有理数的巧算（数学竞赛题汇编-七年级全国）解析

专题01有理数的巧算

◊全国各地竞赛真题试题汇编

1.（2024七年级下•浙江杭州•竞赛）计算：木+京+高+高+…的值是（）

【答案】C

【分析】本题考查了有理数的运算，把每一个分数化为小数计算可得和为0.333…即可得出答案.

【详解】解：4=0.3,^=0,03,就=0.003,3=0.0D03,

10000

_L_...0.30.030.0030,0003

4+总+荒++=++++=0.333-

+—+—+—一+…=0.3=

101001000100003

故选C.

2.(24-25七年级卜・浙江金华)对于%>0,规定/(%)=..

⑴啕=-------

⑵f(短)+/(表)+…+/(3+/⑴+/⑵+…+/(2024)+/(2025)=•

【答案】；2024；

【分析】(1)根据新定义，将x=3弋入/(%)=*计算即可；

⑶根据新定义3)=*,得哨=占=击，求出上)+吧=1,然后将f岛)+/岛)+…+

X

fQ)+/(I)+/(2)+…+/(2024)+/"(2025)分组得

(V+f(2025)]+/(募)+f(2024)]+…+[/Q)+/(2)]+/■⑴,再计算即可.

共2024组

【详解】解：（1）•・•对于%>0,规定/a）=w

工当％寸，得：

121

呜卡安——X———,

233

故答案为：

（2）•・•对于文>0,规定"X）=W

x+11x1

•••/(>击芸-----=-X------=------

xxx+1x+1

/（乃+/（3=忘+一答j

••"（表）+f（/）+.•.+/©+/⑴+/⑵+…+/（2024）-/（2025）

=卜（盛）+八2。25）］+［/（/）+心24）］+…+［吗）+/⑵卜/⑴

共2024组

1

=1+1+-+1+---

----------------'1+1

共2024个1

1

=2024+-

乙

=2024g.

故答案为：2024；.

3.（24-25七年级•上海）计算：987+（-987^^^）.

【答案】-翳.

【分析】本题考查了有理数的除法，以及分数的简便运算.首先把代分数转化为假分数，可得：原式二987♦

（一鳖翳竺3,根据除以一个不为。的数等于乘以这个数的倒数，可得：原式-987x（-薪黑一），

根据分数的乘法法则进行计算即可.

【详解】解：987+（-987篇

=3（/---9--8-7---x-痂988一4-987）\

988

二的x1-987x（988+1）］

988

~~989*

4.（24-25七年级下•北京）计算：W+品+讲+…十诉』

【答案噎

【分析】本题考查的是有理数的混合运算的运算规律的探究.设S=l+2+3+・・・+n,则5="+…+3+

2+1,可求出1+2+3+…+九=用，从而得到=2（工——7）,则原式可变形为2仁一；）+

21-+2+3L+…+,n\n?i+l/\23/

2（/？+2（泻）+…+2（呆击）,即可求解.

（详解］解：设5=1+2+3+•••+n,

则5=?1+…+3+2+1,

.*.2S=n(n+1),

n(n+l)

/.S=2

即1+2+3+…+九二"”

2/10

—H---------F---------+…-1----------------

1+21+2+31+2+3+41+2+3+-+99

1111

=2+2+2+…+2

23344~5心-磊）

1111111

=2

『+门+]M+…99-焉）

11

=2

2100

49

=2xioo

49

50

5.（24-25七年级上•重庆）2,04X99.9+1.94X66.6.

【答案】333

【分析】本题考查了乘法分配律的应用；原式中99.9,66.6有共同的因数33.3,则原式可化为33.3x（6.12+

3.88）,则可求解.

【详解】解：2.04X99.9+1.94X66.6

=2.04x3x33.3+1.94x2x33.3

=6.12x33.3+3.88x33.3

=33.3x（6.12+3.88）

=33.3x10

=333.

6.（24-25七年级上•重庆）121x岛+总）x141.

【答案】等

【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、有理数乘法运算律等知识点，灵活运用有理数乘法运算律成

为解题的关键.

直接运用有理数乘法运算律以及有理数混合运算法则计算即可.

