人教版九年级数学上册 实际问题与一元二次方程（第3课时 单循环赛问题）教学设计

25.3实际问题与一元二次方程

(第3课时单循环赛问题)(教学设计)

^^教学分析

教学内容与解析

1.教学内容

本节课时是人教版2024版九年级上册第二十五章《一元二次方程》第三节《实际问题与一元二次方程》第3

课时单循环比赛问题.本节课承接前两课时数字面积、病毒传播与变化率模型，聚焦两两组合元重复的计数

类实际问题.核心内容包括：理解单循环赛制的比赛规则、推导单循环比赛总场数通用公式、利用一元二次

方程解决球赛、握手、互赠卡片等同模型实际问题。课堂持续落实“审、设、歹。、解、验、答''六步解题规范,

重点结合队伍人数、比赛场数为正整数的实际意义取舍方程根，完善一元二次方程组合计数类建模体系.

2.内容解析

本节课是一元二次方程实际应用的收官基础课时，是中考应用题经典必考题型.前两课时分别覆盖静态等量

关系、动态变化关系，本节课聚焦组合计数关系，填补了方程建模中“两两组合计数”的知识空白，形成完整

的一元二次方程应用模型体系.同时，本节课的组合公式推导思维，为高中排列组合知识做好铺垫，兼具承

上启下的重要作用.本节课题型模型唯一、规律极强，核心逻辑为任意两个对象只发生一次组合、无重复、

无遗漏.区别于传播问题的裂变增长、变化率的比例增减，单循环问题本质是组合计数问题，数量关系固定,

可实现公式化建模，题型变式统一(球赛、握手、互通电话)，易于学生归纳掌握、举一反三.通过体育赛

事、社交互动等生活化情境建模，培养学生数学建模、逻辑推理、数据分析核心素养；在公式自主推导、

变式辨析中，培养学生归纳总结、严谨求实的学习品质，体会数学模型在生活计数问题中的普适性.

基于以上分析，本节课的教学重点为：理解单循环赛制规则，推导并掌握单循环比赛总场数公式;x(x-l);

利用单循环通用模型建立一元二次方程，解决球赛、握手等同类实际问题.

教学目标与解析

1.教学目标

(1)理解单循环赛制的比赛规则，自主推导并掌握单循环总场数公式；能识别球赛、握手、互通电话等同

模型问题，熟练建立一元二次方程求解；能根据实际意义检验根的合理性，舍去非正整数、不合理的根，

规范解题步骤.

(2)经历“情境感知T手动枚举一规律推导一模型归纳一变式应用”的探究过程，掌握组合计数类问题的建

模方法，提升从生活情境中提炼数学规律、抽象数量模型的能力.

（3）感受数学与体育、生活的紧密联系，体会数学的工具性价值；在自主探究与合作交流中，增强探究意

识与学习自信心，养成严谨规范的解题习惯.

2.目标解析

目标1精准落实教材单循环核心模型，区分单循环与双循环问题差异，掌握组合计数类一元二次方程应用的

专属等量关系，完善前三课时所有方程应用模型体系，夯实中考基础考点.

目标2突破学生“死记公式、不懂原理、混淆循环类型”的短板，实现从机械套用到理解推导、灵活变式的能

力提升，熟练掌握计数类应用题的验根技巧与解题规范.

目标3渗透模型思想、归纳推理思想、数形结合思想，通过枚举特例推导通用规律，培养学牛.从特殊到一般

的数学思维，契合新课标核心素养培养要求.

学情分析

学生已熟练掌握一兀二次方程解法，经历前两课时建模训练，熟练掌握应用题六步解题法，具备•定的数

学建模和规律探究能力，对生活化应用题接受度较高.学生容易凭直觉计数，无法理解单循环公式的推导原

理，多依赖死记硬背；极易混淆单循环（不重夏）与双循环（直兔）模型，是本节课最大易错点；同时习

惯性忽略计数类问题“结果必须为正整数”的验根要求.球赛、握手情境贴近学生生活，趣味性强，学生探究

积极性高；从具体枚举到抽象公式的梯度学习，符合九年级学生由具象到抽象的认知规律，易于突破难点.

基于以上分析，本节课的教学难点确定为：理解单循环公式的推导逻辑，明白公式中“x-1”和的实际意

2

义；区分单循环与双循环问题，规避两类模型公式混用错误；结合队伍数、人数为正整数的条件，精准取

舍方程的实数根.

^^教学过程设计

新课导入

创设情景，引入新课

情境：学校组织班级足球联赛，采用单循环赛制（每两个班级之间只比赛一场），已知联赛总场次为21场,

求一共有多少个班级参赛？

师生活动：

1.教师通俗解读单循环规则：任意两队只赛一场，不重复、不主客场双赛；

2.抛出疑问：若有3支队伍、4支队伍，分别需要比赛多少场？引导学生手动枚举计数；

3.学生枚举：3队比赛3场，4队比赛6场，发现无法逐一枚举多队伍场次，引出公式推导的必要性。

（设计意图：以学生熟悉的校园球赛情境导入，直观解读单循环核心规则，通过少量队伍枚举，让学生初步

感知数量规律，制造多队伍计数的认知冲突，激发探究欲望，为公式推导铺垫具象基础.）

新知探究

探究点1自主探究，探究模型

活动1:参加比赛有几支队伍？

设有X支队伍参赛，遵循单循环赛制.

