高中数学 第一章 三角函数 1.4.3 正切函数的性质与图象（5）教学教案 新人教A版必修4

高中数学第一章三角函数1.4.3正切函数的性质与图象（5）教学教案新人教A版必修4学科政治年级册别八年级上册共1课时教材部编版授课类型新授课第1课时设计思路本节课以“高中数学第一章三角函数1.4.3正切函数的性质与图象（5）”为主题，结合新人教A版必修4教材，旨在帮助学生深入理解正切函数的性质，掌握正切函数图象的特点。通过实例分析和课堂互动，引导学生从理论到实践，逐步建立数学思维，提高解题能力。核心素养目标培养学生数学抽象能力，通过探究正切函数性质，理解函数思想；提升逻辑推理能力，通过正切函数图象的绘制，学会运用推理方法；强化数学建模意识，将实际问题转化为正切函数模型，提高解决实际问题的能力。学习者分析1.学生已经掌握了相关知识：学生在学习本节课之前，已经掌握了三角函数的基本概念，包括正弦、余弦函数的性质和图象，以及三角函数的周期性。此外，学生还具备了解函数图象变换和函数图象与坐标轴交点的基本方法。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：学生对数学学科有较高的兴趣，尤其是在解决实际问题方面。学生的数学能力差异较大，部分学生能够快速掌握新知识，而部分学生可能需要更多的时间和指导。学习风格上，学生表现出不同的偏好，有的学生更倾向于直观学习，通过图形和实例理解；有的学生则偏好逻辑推理，通过公式和定理进行学习。

3.学生可能遇到的困难和挑战：学生在学习正切函数时，可能对正切函数的定义和性质理解不够深入，导致在绘制图象和分析性质时遇到困难。此外，函数图象的变换规则可能让学生感到复杂，尤其是在处理复合函数时。此外，学生可能在将实际问题转化为数学模型时遇到障碍，需要教师提供适当的指导和帮助。教学资源准备1.教材：确保每位学生拥有新人教A版必修4《数学》教材，以便于课堂阅读和课后复习。

2.辅助材料：准备正切函数图象、周期性变化示意图、函数变换相关视频等多媒体资料，以辅助学生理解。

3.教室布置：设置分组讨论区，便于学生进行合作学习；实验操作台用于绘制函数图象和进行简单实验。教学过程一、导入新课

（1）教师：同学们，我们已经学习了正弦函数和余弦函数的性质与图象，今天我们来探究正切函数的性质与图象。首先，请回顾一下正弦函数和余弦函数的性质，它们有什么共同点和不同点呢？

（2）学生：正弦函数和余弦函数都是周期函数，且周期为$2\pi$。它们都是奇函数，且在$[0,\pi]$区间内，正弦函数单调递增，余弦函数单调递减。

二、探究正切函数的性质

（1）教师：正切函数的定义是正弦函数除以余弦函数，即$\tanx=\frac{\sinx}{\cosx}$。同学们，正切函数的性质有哪些呢？

（2）学生：正切函数是奇函数，周期为$\pi$，且在第一和第三象限内单调递增，在第二和第四象限内单调递减。

（3）教师：很好，正切函数的性质与正弦函数和余弦函数有什么联系呢？请同学们结合图象进行观察和分析。

（4）学生：正切函数的图象与正弦函数和余弦函数的图象相似，但正切函数的图象在$x=k\pi+\frac{\pi}{2}$（$k$为整数）处有间断点。

（5）教师：接下来，我们来探究正切函数的图象变换。请同学们回忆一下函数图象变换的规律，如何进行平移、伸缩和对称变换？

（6）学生：函数图象的平移、伸缩和对称变换可以通过改变函数的参数来实现。例如，$y=\tan(x-a)$表示将函数图象向右平移$a$个单位，$y=a\tanx$表示将函数图象沿$y$轴伸缩$a$倍，$y=\tan(-x)$表示将函数图象关于$y$轴对称。

