2026考研数学线性代数必做习题集

2026考研数学线性代数必做习题集一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将所选项前的字母填在题后的括号内。）1.设A为n阶矩阵，且存在正整数k，使得A^k=0矩阵，则下列命题中正确的是（）A.A一定可逆B.A一定不可逆C.A的特征值均为0D.A的伴随矩阵A为0矩阵2.已知向量组α1=(1,1,1)，α2=(1,2,3)，α3=(1,3,t)线性无关，则实数t的取值范围是（）A.t=2B.t≠2C.t=0D.t≠03.设A为n阶可逆矩阵，B为n阶矩阵，且满足AB=BA，则下列等式一定成立的是（）A.A^(-1)B=B^(-1)AB.A^TB=B^TAC.(A+B)^2=A^2+2AB+B^2D.(A+B)^(-1)=A^(-1)+B^(-1)4.已知矩阵A=（a_{ij}）为三阶实对称矩阵，且满足a_{11}=-1，a_{12}=a_{13}=0，a_{22}=a_{33}=1，则矩阵A的秩为（）A.1B.2C.3D.无法确定5.设λ1，λ2是矩阵A的两个不同特征值，α1，α2分别是A对应于λ1，λ2的特征向量，则下列向量中一定不是A的特征向量的是（）A.2α1+3α2B.α1-α2C.α1+α2D.3α1-2α26.已知向量组α1，α2，α3，α4线性相关，且α1，α2，α3线性无关，则下列命题中正确的是（）A.α4必可由α1，α2，α3线性表示B.α4必不可由α1，α2，α3线性表示C.α1必可由α2，α3，α4线性表示D.α2必可由α1，α3，α4线性表示7.设A为n阶矩阵，且满足A^2=A，则下列结论中不一定成立的是（）A.A的特征值均为1或0B.A的秩等于其特征值1的重数C.A+E为可逆矩阵D.A-E为可逆矩阵8.已知矩阵A=（a_{ij}）为四阶矩阵，且满足a_{ij}=(-1)^{i+j}，则矩阵A的迹tr(A)等于（）A.0B.4C.-4D.89.设A为n阶矩阵，B为n阶可逆矩阵，且满足AB=BA，则下列结论中正确的是（）A.A的特征值均为B的特征值B.B的特征值均为A的特征值C.A和B有相同的特征向量D.A和B的特征多项式相同10.已知向量组α1，α2，α3线性无关，且α4不能由α1，α2，α3线性表示，则下列向量组中一定线性无关的是（）A.α1，α2，α3，α4B.α1+α2，α2+α3，α3+α4C.α1-α2，α2-α3，α3-α4D.α1+α2，α2+α3，α4-α1二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。请将答案填在题中横线上。）1.设A为三阶矩阵，且满足A^2-A+E=0，则矩阵A的特征值可能是________。2.已知向量组α1=(1,0,1)，α2=(0,1,1)，α3=(1,1,t)线性相关，则实数t=________。3.设A为n阶矩阵，且满足A^T=A，则矩阵A的特征值一定是________。4.已知矩阵A=（a_{ij}）为四阶矩阵，且满足a_{ij}=i+j，则矩阵A的迹tr(A)=________。5.设λ1，λ2是矩阵A的两个不同特征值，α1，α2分别是A对应于λ1，λ2的特征向量，则α1，α2的线性组合c1α1+c2α2（c1，c2为常数）一定是A的________向量的充要条件是c1=c2=0。6.已知向量组α1，α2，α3线性无关，且α4不能由α1，α2，α3线性表示，则向量组α1，α2，α3，α4的秩为________。7.设A为n阶矩阵，且满足A^2=A，则矩阵A的秩r(A)+n-r(A)=________。8.已知矩阵A=（a_{ij}）为三阶矩阵，且满足a_{ij}=(-1)^{i+j}，则矩阵A的逆矩阵A^-1的元素a_{ij}^(-1)=________。9.设A为n阶矩阵，B为n阶可逆矩阵，且满足AB=BA，则矩阵A和B的乘积AB的特征值等于________。10.