2027金版教程一轮复习数学基础版高考解答题专项突破（1） 第3课时　利用导数研究函数的零点

高考解答题专项突破（一）导数与函数的综合问题第3课时利用导数研究函数的零点课时作业目录

利用单调性和函数零点存在定理确定零点个数的一般步骤及注意点(1)讨论函数的单调性，确定函数的单调区间．(2)在每个单调区间上，利用函数零点存在定理判断零点的个数．(3)注意区间端点的选取技巧．(4)含参数时注意分类讨论．

在借助函数图象研究函数零点问题时，要准确画出函数的图象，不仅要研究函数的单调性与极值的情况，还要关注函数值的正负以及变化趋势，把函数图象与x轴有无交点，哪一区间在x轴上方，哪一区间在x轴下方等情况分析清楚，这样才能准确地研究直线与函数图象交点的个数情况．所以φ(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，且φ(x)min＝φ(1)＝0，其图象如图所示．当a＝0时，y＝ax的图象与φ(x)的图象有一个交点．当a<0时，y＝ax的图象经过第二、四象限，与φ(x)的图象无交点．当a>0时，y＝ax的图象经过第一、三象限，与φ(x)的图象至少有一个交点．

解：(1)由已知，得g(x)＝ax－xlna，则g′(x)＝axlna－lna，令g′(x)＝0，得x＝0.根据零点情况求参数范围的解法3.已知函数f(x)＝ex－1－ax－a(a∈R)．(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程；(2)若函数f(x)有2个零点，求a的取值范围．解：(1)当a＝2时，f(x)＝ex－1－2x－2，所以f′(x)＝ex－1－2，所以f′(1)＝－1，因为f(1)＝－3，所以曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＋3＝－(x－1)，即x＋y＋2＝0.

考点三“隐零点”问题已知函数f(x)＝lnx＋ax－a(a∈R)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若不等式f(x)<a(x2－1)在(1，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围．在函数的零点中，有些零点不易求出，或者可以求出但无需求出，我们把这样的零点称为“隐零点”，即能确定其存在，但又无法或无需求出．对于“隐零点”问题的解题思路是对函数的零点设而不求，通过整体代换和过渡，再结合题目条件解决问题．课时作业基础题(占比20%)中档题(占比50%)拔高题(占比30%)题号123456难度★★★★★★★★★★★★★考点根据零点的个数求参数根据零点的个数求参数根据零点的个数求参数；隐零点问题求函数零点的个数利用函数的性质、零点存在定理求函数零点的个数；隐零点问题证明函数零点的个数1.已知函数f(x)＝2x3－3x2－12x＋m.(1)若m＝1，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若函数f(x)有3个零点，求实数m的取值范围．解：(1)由题意，得f′(x)＝6x2－6x－12，故f′(1)＝－12，又当m＝1时，f(1)＝2－3－12＋1＝－12，故所求的切线方程为y＋12＝－12(x－1)，即12x＋y＝0.3．已知函数f(x)＝ex－lnx－a，g(x)＝ex－ln(x＋a)，其中a为整数且a≥1.若f(x)存在两个不同的零点x1，x2，且x1＜x2.(1)求整数a的最小值；(2)求证：g(lnx1)＝g(lnx2)＝0.4．(2026·广东湛江模拟)已知函数f(x)＝aln(x－1)＋x2