（7）教师：很好，请同学们尝试对正切函数进行平移、伸缩和对称变换，并观察变换后的图象特点。

（8）学生：通过变换，我们发现正切函数的图象在$x=k\pi$（$k$为整数）处有间断点，且在$y$轴两侧对称。

三、正切函数的应用

（1）教师：正切函数在现实生活中有哪些应用呢？请同学们举例说明。

（2）学生：正切函数可以用来描述物体的运动，如汽车行驶过程中速度与时间的关系；还可以用来描述物体在倾斜面上的运动，如物体沿斜面下滑的速度与斜面角度的关系。

（3）教师：请同学们结合实际情境，尝试用正切函数建立数学模型，并求解相关问题。

（4）学生：例如，已知物体沿斜面下滑，斜面角度为$\alpha$，物体质量为$m$，斜面长度为$l$，求物体下滑过程中速度$v$与时间$t$的关系。

（5）教师：很好，请同学们写出正切函数的数学模型，并求解速度$v$与时间$t$的关系。

（6）学生：设物体下滑过程中速度为$v$，则$\tan\alpha=\frac{v}{gt}$，解得$v=g\tan\alphat$。

四、课堂小结

（1）教师：今天我们学习了正切函数的性质与图象，掌握了正切函数的周期性、奇偶性和单调性。同时，我们还学习了正切函数的图象变换和应用。请同学们总结一下，正切函数在数学和实际生活中的重要性。

（2）学生：正切函数在数学中具有丰富的性质和图象特点，可以帮助我们解决实际问题。在现实生活中，正切函数可以描述物体的运动，如汽车行驶、物体沿斜面下滑等。

五、课后作业

（1）请同学们完成课后练习题，巩固所学知识。

（2）尝试用正切函数解决实际问题，如汽车行驶、物体沿斜面下滑等。

（3）预习下一节课的内容，为下一节课做好准备。学生学习效果学生学习效果主要体现在以下几个方面：

1.知识掌握：通过本节课的学习，学生能够熟练掌握正切函数的定义、性质、图象以及图象变换等基本概念。学生能够区分正切函数与正弦、余弦函数的区别和联系，理解正切函数的周期性、奇偶性和单调性，为后续学习三角函数的复合函数和三角恒等变换打下坚实的基础。

2.能力提升：学生在本节课的学习过程中，通过观察、分析、比较和归纳等方法，提高了逻辑推理能力和数学抽象能力。学生能够运用正切函数解决实际问题，如物体沿斜面下滑、汽车行驶等，将数学知识应用于实际生活。

3.思维发展：学生在探究正切函数性质和图象变换的过程中，培养了数学思维。学生学会了从多个角度分析问题，善于发现规律，提高了解决问题的能力。

4.学习兴趣：本节课通过实例分析和课堂互动，激发了学生的学习兴趣。学生在探究正切函数性质和图象变换的过程中，感受到了数学的趣味性和实用性，增强了学习的动力。

5.合作能力：本节课设置了分组讨论环节，学生在小组合作中共同解决问题，提高了团队协作能力。学生在交流讨论中，学会了倾听、表达和沟通，为今后的学习和工作打下了良好的基础。

6.评价与反思：学生在学习过程中，能够对自己的学习情况进行评价和反思。通过自我评价，学生能够认识到自己的不足，及时调整学习方法，提高学习效果。

7.应用能力：学生在本节课的学习中，学会了将正切函数应用于实际问题。例如，在解决物体沿斜面下滑、汽车行驶等问题时，学生能够运用正切函数建立数学模型，提高了解决实际问题的能力。

