2026年精算师考试《概率论与数理统计》模拟试卷

2026年精算师考试《概率论与数理统计》模拟试卷考试时间：120分钟 总分：150分 年级/班级：精算师资格考试第一年

2026年精算师考试《概率论与数理统计》模拟试卷

一、选择题

1.设随机变量X的分布律为P(X=k)=c/(k+1)，k=1,2,3,4，则常数c的值为

A.1

B.2

C.3

D.4

2.若随机变量X和Y相互独立，且X服从参数为2的泊松分布，Y服从参数为3的泊松分布，则P(X+Y=5)的值为

A.8e^-5/3

B.10e^-5/6

C.15e^-5/2

D.20e^-5/3

3.设随机变量X的密度函数为f(x)=2x，0<x<1，则X的分布函数F(x)为

A.x^2，0<x<1

B.2x-1，0<x<1

C.x^2，x≥0

D.2x-1，x≥0

4.设随机变量X和Y的协方差为2，X的方差为4，Y的方差为9，则X和Y的相关系数为

A.1/3

B.2/3

C.1/2

D.3/4

5.设总体X服从正态分布N(μ,σ^2)，从中抽取样本X1,X2,...,Xn，则μ的无偏估计量为

A.X1

B.X2

C.(X1+X2)/2

D.X̄=(X1+X2+...+Xn)/n

6.设总体X的密度函数为f(x;θ)=θx^(θ-1)，0<x<1，θ>0，则θ的矩估计量为

A.1/n∑X_i

B.(n+1)/n∑X_i

C.1/∑X_i

D.∑X_i^(2)

7.设总体X服从二项分布B(n,p)，其中0<p<1，则p的最大似然估计量为

A.∑X_i/n

B.(n+1)/n∑X_i

C.1/∑X_i

D.∑X_i^(2)/n

8.设总体X的密度函数为f(x;θ)=1/θ，0<x<θ，θ>0，则θ的矩估计量为

A.max(X1,...,Xn)

B.min(X1,...,Xn)

C.1/max(X1,...,Xn)

D.1/min(X1,...,Xn)

9.设总体X服从指数分布，密度函数为f(x;λ)=λe^(-λx)，x≥0，λ>0，则λ的矩估计量为

A.1/∑X_i

B.1/∑X_i^2

C.∑X_i/n

D.n/∑X_i

10.设总体X服从正态分布N(μ,σ^2)，从中抽取样本X1,X2,...,Xn，则σ^2的无偏估计量为

A.(n-1)S^2

B.nS^2

C.(n+1)S^2

D.S^2

二、填空题

1.设随机变量X和Y相互独立，且X服从均匀分布U(0,1)，Y服从指数分布Exp(2)，则P(X<Y)的值为________。

2.设随机变量X的密度函数为f(x)=3x^2，0<x<1，则X的期望E(X)的值为________。

3.设随机变量X和Y的协方差为3，X的方差为9，Y的方差为4，则X和Y的相关系数ρ_xy的值为________。

4.设总体X服从正态分布N(5,16)，从中抽取样本X1,X2,...,Xn，若样本均值的置信度为95%的置信区间为(4.8,5.2)，则样本量n的值为________。

5.设总体X的密度函数为f(x;θ)=θx^(θ-1)，0<x<1，θ>0，从中抽取样本X1,X2,...,Xn，则θ的矩估计量的方差为________。

6.设总体X服从泊松分布Poisson(λ)，从中抽取样本X1,X2,...,Xn，则λ的最大似然估计量为________。

7.设总体X的密度函数为f(x;θ)=1/θe^(-x/θ)，x≥0，θ>0，从中抽取样本X1,X2,...,Xn，则θ的矩估计量的期望值为________。

8.设总体X服从二项分布B(10,0.3)，从中抽取样本X1,X2,...,Xn，若样本均值的方差为0.36，则样本量n的值为________。

9.设总体X的密度函数为f(x;θ)=2θ，0<x<θ，θ>0，从中抽取样本X1,X2,...,Xn，则θ的矩估计量的方差为________。

10.设总体X服从指数分布Exp(λ)，从中抽取样本X1,X2,...,Xn，若样本方差的置信度为95%的置信区间为(0.1,0.2)，则样本量n的值为________。

三、多选题

1.下列关于随机变量的说法，正确的是

A.随机变量是定义在样本空间上的实值函数

B.随机变量一定是有概率密度的

C.随机变量的期望一定存在

D.随机变量的方差一定存在

2.下列关于随机变量的独立性的说法，正确的是

A.若X和Y相互独立，则P(X|Y)=P(X)

B.若X和Y相互独立，则E(XY)=E(X)E(Y)

C.若X和Y相互独立，则Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)

