2026年山西省运城市中考数学二模试卷-附答案解析

2026年山西省运城市中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合

题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）

1.（3分）下列各数中最小的数是（）

A.3B.-3C.1D.-5

2.（3分）氢能具有清洁无污染、高效可再生的优势，既能助力减碳降排、推动绿色低碳，也有助于达成

“碳中和”目标.下列与氢能有关的图标中，文字上方的图案是轴对称图形的是（）

A.绿氢/水电制氧B.水电解制氢C.水分子结构D.氢能源汽车

3.（3分）油纸伞是中国传统手工艺品，也是国家级北物质文化遗产，其制作工艺精巧，伞骨结构蕴含着

丰富的几何智慧.如图是某款油纸伞撑开后倒置在地面上的示意图，已知DM=DN,则△力。"

4.（3分）2026年是“十五五”的开局之年，为加快构建全国一体化算力网，我国算力网络全年投资规模

预计约为4500亿元.数据“4500亿元”用科学记数法表示为（）

A.45X1010元B.4.5义1。10元

C.4.5X10“元D.4.5X1012元

5.（3分）不等式组卜+4v2的解集在数轴上表示正确的是（）

3

B.012

D.012

6.（3分）如图，△48C的顶点dC在OO上，边力。经过圆心O,且边48与相切于点从若NC

第1页（共29页）

=20°,则N84。的度数为（）

C.50°D.65°

7.（3分）在“探究重力与质量的关系”的实验中，小明和小亮使用同•套器材，多次测量同•物体的重

力（单位：N）,记录数据如下：小明：4.8,4.9,5.0,5.1,5.2；小亮：4.9,5.0,5.（）,5.0,5.1,关于

小明和小亮测量数据的波动程度，下列说法正确的是（）

A.小明的测量数据波动更大

B.小亮的测量数据波动更大

C.两人的测量数据波动一样

D.无法确定

8.（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形。4AC的顶点月，C分别在y轴和x轴的正半轴上，点。是

04的中点，点F是OC上一点，连接。E,BE,已知DELBE且DE=BE.若点。的坐标为（6,0）,

97

A.（5,0）B.（4,0）C.（'，0）D.（鼻，0）

9.（3分）实验室用智能配液机器人匀速向烧杯中加入某种溶质，在溶液达到饱和之前，烧杯内溶液的总

质量y（g）是加入溶质的时间/（5）的一次函数，部分数据如下表：当溶液的总质量为78g时，加入

溶质的时间为（）

加入溶质的时间tis481216•••

溶液的总质量y/g27395163•••

A.20sB.21sC.24sD.25s

10.（3分）如图，在.匚L4BCD中,AB=2,力0=4,//=45°,分别以点C为圆心，力。的长为半径

画弧，分别与48,8的延长线交于点，F,则图中阴影部分的面积为（）

第2页（共29页）

D

C

AE

A.4TT—4\/2B.47T+4V2C.2TT-2x/2D.2?r+2>/2

二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）

11.（3分）计算（四—1）2+g的结果为.

12.（3分）如图1是某校的一块宣传展板，其外轮廓是一个正五边形，其示意图如图2所示，则N1

13.（3分）为践行绿色低碳理念，增强环保意识，美化生态家园，某校在植树节组织学生前往劳动实践基

地参加植树活动.所有学生被随机分配到力，B,C,。四个小组，则小明和小亮在同一小组的概率

为.

14.（3分）我省特种钢技术全国领先，某企业生产48两种规格的手撕钢成品.已知生产1必规格手撕

钢所用的时间是生产规格手撕钢所用时间的1.5倍，该企业用80/7生产力规格手撕钢的数量比用90〃

生产4规格手撕钢的数量多2/.设该企业生产1〃规格的手撕钢需要入力，则根据题意，可列方程

为•

15.（3分）如图，在Rt△48。中，N48C=90°,彳8=2,点。是4C边上一点，连接8。并延长到点

使。石=2〃力，点尸在8C的廷长线上，且8C=2C尸，连接£4,EF.若EB=EF,tanZ-ACB=则

力£*的长为.

第3页（共29页）

A

BCF

三、解答题(本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

16.(12分)计算与解方程：

(1)(-3)2x|-2|+(i)-1-(-44-9)；

(2)(x-3)2=2X-6.

