直线的交点坐标与距离公式【八大题型】-人教A版高中数学选择性必修第一册（原卷版）

专题2.4直线的交点坐标与距离公式【八大题型】

【人教A版（2019）]

＞题型梳理

【题型1求直线的交点坐标】....................................................................1

【题型2经过两直线交点的直线方程】...........................................................2

【题型3由直线的交点坐标（个数）求参数】.....................................................2

【题型4三线能围成三角形的巨题】.............................................................3

【题型5两点间的距离公式的应用】.............................................................4

【题型6点到直线的距离公式的应用】...........................................................5

【题型7两条平行直线间的距离公式的应用】.....................................................5

【题型8与距离有关的最值问题】...............................................................5

A举一反三

【知识点1两条直线的交点坐标】

i.两条直线的交点坐标

（1）两条直线的交点坐标

一般地，将两条直线的方程联立，得方程组J若方程组有唯一解，则两条直线相

交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无穷多

解，则两条直线重合.

（2）两条直线的位置关系与方程组的解的关系

设两直线点4》+8。+G=。（加+居#0），直线+B2y+=0（星+8m0）.

方程组（的解

4x+卅y+G=0

一组无数组无解

力2、+从歹+。2=0

直线6和/2的公共点个数一个无数个零个

直线/1和12的位置关系相交重合平行

【题型1求直线的交点坐标】

【例1】（23-24高二上•重庆长寿・期末）直线2%—y+6=0与直线x+y=3的交点坐标是（）

A.（3,0）B.（-1,4）C.（-3,6）D.（4,-1）

【变式1-1]（23-24高二上•重庆渝中•期中）已知直线2%+y+5=0与直线k%+2y=0互相垂直,则它们

的交点坐标为（）

A.（—L—3）B.2,-1）

C.（-p-1）D.（-1,-2）

【变式1-2]（23-24高二上•内蒙古呼伦贝尔・阶段练习）直线匕:3%-4y+5=0与。4x-3y-；=0的交

«5

点坐标为（）

A.（2,3）B.伶3）C.（3,§D.（|,3）

【变式1-3]（23-24高二上•新疆和田•期中）已知直线G方程为x+y-6=0,直线乙2方程为2X-y+3=0,

则两直线交点坐标为（）

A.（1,5）B.（1,-1）C.（2,8）D.（0,15）

【题型2经过两直线交点的直线方程】

【例2】（23-24高二上•四川凉山・期末）经过两条直线2%-3丫+10=0和3%+4丫-2=0的交点，且垂直

丁直线2x-y-l=0的直线方程为（）

A.x-2y-6=0B.x+2y-2=0

C.2x—y—3=0D.2x+y-2=0

【变式2-1]（23-24高二上♦河北石家庄•阶段练习）经过直线，1/=一2%-1和。:、=2%+3的交点，且倾

斜角是直线％的倾斜角的两倍的直线方程为（）

A.2%+y4-1=0B.x—4y+3=0C.4x+3y+1=0D.3x+4y—1=0

【变式2-2]（23-24高二上.山东聊城•期中）经过两条直线\:%+y=2,2%-y=1的交点，且直线的

一个方向向量力=（一6,4）的直线方程为（）

A.2x—y-1=0B.2x+y-3=0

C.3x-2y-5=0D.2x+3y-5=0

【变式2-3]（23-24高二上•安徽合肥・期末）过直线3x-2y+3=0与x+y-4=。的交点，与直线2%+y-

1=0平行的直线方程为（）

A.2%+y-5=0B.2x+y+l=0

C.x+2y-7=0D.x—2y+5=Q

【题型3由直线的交点坐标（个数）求参数】

【例3】（23-24高二上.安徽•阶段练习）已知三条直线2%+y-4=0,kx-y+3=0,x-y-2=0交于一

点，则实数忆二（）

A.-1B.I

C.--D.-

24

【变式3-1]（23-24高二・全国•课后作业）若三条直线2x+y-4=0,%-y+1=0与ax-y+2=0共有

两个交点，则实数Q的值为（）

A.1B.-2C.1或-2D.-1

【变式3-2]（23-24高二上•北京朝阳•阶段练习）若直线/：y=与直线2x+3y-6=0的交点位于

第一象限，则直线/的倾斜角的取值范围是（）

A.图B.保）

C•（浦D.展）

【变式3-3]（23-24高二上•安徽芜湖•期中）已知直线4：加工-y+m-1=。与射线，-y-2=0（%>0）

恒有公共点，则，〃的取值范围是（）

A.（―co,-1JU（1,+©o）B.（-co,-1JU[1,+co）

c.[-1,1）D.[-1,1]

