陕西榆林市靖边县某中学2025-2026学年高二年级下册期中数学试卷（含解析）

陕西榆林市靖边中学2025-2026学年第二学期期中考试高二数学试题

一、单选题

1.4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，则不同的报名

方法种数是（）

A.12B.24C.64D.81

2.若随机变量X服从正态分布N（L，），且P（X>0S）=016,则P（1<X<1.5）=（）

A.0.24B.0.36C.0.5D.0.86

3.设4C，尸(4)=0.3,P(B)=0.6,则P«[8)=()

4.若（4-蛾j的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,

则该二项式的展开式中常数项为（)

A.90B.-90C.180D.-180

5.若X服从两点分布，且P(X=l)=7尸(X=0),则。(X)=()

6.已知变量丁与变量x的关系可以用模型歹=。3、（q,为常数）拟合，设z=h1.y,变换后得到一组数

据如下:

X23456

Z1.021.201.421.621.84

由上表可得经验回归方程为£=0.206x+3,贝丸=（）

A.0.206B.e02W>C.0.596D.e0596

7.某学校参加社会实践活动的1名教师和甲、乙、丙、丁4名学生站成一排合影留念，在教师不站在两端

的条件下，甲、乙相邻的概率为（)

1C3_12

A.-B.—C.—D.-

51035

8.2改6除以9的余数为（）

A.1B.2C.7D.8

二、多选题

9.已知随机变量X〜3（10,0.4）,且y=2X+l,则（）

A.E（X）=4B.E（Y）=8C.O（X）=2.4D.D（Y）=9.6

10.若（x+l）（x-2）6=%+研+%/+…+%F,则（）

A.a0=-\2B.%+q+%+…+%=2

C.ax+a3+a5+a7=\D.4+2%+3〃?+…+7%=-11

11.将一枚质地均匀的硬币连续投掷〃次，定义随机变量X”为结果中连续出现正面的最大次数.若始终未出

现正面，规定尤=0,例如，投掷结果为“正反正正”时，连续出现正面的次数为1和2,故4=2,则（）

尸（占=2）=（B.£（%3）=y

C.8居-4）一|/（七-2）了D.

三、填空题

12.（―-戈-2歹丫的展开式中，的系数为

13.如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5

种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共

有种（用数字作答）.

14.一个袋子中装有形状大小完全相同的6个球，其中有2个红球，4个白球，从中随机逐一取球，每次抽

取后不放回，记X为抽完某一种颜色所有的球所需的次数，则丫的数学期望E（X）=.

四、解答题

15.（1）甲、乙两位同学从5种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选

法共有多少种？

（2）用。，1,2,3,4,5这6个数字可以组成多少个无重复数字的四位偶数？

16.随着科技的进步，人工智能(AI)工具在职场中的应用日益广泛，像豆包、DeepSeek等常见的AI工具，

已被证明能有效提升员工的工作效率和准确率.某公司为了解员工使用这类A1工具的熟练度，进行了一次

内部统计，统计结果如下表：

能够熟练使用AI工具不能够熟练使用AI工具

男员工3()15

女员工169

(1)根据a=0.01的独立性检验，能否认为性别与使用A1工具的熟练度具有相关性？

(2)现按熟练度采用分层抽样的方法从该公司的男员工中随机抽取12人，再从这12人中随机抽取3人，记

其中不能够熟练使用AI工具的人数为X,求X的分布列以及数学期望.

2n(ad-bc)~廿上,,

(a+/?)(<?+d)(a+c)(6+〃)

a0.1000.0500.0100.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

17.甲、乙、丙三人投篮，甲每次投中的概率为:，乙每次投中的概率为g,内每次投中的概率为P(O<P<1),

设每人每次投篮是否命中相互之间没有影响.

(1)甲、乙每人投3次，试比较甲恰好投中1次的概率与乙恰好投中1次的概率的大小；

(2)丙投篮3次，当〃为何值时，丙恰好投中I次的概率最大，并求出最大值.

18.某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量，随机选

取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：m?)和材积量(单位：mD，得到如下数据：

总

样本号i12345678910

和

根部横截面积

0.040.060.G4().080.080.050.050.070.070.060.6

玉

材积量乂0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9

101010

并计算得=0.038,£疗=]6158,Z'B=0.2474.

i=li=li=l

(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；

(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01)；

(3)现测量「该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186m2.已

知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值.

附：相关系数，=中------；---------,VI嬴，.377.

之茂

JVi=l(N-fAl(KT)?

19.甲口袋中装有3个红球，乙口袋中装有2个黄球和1个红球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换

放入另一口袋，重复〃次这样的操作，记乙口袋中黄球个数为七,恰有2个黄球的概率为P.，恰有1个黄

球的概率为％.

