初中数学七年级上册问题解决策略：直观分析（核心素养导向教案）

初中数学七年级上册问题解决策略：直观分析（核心素养导向教案）

一、课标分析与教材解读

【课标要求·核心】

《义务教育数学课程标准（2022年版）》在“课程内容”的“数与代数”领域指出，方程是刻画现实世界数量关系的重要模型。对于一元一次方程的教学，不仅要让学生掌握其解法，更要经历“建立方程模型”的过程，体会数学建模思想。特别是，课标在“教学提示”中强调，应引导学生通过画图、列表等策略分析数量关系，选择合适的数学模型解决问题，发展学生的几何直观、模型观念和应用意识。本节课“问题解决策略：直观分析”正是对这一理念的精准回应与专门训练。

【教材定位·基础】

本课是北师大版（2024新教材）七年级上册第五章“一元一次方程”的核心内容，通常安排在方程解法之后，属于典型的“数学策略与方法”专题课【基础】。教材并未引入新的方程类型或复杂计算，而是聚焦于“如何分析问题”这一元认知层面。通过对“销售利润”、“行程问题”、“方案选择”等经典问题的再探究，引导学生掌握借助“图表”这一直观工具，将文字语言转化为数学语言，从而厘清复杂数量关系的方法。这不仅是本单元知识的升华，更是为后续学习二元一次方程组、不等式、函数等内容的“数形结合”思想奠定基石【重要】。

二、学情深度研判

【知识储备·基础】

学生在此之前已经掌握了用字母表示数，具备了列代数式的能力，并且熟练掌握了求解一元一次方程的基本步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）。对于简单的实际问题，如“一个数的2倍比3大5”，学生能够直接列式求解。

【思维障碍·难点】

然而，面对信息量较大、关系较为复杂的实际问题（如打折销售中的成本、标价、折扣、利润关系；行程问题中的相遇、追及关系），学生的思维痛点在于：无法从冗长的文字描述中抽取出核心的数量关系，找不到列方程的“等量关系”【难点】。学生往往习惯于“套题型”而不是“析本质”，一旦问题情境稍有变化，便感到无从下手。因此，本节课的难点在于帮助学生从被动“套用公式”转向主动“分析关系”，从而建立起解决问题的策略意识【高频考点】。

三、教学目标设定

1.知识与技能：能在具体情境中识别问题中的已知量与未知量，能运用示意图、表格、线段图等直观工具分析数量关系，并正确列出方程解决问题【基础】。

2.过程与方法：经历“理解问题—拟订计划—实施计划—回顾反思”的问题解决过程，掌握直观分析的策略，体会数形结合思想在分析数量关系中的作用，提升几何直观和推理能力【核心】。

3.情感态度与价值观：通过对生活中常见问题的探究，感受数学的应用价值，增强用数学的眼光观察世界的意识，培养面对复杂问题时化繁为简、寻求策略的科学态度【重要】。

四、教学重难点

1.教学重点：掌握用示意图、表格等直观工具分析问题中的数量关系，建立方程模型。

2.教学难点：针对具体问题，选择和设计合适的直观模型来清晰地表达隐含的等量关系。

五、教学实施过程

（一）创设情境，唤醒策略意识（预计用时5分钟）

上课伊始，教师通过多媒体展示一段简短的文字描述：“某商店在促销，一款运动鞋先提价20%，然后再打八折出售，结果不仅没赚钱，反而亏了10元。你知道这双鞋的进价是多少吗？”

教师引导学生快速思考：读完这段文字，你有什么感觉？信息有点绕，关系理不清。

接着，教师展示一张简单的流程图：

【进价】——(提价20%)——>【标价】——(打八折)——>【售价】——(售价-进价=-10元)——>【亏损10元】

教师提问：现在，这些量的关系是不是一目了然了？

学生通过对比，深切感受到图表在梳理复杂信息时的直观性和简洁性。教师顺势引出课题：这就是我们今天要深入研究的“问题解决策略——直观分析”。这种将抽象文字转化为形象图表的方式，是我们解决复杂问题的有力武器。