8.情感态度：学生在学习过程中，培养了严谨、求实的科学态度。学生在面对问题时，能够积极探索、勇于尝试，培养了良好的学习习惯。课堂小结，当堂检测课堂小结：

在本节课中，我们共同探究了正切函数的性质与图象。通过学习，同学们掌握了以下关键点：

1.正切函数的定义：正切函数是正弦函数与余弦函数的比值，即$\tanx=\frac{\sinx}{\cosx}$。

2.正切函数的性质：正切函数是奇函数，周期为$\pi$，在第一和第三象限内单调递增，在第二和第四象限内单调递减。

3.正切函数的图象：正切函数的图象在$x=k\pi+\frac{\pi}{2}$（$k$为整数）处有间断点，且在$y$轴两侧对称。

4.正切函数的图象变换：正切函数的图象可以通过平移、伸缩和对称变换得到，变换规律与正弦函数和余弦函数类似。

当堂检测：

为了检验学生对本节课内容的掌握情况，以下是一些检测题目：

1.简述正切函数的定义和性质。

2.画出正切函数的图象，并标注出其周期和间断点。

3.将函数$f(x)=2\tan(x-\frac{\pi}{4})$的图象与基本正切函数的图象进行比较，说明它们之间的变换关系。

4.已知函数$g(x)=\tan(2x+\frac{\pi}{3})$，求函数$g(x)$的周期和单调区间。

请同学们认真思考并完成上述题目，这将有助于巩固今天所学知识。在接下来的时间里，我将巡视课堂，解答同学们的疑问。内容逻辑关系①正切函数的定义与性质

-定义：$\tanx=\frac{\sinx}{\cosx}$

-性质：奇函数，周期为$\pi$，在第一、三象限内单调递增，在第二、四象限内单调递减。

②正切函数的图象

-图象特点：间断点在$x=k\pi+\frac{\pi}{2}$（$k$为整数），$y$轴两侧对称。

③正切函数的图象变换

-变换类型：平移、伸缩、对称。

-变换规律：$y=\tan(x-a)$，$y=a\tanx$，$y=\tan(-x)$。重点题型整理1.题型一：正切函数的基本性质应用

-题目：已知函数$f(x)=\tanx$，求函数在区间$(0,\pi)$上的最大值和最小值。

-解答：在区间$(0,\pi)$上，$\tanx$是单调递增的，因此最大值出现在$x=\pi$时，$f(\pi)=\tan\pi=0$；最小值出现在$x=\frac{\pi}{2}$时，$f(\frac{\pi}{2})$未定义，但趋向于负无穷。所以，该区间内没有最小值。

2.题型二：正切函数的周期性质应用

-题目：若$\tanx=3$，求$x$的取值范围。

-解答：由于正切函数的周期为$\pi$，所以$x$的取值范围为$x=k\pi+\arctan(3)$，其中$k$为任意整数。

3.题型三：正切函数的图象变换应用

-题目：若函数$g(x)=\tan(x-\frac{\pi}{6})$，求函数$g(x)$的图象变换。

-解答：函数$g(x)$是将基本正切函数$\tanx$向右平移$\frac{\pi}{6}$个单位。

4.题型四：正切函数在实际问题中的应用

-题目：一物体从斜面上滑下，斜面角度为$\frac{\pi}{4}$，求物体下滑过程中速度$v$与时间$t$的关系。

-解答：设物体下滑过程中速度为$v$，则$\tan\frac{\pi}{4}=\frac{v}{gt}$，解得$v=gt$。

5.题型五：正切函数与正弦、余弦函数的关系

-题目：若$\sinx=\frac{1}{2}$，$\cosx=\frac{\sqrt{3}}{2}$，求$\tanx$的值。

-解答：由于$\tanx=\frac{\sinx}{\cosx}$，代入已知值得到$\tanx=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。教学反思与总结这节课，我觉得整体上还算顺利。首先，我觉得我在教学方法上做得不错，通过实例分析和课堂互动，学生们对正切函数的性质和图象有了更深入的理解。比如，在讲解正切函数的周期性时，我用了生活中的例子，比如钟表的秒针，让学生们更容易理解周期性的概念。

不过，我也发现了一些问题。比如，在讲解正切函数的图象变换时，有些学生还是显得有些吃力，这可能是因为他们对函数图象变换的理解还不够深入。接下来，我打算通过更多的练习和实际例子来加强这部分的教学。

在管理方面，我注意到课堂上的讨论环节，有些学生比较内向