【详解】解:121x（蓝+含）x141

=121X141X盛+言）

13

=121x141x121x141x—

282121

121

=—+141x3

乙

121

=—+423

乙

121846

_967

=­

3/10

7.（2023七年级上•四川眉山•竞赛）【阅读理解.】，=：一；，……

JLX41LZXoZ3JX，o*r

【实践应用】⑴①计算―圭+―*=—;

②计算"、卷+/+/+…+就=——:

【拓展应用】⑵计算.+就+康+..•+福岛而的直

【答案】（1）①*②卷

【分析】本题考查数字变化的规律，能根据题意发现第71个数为丁=及巧妙利用裂项相消法是解题的关键

n（n-l）

（1）①根据题中所给示例即可解决问题；②根据题中所给示例即可解决问题；

（2）将所给算式改写成分母为两个连续整数积的形式，再进行计算即可

【详解】解：(1)①贵+*+*+短+短+马7

1,11111,11111111

=1-2+2-3+3_4+4-5+5_6+6-7

6

=—

7

故答案为：

②;+H2+/+2+…+高

=—+—+—+•••+—j—

1x22x33x499X100

112_L11.।11

22399100

1

=1-----

100

99

=100

故答案为：

(2)•.•，Jx—=J(Lj

1X2X321X2X321X22x3

114-2111

=-X=—(-------------)

2x3x4---22x3x4--22x33x4

11100-98111

-------------=-x--------------=-(------------------)

98x99x100298x99x100298x9999x100

二原式=gx(展一短+木一壶+•••+嬴一^0

________M

2\1x299x100/

4/10

14949

=­x------

29900

4949

=19800

8.(2024七年级下•江苏无锡•竞赛)【阅读】

1X2=-(1X2X3-0X1X2)；2x3=-(2x3x4-lx2x3)；3x4=—3x4x5-2x3x4)；

JJJ

将这三个等式的两边相加，则得到lx2+2x3+3x4=gx3x4x5=20.

【归纳】(1)根据上述规律，猜想下列等式的结果：1x2十2x3十…十71(九十1)=；

【应用】⑵利用(1)中得到的结论计算：2x44-4x6+-+100x102：

【迁移】(3)请你类比材料中的方法计算：1X2X3+2X3X4+・・・+几(n+1)(几+2).

【答案】(1)1xnx(n+l)(n+2)；(2)176800：(3)^nin4-l)(n+2)(n+3)

【分析】本题考杳了数字类规律探索，有理数的混合运算，正确得出规律是解此题的关键.

(1)根据题意得出规律即可：

(2)根据(1)中的规律计1即可得解;

(3)首先得出lx2x3+2x3x4+...+nx(n+l)x5+2)=1x(lx2x3x4-0xlx2x3)+

4

-x(2x3x4x5—Ix2x3x4)+...+-x[n(n+l)(n+2)(n4-3)—(n-l)n(n+l)(n4-2)],

44

再进行计算即可得解.

【详解】解：(I)・・・lx2+2x3+3x4=[x3x4x5,1x2+2x3+3x4+4x5=[x4x5x6,…,

JJ

•••Ix2+2x3+,1+n(ri+1)=-xnx(n4-l)(n+2)；

(2)2x4+4X6+-+100x102

=4x(lx2+2x3+•••+50x51)

1

=4x-x50x51x52

=176800：

(3)1x2x3+2x3x4+...+TIx(n+1)x(〃+2)

111

=-x(lx2x3x4-0xlx2x3)+-x(2x3x4x5-lx2x3x4)+...+-

x[n(n+l)(n+2)(n+3)-(n-l)n(n+l)(n+2)]

1

="x[lx2x3x4—0x1x2x34-2x3x4x5—1x2x3x44-...4-+l)(n+2)(n+3)

—(n-l)n(n4-l)(n+2)]

=^n(n+l)(n4-2)(n4-3).

今全国联赛真题试题汇编「

1.(2024八年级•全国・竞赛)为求1+2+2?+全+…+22016的值,可令s=1+2+2?+23+…+22016,

则2s=2+22+23+24+…+22016+22017,因此2s-s=22D17—1,BPs=22017-l.仿照以上方法，

可得1+3+3?+33+…+320】6=

【答案】|(32017-1)

【分析】设s=1+3+32+33+…+32016,则3s-3+32+33+…+32016+32017,得到2s-32017一1

即可得到答案.本题考查了有理数的混合运算，数字类规律，熟练掌握运算方法是解答本题的关键.

【详解】解：设s=1+3+32+33+…+32016,

・・・3s=3+32+33+…+32016+32017,

3s—S=32017-1,

,2s=32°17_1,

;,s=1(32017_1)t

故答案为：!（32017-1）

3418

七年级•全国•竞赛)计算:|+2+3)

2.(2024二二-+(1+2+3)x(1+2+3+4)+—+

(1+2+…+17)x(l+2+…+18)

【答案】雷

【分析】根据原式的特点进行拆项，再进行加减运算即可得到答案，找到运算规律是解题的关键.

【详解】解；原式=1一击+击一1=1-

1+^2+-3+-14+2+31+2+3+4-+1+2+-+1714-2+--+17+18

1170

1^3111,

1I21­•117118171

故答案为：詈

2010x2010x2010x

3.（2024七年级•全国・竞赛）方程鬻++…+=2009的解是％=.

1+2+3+1+2+3+41+2+3+44-4-2010

【答案】2011

1112010

【分析】本题考查了有理数的加法，乘法和解一元一次方程，根据裂项求和进行简便运算即可，将所求式

子用裂项相消的方法进行正确的分解是解题的关键.

