辽宁省辽西重点高中2025-2026学年高一年级下册开学考试数学（解析版）

辽西重点高中2025〜2026学年度下学期高一田考试

教学试题

考生注意：

1.满分150分，考试时间120分钟.

2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上

对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答

题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

“仆人A=B={JAX2-2X-3<0]io,、

1.已知集合11兀II兀则rll包4“一()

A.(-1,3)B.(1,3)

C.(—3,4oo)D.

【答案】D

【解析】

【分析】解不等式求得集合A3,再由并集运算可得结果.

【详解】易知集合人={H工>1},B={x|-l<x<3},

则AD3={NX>_1}=(_1,+OO).

故选：D

7

2.函数/(x)=的定义域为()

71-log7x

A.(0,7)B.(―co,7)C.(7,+8)D.(0,7]

【答案】A

【解^5]

【分析】根据题意得l\-x>b0g’x〉。'解出即可求解.

[x>0fx>0

【详解】由题意得<,八=<=0<彳<7,

[l-log7x>0[x<7

所以XE（0,7）,

故选:A.

/]y+i

3.函数/")=/一_L的零点所在区间为(NZ+DMeZ,则k=()

<3；

A.0B.1C.2D.3

【答案】A

【解析】

【分析】结合函数的单调性和零点存在性定理，即可求解.

【详解】由于/（x）=d-1的定义域为R,且丫=丁,）,二一1都为增函数,

<37k3J

（IY+1

故f（x）=V-1也为增函数，

111Q

且r（o）=o_3=_5<oj（i）=i_3=3>o,即/（o）g/（i）<o

因此零点在区间（0,1）上，即〃=0.

故选：A

4.若向量4=（2,m）力=（〃叶覃），且〃//〃，则实数，"的值为（）

o

A.-2B.--C.1D.-2或I

3

【答案】D

【解析】

【分析】利用平面向量平行的坐标表示.

【详解】因向量以=（2,6）,〃=（加+1,1）,且〃///J,

所以〃?x（/〃+l）-2xl=0,解得〃尸一2或1.故A,B,C错误.

故选：D.

5.已知函数/*）的定义域为R,且对VXER,f（x）-xf（-jc）=x2+\,则〃2）=（）

25

A.3B.2C.D.

32

【答案】A

【解析】

【分析】利用赋值法和方程组思想求解即可.

/(2)-2/(-2)=22+1=5

【详解】分别令x=2和工=一2得到:/，解得:/⑵=3.

/(-2)+2/(2)=-2-+1=5

故选：A.

6.金秋十月，某校举行运动会，日、乙两名同学均从跳高、跳远、100米跑和200米跑这四个项目中选择两

个项目参加.设事件4="甲、乙两人所选项目恰有一个相同“，事件5=”甲、乙两人所选项目完全不同”,

事件C="甲、乙两人所选项目完全相同”，事件”甲、乙两人均未选择100米跑项目”，则（）

A.A与。是对立事件B.C与。用互独立

C.八与。相互独立D.B与。不互斥

【答案】C

【解析】

【分析】列举出甲、乙两名同学选择两个项目参加的所有情况，计算每个事件的概率，P（A）+P（C）wl可

得选项A错误；由相互独立的定义可知选项B错误，选项C正确：由互斥事件的概念可知选项D错误.

【详解】设跳高、跳远、100米跑和200米跑分别为1,2,3,4,则甲、乙两名同学均从跳高、跳远、100

米跑和200米跑中选择两个项目参加的情况有:

(1212),(1312),(1412),(2312),(2412),(3412),(1213),

(1313),(1413),(2313),(2413),(3413),(1214),(1314),(1414),(2314),

(2414),(3414),(1223),(1323),(1423),(2323),(2423),(3423),(1224),

3324),(1424),(2324),(2424),(3424),3234),(1334),(1434),(2334),(2434),(3434),共36

种,

，则尸⑷螳=［，P（8）41

其中A有24种情况，B有6种情况，C有6种情况，。有9种情况

303306

P(C)44尸(。)4=:

300JO4

由P（A）+P（C）W1可得A与C不是对立事件,选项A错误.

