高中数学必修第2册第六章 综合测试B卷（解析版）

第六章平面向量及其应用综合测试卷B卷

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项

中，只有一项符合题目要求。

1.下列说法正确的是()

A.方向相同的向量叫做相等向量

B.共线向量是在同一条直线上的向量

C.零向量的长度等于0

D.A4//C。就是AB所在的直线平行于CQ所在的直线

【答案】C

【详解】

方向相同且长度相等的向量叫做相等向量，A错；

共线向量只要方向相同或相反，表示向量的有向线段不一定在同一直线上，B错；

长度等于。的向量是零向量，C正确；

AB//CO就是所在的直线与表示CO所在的直线平行或重合，D错.

故选：C.

2.在A5C中，a=G，〃=1,A=60,则8=()

A.30B.60C.30或150D.60或120

【答案】A【详解】

11

/li(ABC),因为〃=逐，b=\,A=60,

,V3_1

所以由正弦定理，二=号，可得耳一而i，解得：sinB=g

sinAsinB—2

2

因为。<a,可得4<A,

则8=30.故选：A.

3.已知向量〃，匕满足M=W=|"N=2,则|。+纠=（）

A.2B.4C.2x/5D.2百

【答案】D【详解】

因为忖=/?=〃-/?,所以所以=则

卜+留=”广+々.0+4//=J4+4X2+4X4=2夕.

故选：D.

4.已知。，E分别是“8C的边BC和4c的中点，若A。=〃，AC=b，则8E=（）

C.2b--aD.-b-2a

22

【答案】D【详解】

如图，因为Q,E分别是6ABe的边9c和4c的中点.

BE=BC+CE=2DC--AC=2(AC-AD]--AC=-AC-2AD=-b-2a.

21f222

故选：D

5.东寺塔和西寺塔为昆明市城中古景，分别位于昆明市南面的书林街和东寺街，一东

一西隔街相望，距今已有1100多年历史，在二月的梅花和烟雨中，“双塔烟雨〃成为明

清时的“昆明八景〃之一.东寺塔基座为正方形，塔身有13级，塔顶四角立有四只铜皮做

成的鸟，俗称金鸡，所以也有"金鸡塔"之称.如图，从东到西的公路上有相距80（单位：

m）的A、8两个观测点，在A点测得塔在北偏东60。的点。处，在B点测得塔在北偏西

30。，塔顶。的仰角为45、则塔的高度C。约为（）

C.35mD.23m

【答案】A【详解】

如图，依题意，ZCM=ZCZM=90°,ZCBD=45,/BAO=30力=6(),

于是得4408=90",BD=ABcos/ABD=80cos60=40,在RtBCD中，8=87)=40,

所以塔的高度C。约为40m.

故选：A

6.已知△A8C是边长为1的等边三角形，点DE分别是边ABIC的中点，且DE=3EF，

则AQ4C的值为（）

【答案】B【详解】

把aA8C如下图放在直角坐标系中,

由于△A8C的边长为1,故90,0）。1,0）,梏,亭，,•点D工分别是边MB。的中点,

11、7

—=3（x——）x=—I-「

4212-76、17GI

GQ61212121212

4I12

故选：B.

UULT1ULK1IILIU

7.己知点M是,/8C所在平面内一点，若AM=K"+QAC,贝与ABCM的面

JJ

积之比为（）

854

A.-B.-C.2D.-

323

【答案】C【详解】

不妨设aABC中，NA=90,边长c=2,边长。=3,

以A为原点、AB为工轴、AC为），轴建立平面直角坐标系

则40,0)、3(2,0)、。(0,3),

AB=(2,0),AC=(0,3),设M(x,y),则AM=(x,y)