追问1.每一支队伍需要和除自身外的多少支队伍比赛？（X-1支）

追问2.所有队伍累计的总比赛次数（含重复）是多少？（x（x-l）场）

追问3.单循环每两队只赛一场，存在重复计数，需要如何修正？（除以2去重）

师生归纳总结：

总场数=总配对次数：2,得出单循环通用公式：总场数='x（x-l）

2

规范解题：结合导入情境列方程

解：设共有x个班级参赛，根据题意得：

lx（x-1）=21

2

整理得:x2-x-42=0

解得：X]=7,x2=—6

根据班级数量为正整数，舍去x=-6

答：一共有7个班级参赛.

（设计意图：分层设问引导学生自主拆解公式构成让学生理解，*1是每队对手数、除以2是去除重复场次''

的核心原理，从根源理解公式、杜绝死记硬背，突破本节课教学难点，落实核心重点.）

探究点2模型归类，同类迁移

活动2：归纳同模型题型

学生交流讨论：所有两两发生一次互动、无重复的问题均适用单循环公式，如：

1.体育单循环球赛、棋类比赛；

2.多人两两握手、两两拥抱；

3.多人之间互通一次电话：等等.

教师提醒：题目出现“只一次、两两一场、不重复''为单循环：“主客场、互赠、双向互动''为双循环.

及时巩固：某次座谈会结束后，在场所有人两两握手一次，统计总握手次数为45次，求参会总人数？

学生独立识别单循环模型，套用公式列方程求解，规范验根作答，教师巡视纠错.

（设计意图：完成单一题型到通用模型的迁移，帮助学生建立题型识别思维，实现举一反三，为后续拓展

变式训练奠定基础.）

典型例题

例1・九年级江门市新会区会城创新初级中学校考期中）参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手

15次，有多少人参加聚会？

【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设有4人参加聚会，每个人都与另外的人握手一次，则每个人握

手（”一1）次，且其中任何两人的握手只有一次，因而共有5Mx-1）次，设出未知数列方程解答即可.

x（x-l）

」——^=15

【详解】解：设有工人参加聚会，根据题意列方程得，2,

解得玉=6,X2=-5（不合题意，舍去）；

答：有6人参加聚会.

例2.某排球俱乐部计划组织一次女子排球邀请赛，采用单循环赛制（参赛的每两个队之间都要比赛一场），

根据场地和时间等条件，赛程计•划7天完成，每天安排4场比赛.

（1）比赛组织者应计划邀请多少个队参赛？

（2）如果比计划多邀请2个队参赛，每天安排5场比赛，那么至少需要多少天完成比赛？

【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，

（1）设比赛组织者应计划邀请x个队参赛，则每个队伍比赛（"-1）场，根据题意列出方程，即可解答；

（2）设至少需要"天完成比赛，根据（1）中解题思路，列不等关系即可解答；

解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2.

【详解】（1）解：设比赛组织者应计划邀请x个队参赛，则每个队伍比赛（工一1）场，

根据题意可得2,

解得内=&*2=-7（舍去），

故比赛组织者应计划邀请8个队参赛；

（2）解：根据题意可得邀请1。个队伍参赛，则每个队伍比赛9场,

设至少需要"天完成比赛,

10x9

可得丁<5a

解得。之9,

故至少需要9天完成比赛.

（设计意困：落实本节课重点知识，规范解题书写过程，提升学生分析问题、解决问题能力.）

巩固练习

课本课堂练习P23.

（设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的

理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略）

拓展提升

1.如图，在6'8的网格纸中，每个小正方形的边长都为1,动点P,Q分别从点F,A出发向右移动，点P的

运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒1个单位，当点P运动到点E时，两个点都停止运动.

（1）请你在图1中,画出2秒时的线段P。：

⑵在动点p,Q运动的过程中，△「QB能否成为等腰三角形？若能，请求出相应的时间I；若天能，请说明

理由.

【详解】（1）解：•・•点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒1个单位，

点P运动的路程为，2x2=4（2个单位），点Q运动的路程为，2x1=2（个单位），

•••68的网格纸中，每个小正方形的边长都为|,

••.2杪时线段尸。如图1所示:

F-APE

「io/丁丁丁丁7i

A-AB

图1

（2）解：在动点P,Q运动的过程中，△PQ®能成为等腰三角形.

t秒时，点P运动的路程为：t个单位，点Q运动的路程为力个单位,

如图2所示：过点Q作。",石产于H,

则。=2/个单位，AQ=/个单位，PE=（8_〃）个单位，伙2=[8一）个单位,

依题意得：四边形/^所为矩形，

Z.F=ZA=Z.E=90°,A产=8E=6个单位，FE=A8=8个单位，

又..OH工EF,

.•・匹边形A"7。为矩形，

"。=尸"=/个单位，。〃=人”=6个单位，

...HP=FP-FH=t个单位，

在RtAP。”中，由勾股定理得；PQ2="尸+。"2=r+36,

在RtZXAPE中，由勾股定理得：™2=PE2+BE2=（8~2r）~+36,

又由厮=（8—）[

分三种情况讨论如下：

，2.8

①当*时，/+36=（8-2/）+36,整理得：3/=8,解得：~3,

②当PQ=BQ时，/,+36=(87)：,整理得：]6，=28,解得：t「=一-二

③当=时,(8-2疗+36=(8-疗，整理得：3/-⑹+36=0,

△=（一16）"+4x3x36=—176<0

••・判别式

...方程3/一⑹+36=0没有实数根,

...不存在“

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综上所述：当一3秒或4秒时，APQB是等腰三角形.