(1)求四,/和〃2，夕2；

⑵求X”的数学期望E(XJ(用含有〃的式子表示).

参考答案

1.D

【详解】由题意可知：每位同学均有3个运动队选择，

所以不同的报名方法种数是3x3x3x3=81.

故选:D.

2.B

【详解】因为随机变量X服从正态分布乂(1。2),即〃=1,

所以0(1<XW1.5)=尸(0.5<%<l)=P(y>0.5)-P(y>1)=0.86-0.5=0.36.

故选:B.

3.C

【详解】因为P(N)=0.3,P(B)=0.6,

所以尸(48)=P(4)=0.3,所以小出)=嗡1=黑[.

故选：C.

4.C

【详解】由题意可知，二项式的展开式中一共有II项，所以〃=10,

设展开式第l+i项为常数项，则C；o(五『'(-2)[pj=5。(-2Jx与二

.-.10-5r=0,

/,=2»

••.该二项式的展开式中常数项为9(-2)2=180,

故选：C.

5.A

【详解】因为X服从两点分布，所以P(X=I)+P(X=O)=I,

已知尸(X=l)=7尸(X=0),可得7P(X=0)+尸(X=0)=l,解得P(X=0)=]

8

那么P(X=l)=7x(=(,则。(X)=(x"=《.

6.D

【详解】由表格中数据得了=二一^------=4,

_1.02+1.20+1.42+1.62+1.84一.

z=-----------------------------------=1.42,

5

代人方程得，1.42=0.206x4+2,解得2=0.596,因此2=0.206x+0.596.

由y=qe""两边取对数，得Iny=c2x+1g.

又z=1np,所以G=0.206,Inr,=0.596,RRq=e°596.

故选:D

7.C

【详解】设“甲、乙相邻''为事件A,“教师不站在两端”为事件B,则“教师不站在两端旦甲乙相邻”为事件月8,

因为两端不能站教师，教师只能从中间3个位置选1个，剩余4名学生全排列，

所以〃(4)=C；・A：=3x24=72；

将甲乙看作1个整体，内部排列有A；=2种，此时共4个“元素”(甲乙整体、丙、丁、教师)，

要求教师不站在两端，教师只能从4个元素排列的中间2个位置选1个，剩余3个元素全排列：

〃(45)=C；A1A；=2x6x2=24,

/.、r(AB)241

根据条件概率公式：^(^l^)=-7TT=—=T.

〃(riJ/，J

8.C

【详解】因为22026=(23)675X2=8675X2,又因为8=9-1,所以22026=(9-1)675x2,

675

675675

根据二项式定理，当〃=9,6=-1,〃=675时，则：(9-1)=^0*759-*(-1)*

卜0

675

由于9是9的倍数，那么对于展开式中的每一项^759-\-1)*(%=0,1,2,...,675),

当女工675时・，9。乃t是9的倍数，所以这些项都能被9整除，

当2=675时，该项为^9675-675(-l)675=lxlx(-l)=-l,

因为(9-1)675展开式中除最后一项-I外，其余各项都能被9整除，

所以(9-1)675除以9的余数为9-1=8(因为余数要为正数)，

则22W6=(9-1)675X2除以9的余数就相当于8x2=16除以9的余数，16+9=1…7,所以余数为7.

故选：C.

9.ACD

【详解】由题意可得E(X)=10X0.4=4,D(%)=10X0.4X(1-0.4)=2.4

贝lJE(Y)=2x4+l=9,D(r)=22x2.4=9.6,

故A,C,D均正确，B错误.

故选：ACD.

10.BCD

【详解】对于A：令x=0,代入原式左边得：(O+l)(O-2『=64,因此为=64工-12,A错误;

对干B：令x=l,代入原式左边得：(1+1)(1—2)6=2X(—1)6=2,

因此«0+aI+«2+---+^7=2,B正确：

对于C：设*=4+/+%+/，52=4+42+/+%，

由工=1得：S?+S=2(1)；

6

令工=一1,代入左边得：(-1+1)(-1-2)=0,即：S2-S,=0(2)；

(1)-(2)得25.=2,即£=1,C正确；

对于D：对原式两边关于不求导，

左边导数为：r(x)=(x-2『+6(X+1)(X—2)5,

6

右边导数为：«1+2a2x+3a3AT+-••+7«7x,

令x=1,代入左边导数得：/，(1)=(-1)6+6x2x(-l)5=1-12=-11,

即ax+2a2+3a5H---\-la-,=-11,D正确.