已知向量组α1，α2，α3线性无关，且α4不能由α1，α2，α3线性表示，则向量组α1，α2，α3，α4的极大无关组一定是________。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。请将判断结果填在题后的括号内，正确的填“√”，错误的填“×”。）1.若向量组α1，α2，α3线性无关，则向量组α1，α2，α3，α4一定线性无关。（）2.若矩阵A的特征值均为正数，则矩阵A一定可逆。（）3.若向量组α1，α2，α3线性相关，则向量组α1，α2，α3，α4一定线性相关。（）4.若矩阵A的特征值均为0，则矩阵A一定为0矩阵。（）5.若向量组α1，α2，α3线性无关，则向量组α1，α2，α3的任意线性组合一定线性无关。（）6.若矩阵A的特征值均为1，则矩阵A一定为单位矩阵。（）7.若向量组α1，α2，α3线性无关，则向量组α1，α2，α3的极大无关组一定是α1，α2，α3本身。（）8.若矩阵A的特征值均为负数，则矩阵A一定可逆。（）9.若向量组α1，α2，α3线性相关，则向量组α1，α2，α3的秩为1。（）10.若矩阵A的特征值均为复数，则矩阵A一定不可逆。（）四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。请将答案写在答题卡上。）1.设A为n阶矩阵，且满足A^2=A，证明矩阵A的特征值均为1或0。2.已知向量组α1，α2，α3线性无关，证明向量组α1+α2，α2+α3，α3+α1也线性无关。3.设A为n阶矩阵，且满足A^T=A，证明矩阵A的特征值一定是实数。4.已知矩阵A=（a_{ij}）为三阶矩阵，且满足a_{ij}=(-1)^{i+j}，求矩阵A的特征值。5.设λ1，λ2是矩阵A的两个不同特征值，α1，α2分别是A对应于λ1，λ2的特征向量，证明α1，α2的线性组合c1α1+c2α2（c1，c2为常数）一定是A的特征向量的充要条件是c1=c2=0。6.已知向量组α1，α2，α3线性无关，且α4不能由α1，α2，α3线性表示，证明向量组α1，α2，α3，α4的秩为3。7.设A为n阶矩阵，且满足A^2=A，证明矩阵A的秩等于其特征值1的重数。8.已知矩阵A=（a_{ij}）为四阶矩阵，且满足a_{ij}=i+j，求矩阵A的逆矩阵A^-1。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分。请将答案写在答题卡上。）1.设A为三阶矩阵，且满足A^2-A+E=0，求矩阵A的特征值。2.已知向量组α1=(1,0,1)，α2=(0,1,1)，α3=(1,1,t)线性相关，求实数t的取值范围。3.设A为n阶矩阵，且满足A^T=A，证明矩阵A的特征值一定是实数。4.已知矩阵A=（a_{ij}）为四阶矩阵，且满足a_{ij}=i+j，求矩阵A的迹tr(A)。5.设λ1，λ2是矩阵A的两个不同特征值，α1，α2分别是A对应于λ1，λ2的特征向量，证明α1，α2的线性组合c1α1+c2α2（c1，c2为常数）一定是A的特征向量的充要条件是c1=c2=0。6.已知向量组α1，α2，α3线性无关，且α4不能由α1，α2，α3线性表示，求向量组α1，α2，α3，α4的秩。7.设A为n阶矩阵，且满足A^2=A，证明矩阵A的秩等于其特征值1的重数。8.已知矩阵A=（a_{ij}）为三阶矩阵，且满足a_{ij}=(-1)^{i+j}，求矩阵A的逆矩阵A^-1。【标准答案及解析】一、单项选择题1.B解析：若A为n阶矩阵，且存在正整数k，使得A^k=0矩阵，则称A为幂零矩阵。幂零矩阵的特征值均为0，因此A不可逆。故选B。2.B解析：向量组α1，α2，α3线性无关的充要条件是它们的行列式不为0。计算行列式：|111||123||13t|=1×(2×t-3×3)-1×(1×t-3×1)+1×(1×3-2×1)=2t-9-t+3+3-2=t-5令t-5≠0，得t≠5。故选B。3.B解析：由于A^T=(a_{ji})，B^T=(b_{ji})，则(A^TB)^T=B^TA。故选B。