2026年辽宁省北师大版高二数学选修第11章综合测试卷

2026年辽宁省北师大版高二数学选修第11章综合测试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在选修第11章《数列》中，已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=2a_n+1，则该数列的前n项和S_n的表达式为（）A．n^2-1B．2^n-nC．n^2D．2^n-1解析：由递推关系a_n+1=2a_n+1，可得a_n+1+1=2(a_n+1)，即{a_n+1}是首项为2、公比为2的等比数列，故a_n+1=2^n，进而a_n=2^n-1。前n项和S_n=1+2+4+…+2^n-1=2^n-1，选D。2.若数列{b_n}的前n项和T_n=3^n-1，则b_5的值为（）A．48B．96C．192D．384解析：由T_n=3^n-1，得b_1=T_1=2。当n≥2时，b_n=T_n-T_{n-1}=3^n-1-(3^{n-1}-1)=2×3^{n-1}，验证n=1时成立，故b_5=2×3^4=162，选项均错误，需重新命题。3.已知等差数列{c_n}的公差d=2，若c_3+c_7=18，则该数列的通项公式a_n为（）A．2n-5B．2n+3C．n-2D．3n-8解析：由等差数列性质c_3+c_7=2c_5=18，得c_5=9，即a_1+4d=9，解得a_1=1，故a_n=1+2(n-1)=2n-1，选项均错误，需重新命题。4.在等比数列{d_n}中，若d_2d_8=64，则该数列的公比q的取值可能为（）A．2或-2B．4或-4C．±2D．±4解析：由d_2d_8=d_1q×d_1q^7=q^8=64，得q=±2，选C。5.若数列{e_n}的前n项和S_n=2n^2+3n，则e_4的值为（）A．25B．30C．35D．40解析：当n≥2时，e_n=S_n-S_{n-1}=(2n^2+3n)-(2(n-1)^2+3(n-1))=4n+1，验证n=1时成立，故e_4=4×4+1=17，选项均错误，需重新命题。6.已知数列{f_n}满足f_1=2，f_n+1=√(f_n+f_{n-1})，则该数列的极限可能为（）A．1B．2C．3D．4解析：设极限为L，则f_n→L，f_{n-1}→L，代入递推式得L=√(L+L)，解得L=2，选B。7.在等差数列{g_n}中，若S_10=100，S_20=380，则该数列的公差d为（）A．3B．4C．5D．6解析：由S_10=5(a_1+a_{10})=100，S_20=10(a_1+a_{20})=380，得5(a_{10}-a_1)=280，即10d=56，d=5.6，选项均错误，需重新命题。8.若数列{h_n}的前n项和T_n=n(n+1)/2，则h_n的表达式为（）A．nB．n+1C．2nD．n^2解析：当n≥2时，h_n=T_n-T_{n-1}=(n(n+1)/2)-((n-1)n/2)=n，验证n=1时成立，故h_n=n，选A。9.已知数列{p_n}满足p_1=1，p_n+1=3p_n+2，则该数列的前n项和的表达式可能为（）A．3^n-nB．3^n+nC．3^n-2nD．3^n+2n解析：由递推关系p_n+1+1=3(p_n+1)，得{p_n+1}是首项为2、公比为3的等比数列，故p_n+1=2×3^{n-1}，进而p_n=2×3^{n-1}-1。前n项和S_n=2(3^0+3+…+3^{n-1})-n=3^n-1-n，选项均错误，需重新命题。10.在等比数列{q_n}中，若q_3=8，q_5=32，则该数列的公比q可能为（）A．2或-2B．4或-4C．±2√2D．±4√2解析：由q_5=q_3q^2，得q^2=4，q=±2，选A。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若等差数列{r_n}的首项为5，公差为3，则该数列的前10项和S_{10}的值为________。解：S_{10}=10×5+(10×9/2)×3=380。2.已知数列{t_n}的前n项和T_n=2^n-1，则该数列的第5项t_5的值为________。解：当n≥2时，t_n=T_n-T_{n-1}=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}，故t_5=2^4=16。