2027金版教程一轮复习数学基础版第10章第3节 第2课时 列联表与独立性检验

第十章统计与成对数据的统计分析第三节

成对数据的统计分析第2课时列联表与独立性检验课标解读考向预测1.通过实例，理解2×2列联表的统计意义．2.通过实例，了解2×2列联表独立性检验及其应用.预计2027年高考列联表、独立性检验可能会以实际问题为背景，与概率、随机变量的分布列及数字特征相结合命题，难度适中.必备知识强基础考点探究提素养课时作业目录必备知识强基础1．分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量．2．2×2列联表一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值均为0，1，其2×2列联表为XY合计Y＝0Y＝1X＝0aba＋bX＝1cdc＋d合计a＋cb＋da＋b＋c＋dP(Y＝1|X＝0)＝P(Y＝1|X＝1)越小χ2独立性检验中5个常用的小概率值和相应的临界值：(4)基于小概率值α的检验规则：当χ2≥xα时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α；当χ2＜xα时，我们没有充分证据推断H0不成立，可以认为X和Y独立．α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828(5)应用独立性检验解决实际问题的基本步骤①提出零假设H0：X和Y相互独立，并给出在问题中的解释；②根据抽样数据整理出2×2列联表，计算χ2的值，并与临界值xα比较；③根据检验规则得出推断结论；④在X和Y不独立的情况下，根据需要，通过比较相应的频率，分析X和Y间的影响规律．1根据χ2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，若χ2越大，则认为两个分类变量有关的把握越大．题组一走出误区——判一判(1)分类变量中的变量与函数中的变量是同一概念．(

)(2)2×2列联表是借助两个分类变量之间频率大小差异说明两个变量之间是否有关联．(

)(3)应用独立性检验的基本思想对两个变量间的关系作出的推断一定是正确的．(

)(4)分类变量X，Y关系越密切，则由观测数据计算得到的χ2的观测值越小．(

)√×××题组二回归教材——练一练(1)(人教B选择性必修第二册4.3.2练习AT2改编)为了解某大学的学生是否爱好体育锻炼，用简单随机抽样方法在校园内调查了120名学生，得到如下2×2列联表：则a－b－c＝(

)A．7 B．8C．9 D．10体育锻炼性别合计男女爱好ab73不爱好c25合计74单位：人解析：根据题意，可得c＝120－73－25＝22，a＝74－22＝52，b＝73－52＝21，∴a－b－c＝52－21－22＝9.故选C.(2)(湘教版选择性必修第二册习题4.3T7改编)在下列两个分类变量X，Y的样本频数列联表中，可以判断X，Y之间有无关系的是(

)XY合计y1y2x1aba＋bx2cdc＋d合计a＋cb＋da＋b＋c＋dXY合计y1y2x1aba＋bx2cdc＋d合计a＋cb＋da＋b＋c＋d(3)(人教B选择性必修第二册4.3.2练习AT4改编)已知P(χ2≥6.635)＝0.01，P(χ2≥10.828)＝0.001.在检验喜欢某项体育运动与性别是否有关的过程中，某研究员搜集数据并计算得到χ2＝7.235，则根据小概率值α＝________的独立性检验，认为喜欢该项体育运动与性别有关．0.01解析：因为6.635<7.235<10.828，所以根据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为喜欢该项体育运动与性别有关．考点探究提素养考点一列联表(1)下面是一个2×2列联表，则表中a，c的值分别为(

)A.98，28 B．28，98C．48，45D．45，48解析：由2×2列联表知a＋25＝73，b＋25＝49，b＋21＝c，解得a＝48，b＝24，c＝45.故选C.XY合计y1y2x1a2573x221bc合计d49(2)假设两个分类变量X和Y的2×2列联表如下：对于同一样本，下列数据能说明X和Y有关系的可能性最大的一组是(