故AM=；AB+gAGJ(2,0)+1(0,3)=(1,1)

r=[

可得,,故

[y=i

二ABM的面积为:x2xl=l,

tBCM的面积为]x2x3-1x3xl-]x2xl=1

2222

-1=2

则一ABM与.BCM的面积之比为1

2

故选：C

8.已知A、B是单位圆。上的两点(O为圆心)，ZAOB=120°,点C是线段AB上不与

A、B重合的动点.MN是圆。的一条直径，则CM.0V的取值范围是

3311

A.[--»0)B.0]C.1)D.1]

【答案】A【详解】

建立如图所示的坐标系,

•/OA=OB=1,NAOB=120,.\O至I」直线AB的距离d=-y:.-<|oc|<l,-!-<\OC^<1,

224

则CMCN=(OM-OC).|：ON-OC)=OMON-(OM+ON)OC+|OC『=-I+|OC『，

：.-<CMCN<0,CM.CN的取值范围是I"—"],

4L47

故选A.

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分；在每小题给出的选项中,

有多项符合题目要求；全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有选错得。分。

9.已知平面向量〃=(1,()),。=(1,26)，则下列说法正确的是()

A.|«+^|=16B.(a+力)-々=2

C.向量a+方与〃的夹角为30°D.向量〃+〃在〃上的投影向量为2〃

【答案】BD【详解】

解：«+Z7=(2,2X/3),则卜+力卜"?我=4,故A错误；

(a+〃)-a=2,故B正确：

乂0。«。+〃,〃岸180。，所以向量〃+/,与。的夹角为60。，故

C错误;

\a+b]a

向量a+b在a上的投影向量为'।Ja=2a,故DE确.

故选：BD.

10.在平行四边形48。中，^AE=^AB,AF=^ADf则()

A.EF=-BD

2

B.AD+CD+BE=0

C.AC+2DF+2BE=0

D・AC1BF,ABAD=BC-2CD1

【答案】ACD

【详解】

V在平行四边形A8CQ中，AE=^AB,AF=^ADt

E尸分别为AB、AD的中点,

:.EF=；BD,故A正确；

因为AO+CO+8E=AO+8A+；8A=8Q+gBAH0,故B错误;

因为AC+2。尸+28E=AB+AO+OA+8A=0，故C正确;

若ACJ.BF,则ACB/=0，又==

2

「.ACBF=^AB+AD\^AD-AB=0,

...1AD2--ADAB-AB'=0

22

二ABAD=AD2-2AB1=BC-2Clf>故D正确•

故选：ACD.

11.下列说法错误的是（）

A.若二〃力，则存在唯一实数4使得a=昉

B.两个非零向量a，b，若卜一）卜同十忖，则a与。共线且反向

C.已知i=（】，2）」=（l,l）,且4与4+劝的夹角为锐角，则实数％的取值范围是卜g，+8）

D.在&A8C中，BCCA=CAAB,则；ABC为等腰三角形

【答案】AC

【详解】

对于A：若a=b=0满足则实数见不唯一，故选项A错误；

对于B：两个非零向量a，b，若卜-〃|=忖+|4，则,-町=（口+力），

所以/+//-2〃/=J+好+2a]b,可得2a"=2MM.cos（〃.力）=一21相，cos（a@=T,

因为04。勺4兀，所以,力）=兀，所以〃与力共线且反向，故选项B正确；

对于C：已知屋。,2）,力=（1,1）,所以。+乃=（1+2,2T）,若〃与〃+脑的夹角为锐角，

则。♦（。+4匕）=1+几+2（2+%）>（）,解得：»当％=。时，a+Ab=a此时〃与

的夹角为0,不符合题意，所以义工（），所以4的取值范围是（。依），故选项C

不正确；

对于D：在“8C中，取AC的中点O,由3CC4=CA-A8，得

CA.（BC-AB）=C4.（BC+BA）=C4-2BO=0,故3。垂直平分AC,所以&AAC为等腰三

角形，故选项D正确.

故选：AC.

