高中数学 第3章 三角恒等变形 2 2.3 两角和与差的正切函数（教师用书）教学设计 北师大版必修4

PAGE1PAGE2高中数学第3章三角恒等变形22.3两角和与差的正切函数（教师用书）教学设计北师大版必修4课题高中数学第3章三角恒等变形22.3两角和与差的正切函数（教师用书）教学设计北师大版必修4课程基本信息1.课程名称：高中数学第3章三角恒等变形22.3两角和与差的正切函数（教师用书）

2.教学年级和班级：高一年级（1）班

3.授课时间：2022年9月15日星期四上午第二节课

4.教学时数：1课时核心素养目标1.发展数学抽象能力：通过研究两角和与差的正切函数，引导学生从具体问题中抽象出数学模型，形成抽象思维。

2.培养逻辑推理能力：通过探究正切函数的周期性、奇偶性等性质，引导学生运用逻辑推理方法，形成严密的数学论证。

3.提升数学建模能力：将实际问题转化为正切函数模型，培养学生运用数学语言描述现实世界，解决实际问题的能力。

4.强化运算求解能力：通过练习两角和与差的正切函数的计算，提高学生运算的准确性和速度，增强数学应用意识。重点难点及解决办法重点：

1.两角和与差的正切函数公式的推导与应用。

2.正切函数周期性、奇偶性等性质的理解和应用。

难点：

1.理解两角和与差的正切函数公式推导过程中的逻辑关系。

2.正确运用正切函数性质解决实际问题。

解决办法：

1.通过小组合作，引导学生逐步推导公式，强化逻辑推理过程。

2.通过实例分析，帮助学生理解周期性、奇偶性等性质，并练习应用。

3.设计变式练习，提高学生解决实际问题的能力，突破计算和应用难点。教学资源准备1.教材：确保每位学生都有北师大版必修4教材。

2.辅助材料：准备与两角和与差的正切函数相关的图表、动画演示等多媒体资源。

3.教学工具：准备直尺、三角板等绘图工具，用于辅助学生理解和绘制正切函数图像。

4.教室布置：设置分组讨论区，提供足够的黑板或白板用于展示推导过程和图形。教学流程一、导入新课（5分钟）

详细内容：

1.回顾上一节课学习的内容，提问学生正弦、余弦、正切函数的基本性质。

2.展示生活中的实例，如建筑设计中的角度计算，引导学生思考如何用数学方法解决这类问题。

3.提出本节课的研究主题：两角和与差的正切函数，激发学生的学习兴趣。

二、新课讲授（15分钟）

1.推导两角和与差的正切函数公式

-利用正弦、余弦的和差公式，引导学生推导两角和与差的正切函数公式。

-通过小组讨论，让学生展示推导过程，教师点评并总结。

-举例说明公式的应用，如计算特定角度的正切值。

2.理解正切函数的周期性、奇偶性等性质

-结合图形，展示正切函数的周期性、奇偶性等性质。

-通过实例分析，让学生理解这些性质在实际问题中的应用。

3.应用两角和与差的正切函数解决实际问题

-提供实际问题，如计算建筑物顶部角度，引导学生运用所学知识解决问题。

-学生独立完成练习，教师巡视指导。

三、实践活动（15分钟）

1.绘制正切函数图像

-学生利用直尺、三角板等工具，绘制两角和与差的正切函数图像。

-教师巡回指导，纠正错误，讲解绘图技巧。

2.分析正切函数图像

-学生观察图像，分析函数的周期性、奇偶性等性质。

-教师引导学生总结规律，形成知识体系。

3.比较不同角度的正切函数

-学生比较不同角度的正切函数图像，分析其异同。

-教师点评学生的分析，强调重点难点。

四、学生小组讨论（10分钟）

1.讨论两角和与差的正切函数公式推导过程中的逻辑关系

-学生分组讨论，总结推导过程中的关键步骤。

-教师随机抽取小组分享，点评并总结。

2.讨论正切函数性质在实际问题中的应用

-学生分组讨论，列举实际生活中的例子，说明正切函数性质的应用。

-教师点评学生的例子，强调性质的重要性。

3.讨论如何运用正切函数解决实际问题

-学生分组讨论，提出解决实际问题的方法。

-教师点评学生的方法，总结解题技巧。

五、总结回顾（5分钟）

内容：

1.回顾本节课所学内容，强调两角和与差的正切函数公式、性质及应用。

2.针对本节课的重点难点，举例说明如何解决实际问题。

3.布置课后作业，巩固所学知识。

教学流程用时：45分钟学生学习效果学生学习效果主要体现在以下几个方面：

1.理解并掌握两角和与差的正切函数公式

-学生能够独立推导出两角和与差的正切函数公式，并理解其推导过程中的逻辑关系。

-学生能够运用公式进行简单的计算，解决实际问题。

2.理解正切函数的周期性、奇偶性等性质

-学生能够识别正切函数图像的特征，如周期性、奇偶性等。

-学生能够运用这些性质分析函数图像，预测函数值的变化。

3.提高数学抽象和逻辑推理能力

-通过学习两角和与差的正切函数，学生能够从具体问题中抽象出数学模型，提高数学抽象能力。

-学生在推导公式和解决实际问题的过程中，逻辑推理能力得到锻炼。

4.增强数学建模和运算求解能力

-学生能够将实际问题转化为数学模型，运用所学知识进行建模。

-学生在计算正切函数值的过程中，运算求解能力得到提升。

5.提高团队合作和交流能力

