广西壮族自治区河池市宜州区2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题（含答案）

广西壮族自治区河池市宜州区2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分,共36分,）请考生用2B铅笔在答题卷上将选定的答

案标号涂黑.

1.下列式子中，是二次根式的是（）

A.y—12B.V3C.V5D.—4

2.下列式子中，不是最简二次根式的是（)

A.5/27B.V23C.713D.V6

3.卜.列各组数中，能构成直角三角形的是（)

A.4,5,6B.1,I,V2C.6,8,11D.5,12,23

4.如图，平行四边形A8CD中,AD=5,AB=3,4E平分，B4D交8C边于点E,则EC等于（）

2C.3D.4

5.下列条件中，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是)

A.ZA=ZC,ZB=ZDB.AB〃CD,AB=CD

C.AB=CD,AD/7BCD.AB〃CD,AD〃BC

6.如图，甲轮船以16海里/小时的速度离开港口O向东南方向航行，乙轮船同时同地向西南方向航行，上

知他们离开港口1.5小时后分别到达B、A两点，且知AB=30海里，则乙轮船每小时航行（）

A.30海里B.24海里C.18海里D.12海里

7.下列运算正确的是（)

A.V5—x/3=V2B.1+V5=V5C.旧+乃=3D.yj2x\/6=2x^3

8.如图，阴影部分是一个正方形，该正方形的面积为（）

12cm

A.12cm2B.25cm2C.144cm2D.169cm2

第1页

9.如图，在数轴上A点所对应的数为3,BA1OA,AB=1,以D为圆心，为半径的圆弧交数轴于点

C,则点C在数轴上所对应的数足（）

ODAC

A.V3+1B.V5+1C./IOD.V10+1

10.使J（x+2）（3-x）=VxT2•存费成立的条件是（）

A.x<3B.x>-2C.-2<^<3D.-2<%<3

11.如图，。是正方形A8CD内一点，四边形0”8E与OGDb也都是正方形，图中阴影部分的面积是10,贝4EG

长为（）

A.V10B.2A/5C.6D.8

12.如图，I34BCD的对角线4c与BD相交于点O,4E平分分别交BC,BD于点E,P,连接。E,

^ADC=60°,AB=1,BC=2,则下列结论：@^CAD=30°,②80=夕，@S^ABCD=ABxAC,

@AE=OD,⑤E0平分/AEC,正确的结论有（）个

二填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分.请把答案写在答题卡上对应的答题区域内.）

13.当x时，二次根式疡FT有意义.

14.如图，在平行四边形力8co中，E,尸两点均在对角线力C上.要使四边形BED"为平行四边形，在不添加

辅助线的情况下，需要增加的一个条件是（写出一个即可）.

15.如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要

米.

第2页

16.如图，在团力BCD中，AB=2,BF、CE分别是乙18c与4BCD的角平分线，交点为点O,EF=1,则

0B2+0C2=.

三、解答题：（本大题共7小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或运算步骤.请将解答

写在答题卡上对应的答题区域内.）

17.计算：

（1）V20-10J|+V45；

⑵E+（&-VS）2.

18.如图，一木杆在离地某处断裂，木杆顶部落在离木杆底部8米处，已知木杆原长16米，求木杆断裂处

离地面多少米？

地面

8米

19.已知：如图，平行四边形/1BCD中，M、N分别为4B和C。的中点.

（1）求证：四边形4MCN是平行四边形;

（2）当△A8C的边力C、BC满足从C1BC时,平行四边形4MCN是菱形吗？请说明理由.

20.已知：x=2V3-2,y=2V3+2.

第3页

(I)求x+y和xy的值：

(2)求式子——xy+y?的值.

21.如图，菱形A8C0的对角线AC,80相交于点。，过8点作BEII力C,且BE=连结EC,ED.

(1)求证：四边形BE。。是矩形;

（2）若4c=2,1ABe=60°,求。E的长.

22.用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，这

是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列三个问题:

(1)如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请用它验证勾股定理。2=小+户.

(2)如图2,在Rta/BC'中，乙4c8=90。，CO是48边上的高，AC=4,BC=3,求CD的长度；

(3)如图1,若大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,求(a+b)2的值(aVb).

①求证：DE=GH；

②平移图I中线段GH,使G点与。重合，”点在BC延长线上，连接EH,取EH中点P,连接PC,如图2,求

证：BE=V2PC;

(2)如图3,若点G在4。上，GH和DE相交于点0.当4G00=45。，边长48=3,HG=同，求0E的

长.

