全等三角形作平行线法与作垂线法-初中数学模型与解题方法专练（原卷版）

20全等三角形作平行线法与作垂线法

一、单选题

1.如图，△月/K是边长为2的等边三角形，点尸在月〃上，过点P作分垂足为必延长a'到点Q，

使浙弘连接收交力C于点〃，则理的长为（）

A.0.5B.0.9C.1D.1.25

2.如图，△力应’是边长为4的等边三角形，点〃在/仍上，过点尸作从'_L〃；垂足为£,延长应'至点Q,

使CQ=PA,连接图交"于点D,则龙的长为（）

A.1B.1.8C.2D.2.5

3.如图.AIi=AD,AC=AE,/R4O=/C4E=90.AHLBC干从胡的延长线交庞于G,下列结论：①〃G

=EG；②86-24G；③/1J6匕/IG；(4)^AA»C=»其中正确的结论为()

A.@@@B.①②④C.②③④D.④

二、填空题

4.如图，中，AC=BC,ZACB=90°,^(0,3),C(I,0),则点/，的坐标为

I

5.如图，在RlAABC中,N〃Q90°,力仁优'=4,点£'在月C上，且丝=1,连接应；N8即=90°，且

BE=FE,连接CF,则6F的长为

6.如图，四边形力比〃中，力。与/切相交于点。，旦力。_1_做，AC=BAC'。，点、P是40。)角平分线的交点、,

点"是/区的中点，给出下列结论：①N。少=135°：②BA=BP；③△Ef金△"%：④SU\BP=SADCP；@PM

=其中正确的是.(填序号)

三、解答题

7.尸为等边△/交的边仍上一点，0为比延长线上一点，且为=%,连做交〃'边于〃.

(1)证明：PD=DQ.

(2)如图2,过户作用_1/于£,若"=6,求应'的长.

2

8.已知在等腰△力打。中，A斤AG在射线C4上截取线段0'，在射线4,上截取线段〃〃，连接庞；勿「所在直

线交直线8。与点瓶请探究：

(1)如图(1),当点£在线段力C上，点〃在18延长线上时，若止函请判断线段和线段，监'的数量关

系，并证明你的结论.

(2)如图(2),当点6在。的延长线上，点〃在/IB的延长线上时，若BFCE,则(1)中的结论还成立吗？

如果成立，请证明；如果不成立，说明理由：

⑶如图(3),当点少在。的延长线上，点〃在线段力〃上(点〃不与人从重合)，〃〃所在直线与直线比

交于点M,若CE=2BD,请直接写出线段必与线段地的数量关系.

3

9.读下面的题目及分析过程,并按要求进行证明.已知：如图,E是阮的中点，点A在DB上，且

NEAE=NCDE,求证:ABXD

分析:证明两条线段相等,常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证

明的两条线段,它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等.因此,要证明AB=CD,必须

添加适当的辅助线,构造全等三角形或等腰三角形.现给出如下三种添加辅助线的方法,请任意选择其中两

种对原题进行证明.

图⑴：延长DE到F使得EF=DE

图⑵:作CG1DE于G,BF±DE于F交DE的延长线于F

图⑶：过C点作CF〃AB交DE的延长线于F.

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10.如图所示：“8C是等边三角形，。、E分别是A3及AC延长线上的一点，且8O=CE,连接OE交

于点M.

求让：MD=ME

11.如图，阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明.

已知：如图，E是回的中点，点4在座上，且/BAF/CDE.求证：AB-CD.

分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要

证4后必，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形请用二种不同的方法证明.

5

12.如图，已知AD为△ABC的中线，点E为AC上一点，连接BE交AD于点F,且AE=FE.

求证：BF=AC.

13.如图，0C平分乙MON,力、8分别为〃从QV上的点，1.BO>AO,AC=BC,求证：/OAC+/OBC=180°.

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14.如图，。是CB延长线上一点，且AO=AC,E是A8上一点，。石=AC,求证：/BAC=4BED.

15.如图，在AA8C中，Z4CB=90°,ZABD=ZCBE=90°,BA=BD,BC=BE,延长C8交OE于尸.

求证：EF=DF.

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16.阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明.

已知：如图，点6是欧的中点，点力在施上，且/胡£=/0定.

求证：AB=CD.

分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明

的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证/18=切，必

须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形.

(1)现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明.