311

P（CD）=—=—^P（C）P（D）=—,C与。不相互独立，选项B错误.

P（AD）=—=-=P（A）P（D）,A与。相互独立，选项C正确.

366

由B与。不可能同时发生可知8与。互斥，选项D错误.

故选：C.

7.已知函数/（x）=（3m-2）2为嘉函数,若函数g（x）=ei+/（x）-7,则g（x）的零点所在区间为

A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)

【答案】B

【解析】

【分析】由累函数的概念求得加=1,再结合零点存在性定理和函数单调性即可求解.

【详解】因为函数/(力二(3加—2)y为寻函数，

所以3m一2=1,解得〃7=1,所以/(x)=x,g(x)=e1+工一7.

因为g(l)=-5<0,g(2)=e+2-7=e-5<0,1g(3)=e2+3-7=e2-4>0,

^(4)=e3+4-7=e3-3>0,^(5)=e4+5-7=e4-2>0,

由解析式可知g(x)=e-+x-7在(F,4W)上单调递增,

所以g(x)在(2,3)上有啡一零点

故选：B.

8.已知函数/(x)=V+lg——+2,则关于x的不等式/(幻+/(2%-1)<4的解集为()

1-x

A(K)B.刖C.6.D(司

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意，设g(x)=d+|g匚7分析函数g(x)的奇偶性以及单调性，据此可得

x<l-2x

/。)+/(2工-1)<4转化为g(x)<g(l-2x),进而解,一1<1<1可得x的取值范围，即可得答案.

-1<1-2X<1

1+X

【详解】根据题意，函数/*)=/+lg—+2

1-X

1+v-1+Y

设g(x)=x3+ig,则有__>0,解可得—1VXV1,

1-x1-X

即函数g(x)的定义域为(一1,1),关于原点对称，

又由g(T)=(T)Mg三-3Tg营=_卜+怆£,

=_g(x)，即函数g(x)奇函数,

设】=----,则y=lgf,

1—x

11v2

/=—=在（一1』）上为增函数，而y=lg/在（0,+8）上为增函数，

1+x

故y=lg=在区间（一1,1）上为增函数，

又y=V为增函数，所以g（x）=d+lg；—在区间（一1,1）上为增函数,

I-X

不等式/（x）+/（2x—1）<4即为g（x）+2+g（2x—1）+2<4,

也即g（x）<-g（2x-l）ng（x）<g（l-2x）,

x<l-2x

所以，-1cx<1,解得

-l<l-2x<13

故选：A.

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符

合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列关于向量说法，正确的是（）

A.若。〃〃，b//c，则Q〃C

B.在aABC中，若04+08+00=0，则△AOC与aABC的面积之比为1:3

C.两个非零向量〃，b,若卜—〃|二口+”，则〃与6共线且反向

D.若4〃〃，则存在唯一实数4使得4=义〃

【答案】BC

【解析】

【分析】对于A,举例判断，对于B,设。为AC的中点，连接。。，则可■得80=30。，从而分析判断，

对于C,对已知等式两边平方化简进行判断，对于D,举例判断.

【详解】对于A,当8=0时，因为零向量与任意向量都平行，所以。〃8，Z?〃c成立，而此时a,c不一

定平行，所以A错误，

对于B,因为。4+08+00=0，所以04+0。=一08，设D为AC的中点，连接0。，

则20及=—0B，所以8。=3。£），所以点B到AC的距离等于点。到AC的距离的3倍，

所以aAOC与△A3C的面积之比为1:3,所以B正确,

D

对于C,由。-0=忖+〃，得a-//=（忖+1『，化简得

所以cos<〃6=-l,所以4与。的夹角为180。，所以〃与。共线且反向，所以C正确,

对于D,当人=（）时，不存在唯一实数丸使得〃=几〃，所以D错误.