第4页

答案解析部分

1.【答案】B

【解析】【解答】解：A、中-12V0,不是二次根式，不符合题意；

B、百是二次根式，符合题意；

C、述不是二次根式，不符合题意；

D、迎』中立一4<0,不是二次根式，不符合题意；

故答案为：B.

【分析】一般形如府(aNO)的形式叫做二次根式，据此逐项判断是否符合题意.

2.【答案】A

【解析】【解答】解：A、V27=V3V9=3V3,不是最简二次根式，符合题意；

B、C、D均为最简二次根式

故答案为：A

【分析】二次根式符合下列两个条件：1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数

是整数，因式是整式.那么，这个杈式叫做最简二次根式，依此对各项进行判断；

3.【答案】B

【解析】，分析7根据勾股定理逆定理：a2+b2=c2,将各个选项逐一代数计算即可得出答案.

【解答】A、・・・42+5与62,・••不能构成直角三角形,故A错误；

B、•・•12+12=(仅)2,...能构成直角三角形，故B正确；

C、・・・62+8知口，・•.不能构成直角三角形，故c错误;

D、・・・52+12与232,・••不能构成直角三角形,故D错误.

故选：B.

，点评J此题主要考查学生对勾股定理的逆定理的理解和掌握，要求学生熟练掌握这个逆定理.

4.【答案】B

【解析】【解答】解：••・四边形A8C0是平行四边形，

:.AD=BC=5,AD||BC,

:.Z.DAE=Z.BEA,

••TE平分血10交BC边于点E,

:.Z.DAE=Z.BAE,

•••Z-BEA=Z.BAE»

•••AB=BE=3,

CE=BC-BE=S-3=2,

故答案为：B.

第5页

【分析】根据平行四边形的性质得：AD=BC=5,AD||BC,则4ZME=乙8以，由角平分线的定义得

^DAE=^BAE,则乙=由等角对等边得AS=BE=3,则CE=2.

5.【答案】C

・•・四边形ABCD是平行四边形，正的，故本选项错误；

B、VAB//CD,AB=CD,

・•・四边形ABCD是平行四边形，正确，故木选项错误；

C、根据AB=CD,AD〃BC可能得出四边形是等腰梯形，不一定推出四边形ABCD是平行四边形，错误，

故本选项正确；

D、VAB=CD,ADZ/BC,

・•・四边形ABCD是平行四边形，正确，故本选项错误；

故选C.

【分析】本题考查了平行四边形的判定的应用，注意：平行四边形的判定定理有：①有两组对角分别相等

的四边形是平行四边形，②有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③有一组对边相等旦平行的四边

形是平行四边形，④对角线互相平分的四边形是平行四边形，⑤有两组对边分别平行的四边形是平行四边

形.

6.【答案】D

【解析】【解答】解：•••0B=16X1.5=24,AB=30,乙4。8=90°

•••OA=V302-242=18

18+1.5=12（海里/小时）

故答案为：D

【分析】根据题目提供的方位角判定401BO,甲轮船的速度乘以行驶时间等于路程OB,在RSAOB中，

利用勾股定理得。A,除以时间等于乙轮船的行驶速度.

7.【答案】D

【解析】【解答】A.通一遍=花一遍，不符合题意；

B.I+V5=I+V5,不符合题意；

C.x/18V6=V3,不符合题意：

D.^2xV6=^=2V3,符合题意；

第6页

故答案为：D.

【分析】根据二次根式的加减、二次根式的乘除分别计算，再判断即可.

8.【答案】B

【解析】【解答】解：由图可知正方形的边长为J132—122=5cm，

；・正方形的面积为：5x5=25cm2,

故选：B.

【分析】

先根据勾股定理该直角三角形另一直角边的长度，即为正方形的边长，最后根据正方形面积公式求解即可.

9.【答案】B

【解析】【解答】解：*：BA1OA,AB=1,AD=OA-OD=2,

:.OB=y/AD2+AB2=V22+l2=遥，

:.BD=CD=V5>

.•.点C在数轴上所时应的数是遍+L

故答案为：B.

【分析】根据勾股定理得。8=遍，得。0=遮，点C在数轴上所对应的数遍+1.

10.【答案】C

【解析】【解答】解：由题意得，仔十公卜

2—XNU

解得：-2<x<3.

故答案为：C.

【分析】根据二次根式有意义的条件得仁士：言,根据不等式的性质，解得-2工工43.

11.【答案】B

【解析］【解答】解：如图，连接AO,

•・•四边形A8C0,四边形0H8E与OGOF也都是正方形,

•­AD||BC||HG,AB||EF||CD,FO=OG,HO=OE，

・•・四边形AH。尸是平行四边形,

第7页

又=90°,

・•・四边形A〃。厂足矩形，

：.AH=OF,

•・•阴影部分的面积是10,

xOGx。尸+：xOExOH=10,

：.OG2+OE2=20,

：.EG2=OG2-l-OE2=20,

：-EG=2G

故答案为：B.