3.若等比数列{u_n}的公比为q，首项为a_1，则该数列的前n项和S_n的表达式为________（q≠1）。解：S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)。4.在等差数列{v_n}中，若a_4+a_7=20，则a_1+a_{10}的值为________。解：由等差数列性质a_4+a_7=2a_5.5=20，得a_5.5=10，故a_1+a_{10}=2a_5.5=20。5.若数列{w_n}满足w_1=1，w_n+1=2w_n+1，则该数列的通项公式a_n为________。解：由递推关系w_n+1+1=2(w_n+1)，得{w_n+1}是首项为2、公比为2的等比数列，故w_n+1=2×2^{n-1}=2^n，进而w_n=2^n-1，故a_n=2^n-1。6.已知数列{z_n}的前n项和S_n=n^2+n，则该数列的第3项z_3的值为________。解：当n≥2时，z_n=S_n-S_{n-1}=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n，验证n=1时成立，故z_3=2×3=6。7.在等比数列{y_n}中，若y_2y_8=64，则该数列的公比q的取值可能为________。解：由y_2y_8=y_1q×y_1q^7=q^8=64，得q=±2。8.若数列{a_n}的前n项和T_n=3^n-1，则该数列的第4项a_4的值为________。解：当n≥2时，a_n=T_n-T_{n-1}=3^n-1-(3^{n-1}-1)=2×3^{n-1}，验证n=1时成立，故a_4=2×3^3=54。9.已知数列{b_n}满足b_1=2，b_n+1=√(b_n+b_{n-1})，则该数列的极限可能为________。解：设极限为L，则b_n→L，b_{n-1}→L，代入递推式得L=√(L+L)，解得L=2。10.在等差数列{c_n}中，若S_5=25，S_10=70，则该数列的公差d为________。解：由S_5=5(a_1+a_5)=25，S_10=10(a_1+a_{10})=70，得5(a_5-a_1)=45，即10d=45，d=4.5，需重新命题。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和S_n=2n^2+3n，则该数列是等差数列。（×）解析：当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=4n+1，验证n=1时a_1=S_1=5，故a_n=4n+1，是等差数列。2.在等比数列{b_n}中，若b_3=8，b_5=32，则该数列的公比q=2。（√）解析：由b_5=b_3q^2，得q^2=4，q=±2。3.若数列{c_n}满足c_n+1=c_n+1，则该数列是常数列。（√）解析：由递推关系c_n+1=c_n+1，得c_n+1=c_{n-1}+1，故c_n=c_{n-2}，依次类推，所有项相等，是常数列。4.在等差数列{d_n}中，若S_10=100，则a_5=10。（×）解析：由S_10=5(a_1+a_{10})=100，得a_1+a_{10}=20，但无法确定a_5的值。5.若数列{e_n}的前n项和T_n=n(n+1)/2，则该数列是等差数列。（√）解析：当n≥2时，e_n=T_n-T_{n-1}=n，验证n=1时e_1=T_1=1，故e_n=n，是等差数列。6.在等比数列{f_n}中，若f_2f_8=64，则该数列的公比q=±4。（×）解析：由f_2f_8=f_1q×f_1q^7=q^8=64，得q=±2。7.若数列{g_n}满足g_n+1=g_n+1，则该数列是等比数列。（×）解析：由递推关系g_n+1=g_n+1，得g_n=g_{n-1}，所有项相等，是常数列，不是等比数列。8.在等差数列{h_n}中，若a_1=3，d=2，则S_{10}=210。（√）解析：S_{10}=10×3+(10×9/2)×2=210。9.若数列{i_n}的前n项和U_n=2^n-1，则该数列是等比数列。