-在小组讨论和实践活动环节，学生需要与同伴合作，共同解决问题。

-学生通过交流分享，提高了团队协作和沟通能力。

6.培养解决实际问题的能力

-学生能够运用所学知识解决实际问题，如计算建筑物顶部角度、分析工程问题等。

-学生在实际操作中，学会了如何将数学知识应用于现实生活。

7.增强数学学习的兴趣和自信心

-通过本节课的学习，学生对三角函数有了更深入的理解，增强了数学学习的兴趣。

-学生在解决实际问题的过程中，获得了成就感，增强了自信心。

8.培养学生的批判性思维和创新意识

-学生在分析正切函数性质和应用时，需要提出自己的观点和解决方案。

-学生在讨论和实践中，培养了批判性思维和创新意识。教学反思与总结今天这节课，我主要带领同学们学习了两角和与差的正切函数。整体来看，我觉得这节课还是挺成功的，但也存在一些需要改进的地方。

首先，我觉得在导入新课的时候，我通过生活中的实例引入，激发了学生的学习兴趣。但是，我发现有些学生对于这些实例的理解还不够深入，可能在接下来的学习中，我会尝试用更加贴近学生生活经验的例子来导入，帮助他们更好地理解抽象的数学概念。

在讲授新课的过程中，我注重了学生的参与度，通过小组合作和讨论，学生们能够更加积极地参与到课堂中来。我发现，当学生们在小组中互相讨论、共同解决问题时，他们的学习效果明显比个人学习要好。不过，我也注意到，有些学生在讨论时比较被动，不太愿意发表自己的看法。因此，我会在今后的教学中，更加注重培养学生的表达能力和团队合作精神。

实践活动环节，我安排了绘制正切函数图像、分析图像性质以及比较不同角度的正切函数等任务。这些活动不仅让学生们巩固了所学知识，还提高了他们的动手操作能力。不过，我也发现，有些学生在操作过程中遇到困难时，缺乏独立思考的能力，容易依赖同伴。在接下来的教学中，我会鼓励学生们多思考、多尝试，培养他们的独立解决问题的能力。

当然，这节课也存在一些不足。比如，在讲解正切函数的性质时，我发现有些学生还是不太理解，可能在讲解过程中，我需要更加细致地讲解，并结合实例进行分析。另外，课堂管理方面，我还需要更加注意，确保每位学生都能参与到课堂活动中来。教学评价与反馈1.课堂表现：同学们在课堂上表现积极，对于两角和与差的正切函数的学习热情较高。大部分学生能够跟随老师的节奏，认真听讲，并在课堂上积极回答问题。但是，也有少数学生在课堂上显得有些拘谨，不太敢主动发言。

2.小组讨论成果展示：在小组讨论环节，学生们能够较好地合作，共同完成讨论任务。他们的讨论成果展示显示出对两角和与差的正切函数的理解和应用能力有所提高。不过，部分小组在讨论过程中对问题的深入挖掘和拓展不够，需要进一步加强。

3.随堂测试：通过随堂测试，我发现学生对两角和与差的正切函数的基本概念和公式掌握得较好，但在应用这些知识解决实际问题时，部分学生存在困难。这表明在今后的教学中，需要加强对学生应用能力的培养。

4.学生自评与互评：在课程结束后，我让学生们进行自评和互评，大多数学生能够客观地评价自己在课堂上的表现，并提出改进意见。互评环节中，学生们能够提出建设性的反馈，有助于彼此提高。

5.教师评价与反馈：针对学生在课堂上的表现，我将给予以下评价与反馈：

-对积极参与课堂讨论、勇于表达自己的学生给予肯定和表扬。

-对在随堂测试中表现出色的学生给予鼓励，并指出他们的优点。

-对在应用知识解决问题时遇到困难的学生，提供个别辅导，帮助他们克服困难。

-对课堂表现不够积极的学生，进行个别谈话，了解原因，并给予适当的指导。

-针对小组讨论成果展示中存在的问题，提出改进建议，如加强问题分析和拓展能力的培养。板书设计①两角和与差的正切函数公式

-公式：tan(α±β)=(tanα±tanβ)/(1∓tanαtanβ)

-条件：tanα≠0，tanβ≠0

②正切函数的性质

-周期性：正切函数的周期为π

-奇偶性：正切函数是奇函数

-有界性：正切函数在(-π/2,π/2)内无界

③应用举例

-计算特定角度的正切值

-解决实际问题，如建筑物顶部角度的计算

-分析正切函数图像的特征课后作业:1.作业内容：利用两角和与差的正切函数公式，计算tan(30°-45°)的值。

答案：tan(30°-45°)=(tan30°-tan45°)/(1+tan30°tan45°)=(√3/3-1)/(1+√3/3*1)=(√3-3)/(3+√3)=(√3-3)/(√3+3)

2.作业内容：已知tanα=2，tanβ=3，求tan(α+β)的值。

答案：tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)=(2+3)/(1-2*3)=5/(-5)=-1

3.作业内容：已知tan(α-β)=1/2，tanα=1，求tanβ的值。

答案：tanβ=(tanα-tan(α-β))/(1+tanαtan(α-β))=(1-1/2)/(1+1*1/2)=1/2/(3/2)=1/3

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