4.C解析：矩阵A的主对角线元素为-1，1，1，非对角线元素为0，因此A的秩为3。故选C。5.A解析：若2α1+3α2是A的特征向量，则存在λ使得A(2α1+3α2)=λ(2α1+3α2)。由于α1，α2是A的特征向量，分别对应特征值λ1，λ2，则A(2α1+3α2)=2λ1α1+3λ2α2。因此λ(2α1+3α2)=2λ1α1+3λ2α2，即(λ-2λ1)α1+(λ-3λ2)α2=0。由于α1，α2线性无关，得λ=2λ1且λ=3λ2，即λ1=λ2，与λ1，λ2是不同特征值矛盾。故选A。6.A解析：由于α1，α2，α3线性无关，且α1，α2，α3，α4线性相关，则α4可由α1，α2，α3线性表示。故选A。7.D解析：若A的特征值为λ，则A-E的特征值为λ-1。当λ=0时，λ-1=-1，A-E不可逆。故选D。8.B解析：矩阵A的元素为a_{ij}=(-1)^{i+j}，因此A为反对称矩阵。反对称矩阵的迹为0。故选B。9.A解析：由于AB=BA，则A和B可对角化，且对角化后的对角矩阵相同，因此A的特征值均为B的特征值。故选A。10.B解析：由于α1，α2，α3线性无关，且α4不能由α1，α2，α3线性表示，则α1+α2，α2+α3，α3+α4线性无关。故选B。二、填空题1.-1或1解析：由A^2-A+E=0，得A^2-A+E-(1+E)(A-E)=0，即(A-E)(A+E-2E)=0，即(A-E)(A-3E)=0。因此A的特征值为-1或3。故填-1或1。2.1解析：向量组α1，α2，α3线性相关的充要条件是它们的行列式为0。计算行列式：|101||011||11t|=1×(1×t-1×1)-0×(0×t-1×1)+1×(0×1-1×1)=t-1-1=t-2令t-2=0，得t=2。故填1。3.实数解析：由于A^T=A，则A的特征值一定是实数。故填实数。4.20解析：矩阵A的元素为a_{ij}=i+j，因此A的迹tr(A)=1+2+3+4=10。故填20。5.特征解析：由于α1，α2是A对应于不同特征值的特征向量，因此α1，α2线性无关。若c1α1+c2α2是A的特征向量，则存在λ使得A(c1α1+c2α2)=λ(c1α1+c2α2)。由于Aα1=λ1α1，Aα2=λ2α2，则A(c1α1+c2α2)=c1λ1α1+c2λ2α2。因此λ(c1α1+c2α2)=c1λ1α1+c2λ2α2，即(c1λ-c1λ1)α1+(c2λ-c2λ2)α2=0。由于α1，α2线性无关，得c1λ=c1λ1且c2λ=c2λ2，即λ=λ1且λ=λ2，与λ1，λ2是不同特征值矛盾。因此c1=c2=0。故填特征。6.4解析：由于α1，α2，α3线性无关，且α4不能由α1，α2，α3线性表示，则α1，α2，α3，α4线性无关。故填4。7.2n解析：由于A^2=A，则A(A-E)=0。因此A的秩等于其特征值1的重数。设A的秩为r，则n-r为特征值0的重数。因此r+n-r=2n。故填2n。8.(-1)^{n-1}a_{ij}解析：矩阵A的元素为a_{ij}=(-1)^{i+j}，因此A为反对称矩阵。反对称矩阵的逆矩阵为A^-1=(-A^T)^{-1}=-(A^T)^{-1}。由于A^T的元素为a_{ji}=(-1)^{j+i}，因此(A^T)^{-1}的元素为a_{ij}^(-1)=(-1)^{i+j}。故填(-1)^{n-1}a_{ij}。9.λ解析：由于AB=BA，则A和B可对角化，且对角化后的对角矩阵相同，因此A和B有相同的特征值。设A和B的特征值为λ，则AB的特征值为λ。故填λ。10.α1，α2，α3解析：由于α1，α2，α3线性无关，且α4不能由α1，α2，α3线性表示，则α1，α2，α3，α4线性相关。因此α1，α2，α3，α4的极大无关组一定是α1，α2，α3本身。故填α1，α2，α3。三、判断题1.×解析：若向量组α1，α2，α3线性无关，则向量组α1，α2，α3，α4不一定线性无关。例如α1=(1,0,0)，α2=(0,1,0)，α3=(0,0,1)，α4=(1,1,1)线性相关。2.√解析：若矩阵A的特征值均为正数，则|A|>0，因此A一定可逆。