(设计意图:强化本节课核心知识的拓展.)

真题感知

1.(2025.青岛校考)某文具店销售一种文具盒，每个成本价为15元，经市场调研发现：售价为22元时，

可销售40个，售价每上涨1元，销量将减少3个.如果这种文具盒全部销售完，那么该文具店可获利156元,

设这种文具盒的售价上涨工元，根据题意可列方程为()

A.(22+x-15)(40-3x)=156B(x-15)[40-3(x-22)]=156

C.(22+x)(40-3x)=156D(22+x)(40-3x)-15x40=156

【详解】根据题意知，每件商品的利润为(2275+外元，销售量为(包一?”件，

则可列方程为(22+*-5)(40-3x)=156,

故选：A.

2.(2025・荆州统考)要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个各队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条

件，赛程计划安排共计28场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？若设应邀请x个队参赛，可列出的方程

为()

Ax(x+1)=28Bx(x-1)=28

gx(x+l)=28-^x(x-l)=28

【详解】每支球队都需要与其他球队赛(x-D场，但两个队之间只有1场比赛，

-x(x-1)=28

•.•可列方程：2,

故选：D

3.我市为了增强学生的体质，组织了一次排球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行

了28场比赛，则参加比赛的球队共有（）

A.4个B.6个C.8个D.10个

【详解】解：设参加比赛的球队共有x个，

解得：内=8,勺=一7（舍去），

二参加比赛的球队共有8个，

故选:C.

4.（2025•深圳统考）2023年杭州亚运会吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购

进某款亚运会吉祥物，以每件68元的价格出售，经统计，2023年5月份的销售量为256件，2023年7月份的销

售量为400件.

⑴求该款吉祥物2023年5月份到7月份销售量的月平均增长率.

（2）从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款吉祥物每降价1元，月销伐量就

会增加20件，当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润达8400元？

【详解】（1）解：设该款吉祥物2023年5月份到7月份销售量的月平均增长率为x,

根据题意得：256（1+X『=400,

解得：内=0.25=25%,=-2,251不符合题意，舍去），

答：该款吉祥物2023年5月份到7月份销售量的月平均增长率为25%；

⑵解：设该款吉祥物降价m元，则每件的利润为（68-45-〃?）元，月销售量为（数十2。㈤件，

根据题意得：修-45T〃）（4（X）+20,〃）=84（?

整理得：“一-4。=。，

解得：g=8,?=-5（不符合题意，舍去），

答：当该款吉祥物降价8元时，月销售利润达8400元.

（设计意图：在学习完知识后加入中考等真题练习，不仅可以考助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检

险学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力）

课堂小结

1.知识技能：（I）核心模型：掌握单循环赛制规则，熟记单循环通用计数公式5MxT）；（2）模型迁移:

能快速识别球赛、握手、互通电话等所有两两单次互动的同类问题，精准建交一元二次方程；（3）解题规

范：熟练运用六步解题法，明确计数类问题解必须为正整数，能准确舍去负数、小数等不合理根.

2.思想方法：（1）特殊到一般的归纳思想：通过少量队伍枚举特例，推导得出通用计数公式，实现从具象

计算到抽象建模的升级；（2）数学建模思想：将体育赛事、生.活社交的计数问题，抽象为固定的一元二次

方程模型，用代数方法解决生活问题；（3）对比辨析思想：通过单、双循环模型对比，精准区分同类变式

题型，提升审题辨析能力；（4）浬谨验证思想：结合实际场景的取值限制筛选方程有效解，培养严谨的数

学思维.

3.易错提醒：（I）公式误用：单循环忘记除以2,或与双循环公式混用，是本节课最高频错误；（2）原理

模糊：不理解公式推导逻辑，遇变式题型无法灵活调整，只会机械套公式；（3）验根遗漏：忽略队伍数、

人数必须是正整数，保留负数、小数等不符合实际的根；（4）审题失误：未看清“单循环、双循环、两两

一次、双向互动''等关键题干条件，建模错误；（5）步骤残缺：解题格式不规范，缺少检验、作答、单位

等必要步骤.

（设计意图：对本课的知识进行总结，有利于学生对增强学习的主动性与连贯性.）

作业布置

必做题：课本习题25.3第3、9题.

探究性作业：近年来，电商直播苗货成了一个火热的职业.某电商在抖音平台上对一款成本为60元/件的服

装进行直播销售，如果按每件100元销售，那么每天可售出20件.经