【题型4三线能围成三角形的问题】

[例4]（23-24高二上•湖南・期末）若三条不同的直线人:ax+y+2=0,l2'X+y—1=b：x—y+3=0

不能围成一个三角形，则。的取值集合为（）

A.{-1,1}B.{4,1}C.{-pl}D.{4,-1,1）

【变式4-1]（23-24高二上•四川遂宁•期中）已知直线ar+），+l=（）,x+ay+l=0和x+y+修。能构成三角形，则

a的取值范围是（）

A.存一2B.〃¥±1

C.讨-2且存±1D.疗-2且

【变式4-2]（23-24高二•全国•课后作业）若三条直线人:ax+y+1=0,，2：x+ay+1=0/3：3+y+Q=0

能构成三角形，则。应满足的条件是（）

A.a=1或a=-2B.a0±1

C.QH1且Q工—2D.QH±1且aH-2

【变式4-3]（23-24高二上•全国•课后作业）使三条直线4x+y-4=0,mx+y=0,2%-3my-4=0不能

围成三角形的实数，〃的值最多有几个（）

A.3个B.4个C.5个D.6个

【知识点2距离公式】

1.两点间的距离公式

平面内两点尸1（X1,凹），（》2,乃）间的距离公式为|01P2I=—M）2+他一珀2.

特别地，原点0到任意一点"%），）的距离为|0P|="T亍.

2.点到直线的距离公式

⑴定义：

点P到直线，的距离，就是从点尸到直线/的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.实质上，点到直线的

距离是直线上的点与直线外该点的连线的最短距离.

（2）公式：

已知一个定点尸（右,泗），一条直线为/:Ar+8y+C=O,则定点P到直线/的距离为一阳。广如。t0.

\JA~+B~

3.两条平行直线间的距离公式

⑴定义

两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长.

（2）公式

设有两条平行直线人:/工+By+G=0,Z2:Ar+Bp+C2=O,则它们之间的距离为d=尸厂。21

VJ-+B2

4.中点坐标公式

公式：

f丫_汨+必

设平面上两点02（必,必），线段尸1尸2的中点为历（见,%），则《,.

[y°~2

【题型5两点间的距离公式的应用】

【例51（23-24高三下•浙江丽水・开学考试）设点AB在曲线y=log2x±.若A8的中点坐标为（5,2）,则|4B|=

（）

A.6B.2同C.4V3D.4正

【变式5-1]（23-24高二上•天津•期末）三角形的三个顶点为4（3,-2）,8（3,4）,。（一5,4）,。为4c中点，则80

的长为（）

A.3B.5C.9D.25

【变式5-2]（23-24高二上•江苏徐州•期中）已知过A（m,2）,8（-仇,机一1）两点的直线的倾斜角是45。，则A,B

两点间的距离为（）

A.2B.V6C.2V2D.372

【变式5-3]（23-24高二上•山东德州•阶段练习）若三条直线y=3x,x+y=4,mx+ny+5=。相交于同一

点，则点（m,ri）到原点的距离d的最小值是（）

AT2B.立2C.m2D.包2

【题型6点到直线的距离公式的应用】

【例6)(23-24高二上•安徽马鞍山•阶段练习)原点到直线9x+12y-10=。间的距离是()

A.\B.\C.ID.

335

【变式6-1](23-24高二上•云南临沧•阶段练习)若点P(3,l)到直线2:3x+4y+a=0(a>0)的距离为4,

则a=()

A.2B.3C.5D.7

【变式6-2](23-24高二上•浙江绍兴•期末)原点到直线+y-A+l=0(A6R)的距离的最大值为()

A.B.—C.—D.V2

555

【变式6-3](23-24高二上•安徽马鞍山•阶段练习)已知力(-3,-4),B(6,3)两点到直线I:ax+y+1=0的

距离相等，求“的值()

A.：B.-三C.一：或一^D.(或一:

【题型7两条平行直线间的距离公式的应用】

【例7】(23-24高二上•浙江杭州•期中)已知[2%+y+4=O.%：6%+ay+2=0.则它们的距离为

()

A.更B.延C.西D.空

15553

【变式7-1](23-24高二上.广东广州.期末)若两条平行直线3%-4y+m=0(m<0)与3%+ny+6=0之

间的距离是3,则m+n=()

A.-13B.-9C.17D.21

【变式7-2](23-24高二上•天津和平・期末)设点尸，Q分别为直线3x+4y-7=0与直线6x+8y+3=0上

的任意一点，则仍Q|的最小值为()

A.1B.2C.-D.—

1010

【变式7-3](23-24高二上•湖北十堰•阶段练习)到直线3%一到-11=0的距离为1的