17.(9分)如图，在平面直角坐标系中，一次函数yi=A]x+/?(41X0)的图象和反比例函数先二§(忆2H

0,%V0)的图象交于力(-2,3),4(-6,1)两点.

(1)求一次函数和反比例函数的表达式.

(2)连接04OB,则△力。B的面积为.

18.(9分)安全教育无小事.某校在春季学期开学之初，开展了多场“消防安全”专题讲座并组织每班的

安全标兵参加了“消防安全”知识竞赛.信息一：在“消防安全”讲座结束后，校方对学生最感兴趣的

内容进行了问卷调杳(调查问卷如图所示).所有问卷全部收回且有效，并对调查结果进行抽样汇总，

得到了下面的统计图.信息二：七、八年级各11名安全标兵参加“消防安全”知识竞赛的成绩如下：

七年级安全标兵竞赛成绩：86,88,93,79,93,87,93,90,93,99,100.八年级安全标兵竞赛成

绩：87,95,91,90,92,90,94,91,91,89,91.请根据信息回答问题.

“消防安全”讲座

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最感兴趣的内容调查问卷在讲

座中，你最感兴趣的内容是

（）

（单选）

A.相关法律法规

B.灭火方法和逃生技巧

C.生活中的安全隐患及预防办

法

D.其他

②在扇形统计图中，所对应的扇形圆心角的度数为°,并补全条形统计图.

（2）估计全校1700名学生中最感兴趣的内容是“灭火方法和逃生技巧”的学生人数.

（3）小吴认为七年级和八年级竞赛成绩的平均数相同，因此两个年级的成绩一样好.你认为小吴的说

法是否合理，请结合上表中的数据说明理由（写出一条即可）.

19.（9分）近年来，我国航天事业在多个领域取得了举世瞩目的成就.一家玩具店看准商机，特推出“神

舟”和“天宫”模型积木.已知购进3盒“神舟”模型积木和1盒“天宫”模型积木共需210元；购进

1盒“神舟”模型积木和2盒“天宫”模型积木共需170元.

（1）求每盒“神舟”模型积木和每盒“天宫”模型积木的进价.

（2）店家计划再次购进这两种模型积木共40盒，且购进“神舟”模型积木的盒数不少于购进“天宫”

模型积木盒数的!在进价和售价不变的情况下，每盒“神舟”模型积木可盈利15元，每盒“天宫”模

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型积木可盈利18元.店家应如何进货才能获利最大？最大利润是多少？

20.（9分）在国家“双碳”目标与可再生能源发展规划的指引下，山西省大力推进风电等清洁能源项目建

设，助力能源结构转型.图1是小陈在家乡看到的风力发电设备，他想利用所学知识估算风电架的高度，

以加深时清洁能源基础设施的了解.

测量方案及数据：如图2,线段表示风电架，小陈在点C（氏C在同一直线上）处测得风电架顶部

点/的仰角N/C4为37°.他从点。沿着小山坡走到点力，此时测得风电架顶部点力的仰角//。七为

32°,山坡CO的坡度i=l：2,点。到8C的距离为4/〃.

任务：若在观测过程中所有点都在同一竖直平面内，请根据小陈的测量数据计算风电架的高度（结

果精确到到,参考数据:sin37°-0.60,cos37°-0.80,tan37°比0.75,sin32°"0.53,cos32°比0.85,

tan320^0.62）.

21.（9分）阅读与思考

阅读下列材料，完成相应的任务.

三角形中的“中顶点”【概念理解】若位于三角形一边上的点将该边分为两条线段，且

这两条线段长的乘积等于这个点与该边所对顶点之间距离的平方，则称这个点为三角形

中该边上的“中顶点”.如图1，在△48C中，点。是8C边上的中顶点，连接力。，则

BD*CD=AD2.

图1图2图3

【问题解决】问题一：如图2,在6X6的小正方形网格中，每个小正方形的边长均为1,

A,B,C,尸都落在格点（小正方形的顶点）处，则点尸（填“是”或“不是”）

8c边上的中顶点.

问题二：如图3,在△48。中，过点力作力于点£已知点石为8C边上的中顶

第6页（共29页）

点，求证：△/8C是直角三角形.

解：•・•点E为8c边上的中顶点，

：,BE*CE=AE~.

.BEAE

'''AE='CE'

'CAE^BC,:・NAEB=/AEC=9G.

任务：

（1）问题一的横线处应填.

（2）将问题二的证明过程补充完整.