（二）新知探究，建构分析模型（预计用时20分钟）

本环节以教材核心问题“服装销售问题”为载体，引导学生遵循波利亚“怎样解题”的四步框架，系统建构直观分析的思维模型。

1.理解问题：梳理信息，明确目标

教师出示例题：一家商店将某种服装按成本价提高40%后标价，又以八折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的成本是多少元？

教师组织学生独立阅读题目，并完成学习任务单上的两个小任务：

（1）圈出题目中出现的所有“量”的名称（成本价、提高率、标价、折扣、售价、利润）。

（2）在这些量中，哪些是已知的具体数值？哪些是未知的？

【师生互动】学生汇报，教师板书罗列：已知：提高40%、打八折、利润15元；未知：成本价、标价、售价。教师追问：标价和售价是未知的，但它们和已知量有关系吗？这为我们接下来的分析指明了方向。

2.拟订计划：借助直观，探寻关系【核心环节】

这是本节课的心脏地带，教师要留足时间，引导学生探索不同的直观表达。

（1）尝试表征：教师提出问题：“你能用一个简单的图或者表，把这个服装从进货到卖出的过程以及各个量之间的关系画出来吗？先独立尝试，再在小组内交流。”

（2）展示交流，对比优化：

教师选取有代表性的学生作品，利用实物展台进行展示，组织全班评议。

【预设学生方案一：流程图法】

【成本价】——(提高40%)——>【标价=(1+40%)×成本价】——(打八折)——>【售价=标价×80%】——(售价-成本价=15)——>【利润15元】

教师点评：这个流程图清晰地展示了事件发展的先后顺序，箭头上的标注把计算关系也表达出来了，非常棒！

【预设学生方案二：分支结构图/线段图法】

有些学生会画出类似教材中的框图，将关系更紧凑地呈现。

【预设学生方案三：表格法】

部分逻辑性强的学生会设计表格，将量分类整理。

项目

成本价

标价

售价

利润

表达式

x元

(1+40%)x元

(1+40%)x×80%元

15元

等量关系

售价-成本价=15

教师引导对比：大家看，流程图法让我们看清了事情的“过程”，而表格法让我们看清了各个量的“结果”及其代数表达式。它们各有千秋，但核心目的都是一样的——让数量关系“可视化”。

（3）确定方案，列出方程：

在直观图的帮助下，教师引导学生设未知数。设成本价为x元。

根据流程图或表格，学生能迅速口答出：标价为(1+40%)x，售价为(1+40%)x·80%。

再根据图中标注的等量关系“售价-成本价=利润”，学生自然列出方程：

(1+40%)x·80%-x=15。

1.实施计划：求解验证，规范格式

学生独立解方程，并请一位学生上台板演。

解：设这种服装每件的成本是x元。

根据题意，得(1+40%)x·80%-x=15。

解这个方程，得1.4x×0.8-x=15，即1.12x-x=15，0.12x=15，x=125。

教师强调：解方程后要进行检验，看结果是否符合实际意义（125是正数，且计算利润符合题意）。最后作答：因此，这种服装每件的成本是125元。

2.回顾反思：提炼策略，感悟价值【升华·重要】

教师提出两个深度思考的问题：

（1）我们是借助什么工具把这道题“理清楚”的？如果没有这些图，直接读题列式，难度在哪里？

（2）回顾刚才画的图，你认为一个“好”的直观图应该具备哪些要素？（引导学生总结：要素齐全、关系明确、信息标注清晰）

【教师精要总结】借助适当的图表（如流程图、线段图、表格），可以将隐藏在文字背后的、抽象的、复杂的数量关系，转化为直观的、形象的、易于理解的图形语言。这种“直观分析”的策略，就是我们在解决实际问题时的“思维地图”【非常重要】。