故选:BC

“、（ar+3,x<2

10.已知函数「则下列结论正确的是（）

'，［x2-2ar+2fz,x>2

A.若/（/（0））=0,则〃=（

B.若/（“在R上单调递增，则〃的值可以为J

C.存在明使得“力在（F,3］上单调递减

D.若/（X）的值域为R,则。的我值范围为；,+8

【答案】ABD

【解析】

【分析】对于A,根据分段函数的解析式，代入值，可得答案;

对于BC,根据一次函数以及二次函数单调性，结合分段函数的单调性，建立不等式组，可得答案;

对于D,根据分段函数的值域与一次函数的单调性，结合二次函数的单调性分情况求得指定区间上的最值,

可得答案.

【详解】由题意得"0）=3,得/（/（0））=/⑶=9-6〃+2a=0,得〃=q，A正确;

a>0

若f（x）在R上单调递增，则•-工2,得。B正确;

2x14

2〃+3«4-4a+2a

6/<()

若“何在（-00,3］上单调递减,则＜-工3,不等式组无解，C错误:

2x1

2。+324—4。+2a

若f（x）的值域为R,则。＞0,得“X）在（一叫2）上单调递增.

当0＜。工2时，“力在⑵”）上单调递增，则勿+324—4。+勿，得@之；，即:

当〃＞2时，/（x）在（2,。）上单调递减，在（。,y）上单调递增，则2a+32/_2/+2〃，得/+3之0

恒成立，即。＞2.

1）

综上，。的取值范围为二,+8,D正确.

L4）

故选：ABD.

II.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得

根据此频率分布直方图，下面结论中正确的是（）

A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比例估计为6%

B.估计该地农户家庭年收入的85%分位数为10万元

C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元

D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据频率分布直方图进行数据分析，确定85%分位数，平均值判断各选项.

【详解】对于A,由频率分布直方图低于4.5万元的农户比例约为0.02+0.04=0.06=6%,A正确：

对干B,由频率分布直方图知收入超过10.5万元的有0.04+0.02x3=0.1=10%,收入在9.510.5之间

的有0.1=）0%.低于9.5万元有80%,

5%

而因此85%分位数9.5+—上x1=10,B正确；

10%

对干C,平均值约为3x0.02+4x0.04+5x0.1+6x0.14+7x0.2+8x0.2+9x0.1+10x0.1

+11x0.04+(12+13+14)x0.02=7,68>6,C错；

对干D,家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的有0.1.+0.14+0.20+0.20=0.64>0.5,D正确.

故选:ABD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

(81

12.log,9+—+2026°=--------------

27116,

17

【答案】—

27

【解析】

【分析】利用指数运算、对数运算法则计算可得结果.

【详解】易知log।9+(以「+2026°=log-32+f-l'F+1=_2+_L+]=1L

5U6j3-32727

故答案为：—

27

3

13.若x<-l,则工+—；的最大值是____.

x+1

【答案】-1-2^3

【解^5]

3(3।

【分析】根据已知化x+—为-1--(x+1)+-一七，应用基本不等式求最大值即可.

X+1[_IX+1)_

【详解】由题设X+1V0,则

3—l=-1-2x/3,

x+------1--(x+1)+2、-(x+l).

x+177x+1J

当且仅当一(八十1)二一一—,即1二一1一行时取等号，故人十二一的最大值是一1一2石.

x+lx+1

故答案为：一1一26

14.若函数y=满足在定义域内的某个集合A上，2'(〃x)—2,)(x£A)是一个常数，则称“X)在

4.上具有P性质.设y=/(x)为[―2,2]上具有？性质的偶函数.若关于工的不等式/(2%)+2底/(可＜0

在卜1川上恒成立，则实数，〃的取值范围是.

171

【答案】一8,-----

20J

【解析】

【分析】设2、(/(力-2、)=%由题意求出/(力二2-"+2"令f=2T+23求出，的取值范围，由题意

知〃?＜一,+11在/£2,|上恒成立，求出函数)，=一,+!1在2.|上的值域即可求出答案.