（3）如图4,已知线段P是上一点，AP=2BP,请作出△/8C,使点P为△力夕。中力8边上

的中顶点（要求：尺规作图，不写作法，标明字母）.

1II

APB

ffl4

22,（9分）综合与实践

【问题情境】如图1，虚线所示的宽为3〃八高为2机的矩形区域是室内客厅墙面的一块空白装饰区，设

计师计划在矩形区域上方用装饰线条围出抛物线造型，点力，8分别是抛物线与矩形左右侧边的交点，

A,8两点到矩形上侧的边的距离均为03〃，抛物线的顶点恰好落在矩形上侧的边的中点月处.以矩形

下侧的边所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系（单位长度为1m）.

【问题解决】

HHH

图1图2图3

（1）请在图1中建立平面直角坐标系，并求出该抛物线的函数表达式.

（2）在（1）的条件下，设计师对抛物线下方的墙面区域，设计了以下两种装修方案：方案一：如图2,

在矩形下方区域围出两条完全相同的新抛物线造型装饰线条，它们的开口方向与（1）中的效物线相反,

但开口大小（二次项系数的绝对值）相同，这两条抛物线的顶点都在矩形下侧的边上.点C,E分别是

抛物线与矩形左右侧边的交点，且C,。，E在同一条水平线上.方案二：如图3,利用与矩形下侧的

边垂直的两条等长装饰线条MN和尸Q,将抛物线下方区域分割为三个装饰区块，其中点。，N均在矩

第7页（共29页）

形下侧的边上，且整个装饰图形关于y轴对称.

①方案一中，设计师助理认为图2中点E到矩形下侧的边的距离与点B到矩形.上侧的边的距离的比值

为,,请通过计算验证该说法是否正确.

②方案二中，若"N到矩形右侧边的水平距离等于点M在竖直方向到抛物线的距离的5倍，当两条装

饰线条的总长度(P0+A/N)最大时，请直接写出QN的长度.

23.(9分)综合与探究

【问题情境】在中，AB<AD,BE平分/4BC交4D于点E.

(1)【猜想证明】如图1,AF平分NB4D交BC于点F,连接即，判断四边形力82£的形状并证明.

(2)【深入探究】C“平分N8CO交84的延长线于点“，交BE于点G.将△8//G绕点8顺时针旋转

a(0°<a<180°)得到ABMN,点H,G的对应点分别为M,M直线CG与直线MN相交于点O.

①以图2为例，求证：OM=OC；

②若8C=10,在旋转的过程中，连接CM,CN,当△CMN是以CN为直角边的直角

三角形时，连接08,请直接写出06的长.

第8页(共29页)

2026年山西省运城市中考数学二模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合

题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）

1.（3分）下列各数中最小的数是（）

A.3B.-3C.1D.-5

【解答】解：•・•-5V-3V1V3,

・•・最小的数是：-5.

故选：O.

2.（3分）氢能具有清洁无污染、高效可再生的优势，既能助力减碳降排、推动绿色低碳，也有助于达成

“碳中和”目标.下列与氢能有关的图标中，文字上方的图案是轴对称图形的是（）

gg）©

A.绿氢/水电制氧B.水电解制氢C.水分子结构D.氢能源汽车

【解答】解：A.选项图形不是轴对称图形，不符合题意；

B.选项图形不是轴对称图形，不符合题意；

C.选项图形是轴对称图形，符合题意；

D.选项图形不是轴对称图形，不符合题意.

故选：C.

3.（3分）油纸伞是中国传统手工艺品，也是国家级非物质文化遗产，其制作工艺精巧，伞骨结构蕴含着

丰富的几何智慧.如图是某款油纸伞撑开后倒置在地面上的示意图，已知4DM=DN,则河

【解答】解：在.历和中,

第9页（共29页）

AM=AN

DM=DN,

AD=AD

:.△ADMWAADNCSSS'）,

故选：D.

4.（3分）2026年是“十五五”的开局之年，为加快构建全国一体化算力网，我国算力网络全年投资规模

预计约为4500亿元.数据“4500亿元”用科学记数法表示为（）

A.45X1（）10元B.4.5Xl（）l0元

C.4.5X10“元D.4.5X1012元

【解答】解：4500亿=450000000000=4.5X10”.

故选：C.