11.ABD

【详解】对于A,乙=2对应于连续2次扔出正面，于是0(％2=2)=；—=:,A正确;

1421

对于B,P(K=0)=Q,P(X3=1)=-,尸(『=2)=履P(『=3)=§,

r

Klj£(A3)=0xl+lx-+2x-+3xl=—,B正确：

88888

对于C,观察前6次扔出连续的4次正面并不等价于前3次的k二2以及接下来的X,=2.

严格计算：P（&=4）=£，P"3=2）=品5[P（k=2）y=《，C错误;

对于D,不妨设匕表示前〃次投掷中出现正面的次数，

于是乂的工，则匕-%之（），则“匕一天）之0,于是]=E（工）之£（元），D正确.

故选：ABD

12.-120

【详解】5个因式，2个因式中取1个因式中取一x,2个因式中取-2y,

即可得出含//的项，

则1V的系数为c；C(-l)C(-2『=-10x3x4=-120,

故我/的系数为T20.

故答案为：-120.

13.420

【详解】如图，用4&CRE表示5个区域，

分4步进行分析：

①，对于区域力，有5种颜色可选：

②，对于区域8,与片区域相邻，有4种颜色可选：

③，对于区域。，9小、“区域相邻，有3种颜色可选；

④，对于区域。、E,若。与8颜色相同，E区域有3种颜色可选，

若。与8颜色不相同，。区域有2种颜色可选，E区域有2种颜色可选,

则区域。、E有3+2x2=7种选择，

则不同的涂色方案有5x4x3x7=420种.

故答案为：420.

【详解】由题可得：X可能取值为：2,3,4,5,

A22I

X="表示前两次都抽到红色，尸-2）=肃犷田

4x2x2162

X=3：表示前两次都抽到一红一白,第三次抽完红球,0(X=3)=

12015'

%=4：表示前三次都抽到一红两白,第四次抽完红球,或者前四次抽的全是白色

Clx2xA；A：324

尸(T=4)=---------f---=---=--

A：A：12015

X=5：表示前四次都抽到一红三白,第五次抽完红球,或者前四次抽到一红三白，第五次抽完白球,

C：x2xA：C：x2xA：3848

则P(X=5)=+---------=----=--

A!72015'

JVrlU^(A，)=2x—+3x—+4x—+5x—=—

''1515151515

15.(1)60；(2)156

【详解】（1）从5种课外读物中任取1种为甲乙共同的，有5种方法;

再从余下4种中取1种给甲，有乙种方法；最后从3种中取1种给乙，有3种方法,

所以这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有5x4x3=60（种）；

（2）若末位为0,则可组成A；=60个无重复数字的四位偶数;

若末位不为0,则可组成A；A；A：=96个无重复数字的四位偶数;

••・共可组成60+96=156个无重复数字的四位偶数.

16.⑴性别与使用AI工具的熟练度无关;

⑵

X0123

1428121

P

55555555

数学期望为1.

【详解】（1）设零假设“°：性别与使用AI工具的熟练度无关,

由统计表得a=30/=15,c=16,d=9,n=70,

则优::黑白-5f

根据小概率值a=0.01的/独立性检验，没有充分证据推断〃。不成立,

所以可以认为名成立，即认为性别与使用AI工具的熟练度无关.

（2）男员工中能够熟练与不能够熟练使用AI的人数比为30:15=2:1,

按分层抽样抽12人，抽取的能够熟练使用的人数为：xl2=8,抽取的不能够熟练使用的人数为4,

因此X的可能取值为0」,2,3,

"收。）=r簧°rJ唱14「（"）=簧r,r2嗡ox

3

P(X=2)=/C2cl=U1?,P(X=3)=r*C0=1」>

储255C：,55

所以X的分布列为:

X0123

1428121

P

55555555

1428121

数学期望E(X)=0x]+lx1+2嗡+3xt=1

17.（1）甲恰好投中1次的概率大.

14

(2)p=-,最大值为

【详解】（I）甲恰好投中।次的概率为c：.L27

5464

乙恰好投中i次的概率为且，

32⑴86464

所以甲恰好投中1次的概率大.

（2）丙恰好投中1次的概率为C；.p.（l-p）2=3p（l-#2.

令/(x)=3x(1-x)2=3x3-6x2+3.r,o<x<l.

求导得：/z（x）=9x2-12x+3.

由「（“AO,解得0＜工＜；,故/（x）在（0,£）上单调递增:

由「（力＜0,解得;故/㈤在上单调递减，

（14

所以/（XL=

14

所以当P=§时，丙恰好投中i次的概率最大，最大值为

18.（1）0.0611?；0.39m3

⑵。.97

⑶1209m-

【详解】（1）样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值亍=箸=0.06

样本中10棵这种树木的材积量的平均值其=3a9=（）.39

据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为0.06n?,

平均一棵的材积量为0.39m，

1010

ZGi-工）（乂-刃-10郎