D.若X和Y相互独立，则P(X∩Y)=P(X)P(Y)

3.下列关于参数估计的说法，正确的是

A.矩估计量一定是无偏估计量

B.最大似然估计量一定是最小方差无偏估计量

C.矩估计量一定是一致估计量

D.最大似然估计量一定是一致估计量

4.下列关于假设检验的说法，正确的是

A.假设检验的结论是在概率意义下成立的

B.假设检验的结论可能是错误的

C.假设检验的结论可能是正确的

D.假设检验的结论是不确定的

5.下列关于置信区间的说法，正确的是

A.置信区间的宽度与置信水平有关

B.置信区间的宽度与样本量有关

C.置信区间的宽度与总体方差有关

D.置信区间的宽度与估计量的方差有关

四、判断题

11.设随机变量X和Y的联合分布律为P(X=k,Y=l)=p_kl，k,l=1,2,...，则p_kl的和为1。

12.设随机变量X和Y相互独立，且X服从正态分布N(μ,σ^2)，Y服从均匀分布U(0,1)，则X+Y一定服从正态分布。

13.设总体X的密度函数为f(x;θ)，其中θ未知，若存在一个统计量T(X1,...,Xn)满足E(T(X1,...,Xn))=θ，则T是θ的无偏估计量。

14.设总体X服从正态分布N(μ,σ^2)，其中μ未知，σ^2已知，则μ的置信区间为(μ̄-z_(α/2)σ/√n,μ̄+z_(α/2)σ/√n)。

15.设总体X的密度函数为f(x;θ)=θx^(θ-1)，0<x<1，θ>0，从中抽取样本X1,X2,...,Xn，则θ的最大似然估计量为最大顺序统计量X_(n)。

16.设总体X服从泊松分布Poisson(λ)，其中λ未知，则λ的最大似然估计量为样本均值X̄。

17.设总体X的密度函数为f(x;θ)=1/θe^(-x/θ)，x≥0，θ>0，从中抽取样本X1,X2,...,Xn，则θ的矩估计量为样本均值的倒数。

18.设总体X服从二项分布B(n,p)，其中0<p<1，n已知，p未知，则p的最大似然估计量为样本中位数。

19.设总体X的密度函数为f(x;θ)=2θ，0<x<θ，θ>0，从中抽取样本X1,X2,...,Xn，则θ的矩估计量为样本最大值的1/2。

20.设总体X服从指数分布Exp(λ)，其中λ未知，则λ的置信区间为(χ^2_(1-α/2)^2(n-1)/∑(X_i^2),χ^2_(α/2)^2(n-1)/∑(X_i^2))。

五、问答题

21.设随机变量X和Y相互独立，且X服从均匀分布U(0,1)，Y服从指数分布Exp(1)，求Z=X+Y的密度函数。

22.设总体X的密度函数为f(x;θ)=θx^(θ-1)，0<x<1，θ>0，从中抽取样本X1,X2,...,Xn，求θ的最大似然估计量，并说明其无偏性。

23.设总体X服从正态分布N(μ,σ^2)，其中μ未知，σ^2未知，从中抽取样本X1,X2,...,Xn，求μ和σ^2的置信区间。

试卷答案

一、选择题

1.A

解析：由分布律的性质，∑P(X=k)=1，即c/(1+1)+c/(2+1)+c/(3+1)+c/(4+1)=1，解得c=1。

2.B

解析：由泊松分布的可加性，X+Y服从参数为2+3=5的泊松分布，故P(X+Y=5)=5^5e^-5/5!=10e^-5/6。

3.A

解析：F(x)=∫_0^x2tdt=t^2|_0^x=x^2，0<x<1。对于x<0，F(x)=0；对于x≥1，F(x)=1。故F(x)=x^2，0<x<1。

4.A

解析：ρ_xy=COV(X,Y)/[sqrt(Var(X))sqrt(Var(Y))]=2/(sqrt(4)sqrt(9))=2/6=1/3。

5.D

解析：由样本均值的性质，E(X̄)=μ，故X̄是μ的无偏估计量。

6.B

解析：E(X)=∫_0^1θx^(θ)dx=θ/(θ+1)，令E(X)=1/n∑X_i，解得θ=(n+1)/n。

7.A

解析：似然函数L(p)=p^Σ^(n)_iX_i(1-p)^(n-Σ^(n)_iX_i)，取对数并求导，解得p̂=Σ^(n)_iX_i/n。

8.A

解析：似然函数L(θ)=θ^(-n)，θ≥max(X1,...,Xn)，取对数求导，解得θ̂=max(X1,...,Xn)。

9.A

解析：E(X)=1/λ，令E(X)=1/∑X_i/n，解得λ̂=1/∑X_i。

10.A

解析：E(σ^2)=(n-1)S^2/σ^2，故σ^2的估计量为S^2=(n-1)S^2/(n-1)=S^2。

二、填空题

1.1/4

解析：P(X<Y)=∫_0^∞∫_y^12t·2e^(-2x)dxdt=∫_0^∞2t(1-e^(-2y))dy=∫_0^∞2tdt-∫_0^∞2te^(-2y)dy=1/2-1/4=1/4。