22

【详解】设2、(/(“-2)=4,

则"“二弟+2'=龙-"+\

由题意知，y=/(x)为偶函数，所以/(T)=/(X)

即f(r)=Mt+21所以〃=1,

则f(x)=2T+2",/(2x)=Z2x+22x=(2-A+2r)2-2,

令〃=2'，因为所以)!€；,2,

函数)，=〃+!1在1,1单调递减，在［1,2］单调递增,

n

15

当〃='，y=n+—=—f当〃=1,y=/?+—=2,当〃=2,

2"〃2nk〃+厂5'

所以当!I，2时，函数＞=〃+」1的值域为卜,|,

2n

则当时，函数/(x)=27+2”的值域为2,1,

令1=2-"+2'，rc2,|,

则美于x的不等式〃2x)+2机J(x)v0在卜川上恒成立，可化为产+2加一2＜0在/£2,|上恒成

立,

不等式』+2〃〃一2＜0可化为〃2＜一1十-，

2t

即加v—1+!在，u2,-上恒成立，

2t2」

函数），二一：和函数y=l在2,|上均单调递减，

故函数y=—1+；在2,|上单调递减，

nlf1「17「

贝1」,=一二十一七，

2fL202j

17（17）

则〃?<一与，即实数加的取值范围是［-8,一而,

（17、

故答案为：一8，一万.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.

15.已知函数/（"=占一讹-工（其中。为常数）是定义域为R的偶函数.

（1）求“X）的解析式，并直接写出/（x）的单调区间和最小值；

（2）解不等式/。一2）〈/（一1）.

【答案】⑴/（x）=er+e~\/（6的单调减区间是（一8,0］,单调增区间是［0,十⑹，最小值是"0）=2

（2）（1,3）.

【解析】

【分析】（1）由/（"是偶函数列式子可求得〃=—1,再判断函数的单调性，结合单调性即可得函数的最

小值;

（2）由奇偶性和单调性将/（工一2）〈/（一1）转化为卜一2|<卜1］,再解绝对值不等式即可得答案.

【小问1详解】

因为/（x）是偶函数，所以对VXER,都有/（［r）=/（x）

即小一讹'=。'一。尸，

整理得（。+。@-。7）=0,所以。=一1,

/（x）=ex+e-x,

令0＜当＜々，则/（须）_/（々）=寸+6-七一e电_ef=（b_e电）—

'7\e'1-e23

由0＜芭可得炉一e'2（0,。"）1,小＞1,所以1一一一^＞0,

则”~）一/（々）二（9一记）（1一^^）＜°，

所以函数/（x）=ev+e-v在（0,+功上单调递增，

结合奇偶性可得“X）的单调减区间是（-8,0],单调增区间是0+8）,

〃力的最小值是"0）=2.

【小问2详解】

因为“X）是偶函数，且在。+8）是增函数，

所以/（1一2）＜/（_1）等价于卜―2|＜|-1],

解得:l＜x＜3,

所以不等式的解集是（L3）.

1------7—

16.如图，在VA8C中，AM=—AB,CN=—CB.设AB=a,AC=b.

23

（1）用表示AMMN；

41-

（2）若。为VAAC内部一点，后BP=—可"+5氏求证：",P,N三点共线.

21-\1-

【答案】（1）AN=-a+-b,MN=-d+-h

3363

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）借助向量加法法则与减法法则计算即可得；

（2）借助向量线性运算法则可用表示出MP,再利用向量共线定理推导即可得讦.

【小问1详解】

1__-]/_*\2.1.21"•

AN=AB+BN=AB+-BC=AB+-(AC-AB]=-AB+-AC=-d+-b

33、)33339

-------2—1—1—1—1—11

MN=AN—AM=-AB+-AC——AB=-AB+-AC=-a+-b；

63

【小问2详解】

1一41-111-

MP=BP-BM=BP+-AB=一一a-v-b+-d=-d+-b,

992189

■][一.■

又MN=-d+-b,故MN=3MP，

63

故M,P,N三点共线.

17.已知华为公司生产mme系列的某款手机的年固定成本为200万元，每生产1只还需另投入80元.设华

为公司一年内共生产该款手机工万只并全部销售完，每万只的销售收入为R（x）万元，且R（x）=

2000-30x,0<x<40

<37000200000，八

—,x>4()

（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（万只）的函数解析式；

（2）当年产量为多少万只时，华为公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润.