（3—1

5.（3分）不等式组工+4的解集在数轴上表示正确的是（）

室W2

3

A.012B.02

【解答】解：解不等式3-2工<1得

x+4

解不等式一厂w2得xW2；

...该不等式组的解集为】Vx<2,

在数轴上表示解集为

.\——iZ,

012

故选：A.

6.（3分）如图，△48。的顶点B,C在。0上，边力。经过圆心O,且边力8与OO相切于点8.若NC

=20°,则N历1C的度数为（）

【解答】解：如图，连接04,

第10页（共29页）

是。。的切线,

••・2/180=90°，

YOB=OC,

：.ZOBC=ZOCB=2Q0，

・•・//=180°-ZC-ZABO-ZOBC=50°,

故选：C.

7.（3分）在“探究重力与质量的关系”的实验中，小明和小亮使用同一套器材，多次测量同一物体的重

力（单位：N）,记录数据如下：小力4.8,4.9,5.0,5.1,5.2：小亮：4.9,5.0,5.0,5.0,5.1,关于

小明和小亮测量数据的波动程度，下列说法正确的是（）

A.小明的测鼠数据波动更大

B.小亮的测量数据波动更大

C.两人的测量数据波动一样

D.无法确定

【解答】解：小明数据的平均数行=4.8+4.9+5"1+5.2=5,

小明数据的方差S”选出出以出等出土如5三%=警=0.02,

JJ

小亮数据的平均数为=4.9+5.0+55。+5.0+5.1=

小亮数据的方差si=（4.9-5）?3'（5,5）2+（5.1-5）已=嘤=°

22

S1E

••・小明的测量数据波动更大.

故选：A.

8.（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形。48c的顶点4C分别在y轴和x轴的正半轴上，点。是

04的中点，点E是0C上一点，连接BE,已知DE工BE且DE=BE.若点C的坐标为（6,0）,

则点E的坐标为（）

第11页（共29页）

A.（5,0）B.（4,0）C.4，0）D.（白0）

【解答】解：由题意可得：NDOE=/ECB=90：AO=BC,

,:DEIBE,

:./BED=90°,

ZDEO=NE4c=900-ZBEC,

又,：DE=BE,

：.4DEOmAEBC（AAS）,

：,OE=BC=AO,OD=CE,

由题意可得：。。=④力0,

：.CE=^OE,

：.OE=@2OC,

•.•点。的坐标为（6.0）,

：.OC=6,

2

・・・0E=/6=4,

，点E的坐标为（4,0）.

故选：B.

9.（3分）实验室用智能配液机器人匀速向烧杯中加入某种溶质，在溶液达到饱和之前，烧杯内溶液的总

质量y（g）是加入溶质的时间/（s）的一次函数，部分数据如下表：当溶液的总质量为78g时，加入

溶质的时间为（）

加入溶质的时间tfs481216•••

溶液的总质量Wg27395163•••

A.20sB.215C.24sD.25s

【解答】设y关于f的一次函数解析式为y=36（%工0）,由题意可得：

第12页（共29页）

(4k+b=27

(8/c+b=39'

解得《二:5’

，p=3什15,当y=78时.，3r+15=78,解得，=21(s).

故选：B.

10.（3分）如图，在口力8c。中，AB=2,AD=4,ZA=45°,分别以点儿C为圆心，力。的长为半径

画弧，分别与CO的延长线交于点£F,则图中阴影部分的面积为（）

C.27r—2企D.27T+2V2

【解答】解：如图所示，过点。作。G_L4E于点G,连接班）,

由条件可知DG=AD•Sinz-A=4x芋=272,

[1

,$△48。=之力台,DG=彳X2X2或=2企，

2

•・c_45X7TX4_9

,、璜形ADE一~360—-‘兀’

・•・阴影部分的面积为2(S版窗££一S^ABD)=2x(2zr-2V2)=4TT-472.

故选：A.

二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）

11.（3分）计算（g一1>+g的结果为.

【解答】解：（V3-I）2+V12

=（遮A-2V3+1+2V3

=3-2V3+1+2V3

=4.

第13页（共29页）

故答案为：4.

12.（3分）如图1是某校的一块宣传展板，其外轮廓是一个正五边形，其示意图如图2所示，则Nl=

【解答】解：匕1=嗒=72，

故答案为：72.

13.（3分）为践行绿色低碳理念，增强环保意识，美化生态家园，某校在植树节组织学生前往劳动实践基

地参加植树活动.所有学生被随机分配到力，B，C,D四个小组，则小明和小亮在同一小组的概率为

1.