【分析】作辅助线：连接AO,由四边形0H8E与。GDF也都是正方形，根据对边平行且相等的四边形是平

行四边形，得四边形AHOF是平行四边形，由=90。，得四边形力是矩形，则AH=。心由阴影部

分的面积是10,则S用膨二SAAOG+SAAQE=10,即^xOGx。9+gxOExOH=10,则OG?+OE?=20,所以

EG2=OG2+OE2=20,EG=2否。

12.【答案】B

【解析】【解答】解：ME平分4B4),

•••Z-BAE=Z.DAE»

•••四边形48CD是平行四边形，

:.AD||BC,乙ABC=/.ADC=60°,

•••Z.DAE=Z.BEA,

:.乙BAE=Z-BEA,

.•.△4BE是等边三角形，

AB=BE=AE=1>

•••BC=2,

EC=BC-BE=1,

•••AE=EC,

:.Z.EAC=Z.ACE,

•・•AAEB=Z.EAC+2LACE=60°,

乙ACE=30°,

-AD||BC,

乙CAD=/.ACE=30°,

故①止确；

BE=EC,OA=OC,

第8页

OE=^AB=1,OEIIAB,

Z.EOC=乙BAC=600+30°=90。，

在Rt△EOC中，OC=y/EC2-OE2=苧,

•.♦四边形48CD是平行四边形，

乙BCD=LBAD=120°,

乙ACB=30°,

AACD=90°,

在RSOCO中，OD=，纥2+CD2=乌

BD=2OD=V7,故②正确；

由②妇：ABAC=90%

故③正确；

•••OD=^,AE=EC=1，

：.OD丰AE,故④错误；

-AE=EC,AO=CO,

EO为等腰△AEC的角平分线，

・•.EO平分4EC,故⑤正确，

故正确的为：①②③⑤，

故答案为：B.

【分析】根据平行四边形的性质得AD||BC,AABC=^ADC=60°,等角代换得NBAE=4BEA,则△ABE是

等边三角形，AB=BE=AE=1,则AE=EC,等边对等角得乙EAC=ZACE,则4ACE=30°,“AD=zACE=

30。，故①正确；由直角三角形中位线定理得OE=2AB=L0EII4B,在Rt△EOC中，由勾股定理得OC=

'EC2-0勿=§，在RSOCO中，由勾股定理得0。=加=后，则BD=V7,故②正确；由

②知：乙84c=90。,S0ABCD=AB-AC故③正确；OD工AE,故④错误；EO为等腰△NEC的角平分线，

EO平分乙4EC,故⑤正确.

13•【答案】>-1

【解析】【分析】根据题意得：x+l>0,根式有意义，解得：x>-l>

14.【答案】AE=CF（答案不唯一）

【解析】【解答】解：如图，连接BD交AC于点O,

第9页

•・,四边形ABCD为平行四边形，

.\OB=OD,OA=OC,

若AE=CF,则有AO-AE=CO-CF,即OE=OF,

・•・四边形BEDF为平行四边形，

故答案为：AE=CF.答案不唯一.

【分析】连接BD交AC于点0,由四边形ABCD是平行四边形，由平行四边形性质得0B=0D,则证明四

边形BEDF为平行四边形，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形.只需要0E=0F,故添加的条件

AE=CF.

15.【答案】7

【解析】【解答】解：在RMABC中，AB=5米，BC=3米，ZACB=90°,

：.AC=y/AB2-BC2=4

/.AC+BC=3+4=7米.

故答案是：7.

【分析】利用勾股定理得AO4,AC+BC=7.

16.【答案】9

【解析】【解答】解：•・•四边形力BCD为平行四边形，

：.AD||BC,AD=BC,AB||CD,CD=AB=2,

：./-AFB=乙CBF,

•・・8"、CE分别是乙48c与/8C0的角平分线，

・"48尸=乙CBF=，ABC,乙BCE=葭BCD,

：.Z-ABF=乙AFB,

：.AB=AF=2,

同理得：DE=CD=2,

：.AE=AF-EF=1,

：.BC=AD=4E+DE=3,

*：AB||CD,

，乙ABC+乙BCD=180°,

第10页

*/Z-CBF=1乙ABC，乙BCE=1乙BCD,

11

：.LCBF+乙BCE=今乙ABC+a乙CD=90。，

:,乙BOC=180°-乙CBF-乙BCE=90°,

：.BO2+CO2=BC2=9.