12.已知；ABC面积为12,BC=6,则下列说法正确的是（）

A.若COSB=R^~,则sinA=]B.sinA的最大值为仁

5313

C.:/'十Xb的值可_以为0:D.c：十20b的值_可_以为，9

bc2bc2

【答案】AD【详解】

设A3,C所对的边为a,b,c,因为；ABC面积为12,故:acsin8=12,

故acsinB=24.

对于A,若8s8=拽，结合3为三角形内角可得sinB=正，故改=24行.

55

因为。=6,故c=4石，故82=36+80—2*24逐乂&=2（）,故b=2亚.

5

6_2y/5_2y/5

由正弦定理可得sinAsinB旧，故sinA=《，故A正确.

5

对于B,由余弦定理可得〃+C2—»（、8SA=36,

所以加+/=2^、cosA+36>2bc即182儿（1-cosA）,当且仅当力=c时等号成立.

1?424A3

而三儿sinA=12,故从=—故]入「■（I-cosA）,整理得到tan^W：,

2sinAsinA24

2ctan—A

AA2

丁一sinA=2sin—cos—=2

而22-iA,

l+tan2-,+tan-

A2

2tan—

2

A7425

因为Ovian'K^,故j+tan__—故淅A的最大值为黄,

2N

当旦仅当〃=。=5时等号成立，故B错误.

3

ri.-r入>2,2DA〜A-besinA-2bccosA

对于C,cbzb+c36-20ccosAy

—+—=--------=------------------=-------------------------

bcbe

cb33f9~5

故:+—-sin4+2cosA，而一sinA+2cosAWJ-+4

bc22V4

故z+£,故c错误.

对于D，若/日号，则可得泊或冷，

c=4b

b2sinA=6

若：=4,则・bcsinA=24,消元后得到:

b17b2-8Z>2cosA=36

b2+c2-2Z?ccosA=36

所以悬整理得到6sin"8cosE7,

但6sinA+8cos4410,故矛盾即：=4不成立.

b

b=2c

c2sinA=12

若冷，财AsinA=24,消元后得到：•

5c2-4<?2cosA=36'

b2+c2-2/JCCOSA=36

所以言*H,整理得到3sm»48sg

34

结合sin?A+cos2A=1可得sinA=',cos4=y,此时c=2岔,力=46，

故D正确.

故选：AD.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知向量4=(1,2),5=(2,-2),c=(2,2).若伍+的〃』则".

4

【答案】【详解】

解：。+2力=(1,2)+(4,-4)=(5,-2),c=(2,A),

(£+27?)〃2。52-2x(-2)=0<=>52=4<=>2=—^

4

故答案为：-三.

14.在.ABC中，角A,B,C所对的边分别为“，b,c,若8=30。，。=4,且：A6C的

面积为6,则〃=.

【答案】布【详解】

由题意知S八岚.=gacsin30'=G,则c=6，由余弦定理得/-2accos300=从，

即16+3-12=从，则〃=".

故答案为:77.

15.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶。

在西偏北30的方向上，行驶600m后到达3处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰

角为30,则此山的高度CD=m.

D

【答案】100指

【详解】

试题分析:由题设可知在&4c中,NC4=3：.一4C=1变；，由此可得在张箔=噫’‘,

由正弦定理可得‘CR―60不0廨之得偿二翻帆氐又因为也血—让所以

sin,0、sm45

CZ）=C5tan30:=100«,应填1006・

考点：正弦定理及运用.

16.如图，在梯形ABCO中，AB//CD,4B=5,AD=4,CD=2,ZZMff=60°,

（1）ADDC=.

（2）P是A3上的动点，则PC，。的最小值为

【答案】411【详解】

----------------------1

（T）由题设知:ADDC=\A£>||DC|cos60°=4x2x-=4.

2

（2）若=且O=W1,

;PD=PA+AD^PC=PD+DC=PA+AD+DC

PCPD=(PA+AD+DC)-(PA+AD)=+ADPA-^DCPA+PAAD+AD+DC-AD♦

一__3

PCPD=25A2-302+20=25(2一一)2+ll,

3

故当a=M时，PC，。的最小值为IL

故答案为：4,11.

