新版北师大版七年级上册数学概念总结

新版北师大版七年级上册数学概念总结同学们，升入初中，数学的世界变得更加广阔和深邃。七年级上册的数学知识，是我们进一步探索数学奥秘的基石。这份概念总结，希望能帮助大家梳理所学，巩固基础，为后续的学习铺平道路。请大家结合课本例题和练习，深入理解每一个概念的内涵与外延。一、有理数（一）有理数的基本概念1.正数与负数：*大于0的数叫做正数。*在正数前面加上符号“-”（负）的数叫做负数。*0既不是正数，也不是负数。它是正数和负数的分界点。*正数和负数可以用来表示具有相反意义的量。2.有理数：*整数和分数统称为有理数。*整数包括正整数、0和负整数。*分数包括正分数和负分数。有限小数和无限循环小数都可以化为分数，因此它们也属于分数。3.数轴：*规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。*数轴的三要素：原点、正方向、单位长度，缺一不可。*任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。*在数轴上，右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数大。4.相反数：*只有符号不同的两个数叫做互为相反数。特别地，0的相反数是0。*互为相反数的两个数，在数轴上位于原点的两侧，并且与原点的距离相等。*求一个数的相反数，只需在这个数前面加上“-”号（若原数已有符号，则需先化简）。5.绝对值：*数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。*绝对值的性质：*一个正数的绝对值是它本身；*一个负数的绝对值是它的相反数；*0的绝对值是0。*即：若a>0，则|a|=a；若a=0，则|a|=0；若a<0，则|a|=-a。*绝对值具有非负性，即|a|≥0。6.有理数的大小比较：*正数大于0，0大于负数，正数大于负数。*两个负数比较大小，绝对值大的反而小。*利用数轴比较：数轴上右边的数总比左边的数大。（二）有理数的运算1.有理数的加法：*加法法则：*同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。*异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。*一个数同0相加，仍得这个数。*加法运算律：*交换律：a+b=b+a*结合律：(a+b)+c=a+(b+c)2.有理数的减法：*减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即a-b=a+(-b)。*引入相反数后，加减混合运算可以统一为加法运算。3.有理数的乘法：*乘法法则：*两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。*任何数与0相乘，都得0。*几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数。*乘法运算律：*交换律：a×b=b×a*结合律：(a×b)×c=a×(b×c)*分配律：a×(b+c)=a×b+a×c4.有理数的除法：*除法法则1（除以一个不为0的数）：等于乘这个数的倒数。即a÷b=a×(1/b)(b≠0)。*除法法则2：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。*除以一个数（不等于0），等于乘这个数的倒数。5.有理数的乘方：*定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在aⁿ中，a叫做底数，n叫做指数，aⁿ读作“a的n次方”或“a的n次幂”。*乘方的符号法则：*正数的任何次幂都是正数。*负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。*0的任何正整数次幂都是0。6.有理数的混合运算顺序：*先算乘方，再算乘除，最后算加减。*同级运算，从左到右进行。*如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。二、整式及其加减（一）字母表示数*字母可以表示任何数，用字母表示数能简明地表达数量关系、运算律和计算公式等。（二）代数式*定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或者一个字母也是代数式。*代数式的书写规范：*数字与字母相乘时，数字通常写在字母前面，乘号可以省略不写或用“·”表示。*字母与字母相乘时，乘号可以省略不写或用“·”表示。*除法运算一般写成分数形式。*带分数与字母相乘时，要把带分数化成假分数。*当字母前面的数字是1或-1时，1通常省略不写。（三）整式的相关概念1.单项式：*定义：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。*系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。*次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。2.多项式：*定义：几个单项式的和叫做多项式。*项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。不含字母的项叫做常数项。*次数：多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。3.整式：单项式和多项式统称为整式。（四）整式的加减1.同类项：*定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。2.合并同类项：*定义：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。*法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变。3.去括号法则：*如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同。*如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。4.整式的加减运算法则：*一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。三、图形的初步认识（一）生活中的立体图形1.常见的几何体：圆柱、圆锥、正方体、长方体、棱柱、棱锥、球等。2.多面体：围成棱柱和棱锥的面都是平的面，这样的立体图形称为多面体。（二）展开与折叠*有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形。这样的平面图形称为相应立体图形的展开图。（如正方体的展开图）（三）截一个几何体*用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面。截面的形状随截法的不同而改变。（四）从三个方向看物体的形状*我们可以从正面、左面（或右面）和上面三个不同方向观察一个物体，分别得到这个物体的三个视图：主视图（从正面看到的图）、左视图（从左面看到的图）、俯视图（从上面看到的图）。（五）直线、射线、线段1.直线：*基本事实：经过两点有且只有一条直线。（简述为：两点确定一条直线。）*表示方法：可以用一个小写字母表示，如直线l；也可以用这条直线上的两个点来表示，如直线AB（或直线BA）。*特点：没有端点，可以向两端无限延伸，不可度量。2.射线：*定义：直线上一点和它一旁的部分叫做射线。这个点叫做射线的端点。*表示方法：可以用端点和射线上另一点来表示，端点字母写在前面，如射线OA。*特点：有一个端点，可以向一端无限延伸，不可度量。3.线段：*定义：直线上两点及两点间的部分叫做线段。这两个点叫做线段的端点。*表示方法：可以用一个小写字母表示，如线段a；也可以用它的两个端点来表示，如线段AB（或线段BA）。*特点：有两个端点，不能延伸，可以度量长度。*基本事实：两点之间，线段最短。*两点间的距离：连接两点间的线段的长度，叫做这两点间的距离。*线段的中点：把一条线段分成相等的两条线段的点，叫做线段的中点。（六）角1.角的定义：*有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边。*角也可以看作由一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。2.角的表示方法：*用三个大写字母表示，顶点字母写在中间，如∠AOB。*用一个大写字母表示（顶点处只有一个角时），如∠O。*用一个数字或一个希腊字母表示，如∠1，∠α。3.角的度量：*角的度量单位是度、分、秒。把一个周角平均分成360份，每一份就是1度的角，记作1°。*1°=60′，1′=60″。4.角的比较与运算：*比较方法：叠合法和度量法。*角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。5.角的分类：*锐角：大于0°且小于90°的角。*直角：等于90°的角。*钝角：大于90°且小于180°的角。*平角：等于180°的角。*周角：等于360°的角。6.互为余角和互为补角：*余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角。*补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角。*性质：同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等。四、数据的收集与整理（一）数据的收集*数据的来源：直接途径（调查、实验、观察等）和间接途径（查阅文献资料、使用互联网查询等）。*调查方式：全面调查（普查）和抽样调查。*全面调查：对全体对象进行的调查叫做全面调查。*抽样调查：只抽取一部分对象进行调查，然后根据调查数据推断全体对象的情况，这种调查方法叫做抽样调查。*总体、个体、样本、样本容量：*总体：所要考察对象的全体叫做总体。*个体：组成总体的每一个考察对象叫做个体。*样本：从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本。*样本容量：样本中个体的数目叫做样本容量。（样本容量没有单位）（二）数据的整理*常用的整理数据的方法是制作统计表。（三）数据的表示*统计图：常用的统计图有条形统计图、折