)A．a＝40，c＝20B．a＝45，c＝15C．a＝35，c＝25D．a＝30，c＝30XY合计y1y2x1a10a＋10x2c30c＋30合计a＋c40100XY合计y1y2x1a10a＋10x2c30c＋30合计a＋c40100在2×2列联表中，可利用|ad－bc|的值来粗略判断两个变量之间关系的强弱．|ad－bc|越小，说明两个变量之间关系越弱；|ad－bc|越大，说明两个变量之间关系越强．1.(多选)有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀，得到列联表如下：班级数学成绩合计优秀非优秀甲班10b乙班c30合计105单位：人考点二独立性检验的应用(2026·山西太原模拟)为进一步保护环境，加强治理空气污染，某市环保监测部门对市区空气质量进行调研，随机抽查了市区100天的空气质量等级与当天空气中SO2的浓度(单位：μg/m3)，整理数据得到下表：空气质量等级SO2的浓度[0，50](50，150](150，475]1(优)28622(良)5783(轻度污染)3894(中度污染)11211若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据上述数据，回答下列问题：(1)估计事件“该市一天的空气质量好，且SO2的浓度不超过150”的概率；(2)完成下面的2×2列联表；单位：天空气质量SO2的浓度合计[0，150](150，475]空气质量好空气质量不好合计2.(2025·新课标Ⅰ卷，15)为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表：超声波检查结果组别正常不正常合计患该疾病20180200未患该疾病78020800合计8002001000课时作业基础题(占比50%)中档题(占比40%)拔高题(占比10%)题号12345678难度★★★★★★★★★★考点根据列联表求参数独立性检验的基本思想两变量关系强弱的判断χ2的计算；两变量有关的把握大小两变量是否有关的判断χ2的计算；两变量是否有关的判断χ2的计算；已知两变量有关求参数χ2的计算；两变量有关的把握大小题号9101112131415难度★★★★★★★★★★★★★考点χ2的计算；两变量是否有关的判断两变量是否有关的判断χ2的计算；已知两变量有关求参数χ2的计算；根据两变量关系的可能性大小确定参数的最小值根据列联表求参数；χ2的计算；两变量是否有关的判断χ2的计算；已知两变量有关求参数补全列联表；χ2的计算；两变量是否有关的判断一、单项选择题1．如表是2×2列联表，则表中a，b的值分别为(

)A.27，38B．28，38C．27，37D．28，37解析：a＝35－8＝27，b＝a＋11＝27＋11＝38.故选A.XY合计y1y2x1a835x2113445合计b42802．(2026·广东广州质检)根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到χ2＝4.881.已知P(χ2≥7.879)＝0.005，依据α＝0.005的独立性检验，下列结论正确的是(

)A．变量X与Y独立B．变量X与Y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.005C．变量X与Y不独立D．变量X与Y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.005解析：因为χ2＝4.881<7.879，所以没有充分的证据推断变量X与Y不相互独立，即认为变量X与Y独立，故B，C，D错误，A正确．故选A.3．假设有两个分类变量X与Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列联表为则当整数m取________时，X与Y的关系最弱．(

)A．8 B．9C．14 D．19解析：在两个分类变量的列联表中，当|ad－bc|的值越小时，认为两个分类变量有关的可能性越小．令|ad－bc|＝0，得10×26＝18m，解得m≈14.4，又m为整数，所以当m＝14时，X与Y的关系最弱．故选C.XY合计y1y2x1101828x2m26m＋26合计m＋1044m＋544．某同学寒假期间对其30位亲属的饮食习惯进行了一次调查，得到如下2×2列联表：单位：人则可以说其亲属的饮食习惯与年龄有关的把握为(

)年龄饮食习惯合计偏爱蔬菜偏爱肉类50岁以下481250岁以上16218合计2010305．(2026·河南信阳期末)调查某医院一段时间内婴儿出生的时间(白天与晚上)和性别(男与女)的关联性，对样本数据分析统计，计算得到χ2＝3.689，依据小概率值α＝0.1的独立性检验，下列说法正确的是(附：x0.1＝2.706)(

)A．婴儿90%在白天出生B．婴儿出生时间与性别无关联C．有0.1的把握认为婴儿出生时间与性别有关联D．婴儿出生时间与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.1解析：因为χ2＝3.689>2.706＝x0.1，所以依据小概率值α＝0.1的独立性检验，婴儿出生时间与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.1.故选D.6．(2026·湖北武汉模拟)目前中国的新能源汽车技术日新月异，老百姓购买时参考的参数有所不同，一部分人更看重汽车动力、扭矩、悬挂、底盘等技术参数，可以称为“技术流”；另一部分人更看重电池续航、内饰材料、智能化程度等，可以称为“体验流”．现随机抽取100名车主，针对他们对汽车的偏好进行问卷调查，得到下表：单位：人性别对汽车的偏好合计体验流技术流男3050女40合计100解析：由题意，补充完整的列联表如下：单位：人性别对汽车的偏好合计体验流技术流男203050女401050合计60401007．(2026·山西太原模拟)人生因阅读而气象万千，人生因阅读而精彩纷呈．腹有诗书气自华，读书有益于开拓眼界、提升格局；最是书香能致远，书海中深蕴着灼热的理想信仰、炽热的国家情怀．某校对高中学生的阅读情况进行了调查，结果如下：单位：人性别是否喜欢阅读合计喜欢不喜欢男26060320女200mm＋200合计460m＋60m＋520性别是否喜欢阅读合计喜欢不喜欢男26060320女200mm＋200合计460m＋60m＋520单位：人性别是否喜欢阅读合计喜欢不喜欢男26060320女200mm＋200合计460m＋60m＋520单位：人8．某省采用“3＋1＋2”新高考模式，其中“3”为语文、数学和外语3门全国统考科目；“1”为考生在物理和历史中选择1门；“2”为考生在思想政治、地理、化学和生物4门中再选择2门．某中学调查了高一年级学生的选科倾向，随机抽取200人，其中选考物理的120人，选考历史的80人，统计各选科人数如下表，则下列说法正确的是(