【详解】解：设4=忘+小+$+…+

1+2+34--+ZO1U

+，，，+2010X2011

2x33x44x5

---+---+---+•••4------------Y

=2

23344520102011/

=2（卜羔）

2009

2011

二针…9,

6/10

X=^ll

2010

故答案为：舞

4.(2024七年级•全国•竞赛)计算：2009X20082008-2008X20092009=.

【答案】0

【分析】本题考杳有理数的灵活运算，由于20082008=2008x1001,20092009=2009x1001,原式可

化为2009X2008X1001-2008X2009X1001,根据相同两数的差为0即可解答.

【详解】2。09X20082008-2008X20092009

=2008x2009x10001—2008x2009x10001

=0.

故答案为：0

5.（2024七年级.全国.竞赛）计算：片-田+|J____£

12112006~2005

【答案】景

【分析】本题主要考查了绝对值的意义，有理数加减混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则：先根据

绝对值的意义去掉绝对值，然后根据有理数加减混合运算法则进行计算即可.

【详解】解:片T|+后一1_…+|_!_____i_

11十120062005

111111

■■■I~

1011111220052006

11

102006

499

5015,

6.(2024七年级•全国•竞赛)计算：S=-1+(-1)2+(-1)3+-+(-1)6.

【答案】途

【分析】本题主要考查了有理数混合运算，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握运算法则.先两

237

边乘以一^得：—（s0+(-1)+-+(-1)\然后两式用减得日5=_1I)=-^求出S的

值即可.

【详解】解：s=-1+(-1)2+(-1)3+...+(-1)6,

两边乘以得：=+(—3+,,+(—：)，

两式相减得|s=-篝，

ZZ\Z/IZo

所以s=-g.

64

7.(19-20七年级上•湖北恩施•阶段练习)计算：1+2-3-4+5+6-7-8+…+2005+2006-2007-

2008.

7/10

【答案】-2008

【分析】本题考查了有理数的混合运算，科学运用结合律是解题的关键.

【详解】解：原式=（1-3）+（2-4）+（5-7）+…+（2005-2007）+（2006-2008）=-2x1004=-

2008.

8.（2024七年级.全国•竞赛）计算：（1+/打…+忘）&+[+…+就）-（1+打打…+念）&+%

…十就）•

【答案】意

【分析】本题考查的知识点是有理数的混合运算，解题关键是掌握整体代换的思想.

设1+3+9+…+焉=。，；+（+…+焉=从代入把原式变形，进一步计算即可求解.

JJ74口MV*Kzx

【详解】解：设：1+抖畀…+康=。,W…+短=瓦

则原式=ax（b+就）—（Q+短）x4

=盛（。-"

•.•a-b=（l+打/…+嘉）-C+打…+康）=1,

二原式=蠢*1=

9.（2024七年级•全国•竞赛）古埃及人处理分数与众不同，他们一般只使用分子为1的分数，例如：用;+：

L4

来表示用*3+2来表示总现有99个分数：p%…，表,总

（1）从这99个分数中挑出4个分数，使它们的和等于右

⑵能否从这99个分数中挑出9个分数，加上正、负号，使它们的和等于0?若能，求出满足条件的9个分

数；若不能，说明理由.

【答案】明+卷+»*;

⑵能，一抖.+/+*+或+专+,+专+:0

【分析】（1）本题考查了对题干的理解，以及有理数的加法运算，根据用T+；来表小*将《化为2个分子

为1的分数相加，再继续分解下一个分数，得到4个分子为1的分数相加，即可解题.

⑵本题考查有理数的加减运算，以及分数的规律，根据—7+小小J将此

式再减去1加上，即可解题.

【详解】⑴解：•••可以用；+；来表示不

244

—1I—.1=一3,

244

V—1=-lx-(-l-+-2-)=2—,+1—=1—,+1一,

44x(l+2)1212612

—1.I--1-,--1-=一3，

26124

8/10

..1—lX(2+3)=23一11

,6.6x(2+3)-6x(2+3)十6x(2+3)一记十行，

Al+±+±+±=3.

21510124

(类似的去分解!也可).

(2)解.4-l4-J_4.-L4._L-i--+—+—

肿•2十6十12十20十30十42十56十72

11111

=----+-----+-----+…+-----+-----

1x22x33x47x88x9

111111111

=1-2+2-3+3-4+，，，+7-8+8-9

=1-k

.一+*工+上+工+工+工+3=0.

261220304256729

10.(2024七年级•全国•竞赛)贝贝为了计算1X2+2X3+3X4+・・・+99X100的值，作了如下探究:

Ix2=1(lx2x3-Oxlx2),2x3=1(2x3x4-lx2x3),

3X4=1(3X4X5-2X3X4),将这三个等式的两边相加，

得到1X2+