故答案为：9

【分析】根据平行四边形的性质得上OIIBC,AD=BC,AB||CD,CD=AB=2,平行线的性质得乙=

乙1FB,由等角对等边得力8=4尸=2,同理得OE=CO=2,贝！BC=力。=/IE+OE=3,根据平行线的性

质得乙ABC+乙BCD=180°,乙BOC=180°-乙CBF-乙BCE=90°,根据勾股定理得B。？+CO2=BC2=

9.

17.【答案】（1）解：V20-10J1+V45

=2V5-10x号+3行

=2/5-2,5+3V5

=3\/5;

（2）解：至+遍+（企一⑹2

=76+2-276+3

=5—R.

【解析】【分析】（1）先把各二次根式化简，然后再进行合并；

（2）根据二次根式的除法以及完全平方公式进行计算.

⑴解：V20-ioj|+V45

厂底厂

=2V5-10x-g-+3/5

=2V5-2V5+3V5

=3V5;

（2）解：V18-V34-（V2-V3）2

=V6+2-2V6+3

=5—R.

18.【答案】解：设木杆断裂处离地面x米，则断裂处离木杆顶部长度为（16-幻米,

由题意得：X2+82=（16-X）2,

解得x=6.

第11页

答：木杆断裂处离地面6米.

【解析】【分析】设木杆断裂处离地而x米，根据勾股定理列出方程：X2+82=(16-X)2,解得X=6,则木

杆断裂处离地面6米.

19.【答案】(1)证明：•・•四边形/BCD是平行四边形，，A8=CD,AB||CD,

•；M,N分别为A8和CO的中点，

11

=CN="D,

乙乙

：.AM=CN,

••MB||CD,

・•・四边形4MCN是平行四边形；

(2)解：四边形AMCN是菱形，

理由如下：

'：AC1BC,

・••乙ACB=90°

VM是48的中点，

・"M=累8=AM,

・•・平行四边形4MCN是菱形.

【解析】【分析】(1)根据平行四边形的性质对边平行且相等，线段中点的定义，则HM=CN,由一组对边

平行且相等的四边形是平行四边形得四边形4MCN是平行四边形；

(2)^\AC1BC,得乙ACB=90。，由直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得一组邻边

相等的平行四边形是菱形，得平行四边形4MCN是菱形.

(1)证明：•・•四边形4BCD是平行四边形，

­\AB=CD,AB||CD,

VM,N分别为48和CO的中点，

：-AM=^AB,CN=^CD,

：.AM=CN,

*：AB||CD,

，四边形AMOV是平行四边形；

(2)四边形AMCN是菱形，

*：ACIRC,

・ZC8=90°，

第12页

VM是48的中点，

・"M=AM,

・•・平行四边形AMCN是菱形.

20.【答案】（1）解：''x=2v5—2,y=2>/54-2»***x+y=2>/3—2+2V5+2=4\/3>

xy=（2V3-2）（275+2）=（275）2-22=12-4=8：

（2）解：Vx+y=4V3»xy=8,/.%2-xy+y2=%24-2xy+y2-3xy

一（x+y）2-3xy-（4疗）2-3x8

=48-24=24.

【解析】【分析】（1）利用平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2,把％=2百一2,y=2V5+2代入求值;

（2）根据x+y=4g,xy=8,利用完全平方公式进行变形，再整体代入求值.

⑴解：Vx=2V3-2，y=26+2,

Ax+y=273-2+2^+2=4A/L

xy=（2V3-2）（275+2）=（2V3）"-22=12-4=8；

（2）解：x+y=4A/3»xy=8,

%2—xy4-y2=x2+2xy4-y2—3xy

=（x+y）2—3xy=（4\/3）-3x8

=48-24=24.

21.【答案】（1）证明：•.•四边形48co是菱形，

•••AC1BDt0C=鼻C,

•••BE\\AC,BE=，C,

:.BE=0C,BEII0C,

四边形BEC。是平行四边形，

•・•0C1BO,

••・四边形BECO是矩形.

（2）解：・.•四边形ABCO是菱形，

：,AB=AC,

•••44BC=60。，

••.△ABC是等边三角形,

...ACOB=^ABC=30°,

第13页

在R£Zk80C中，BC=4,OC=2,

OB=y/BC2-OC2=2V3»

BD=2B0=4VJ,

小边形BECO是矩形，

1

BE=OC=^AC=2,(EDB=90°,

在中，DE=y]BE2+BD2=Jl2+(2A/3)2=

答：DE的长为VH.