（三）变式迁移，深化策略运用（预计用时15分钟）

为了检验和内化“直观分析”策略，教师设计两个不同情境的变式题，要求学生“先画图，后列式”。

1.【变式一：行程问题】——培养画线段图的能力【高频考点】

题目：小明和小红从相距1500米的A、B两地同时出发，相向而行。小明每分钟走60米，小红每分钟走90米。他们经过多少分钟相遇？

（1）策略引导：这是一个典型的行程问题。我们可以用什么样的直观图来表示？引导学生想到画“线段图”。

（2）学生动手：在草稿纸上画出线段图，标注两地距离、两人速度、行走方向。

（3）展示分析：教师展示学生画的线段图，引导学生从图上找出等量关系。

【直观图示】A地——小明走的路程——><——小红走的路程——B地

等量关系：小明走的路程+小红走的路程=A、B两地距离或速度和×时间=总路程。

（4）列式解答：解：设经过x分钟相遇。列方程60x+90x=1500。

2.【变式二：积分/分配问题】——培养画表格的能力【难点·高频考点】

题目：某次数学竞赛共20道题，每答对一题得5分，答错或不答一题扣2分。小明得了79分，他答对了多少道题？

（1）策略引导：这个问题中，涉及到两种题型（对、错/不答），它们的数量和得分规则都不同。用什么工具能让这种“分类”关系更清楚？引导学生想到画“表格”。

（2）学生设计：学生在学习单上自主设计表格，梳理关系。

（3）师生共建，形成如下表格模型：

题型

题数（道）

每题得分/扣分

总得分

答对

x

+5

5x

答错/不答

20-x

-2

-2(20-x)

等量关系

答对总分+答错总分=最终得分

（4）列式解答：根据表格最后一列的等量关系，列出方程：5x-2(20-x)=79。

1.【即时归纳·策略提升】

完成两个变式后，教师引导学生对比归纳：同样是直观分析，为什么第一个问题用了线段图，第二个问题用了表格？

学生讨论后达成共识：当问题涉及“过程”（如行走、运动、变化）时，流程图或线段图更合适；当问题涉及“分类”（如不同物品、不同方案、不同得分情况）时，表格更能清晰地呈现分类数据和总量关系。选择合适的直观工具，是策略运用的关键。

（四）综合拓展，挑战高阶思维（预计用时10分钟）

呈现一个更具挑战性的开放性问题，考察学生灵活运用策略的能力。

题目：某校七年级组织春游，如果单独租用40座客车若干辆，则刚好坐满；如果单独租用50座客车，则少租一辆，并且有10个空座位。求该校七年级有多少人？

【策略引导】这个问题涉及两种租车方案，每种方案都有车辆数、座位数、人数。信息较多且交织。引导学生讨论：这个问题既有“方案分类”，又有“数量关系”，我们该用什么工具？——可以综合使用“表格+分析”。

学生在教师引导下，设计如下分析表格，并尝试用两种不同的方式表示同一个量（总人数），从而列出方程。

租车方案

每辆车座位数

租车数量（辆）

总座位数

实际人数

单独租40座客车

40

x

40x

40x

单独租50座客车

50

x-1

50(x-1)

50(x-1)-10

等量关系

两种方案的总人数相等

根据表格中的等量关系：40x=50(x-1)-10。

通过这个综合问题，学生进一步体会到，即使问题复杂，通过设计合理的表格进行“直观分析”，依然能将多组数量关系梳理得井井有条，并找到关键的等量关系。

（五）课堂小结，构建认知体系（预计用时3分钟）

教师引导学生从以下三个维度进行回顾反思，形成结构化的认知：

1.知识技能维度：今天我们再次巩固了用一元一次方程解决实际问题的一般步骤，特别是对“理解问题”和“拟订计划”两个环节有了更深的体会。

2.策略方法维度：我们系统学习并运用了“直观分析”策略。当我们面对文字繁杂的应用题时，要学会“翻译”——将文字语言转化为图形语言或表格语言。【核心策略】

3.思想感悟维度：这种把抽象问题变直观的思想，