人教版（2024）九年级上 第二十六章 二次函数 单元测试（含答案）

人教版（2024）九年级上第二十六章二次函数单元测试一．选择题（共12小题）1．将抛物线y=x2-2向右平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是（）A．y=x2-3B．y=（x-1）2-2C．y=x2-1D．y=（x+1）2-22．抛物线y=（x-2）2-1的顶点坐标是（）A．（-2，1）B．（-2，-1）C．（2，1）D．（2，-1）3．将抛物线y=-4x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线解析式为（）A．y=-（x-2）2+3B．y=-4（x-3）2+2C．y=-4（x+2）2+3D．y=-4（x-2）2+34．将二次函数y=x2的图象向上平移5个单位长度，得到的抛物线的解析式是（）A．y=x2+5B．y=x2-5C．y=（x+5）2D．y=（x-5）25．一次函数y=ax+b的图象如图所示，则二次函数y=ax2+b的图象（）A．B．C．D．6．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（-1，0），对称轴为直线x=1，则下列结论中错误的是（）A．abc＜0B．2a+b=0C．4a+2b+c＞0D．c+8a＞07．函数y=ax+1与y=ax2+bx+1（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．8．已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（-1，0），B（1-a,0）两点，且点C（2，y1），D（−aA．当a＞-4时，y1＞y2B．当a＜-4时，y1＜y2C．无论a为何值，y1≥y2D．无论a为何值，y1≤y29．抛物线y=1A．y=B．y=-2x2C．y=D．无法确定10．已知函数y=x2-2x+3，当0≤x≤m时，有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（）A．m≥1B．0≤m≤2C．1≤m≤2D．1≤m≤311．抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（-1，2），与x轴的一个交点A在点（-3，0）和（-2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2-4ac＜0；②当x＜-1时，y随x增大而减小；③a+b+c＜0；④2a-b=0；⑤若方程ax2+bx+c=m没有实数根，则m＞2．其中正确结论的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个12．如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D，对称轴为x=12，其中B（2，0），且−43＜c＜−1．以下结论：①abc＞0；②无论a、b、c取何值，抛物线一定经过点（c2a，0）；③方程ax2+bx+c-k2=0的两根和为A．2个B．3个C．4个D．5个二．填空题（共5小题）13．若y=（a+2）x|a|+3x-1是二次函数，则a的值为______．14．抛物线y=（x+2m）2-1，当x＜4时，y随x增大而减小，则m的取值范围是______．15．关于x的方程ax2+bx+8=0的解是x1=2，x2=4，则抛物线y=ax2+bx+8的对称轴是直线______．16．古时乾隆皇帝曾在秋日路过卢沟桥，赋诗“半钩留照三秋淡，一练分波平镜明”于此，并题“卢沟晓月”，立碑于桥头．卢沟桥主桥拱可以近似看作抛物线，桥拱在水面的跨度OA约为22米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为y=−13121（x−11）2+k，则主桥拱最高点17．如图是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，图象对称轴为直线x=1，与x轴的正半轴交点位于（2，0）与（3，0）之间，对于这个函数有下列四个结论：①abc＜0；②3a+c＜0；③对任意实数t,不等式t（at+b）≤a+b恒成立；④若方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，则3＜|x1-x2|＜4；⑤关于x的方程a（x-2）2+b（x-2）+c=0的两根之和为6．则结论正确的有______（填写序号）．三．解答题（共5小题）18．已知二次函数y=-9x2-6ax-a2+2a.

（1）若该二次函数图象与x轴有两个交点，求实数a的范围；

（2）若该二次函数的顶点在y=1-x的图象上，求实数a的值．19．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价为30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价为40元时，销售量是600件，当销售单价每上涨1元，就会少售出10件玩具．设该种品牌玩具的实际销售单价为x元（x＞40），销售该品牌玩具获得的利润为w元．

（1）求出w与x之间的函数关系式；

（2）若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于500件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？20．已知抛物线y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，ab≠0，且a＞0）的最小值是-1．

（1）若该抛物线的对称轴为直线x=1，并且经过点（-1，3），求抛物线对应的函数表达式．

（2）若直线y=ax+c经过抛物线y=ax2+bx+c的顶点．

①求抛物线的顶点坐标；

②A（p-4，y1），B（p,y2）是抛物线上的两点，且y1＞y2，求p的取值范围．21．如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴的两个交点分别为A（-2，0），B（6，0），与y轴交于点C，直线y=kx+3过点B和点C．点P是第一象限内抛物线上的点，设点P的横坐标为m,过点P作PQ⊥BC于点Q，连接PC．

（1）求a,b,k的值；

（2）求PQ的最大值；

（3）当m≤x≤3时，y的取值范围是t1≤y≤t2，且t1+t22．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（-3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线上的一个动点．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）如图1，当点P在直线AC上方的抛物线上时，连接AP、BP，BP交AC于点D，若S△APD=kS△ABD，求k的取值范围；

（3）已知M是直线AC上一动点，将点M绕着点O旋转90°得到点Q，若点Q恰好落在二次函数的图象上，请直接写出点M的坐标．

人教版（2024）九年级上第二十六章二次函数单元测试

(参考答案)一．选择题（共12小题）1、B 2、D 3、D 4、A 5、C 6、D 7、C 8、B 9、A 10、C 11、B 12、D 二．填空题（共5小题）13、2； 14、m≤-2； 15、x=3； 16、26； 17、①②③⑤； 三．解答题（共5小题）18、解：（1）当-9x2-6ax-a2+2a=0时，