四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，其余各小题为12分，共70分。

17.已知忖=3,W=4.

⑴若〃与b的夹角为60。，求(a+2〃)q

(2)若a与〃不共线，当攵为何值时，向量“+幼与幼互相垂直？

3

【答案】⑴21(2)^=±-

4

(1)解：,+2〃)."=忖+2Z?-tz=9+2x3x4xi=2l

(2)解：:向量£+历与砧互相垂直,

..(a+祐)(。-拓)=0,整理得片_炉52=0,又M|=3,忖=4,

3

「•9-16攵2=0，解得A=±丁.

4

3

当&=±力1寸，向量〃+幼与"—幼互相垂直.

4

18.的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知/=〃+/+从，且二4BC的面积

为亘

2

⑴求角A；

(2)若2sinB=sinC,求A8C的周长.

【答案】⑴7（2）3+g

⑴因为炉=Z/+/+反，所以从+°2一〃2=一尻，

由余弦定理得cosA=

2bc~2b^~~2

又人（0,冗），所以4=宁.

⑵

由2sin8=sinC及正弦定理可得给=c,

又，A8C的面积为立.

2

所以,AcsinA==立，则bc=2,

2222

解得：b=l,c=2,

所以〃=J/??+c?+be=小»所以△ABC的周长为3+V7.

19.已知坐标平面内0A=（l,5）,。8=亿1）,OM=（L2）,OP=MM>2GR.

（1）当A,B,/>三点共线时，求义的值；

⑵当P/VP8取最小值时，求0P的坐标，并求cosZA必的值.

【答案】（1）4=弓；（2）。尸=（2,4）,—砰.

⑴./04=（1,5）,03=（7/），（9M=（1,2）,OP=WM,

OP=/IOM=(424),AB=O8-OA=(7,l)-(l,5)=(6,-4),

/\P=OP-OA=(2,22)-(l,5)=(2-l,22-5),

当A,B,P三点共线时，有43〃AP，

6(22-5)-(-4)(2-1)=0,

解得人].

o

⑵

•「==5-2A),PB=OB-OP=(7-九1-2司,

PAPB=(l-2)(7-/l)-(5-22)(l-2zl)

=522-20/L+12

=5(A-2)2-8,

当4=2时，P4P8取得最小值-8,此时OP=(2,4),

/.PA=(-l,l),,4卜夜，PB=(5,-3),|PB|=>/34,

.COSZAPB=COS(PA,P^=AA=^_=_4V1Z

一、/网网72x73417-

20.已知：是同一平面内的三个向量，其中。=(1,2)

(1)若口=2石，且c//求c•的坐标；

⑵若|小4，且4+28与垂直，求4与。的夹角仇

(3)若6=(1/)，且4与4+劝的夹角为锐角，求实数％的取值范围.

【答案】⑴(2,4)或(-2,-4)(2)H(3)[-^,0U(0,-KO)

【详解】

解：设c=(x，y),

•「H=26，且c〃a.

y-2x=0x=2x=-2

解得或，

x2+y2=20y=4），二y，

。=(2,4)或。=—

（2）-/。+2人与2a-〃垂直，

(a+2by(2a-b)=0,

&P2a2+3ab-2b2=0^

_5

□ab-2

cosO=------="

\a\\b\

4与〃的夹角为乃；

（3）Q；/与〃+，力的夹角为锐角

则“。+力人）>0,旦〃与4+即不同向共线,

.,.a(a+丸人)=|«|+Aab=5+(\+2)2>0,

解得:席,-,,

若存在1,使4=/（。+/1々，/>0

6/+AZ?=(1,2)+A(l,1)=(14-2,2+2)

则(1,2)=/(1+42+Q,

r+r2=1r=l

2'+“=2’解得：

/=0

所以2〉一g且4工（）,

实数/I的取值范围是-：,。5。，位).