2.1/2

解析：E(X)=∫_0^13x^3dx=3/4。

3.3/6=1/2

解析：ρ_xy=COV(X,Y)/[sqrt(Var(X))sqrt(Var(Y))]=3/(sqrt(9)sqrt(4))=3/12=1/4。

4.36

解析：由置信区间的公式，(4.8,5.2)=(μ-1.96σ/√n,μ+1.96σ/√n)，即±1.96σ/√n=0.4，解得n=(1.96σ/0.4)^2=36。

5.n/(n+2)θ^2

解析：θ̂=(n+1)/n，Var(θ̂)=Var((n+1)/n)=(1/n^2)Var(n+1)=0，故Var(θ̂)=Var((n+1)/n)=n/(n+2)θ^2。

6.X̄

解析：似然函数L(λ)=λ^(-n)exp(-Σ^(n)_iX_i/λ)，取对数求导，解得λ̂=1/X̄。

7.θ^2

解析：E(θ̂^2)=E((1/∑X_i)^2)=1/(nE(∑X_i)^2)=1/(n(θ^2)^2)=θ^2。

8.25

解析：由样本均值的方差公式，Var(X̄)=np(1-p)/n=0.36，解得n=25。

9.θ^2/(4n)

解析：θ̂=(2n)/Σ^(n)_iX_i=2/∑X_i，Var(θ̂)=Var(2/∑X_i)=4Var(1/∑X_i)=4/(n(θ^2)^2)=θ^2/(4n)。

10.38

解析：由置信区间的公式，(0.1,0.2)=(λ̄-χ^2_(1-α/2)^2(n-1)/∑(X_i^2),λ̄+χ^2_(α/2)^2(n-1)/∑(X_i^2))，即±(χ^2_(α/2)^2(n-1)/∑(X_i^2)-χ^2_(1-α/2)^2(n-1)/∑(X_i^2))=0.1，解得n=38。

三、多选题

1.AD

解析：随机变量是定义在样本空间上的实值函数，随机变量的方差一定存在，故A、D正确。

2.ABCD

解析：相互独立的随机变量满足P(X|Y)=P(X)，E(XY)=E(X)E(Y)，Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)，P(X∩Y)=P(X)P(Y)，故A、B、C、D均正确。

3.CD

解析：矩估计量不一定是无偏估计量，最大似然估计量不一定是最小方差无偏估计量，但矩估计量一定是一致估计量，最大似然估计量一定是一致估计量，故C、D正确。

4.ABC

解析：假设检验的结论是在概率意义下成立的，可能错误也可能正确，故A、B、C正确。

5.ABCD

解析：置信区间的宽度与置信水平、样本量、总体方差、估计量的方差有关，故A、B、C、D均正确。

四、判断题

11.正确

解析：由联合分布律的性质，∑_k∑_lP(X=k,Y=l)=1，故正确。

12.错误

解析：X和Y的线性组合不一定服从正态分布，故错误。

13.正确

解析：由无偏估计的定义，E(T(X1,...,Xn))=θ，故正确。

14.正确

解析：由正态分布的置信区间公式，μ的置信区间为(μ̄-z_(α/2)σ/√n,μ̄+z_(α/2)σ/√n)，故正确。

15.正确

解析：由最大似然估计的性质，θ的最大似然估计量为最大顺序统计量X_(n)，故正确。

16.正确

解析：由最大似然估计的性质，λ的最大似然估计量为样本均值X̄，故正确。

17.错误

解析：θ的矩估计量为E(X)=1/λ，故θ̂=1/E(X)=1/μ̄，故错误。

18.错误

解析：p的最大似然估计量为样本频率，即X̄/n，故错误。

19.正确

解析：θ的矩估计量为2E(X)=2θ/(θ+1)，令E(X)=1/n∑X_i，解得θ̂=2n/(n+2)，故θ̂=1/2max(X1,...,Xn)，故正确。

20.正确

解析：由指数分布的置信区间公式，λ的置信区间为(χ^2_(1-α/2)^2(n-1)/∑(X_i^2),χ^2_(α/2)^2(n-1)/∑(X_i^2))，故正确。

五、问答题

21.设随机变量X和Y相互独立，且X服从均匀分布U(0,1)，Y服从指