故选√。3.×解析：若向量组α1，α2，α3线性相关，则向量组α1，α2，α3，α4不一定线性相关。例如α1=(1,0,0)，α2=(0,1,0)，α3=(0,0,0)，α4=(1,1,1)线性无关。4.×解析：若矩阵A的特征值均为0，则A可对角化为0矩阵，但A不一定为0矩阵。例如A=(0,1,0)，(0,0,1)，(0,0,0)的特征值均为0，但A不为0矩阵。故选×。5.×解析：若向量组α1，α2，α3线性无关，则向量组α1，α2，α3的任意线性组合不一定线性无关。例如α1=(1,0,0)，α2=(0,1,0)，α3=(1,1,0)线性无关，但α1+α2，α2+α3，α3+α1线性相关。故选×。6.×解析：若矩阵A的特征值均为1，则A可对角化为单位矩阵，但A不一定为单位矩阵。例如A=(1,1)，(0,1)的特征值均为1，但A不为单位矩阵。故选×。7.√解析：若向量组α1，α2，α3线性无关，则向量组α1，α2，α3的极大无关组一定是α1，α2，α3本身。故选√。8.√解析：若矩阵A的特征值均为负数，则|A|>0，因此A一定可逆。故选√。9.×解析：若向量组α1，α2，α3线性相关，则向量组α1，α2，α3的秩为1或2。故选×。10.×解析：若矩阵A的特征值均为复数，则A可对角化为复对角矩阵，但A不一定不可逆。例如A=(0,1)，(1,0)的特征值均为复数，但A可逆。故选×。四、简答题1.证明：设A为n阶矩阵，且满足A^2=A，则A(A-E)=0。因此A的秩等于其特征值1的重数。设A的秩为r，则n-r为特征值0的重数。因此A的特征值均为1或0。2.证明：假设向量组α1+α2，α2+α3，α3+α1线性相关，则存在不全为0的常数c1，c2，c3使得c1(α1+α2)+c2(α2+α3)+c3(α3+α1)=0，即(c1+c3)α1+(c1+c2)α2+(c2+c3)α3=0。由于α1，α2，α3线性无关，得c1+c3=0，c1+c2=0，c2+c3=0。解得c1=c2=c3=0，与假设矛盾。因此向量组α1+α2，α2+α3，α3+α1线性无关。3.证明：设A为n阶矩阵，且满足A^T=A，则A的特征值λ满足λ^2=λ，即λ(λ-1)=0。因此A的特征值一定是实数。4.解：矩阵A的元素为a_{ij}=(-1)^{i+j}，因此A为反对称矩阵。反对称矩阵的特征值为0或纯虚数。计算A的特征值：|1-11||-11-1||1-11|=1×(1×1-(-1)×(-1))-(-1)×((-1)×1-(-1)×1)+1×((-1)×(-1)-1×1)=1×(1-1)-(-1)×(0)+1×(1-1)=0因此A的特征值为0。5.证明：必要性：若c1α1+c2α2是A的特征向量，则存在λ使得A(c1α1+c2α2)=λ(c1α1+c2α2)。由于Aα1=λ1α1，Aα2=λ2α2，则A(c1α1+c2α2)=c1λ1α1+c2λ2α2。因此λ(c1α1+c2α2)=c1λ1α1+c2λ2α2，即(c1λ-c1λ1)α1+(c2λ-c2λ2)α2=0。由于α1，α2线性无关，得c1λ=c1λ1且c2λ=c2λ2，即λ=λ1且λ=λ2，与λ1，λ2是不同特征值矛盾。因此c1=c2=0。充分性：若c1=c2=0，则c1α1+c2α2=0。由于0是A的特征向量，因此c1α1+c2α2是A的特征向量。6.证明：由于α1，α2，α3线性无关，且α4不能由α1，α2，α3线性表示，则α1，α2，α3，α4线性相关。因此α1，α2，α3，α4的秩为3。7.证明：由于A^2=A，则A(A-E)=0。因此A的秩等于其特征值1的重数。设A的秩为r，则n-r为特征值0的重数。因此A的秩等于其特征值1的重数。8.解：矩阵A的元素为a_{ij}=i+j，因此A的迹tr(A)=1+2+3+4=10。由于A为对称矩阵，因此A可逆。计算A的逆矩阵：A^-1=1/10(A^T-A)=1/10(A-A)=0因此A^-1不存在。五、应用题1.解：由A^2-A+E=0，得A^2-A+E-(1+E)(A-E