（√）解析：当n≥2时，i_n=U_n-U_{n-1}=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}，验证n=1时i_1=U_1=1，故i_n=2^{n-1}，是等比数列。10.在等比数列{j_n}中，若j_3=8，j_5=32，则该数列的公比q=±2√2。（×）解析：由j_5=j_3q^2，得q^2=4，q=±2。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=3a_n+2，求该数列的通项公式a_n。解：由递推关系a_n+1+1=3(a_n+1)，得{a_n+1}是首项为4、公比为3的等比数列，故a_n+1=4×3^{n-1}，进而a_n=4×3^{n-1}-1。2.若等差数列{b_n}的前n项和S_n=5n^2+3n，求该数列的公差d。解：当n≥2时，b_n=S_n-S_{n-1}=10n+3，验证n=1时b_1=S_1=8，故b_n=10n+3，是等差数列，公差d=10。3.在等比数列{c_n}中，若c_2=4，c_4=16，求该数列的公比q。解：由c_4=c_2q^2，得q^2=4，q=±2。4.若数列{d_n}的前n项和T_n=n^3，求该数列的第4项d_4。解：当n≥2时，d_n=T_n-T_{n-1}=3n^2，验证n=1时d_1=T_1=1，故d_n=3n^2，d_4=3×4^2=48。5.已知数列{e_n}满足e_1=2，e_n+1=2e_n+1，求该数列的前n项和S_n的表达式。解：由递推关系e_n+1+1=2(e_n+1)，得{e_n+1}是首项为3、公比为2的等比数列，故e_n+1=3×2^{n-1}，进而e_n=3×2^{n-1}-1。前n项和S_n=3(2^n-1)-n=3×2^n-n-3。6.在等差数列{f_n}中，若a_1=5，S_10=100，求该数列的公差d。解：由S_10=10×5+(10×9/2)×d=100，得45d=50，d=10/9，需重新命题。7.若数列{g_n}的前n项和U_n=2n^2+3n，求该数列的通项公式a_n。解：当n≥2时，g_n=U_n-U_{n-1}=4n+2，验证n=1时g_1=U_1=5，故g_n=4n+2，是等差数列。8.在等比数列{h_n}中，若h_3=8，h_5=32，求该数列的前6项和S_6。解：由h_5=h_3q^2，得q^2=4，q=±2。当q=2时，h_n=2^{n-1}，S_6=2^1+2^2+…+2^6=2^7-1=127。当q=-2时，h_n=(-2)^{n-1}，S_6=(-2)^1+(-2)^2+…+(-2)^6=63。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.某工厂计划每年比上一年增加生产设备数量，已知第一年生产设备数量为10台，以后每年比前一年多生产5台，求第10年生产设备数量。解：由等差数列性质，公差d=5，首项a_1=10，第10年设备数量a_{10}=10+9×5=55台。2.某城市人口增长率为每年10%，已知2020年人口为100万，求2025年人口数量。解：由等比数列性质，公比q=1.1，首项a_1=100，2025年人口数量a_5=100×1.1^5≈161.05万。3.某投资账户初始金额为10000元，每年复利利率为8%，求5年后的账户金额。解：由等比数列性质，公比q=1.08，首项a_1=10000，5年后账户金额a_5=10000×1.08^5≈14693.28元。4.某林场计划每年比上一年多植树1000棵，已知第一年植树10000棵，求第8年植树数量。解：由等差数列性质，公差d=1000，首项a_1=10000，第8年植树数量a_8=10000+7×1000=17000棵。5.某产品成本每年下降5%，已知2020年成本为100元，求2024年成本。解：由等比数列性质，公比q=0.95，首项a_1=100，2024年成本a_4=100×0.95^4≈81.46元。6.某城市道路建设计划每年比上一年多修10公里，已知第一年修路50公里，求第7年修路数量。解：由等差数列性质，公差d=10，首项a_1=50，第7年修路数量a_7=50+6×10=110公里。7.某公司员工工资每年上涨10%，已知2020年工资为5000元，求2026年工资。解：由等比数列性质，公比q=1.1，首项a_1=5000，2026年工资a_6