Δ=36a2-36（a2-2a）=72a,

∵二次函数图象与x轴有两个交点，

∴72a＞0，

∴a＞0；

（2）∵y=-9x2-6ax-a2+2a=-9（x+13a）2+2a,

∴顶点为（-13a,2a），

∵顶点在y=1-x的图象上，

∴1+13a=2a,

解得19、解：（1）由题意得w=（x-30）[600-10（x-40）]，

整理得w=-10x2+1300x-30000，

答：w与x之间的函数关系式为w=-10x2+1300x-30000；

（2）由题意得{x≥44600−10（x−40）≥500，

解得44≤x≤50，

∵w=-10x2+1300x-30000=-10（x-65）2+12250，-10＜0，

∴当x=50时，函数取得最大值，且最大值为-10×（50-65）2+12250=10000，

答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润是20、解：（1）已知抛物线y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，ab≠0，且a＞0）的最小值是-1．

根据题意，得抛物线的顶点坐标为（1，-1）．

设抛物线对应的函数表达式为y=a（x-1）2-1，

把（-1，3）代入，可得3=4a-1

解得a=1，

∴抛物线对应的函数表达式为y=（x-1）2-1=x2-2x；

（2）①根据y=ax2+bx+c,

可得二次函数的顶点为（−b2a，−1），

把（−b2a，−1）代入y=ax+c,

得a•（−b2a）+c=−1，

化简，得c=b2−1．

∵4ac−b24a=−1，

∴4a•（b2−1）−b24a=−1，

∴b=2a,

∴−b2a=−1，

∴抛物线的顶点坐标为（-1，-1）；

②设抛物线对应的函数表达式为y=a（x+1）2-1．

∴y1=a（p−4+1）2−1，y2=a（p+1）2−1．

y1−y2=a（p−4+1）2−1−a（p+1）2+1

=a（21、解：（1）把A（-2，0），B（6，0）代入y=ax2+bx+3得，{4a−2b+3=036a+6b+3=0，

解得{a=−14b=1，

把B（6，0）代入y=kx+3得，6k+3=0，

解得k=−12，

∴a=−14，b=1，k=−12．

（2）过点P作PD⊥AB交AB于D，交CB于点H，

∵点P的横坐标为m,

∴P（m,−14m2+m+3），H（m,−12m+3），

∴PH=（−14m2+m+3）−（−12m+3）=−14m2+32m=−14（m−3）2+94．

∴当m=3时，PH有最大值为94．

∵PQ⊥BC，

∴∠PQH=90°=∠BOC，

∴∠QPH+∠PHQ=90°，

∵PD⊥AB，

∴∠PDB=90°，

∴∠ABC+∠BHD=90°，

∵∠PHQ=∠BHD，

∴∠QPH=∠ABC，

∴△PQH∽△BOC，

∴PQBO=PHBC，

∵抛物线y=−14x2+x+3与y轴交于点C，

当x=0时，y=3，

∴C（0，3），

∴OC=3，

∵B（6，0），

∴OB=6，

∴BC=OB2+OC2=62+32=35，

∴PQPH=BOBC=635=255，即PQ=255PH，

∴当PH有最大值时，PQ取到最大值，

∴PQ的最大值为255×PH=9510．

（3）由y=−14x2+x+3得y=−14（x−2）2+4，

∴顶点为（2，4），即当x=2时，y有最大值4，

∵抛物线对称轴为x=2，

∴当22、解：（1）设抛物线的表达式为y=a（x-x1）（x-x2）=a（x+3）（x-1），

将点C的坐标代入上式得：3=a（0+3）（0-1），解得a=-1，

故抛物线的函数表达式为y=-（x+3）（x-1）=-x2-2x+3；

（2）如图，过点B作BE∥y轴交AC于E，过点P作PF∥y轴交AC于F，

设直线AC的解析式为y=kx+n,把A（-3，0），C（0，3）代入，

得{−3k+n=0n=3，

解得：{k=1n=3，

∴直线AC的解析式为y=x+3，

设P（t,-t2-2t+3），且-3＜t＜0，则F（t,t+3），

∵B（1，0），

∴E（1，4），

∴BE=4，PF=-t2-2t+3-（t+3）=-t2-3t,

∵BE∥y轴，PF∥y轴，

∴BE∥PF，

∴△BDE∽△PDF，

∴PDBD=PFBE=−t2−3t4=-14（t+32）2+916，

∵-3＜t＜0，

∴当t=-32时，PDBD取得最大值916，

∵S△APD=kS△ABD，

∴k=S△APDS△ABD=PDBD，

∴k的最大值为916，

∴0＜k≤916；

（3）如图，过点Q作QT⊥y轴于点T，过点M作MK⊥x轴于点K，则∠MKO=∠QTO=90°，

当点M绕着点O顺时针旋转90°得到点Q时，

∴OM=OQ，∠MOQ=90°，

∴∠MOK+∠QOK=90°，

∵∠QOT+∠QOK=90°，

∴∠MOK=∠QOT，

∴△OMK≌△OQT（AAS），

∴OK=OT，MK=QT，

设点M（x,x+3），