4—,

【解答】解：由题意，列表如下:

小亮小明ABCD

AA,AA,BA,CA,D

BB,AB,BB,CB,D

CC,AC,BC,CC,D

DD,AO,BD,CD,D

由列表可知，共有16种等可能的结果，其中小明和小亮在同一小组的结果为4种,

・••小明和小亮在同一小组的概率P=白=上，

故答案为：7-

4

14.（3分）我省特种钢技术全国领先，某企业生产48两种规格的手撕钢成品.已知生产1夜规格手撕

钢所用的时间是生产1〃规格手撕钢所用时间的1.5倍，该企业用80〃生产力规格手撕钢的数量比用90,

on

生产B规格手撕钢的数量多2/.设该企业生产\tA规格的手撕钢需要动,则根据题意，可列方程为-

x

90

——=2.

1.5x—

第14页（共29页）

8090

【解答】解：根据题意得一-丁丁=2・

x1.5%

故答案为：---^-=2.

x1.5r

15.（3分）如图，在。中，/力8。=90°,4B=2,点、D是AC边上一点,连接8。并延长到点£,

1

使。E=2〃Q,点尸在〃。的廷长线上，且8C=2CE连接£4,EF.若EB=EF,tan^ACB=则

【解答】解：过点E作EHLB尸于点H,交力C于点G,过点4作力KJ_E，于点K,如图所示,

VZJ5C=90°,

，四边形48〃K为矩形，48=2,点。是4C边上一点，连接8。并延长到点E,使DE=2BD,

；.IIK=AB=2,AK=I3IhAB//E1L

:・NDAB=/DGE,/DBA=/DEG,

：.丛ABDsAGED,

EGDE

•,•_________-_乙7，

ABBD

:・EG=2AB=4,

VZ/1BC=90°,AB=2,tanZ.ACB=

第15页（共29页）

：.BC=2AB=4,

，：BC=2CF,

：.CF=2,

:.BF=6,

♦：EB=EF,EH1BF,

：.BH=^BF=3,

：，CH=BC-BH=4-3=1,AK=BH=3,

VZABC=ZGHC=90°,NACB=NGCH,

:.XABCS^GHC,

GHCH1

••—™™，

ABBC4

:,GH=：,

1Q

・•・£1"=EG+GH=4+＞热

95

:・EK=EH-HK=；-2=当

.\AE=yjAK2+EK2=〔9+予=孚.

V61

故答案为：—.

三、解答题(本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

16.(12分)计算与解方程：

(1)(-3)2x|-2|+(1)T一(-4+9)；

(2)(x-3)2=2X-6.

【解答】解：(1)原式=9X2+5-5

=18+5-5

=18；

(2)(x-3)2=2x-6,

(x-3)2=2(x-3),

(x-3)2-2(x-3)=0,

(x-3)(x-5)=0,

x-3=()或x-5=0,

第16页（共29页）

解得Ki=3,式2=5.

17.（9分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数yi=Ai/力（QNO）的图象和反比例函数先=§（心去

人

0,%V0）的图象交于4（-2,3）,5（-6,1）两点.

（1）求一次函数和反比例函数的表达式.

（2）连接0力，0B,则△/O8的面枳为」.

【解答】解：（1）由条件可知3=—十+,

（1=-6kl+b.

f._1

解得自=，

b=4.

・•・一次函数的表达式为力=/x+4；

将4（-2,3）代入=§（七2牛。，x<0）,得幻=-6,

・••反比例函数的表达式为力=-1

（2）如图所示，设直线与），轴、工轴的交点分别为C,D,

当y=0时，+4=0,解得x=-8,即。（-8,0）,

/.07）=8；

:.4AOB的面积为：

第17页（共29页）

111111

--OC-。D=-X4X8--X4X2--X8X8

222yff222

故答案为：8.

18.（9分）安全教育无小事.某校在春季学期开学之初，开展r多场“消防安全”专题讲座并组织每班的

安全标兵参加了“消防安全”知识竞赛.信息一：在“消防安全”讲座结束后，校方对学生最感兴趣的

内容进行了问卷调查（调查问卷如图所示）.所有问卷全部收回且有效，并对调杳结果进行抽样汇总,

得到了下面的统计图.信息二：七、八年级各11名安全标兵参加“消防安全”知识竞赛的成绩如下:

七年级安全标兵竞赛成绩：86,88,93,79,93,87,93,90,93,99,100.八年级安全标兵竞赛成

绩：87,95,91,90,92,90,94,91,91,89,91.请根据信息答问题.