)A.物理类的学生中选择地理的比例比历史类的学生中选择地理的比例高B．物理类的学生中选择生物的比例比历史类的学生中选择生物的比例低C．有90%的把握认为是否选择生物与选考类别有关D．没有95%的把握认为是否选择生物与选考类别有关选择科目选考类别思想政治地理化学生物物理类35509065历史类50453035二、多项选择题9．(2026·山东聊城模拟)随着科技的进步和人民生活水平的提高，电脑已经走进了千家万户，成为人们生活、学习、娱乐的常见物品，便携式电脑(俗称“笔记本”)也非常流行．某公司为了研究“台式机”与“笔记本”的受欢迎程度是否与性别有关，随机抽取了50人调查研究，调查数据如下表所示：由上述数据给出下列结论，其中正确的是(

)A．没有充分证据证明“台式机”与“笔记本”的受欢迎程度与性别有关B．有90%的把握认为“台式机”与“笔记本”的受欢迎程度与性别有关C．没有95%的把握认为“台式机”与“笔记本”的受欢迎程度与性别有关D．没有99%的把握认为“台式机”与“笔记本”的受欢迎程度与性别有关性别喜好情况合计喜欢“台式机”喜欢“笔记本”男18927女81523合计262450单位：人性别喜好情况合计喜欢“台式机”喜欢“笔记本”男18927女81523合计262450单位：人10．为了解阅读量多少与幸福感强弱之间的关系，一个调查机构根据所得到的数据，绘制了如下所示的2×2列联表(个别数据暂用字母表示)：单位：人阅读量多少幸福感强弱合计幸福感强幸福感弱阅读量多m1872阅读量少36n78合计9060150计算得χ2≈12.981，参照右表：下列说法正确的是(

)A．根据小概率值α＝0.010的独立性检验，可以认为“阅读量多少与幸福感强弱无关”B．m＝54C．根据小概率值α＝0.005的独立性检验，可以在犯错误的概率不超过0.5%的前提下认为“阅读量多少与幸福感强弱有关”D．n＝52α0.100.050.0250.0100.0050.001xα2.7063.8415.0246.6357.87910.828单位：人阅读量多少幸福感强弱合计幸福感强幸福感弱阅读量多m1872阅读量少36n78合计9060150性别是否为社交电商用户合计是不是男8n12n20n女12n8n20n合计20n20n40n三、填空题11．某传媒公司针对“社交电商用户是否存在性别差异”进行调查，共调查了40n(n∈N*)人，得到如下2×2列联表：

单位：人已知x0.05＝3.841，若根据α＝0.05的独立性检验认为“社交电商用户存在性别差异”，则n的最小值为________．3性别是否为社交电商用户合计是不是男8n12n20n女12n8n20n合计20n20n40n单位：人12．(2026·陕西西安模拟)为了了解运动和寿命是否相关，做了一次抽样调查，被调查的经常锻炼与不经常锻炼的人数均为12t(t∈N*)，统计得到以下列联表，经计算，有超过95%但不超过99%的把握认为经常锻炼与长寿相关，则被调查的人中经常锻炼的至少有________人．36锻炼寿命合计长寿不长寿经常8t4t12t不经常5t7t12t合计13t11t24t单位：人四、解答题13．为考察某种药物A对预防疾病B的效果，进行了动物试验，得到如下列联表：单位：只药物疾病合计未患病患病未服用10080s服用15070220合计250t400α0.0500.0100.001xα3.8416.63510.82814．长绒棉是世界上纤维品质最优的棉花，也是全球高端纺织品及特种纺织品的重要原料．新疆具有独特的自然资源优势，是我国最大的长绒棉生产基地，产量占全国长绒棉总产量的95%以上．新疆某农科所为了研究不同土壤环境下棉花的品质，选取甲、乙两地实验田进行种植．在棉花成熟后采摘，分别从甲、乙两地采摘的棉花中各随机抽取50份样本，测定其马克隆值，整理测量数据得到如下2×2列联表，其中40≤a≤50且a∈N*.注：棉花的马克隆值是