①如图1,延长施到点F,使EF=DE,连接BF；

②如图2,分别过点反C悍BFIDE,CGIDE,垂足分别为点EG.

(2)请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明.

/图1图2图3

/

17.如图，在四边形儿如9中，BC=CD,4BCAa。,/力册N4Z心=180。，*、勿交于点氏将△如绕

点C顺时针旋转。°得到冰

(1)求证：ZCAB=ZCAD；

(2)若N力必=90°,力8=3,劭=4,△龙芯的面积为S“后的面积为求S：8的值.

8

18.如图1,已知四边形力比〃连接其中月〃_1_〃；BCLACAC=BC,延长勿到点区使得力少=/!〃,

点广为/山上一点，连接医FD,8?交/C于点G.

(1)求证：△胡国△为氏

(2)如图2,连接若EF=FC,求/〃。,的度数.

DD

[

图1B图2B

9

19.己知N/!折90°,Jr是过点力的直线，AC=DC,且如_LJ介于点反如图易证皮叶力6=&⑦，过程如

下:

解：过点C作出L⑦于点C,与附交于点£

.:/ACB+4BCD=9。。,NIS+N力四=90°,

:./BCI)=4ACE.

VRB1MN,・•・//仍C+N物=90°,

CEICB,・・・N/18C+N㈤=90°,

：./_CHD=Z.CEA.

又TAC=DC,

:.'AC的ADCB(44S),

：.AE=DB,CE=CB,

・•・△/〃为等腰直角三角形，

：.BE=y[lCB.

又,：BE-AE+AB,:.BE-BD+AB,

:.B叶AB=&CB.

(1)当绕4旋转到如图(2)位置时，BD、AB、。满足什么样关系式，请写出你的猜想，并给予证明.

(2)当就V绕月旋转到如图(3)位置时，BD、孙而满足什么样关系式，请直接写出你的结论.

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20.如图，正方形ABC。中，点P在边AO上，延长CP至E,连结OE,使OE=OC,DN平分NADE,

交CE于点N,连接4石、AN、BN.

(1)依题意补全图形；

(2)判断“WE的形状，并证明；

(3)用等式表示线段AN、BN、CV三者之间的数量关系，并证明.

21.如图，点夕为等边△力旗的边力方上一点，0为比'延长线上一点，A六CQ,PQ交AC于D,

(1)求证：D用DQ；

⑵过夕作皿市?于公若比三4,求应'的长.

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22.如图，。中，点〃，月在边加上，点尸在边比上，且EF=EC,/CEF=/A,连接力•:

(1)在图1中找出与N/1四相等的角，并证明:

(2)求证：£BDF=^EFCx

(3)如图2,延长被。交于点G,连接比,若EG=AG,DE=kAE,求=的值(用含〃的代数式表示).

DF

（图2）

23.已知：ZXABC中，CA=CB,ZACB=90°,D为aABC外一点，且满足NADB=90°

(1)如图所示，求证：DA+DB=V2DC

⑵如图所示，猜想DA.DB.DC之间有何数量关系？并证明你的结论.

(3)如图所示,过C作CH±BD于H,BD=6,AD=3,则CH=.

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24.如图，已知NA（）B=60°,在NAOB的平分线0M上有一点&将一个120°角的顶点与点C重合，它的

两条边分别与直线0A、0B相交于点D、E.

（1）当NDCE绕点C旋转到CD与0A垂直时（如图1）,请猜想OE+OD与0C的数量关系，并说明理由；

（2）当NDCE绕点C旋转到CD与0A不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；

（3）当/DCE绕点C旋转到CI）与0A的反向延长线相交时，上述结论是否成立？请在图3中画出图形，若

成立，请给于证明；若不成立，线段0D、0E与0C之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.

25.定义：三角形一个内角的平分线所在的直线与另一个内角相邻的外角的平分线相交所成的锐角称为该

三角形第三个内角的遥望角.

图1图2

(1)如图1所示，NE是“5C中/A的遥望角，直接写出NE与NA的数量关系；

(2)如图1所示，连接AE,猜想/84E与NCAE的数量关系，并说明理由；

⑶如图2,四边形A8CO中，ZA6C=NAZ)C=90。，点£在8。的延长线上，连CE,若己知OE=DC=AD,

求证：N8EC是“8。中/B4C的遥望角.