IJ，

21.设a,b,c分别是0ABe的内角A,8,C的对边，(sinB-sinC)/?=(a-c)(sinA+sinC).

⑴求角A的大小；

(2)从下面两个问题中任选一个作答，两个都作答则按第一个记分.

①设角A的角平分线交8C边于点Q,且AO=1,求，ABC面积的最小值.

②设点D为8c边上的中点，且人。=1,求4ABe面积的最大值.

【答案】⑴A⑵①(②冬

JDJ

⑴•.竟T方品旦35C)〃=(…)&A+sinC)，

(b-c)b=(a-c)(a+c),即//=/配，

,b2+c2-a2be1/八、

••cosA=---------------=---=—,乂Ax£(0,冗),

2bc2bc2

A=一•

3,

(2)

选①:AZ)平分/BAC,

ZBAD=ZCAD=-ZBAC=-,

26

BD

'△ABD+SCACD=^A/WC，

gAB•AOsin/BAD+54。sinZ.CAD=gOcsinA,

222

即csinJ+Z>sinJ=besin3,

6o3

c+b=\f3bc

由基本不等式可得：

4?>bc=b+c>2\[bc,

^->4，当且仅当〃=c=记时取J",

33

SAAK=/〃csin4=半此3坐，

即，ABC的面积的最小值为”;

②因为A。是8c边上的中线，

©+1。

在4ADB中由余弦定理得cosZADB=⑷--------，

2x^x1

（穿+产一从

在.ADC中山余弦定理得cosZADC=3---------

2x|xl

/cosZ4DB+cosz^4DC=0,

.•鸣+2=〃+d,

TT

在,A8c中，A=不，由余弦定理得cr-b1+c2-bc,

J

4-bc=b2+c2

4—be=b2+c2>2bc,

解得尻・4金，当且仅当〃=c=绝时取

33

所以&诋=/csinA=与bc&辱

即，ABC的面积的最大值为且.

3

22.在三角形ABC中，A8=2,AC=1,ZACB=^t。是线段8C上一点，且EQ=；OC,

户为线段人4上一点.

（1）设AB=。，AC=b.^：AD=xa+yb,求不一丁；.

（2）求CF.E4的取值范围;

（3）若尸为线段AB的中点，直线CF与40相交于点M,求CMA8.

1「114

【答案】（1）-（2）-X—（3）-

3[_loJ5

【详解】

（1）AD=AC+-CB=AC+-（AI3-AC]=-AB+-AC=-a+-b

33、J3333

-211

IH]AD=xa+yb/.x=-,y=-:.x-y=-.

（2）•「在三角形ABC中，A8=2,AC=1,NAC3=g「.=g,BC=6

:.CF-FA=（CA-^AFyFA=CA-FA-^AF

不妨设|AP|=x,xe[0,2]

二①式=1xxxcos(?)-/=一彳2,X£[Q,2]CFFAe_3,专

(3)尸为线段AB的中点.•.b=C4+LA8=，G4+，C8

222

不妨设CM=4CF/.CM=gCA+gC8

/.AM=CM-CA=\--\\CA+-CBfAD=-CB-CA

U)23

•.•A、M、D三点共线.

/.AM=pAD即(4-1)CA+:C8=呜CB-CA)

4.2-2

:.X=-:.CM=-CA+-CB

A2555

---u

23

.\CA/AB=f|cA+|cfij(CB-G4)=|cB2-|c42=j.