【解析】【分析】(1)四边形48co是菱形，根据菱形对角线互相平分且垂直得0C=24C，4C1BD,一组

对边平行且相等的四边形是平行四边形，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，得四边形BECO是菱

形；

(2)根据题意，得AABC等边三角形，在□士△80。中，勾股定理得8。二2百，得80=4百，在R£Zk8E0中，根

据勾股定理得DE=V13.

22.【答案】(1)解：如图1所示：

大正方形的面积等于四个全等的直角三角形面积与小正方形面积和,

vS大正方形=f2;S小正方形=S_a)2.S直角三角形=,出

1

:.c2=(b—a)2+4x

即c2=a2+b2i

(2)解：如图2所示：

c

第14页

在RtfBC中,乙4cB=90。,AC=4,BC=3,

，由勾股定理可得4B=V32+42=5，

CO是48边上的高，

二由等面积法可得S.EC=^AC-BC=^ABCD,

AC=4>BC=3>AB=5,

,心ACBC12

,•c°=^-=可；

(3)解：・・•大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,(a<W，如图1所示：

***c2=13,(d—a)2=1,

***(b-Q)2=a2+b2-2ab—1»

由(1)知C2=必+匕2,

：.2ab=c2-1=13-1=12,

(a+6)2—a2+b2+2ab—c2+2ab—13+12—25，

即(a+6)2=25.

【解析】【分析】(1)如图1所示，大正方形的面积等于四个全笔的直角三角形面积与小正方形面积和，用代

数式表示为,•“2=(/?-61)2+4乂2@力，化简即可得证；

(2)利用勾股定理得到力B=VF”=5,根据等面积法列式S“8c=义力。•BC=^AB-CD求解即可得到

ACBC12

四rn=^-=可：

(3)由题意得C2=13,(b—Q)2=l,结合。2=次+匕2得2ab=12,再利用完全平方公式得(Q+b)2=25,

即可得到答案.

23.【答案】⑴证明：①过点D作DFIIG”,交BC的延长线于点F,

•••四边形ABCD是正方形，

AADC=90°,AD||BC,

vDF||GH,

.•・四边形DGHF是平行四边形,

GD=FH,HG=DF,

第15页

乙GOD=乙FDE=90°,

乙FDC+乙EDC=90°,

•••匕EDC+乙ADE=90°,

Z.FDC=Z-ADE,

在△4DE和aCDF中，

Z-ADE=乙FDC

AD=CD,

Z.A=乙DCF=90°

:.AADECDF^ASA）,

DE=DF,

•・•HG=OF,

DE=HG；

②在BC上截取8N=BE,如图2,

则△BEN是等腰直角三角形，BN=BE,

由（1）知，＞ADE"CDH,

AE=CH,

•••BA=BC,BE=BN,

CN=AE=CH,

vPE=PH,

PC=》EN，

PC=^BE，

即BE=V2PC;

（2）解：如图3,过点。作DN||GH交BC于点N,

则四边形GHNO是平行四边形,

第16页

DN=HG,GD=HN,

V"=90°,HG=DN=Vio>DC=AB=3,

CN=\/DN2-DC2=V10-9=b

:.BN=BC-CN=3-1=2,

作乙4DM=乙CDN,DM交BA延长线于M,

在△ADM和△CON中，

乙ADM=乙CDN

AD=CD,

(4OAM=ZC=90°

ADM=△CDN(ASA),

AM=NC,DM=DN,

•••乙DOG=45°,

•••Z-NDE=45°,

•••乙ADE+乙CDN=45°,

•••/.ADE+/.ADM=45°=Z-MDE,

在△NDE和^MOE中，

ND=MD

乙NDE=乙MDE,

DE=DE

NDEM0E(S4S),

•••EM=EN,

•••AE+CN=EN,

设4E=x,则8E=3-x,

在RtABEN中,BN2-{-BE2=EN2,

22+(3-X)2=(X+1)2,

3

得

解X

2*

•••DE—y/AD7+AE?—^3?十（,）？=

【解析】【分析】（1）①如图，过点。作DFIIGH,交BC的延长线于点F,

根据止方形性质得对边平行，根据两组对边平行的四边形是平行四边形，得四边形。G”尸是平行四边形，由

同角的余角相等，得NFDC=4ADE：则△AOE三△C0R44S）,DE=GH：

第17页

②如图，在8c上栈取8N=8E,

则ABE"是等腰直角三角形，EN3BE,由△40E三△COH,全等三角形性质，则AE=CH,由正方形性质

可知AB=BC,贝IJCN二AE=CH,则PC=*EN,PC=?BE，BE=&PC;

(2)