7=20，则d_4+d_6=20。（√）解析：由等差数列性质d_3+d_7=2d_5，得2d_5=20，故d_5=10。又由d_4+d_6=2d_5，得d_4+d_6=2×10=20。5.已知数列{e_n}满足e_1=1，e_n=e_{n-1}+n（n≥2），则该数列的前5项和为15。（√）解析：根据递推关系e_n=e_{n-1}+n，逐步计算e_2=e_1+2=3，e_3=e_2+3=6，e_4=e_3+4=10，e_5=e_4+5=15，故前5项和为1+3+6+10+15=35。需修正题目或选项。6.在等比数列{f_n}中，若f_1=2，f_3=8，则该数列的前3项和S_3为10。（×）解析：由等比数列通项公式f_n=f_1q^{n-1}，代入f_1=2，f_3=8可得8=2q^2，解得q=2，故S_3=2(1-2^3)/(1-2)=14。7.若数列{g_n}的前n项和S_n=3^n-1，则该数列一定是等比数列。（×）解析：由S_n=3^n-1，得a_1=S_1=2，当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=(3^n-1)-(3^{n-1}-1)=2×3^{n-1}，发现a_1=2不满足a_n=2×3^{n-1}，故该数列非等比数列。8.在等差数列{h_n}中，若h_1=3，h_5=9，则该数列的公差d为2。（√）解析：由等差数列通项公式h_n=h_1+(n-1)d，代入h_1=3，h_5=9可得9=3+4d，解得d=3/2。需修正题目或选项。9.已知数列{i_n}满足i_1=1，i_n=i_{n-1}+2n（n≥2），则该数列的前4项和为20。（√）解析：根据递推关系i_n=i_{n-1}+2n，逐步计算i_2=i_1+4=5，i_3=i_2+6=11，i_4=i_3+8=19，故前4项和为1+5+11+19=36。需修正题目或选项。10.在等比数列{j_n}中，若j_2=6，j_4=54，则该数列的前5项和S_5为120。（×）解析：由等比数列通项公式j_n=j_1q^{n-1}，代入j_2=j_1q=6，j_4=j_1q^3=54，联立可得q^2=9，解得q=3，故S_5=j_1(1-3^5)/(1-3)=93，需修正题目或选项。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.在等差数列{a_n}中，若a_1=2，a_5=14，求该数列的通项公式a_n。解：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=2，a_5=14可得14=2+4d，解得d=3，故a_n=2+(n-1)×3=3n-1。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=n^2+2n，求b_3的值。解：由S_n=n^2+2n，得b_1=S_1=3，当n≥2时，b_n=S_n-S_{n-1}=n^2+2n-[（n-1）^2+2(n-1)]=2n+1，发现b_1=3不满足b_n=2n+1，故该数列非等差数列。重新计算b_3=T_3-T_2=9+6-(4+4)=7。3.在等比数列{c_n}中，若c_1=3，c_4=81，求该数列的公比q。解：由等比数列通项公式c_n=c_1q^{n-1}，代入c_1=3，c_4=81可得81=3q^3，解得q=3。4.若数列{d_n}满足d_1=1，d_n=2d_{n-1}+1（n≥2），求d_4的值。解：根据递推关系d_n=2d_{n-1}+1，逐步计算d_2=2d_1+1=3，d_3=2d_2+1=7，d_4=2d_3+1=15。5.在等差数列{e_n}中，若e_2+e_6=18，求e_4的值。解：由等差数列性质e_2+e_6=2e_4，得2e_4=18，故e_4=9。6.已知数列{f_n}的前n项和T_n=2^n-n，求f_2的值。解：由T_n=2^n-n，得f_1=T_1=1，当n≥2时，f_n=T_n-T_{n-1}=(2^n-n)-[2^{n-1}-(n-1)]=2^{n-1}-1，故f_2=2^1-1=1。7.在等比数列{g_n}中，若g_3=12，g_5=96，求该数列的前3项和S_3。解：由等比数列通项公式g_n=g_1q^{n-1}，代入g_3=g_1q^2=12，g_5=g_1q^4=96，联立可得q^2=8，解得q=2√2，故g_1=3√2，S_3=3√2(1-2^3)/(1-2^2)=27√2。8.若数列{h_n}满足h_1=2，h_n=h_{n-1}+n（n≥2），求h_5的值。解：根据递推关系h_n=h_{n-1}+n，逐步计算h_2=h_1+2=4，h_3=h_2+3=7，h_4=h_3+4=11，h_5=h_4+5=16。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.在等差数列{a_n}中，若a_1=5，a_4=13，求该数列的前10项和S_10。解：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=5，a_4=13可得13=5+3d，解得d=3，故a_n=5+(n-1)×3=3n+2，S_10=10×(5+32)/2=190。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=n^2+n，求该数列的第4项b_4。解：由S_n=n^2+n，得b_1=S_1=2，当n≥2时，b_n=S_n-S_{n-1}=n^2+n-[（n-1）^2+(n-1)]=2n，发现b_1=2不满足b_n=2n，故该数列非等差数列。重新计算b_4=T_4-T_3=16+4-(9+3)=8。3.在等比数列{c_n}中，若c_1=2，c_3=8，求该数列的前6项和S_6。解：由等比数列通项公式c_n=c_1q^{n-1}，代入c_1=2，c_3=8可得8=2q^2，解得q=2，故S_6=2(1-2^6)/(1-2)=126。4.若数列{d_n}满足d_1=3，d_n=3d_{n-1}（n≥2），求d_5的值。解：根据递推关系d_n=3d_{n-1}，逐步计算d_2=3d_1=9，d_3=3d_2=27，d_4=3d_3=81，d_5=3d_4=243。5.在等差数列{e_n}中，若e_3+e_7=20，求e_5的值。解：由等差数列性质e_3+e_7=2e_5，得2e_5=20，故e_5=10。6.已知数列{f_n}的前n项和T_n=2^n-n，求该数列的第3项f_3。解：由T_n=2^n-n，得f_1=T_1=1，当n≥2时，f_n=T_n-T_{n-1}=(2^n-n)-[2^{n-1}-(n-1)]=2^{n-1}-1，故f_3=2^2-1=3。7.在等比数列{g_n}中，若g_2=6，g_4=54，求该数列的前5项和S_5。解：由等比数列通项公式g_n=g_1q^{n-1}，代入g_2=g_1q=6，g_4=g_1q^3=54，联立可得q^2=9，解得q=3，故S_5=g_1(1-3^5)/(1-3)=93。8.若数列{h_n