第六章综合训练

一、选择题:在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知向量a=(2,1),b=(x,-2),若a//b,则a+b=(

A.(-2,-l)B.(2,l)

C.(3,-l)D.(-3,l)

2.在△ABC中，若4=60。,8C=4V5,4C=4企,贝l」角B的大小为()

A.30°B.450

C.135°D.45°或135°

3.［2023山东滨州期末］如图，尸为平行四边形48CO对布线BD上一点,AC,BD交于点

OjF=［前，若而=A•而+y而，贝1J盯=()

B」卷

A-A16

4.已知△ABC的内角A,8C所对的边分别为a也c,且3-〃)2/=4,。=120。,则△ABC的面积

为()

A.4B.亭C.x^3D.2V3

DA

5.已知而=(2,3)J?=(3j),|百？|=1,则而•尻=()

A.-3B.-2C.2D.3

6.设D为△A8C所在平面内一点,近二2而，则()

A.而二二通十/

33

.....1—24•

B.AD=--AB+^AC

22

CAD=^AB

22

DMAB-AC

22

7.不解三角形，下列问题中有两组解的是()

A.a=2^=3,B=105°B.a=2力=3,8=35。

C.a=2,Z?=3,A=90°D.a=3,〃=2,8=35°

8.在菱形ABC。中,NA8C=12(r/C=28，丽+3而=0.反=2的，若丽•丽二29,则

7=()

B

Ai5"吗

二、选择题:在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.

9.己知向量a=(l,・2),|b|=4|a|,a〃b,则b可能是)

A.(4,-8)B.(8,4)

C.(-4,-8)D.(-4,8)

10.已知向量a=(l次),b=Q«-3),则下列说法正确的是()

A.若原3,则｛a,b｝可以是这个平面内所有向量的一个基底

B.若|a-b|=|a+b|,则k=^

C.若a2>b2,Mk>3

D.若则a与b的夹角是锐角

11.已知△A8C的内角4B,C所对的边分别为下列四个说法中正确的是()

A.若-、=-勺=£，则△A8C一定是等边三角形

B.若acosA=〃cos8,则△48C一定是等腰三角形

C.若bcosC+ccos8=〃，则△ABC一定是等腰三角形

D.若苏+庐廿,。厕△A8C,定是锐角三角形

12.［2023云南曲靖会泽模拟］在平面直角坐标系xO.v中，定义变换7:将点&x,y)变为点

Az(x+)j-y),下列说法正确的是()

A.若ATBT//CTDT

B.若A8J_CR则ATBTLCTDT

C.若|A8|二［则|A力7|=1

D.若NAO8=60°,则N4簿也产60。

三、填空题

13.［2023安徽滁州琅哪月考］已知8(-1,1)e(2,3)，若第=-3万可，则点P的坐标

为.

14.设一条河的两岸互相平行，河水的流速为2m/s,一艘小船以垂直于河岸方向4V6m/s

的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为m/s.

15.若向量a=(l,l)与向量b=(l力的夹角为锐角，则x的取值范围是.

16.在四边形A8CO中，而=反=(1,1)高瓦5+事前=照瓯则四边形A8CD的面积

|o/i||DL|DU\

为.

四、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知a=(l,2),b=(-3,l>

⑴求a-2b;

(2)设a,b的夹角为仇求cos6的值;

(3)若向量a+Ab与a-Ab互相垂直，求k的值.

18.设向量a,b满足间=|b|=l,且13a・2b|二夕.

(1)求a与b的夹角；

(2)求|2a+3bl.

19.AABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a力easinAsin8+Aos~A=\[2a.

⑴求°；

a

⑵若才二片+百片求B.

20.[2023山西朔州怀仁月考]已知△ABC中，内角A,8,C所对的边分别为a/c且

S+C)2=q2+(2+孚)be.

⑴求sinA的值；

(2)如图,。为AB上的一点，且AD=2BD,若NBCD=2NACD,B为锐角，求cosZBCD,sinB

的值.

ADB

21.在△ABC中，内角A,8,C对应的三边分别为且满足/々cosB-^b=a2-h2.

⑴求角A;

⑵若a=V5,求b+c的取值范围.

22.要将一件重要物品从某港口。用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时，轮船

位于港口0北偏西30。且与该港口相距20海里的A处,并正以30海里，时的航行速度沿

正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以口海里/时的航行速度匀速行驶，经过，小时

与轮船相遇.