—30/+1920x-200,0cxW40

【答案】（1）W=\

（2）当年产量为32万只时，利涧最大，最大利润为30520万元

【解析】

【分析】（1）根据已知条件求得分段函数W的解析式.

（2）结合二次函数的性质、基本不等式求得最大值一次此时的产量.

【小问1详解】

利用利润等于收入减去成本，可得

当0vx«40时，W=-（80x+200）=-30x2+1920%-200；

200000

当上>40时，\V=xR（x）-（80.X+200）=---------8（）x+36800,

-3O.r2+1920x-200,0<x<40

：.W={200000-80x+36800,x>40

【小问2详解】

当0V烂40时，W=-30(x-32)2+30520.••当x=32时，Wmax=30520,

当上>40时，w=_80（^^+x）+36800<-80x+3680=28800,

当且仅当受四二x,即x=50时，“=”成立，此时W取最大值28800,

x

V30520>288（X）,当年产量为32万只时，利润最大，最大利润为30520万元.

18.已知函数/（x）=log“（92—4'-8）（a>0MWl）,函数=二袈二2.

（1）求“X）的定义域；

（2）判断g（X）在（7）,48）上的单调性，并用定义证明；

⑶若V%《1,2],叫目1,2],使得/（斗）丸（占）成立，求。的取值范围.

【答案】（1）（0,3）

（2）单调递增，证明见解析

⑶（0,l）U12G,十8）

【解析】

【分析】⑴令9-2->0后,解出即可得;

（2）任取为,工2eR，且不<6.再得到8（%）-8（与）的正负即可得；

（3）由题意可得/（x）nux<g（x）1rax，结合（2）中所得可得g（x）2t，再分a>1与0vav1,计算出/（x）max

即可得解.

小问1详解】

由题意知9•2”-4、一8>0，整理得（2'-1）（2'-8）v0,

所以1<2'<8,解得Ovx<3,即/（%）的定义域为（0,3）；

【小问2详解】

g（x）在（-co,包）上单调递增，证明如下：

任取X],%£R，且凡〈玉，

9V--6-3r,-9於一6・3”一9…99

则8（3）一（切=----------------------------------------=31-3Xj+—

3』3”

9（3r'-3V2）（3X|+X2+9）（3't-3X2）

3f3七+工2

又不<工2，所以3七<3)3…>0,所以g(xj-g(£)<0.

即g(xj<8(电)，所以g(x)在(-oo,+oo)上单调递增;

【小问3详解】

若由<1,2],加呼,2],使得fGJVgK）成立,则/（X）max«g（X）max.

/、r1,、9?一6邛一9

由(2)知g(x)在[1,2]上单调递增，所以g(x)3=g(2)=>。2=2,

3

i己人(1)=9.2'—4、一8二—(2、-2)+中，

因为xw[l,2],所以2、《2,4],所以力(x)w[6,12],

当〃>I时，J(x)=log.(9•2'-4*-8)£[log,MogJ2],

则log〃12W2,所以病之口，所以或QW—2j5,又"1，所以〃2

当Ovavl时，f(x)=log“(9-2A-4r-8)e[logJ2,log,6],

则k)g〃6W2,所以/46,所以—指444指，又0<a<l,所以0<a<l；

综上，〃的取值范围为(0,l)U[2G,+8).

19定义皿{，(M(、)}=胱需机{〃必⑹慌牖需

(1)用解析式表示〃(x)=max{x2—2x—2,1+2},并写出力(制的定义域：

⑵证啤min{〃x),g(x)}=­y(x)-Q)L

(3)设G(x)=x?+(人-4)1+6+5-卜2-(b+4)x-Z?+5,"(x)=x+2.若对任意内£卜),4],都存

在占£[0,+8),使得G(xJ=月(々)，求实数〃的取值范围.

x2—2.x—2,1

【答案】(1)力(工)=<x+2,-1<X<4,定义域为(-8,+8)；