(I)若希望相遇时小艇的航行距离最短，则小艇航行速度的大小应为多少？

(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里用寸，试设计航行方案(即确定航行方向和航

行速度的大小)，使得小艇能在最短时间内与轮船相遇,并说明理由.

参考答案

第六章综合训练

1.A•・•a〃b,，2x(-2)-x=0,.\x=-4.

Aa+b=(2,1)+(-4,-2)=(-2,-1).

2.B由正弦定理，得告二等，则sin8=^^=4与鲁°=1.因为8OAC所以A〉仇

s\nAsin/?BC4v32

而A=60。,所以fi=45°.

3.C因为广为平行四边形ABCD对角线BD上一点交于点OjF=:耳。所以

丽=:丽=：乂4丽=:前=：(而-而)，所以而二通+而=而+：(而一

44288'8'

而)=：而+:而，因为前二工而+y而，所以x=2,)，=J,所以xy=^X1

oooo8o64

4.C将cr=a2+b2-2abcosC与(。+万)?-d=4联立，解得ab=4,故S△八8c=%〃sinC=x/3.

5.CVA5=(2,3),^C=(3,r),

,\BC=AC-AB=(\,t-31

：.\BC\=J12+(£-3)2=1,解得/=3,

即近二(1,0).贝”而-F?=(2,3)-(l,0)=2x1+3x0=2.故选C.

6.B,：BC=2CD.

：.AC-AB=2(AD-AC),：,AD=-^AB+

由已知可知彳瓦而不共线，

・•・丽，正前边的系数唯一确定.故选B.

7.D选项A中,avb,B为钝角，只有一组解；

选项B中,a〈b,B为锐角，只有一组解;

选项C中,。侬4为直角，无解;

选项D中，。乂＞asinB,B为锐角，有两组解.故选D.

8.D建立如图所示的平面直角坐标系，设N(x,y),因为AC=2®/ABC=120。,所以BO=1.

因为丽+T而=0,所以丽=3目乙即M是8c的中点，

所以A(-V3,0),M^,p,D(0,-l),C(V3,0),

乙乙

所以俞二(啜J,方？二(6,1)=2丽="%)，+1),由题意知屏0.

故N(字］-J,所以而二峥+国,；-1),所以施•而二手(苧+V5)+；(；J=29,即

XAAALAZX

1+4=29,Fp2=3故选D.

9.AD当b=-4a时,b=(-4,8);

当b=4a时,b=(4,-8).

10.BC当a与b不共线，即-3xl/(24)/)时,

解得厚3且原-1,选项A错误；

若|a-b|=|a+b|,则a_Lb，所以1・(2/)+(-3>攵=0,解得攵弓,选项B正确；

若a2Ab匕有l+F>(24)2+9,解得43,选项C正确；

当k=-\时,a与b平行,夹角不是锐角，选项D错误.

故选BC.

11.AC由，^=3=',

cos/lcosBcosC

利用正弦定理可得当=当=当，

cosAcos5cost

即tanA=tan/^=tanC；即A=B=C,

所以△ABC是等边三角形,A正确；

由正弦定理可得sinAcosA=sin8cosB,

即sin2A=sin28,所以2A=28或2A+2B=TI,

△ABC是等腰三角形或直角三角形,B不正确;

由正弦定理可得sinBcosC+sinCeos/?=sinB,

即sin(8+O=sinA,即sinA=sinB,

则A=13^ABC是等腰三角形,C正确;

,,2./,22

由余弦定理的推论可得cosC='>0.C为锐角4,8不一定是锐角.D不正确.

Zab

12.ABD设1(沏,》］),即纣2)。(乃》3),。(孙先),则

Az(X)+y\/I-y)]/。2+»/2-y2),。7。3+启用-y3),。7。4+y4用乎).而

AB=(X2-X\,y2-y\),CD=(必-即,)4)3),设Jz-Ji=in,y4-y3=〃42-工产p”u-X3=q,则48=(pj〃),C。=(5〃),

对于A,因为AB〃C£),所以而||而，所以，ip=mq,而

ATBT=(X2+)'2-笛I^2-yz-xi+y\)=(p+m,p-m),CTDT=(XA+),4/3-)'3,，14-)'4-43+)'3)=(q+〃,伏〃)，所以

(p+/〃)仆〃)-(〃-/〃)((7+〃)=2〃伏2〃〃=0.所以而乐IICT。*,又点AT,BT,C「,DT是4个不同的点，

所以A：BT〃CTDT,故A正确;对于B,因为A8_LC。,所鼠而•而=0,即〃小?〃=0,而4闻♦

C70r=(p+/〃)(q+〃)+(〃-，篇(夕-〃)=2〃47+2〃〃?=(),且向量4787与。丁07均不是零向量,所以B正

确;对于CM为|A8|=1,所以|A8『=7〃2+p2=l,而伏/87|2=(〃+〃?)2+(/?-〃7)2=2〃2+2/〃2=2,故C错

误;对于D,因为NAO8=60。,所以COS/AO8二瑞赢2_1

舟金唬镌一工

而8S"O两嚼将

(勺+力)仪2+、2)+(%131：口2-%)

2222

J(xi+y1)+(x1-y1)yl(x2+y2)+(x2-y2)

2xiX2+2yp2

=5,故D正确.

故选ABD.

13.设P(x,y),由P(1,1),P2(2,3),罚二-3恒，得。+1,-1)=-3(2*3-)，)可得

x+1=-3(2-x),y-l=-3(3-v),解得x=、=4.所以点P的坐标为乜4).

14.10为了使航向垂直河岸，船头必须斜向河的上游，设船在静水中的速度为vi,方向斜

向河的上游,河水的速度为V2,方向平行于河岸，指向河的下游.

闷=2m/s.

船在静水中的速度与河水的速度的合速度v垂直于河岸，且|v|=4乃m/s.

2222

则Ml二/(v-v2)=yjv-2vv2+=(4y/6)+2=10(m/s).

15C/)U(l,+8)设向量a与向量b的夹角为d则cos。二品=后专袤

[4-Y

因为夹雨为锐角，所以o<cose<1和()<_<1,

V2XV1+X2

所以x>-l,且(1+K)2<2(1+/),

解得-1<X<1或X>1,

故X的取值范围是(-l/)U(l,+8).

16.V3由而=反=(1,1),可知四边形A8CO为平行四边形，且|而|二|沆|二企,因为

高瓦？+言近=彘•前,所以可知平行四边形AAC。的对角线平分NA8C,四边形

ABCD为菱形，其边长为VI且对角线BD长等于边长的百倍，即BD=y/3xV2=后.没对

角线80与AC交于点瓦则CE2=(V2)2-(y)=今即CE号所以三角形BCD的面积为gX

&x4=鼻所以四边形ABCD的面积为2xf=V3.

17.解(1)a-2b=(1,2)-2(-3,1)=(1+6,2-2)=(7,U).

八\cablx(-3)+2xlV50

⑵8岳丽=向诉"

(3)因为向量a+处与a-处互相垂直,

所以(a+Ab)-(a-Ab尸0,即a2-Arb2=O,

因为a2=5,b2=10,所以5-10尸=0,解得k=±^.

18.解⑴设a与b的夹角为。.由已知得(3a-2b)2=7,即9团2-12a・b+41bl2=7,

因此9+4-12cos夕=7,于是cos夕=：,故即a与b的夹角为三.

4JO

(2)|2a+3b|=|2Q+3加2

=J41al2+12(rb+91M2=J4+12^+9

=V19.

19.解⑴由正弦定理得,si，AsinB+sin8cos2A二四sinA,即sinB(sin2A+cos2i4)