“消防安全”讲座

最感兴趣的内容调查问卷在

讲座中，你最感兴趣的内容是

（①93,91,②216补全

条形统计图见解析）（单

选）

A.相关法律法规

B.灭火方法和逃生技巧

C.生活中的安全隐患及预防

办法

D.其他

最感兴趣的内容条形统计图

最感兴趣的内容线形统计图

人数/人

80

60...............................57...................

40

20

ABCD内容

第18页（共29页）

平均数/分中位数/分众数/分

七年级91CI93

八年级9191b

（1）①a=93,b=91.

②在扇形统计图中，所对应的扇形圆心角的度数为21.6°,并补全条形统计图.

（2）估计全校1700名学生中最感兴趣的内容是“灭火方法和逃生技巧”的学生人数.

（3）小吴认为七年级和八年级竞赛成绩的平均数相同，因此两个年级的成绩一样好.你认为小吴的说

法是否合理，请结合.上表中的数据说明理由（写出一条即可）.

【解答】解：（1）①七年级的中位数为排序后的第6位数，即。=93：

八年级中91出现的次数最多，

・•・众数6=91；

故答案为：93,91；

②总数为57・38%=150（人）,

所对应的扇形圆心角的度数为360。X高=21.6。：

XJw

选项B的人数为150-9-57-15=69（人），

补全条形统计图如答图所示.

最感兴趣的内容条形统计图

（2）根据样本频数估计总体频数可得:

17。。“69黑7+15=782（人），

答：全校最感兴趣的内容是“灭火方法和逃生技巧”的学生约为782人：

（3）不合理.理由如下：

例如：①从中位数的角度看，七年级竞赛成绩的中位数为93分，高于八年级竞赛成绩的中位数91分,

因此七年级的成绩更好.

第19页（共29页）

②从众数的角度看，七年级竞赛成绩的众数为93分，高于八年级竞赛成绩的众数91分，因此七年级

的成绩更好.（答案不唯一）.

19.（9分）近年来，我国航天事业在多个领域取得了举世瞩目的成就.一家玩具店看准商机，特推出“神

舟”和“天宫”模型积木.已知购进3盒“神舟”模型积木和1盒“天宫”模型积木共需21（）元；购进

1盒“神舟”模型积木和2盒“天宫”模型积木共需170元.

（1）求每盒“神舟”模型积木和每盒“天宫”模型积木的进价.

（2）店家计划再次购进这两种模型积木共40盒，且购进“神舟”模型积木的盒数不少于购进“天宫”

模型枳木盒数的/在进价和售价不变的情况下，每盒“神舟”模型枳木可盈利15元，每盒“天宫”模

型积木可盈利18元.店家应如何进货才能获利最大？最大利润是多少？

【解答】解：（1）设每盒“神舟”模型积木的进价为x元，每盒“天宫”模型积木的进价为），元，购进

3盒“神舟”模型积木和1盒"天宫”模型积木共需210元：购进1盒“神舟”模型积木和2盒“天宫”

模型积木共需170元.

依题意,喊得：黑

答：每盒“神舟”模型积木的进价为50元，每盒“天宫”模型积木的进价为60元.

（2）设购进“神舟”模型积木〃?盒，利润为川元，

依题意，得m2£（40-m）,

解得小21（）,

又・.・mW40,

••・10WmW40且小为整数，

Vw=I5w+18（40-加）=-3w+720,-3<0,

随”的增大而减小,

••・当加=10时，卬最大，此时】“=-3X10+720=690（元），

.*.40-10=30（盒）,

答:购进“神舟”模型积木10盒，“天宫”模型积木30盒时获利最大,最大利润为690元.

20.（9分）在国家“双碳”目标与可再生能源发展规划的指引下，山西省大力推进风电等清洁能源项目建

设，助力能源结构转型.图1是小陈在家乡看到的风力发电设备，他想利用所学知识估算风电架的高度，

以加深对清洁能源基础设施的了解.

第20页（共29页）

测量方案及数据：如图2,线段48表示风电架，小陈在点C（8,C在同一直线上）处测得风电架顶部

点力的仰角N4C8为37°.他从点。沿着小山坡走到点。，此时测得风电架顶部点/的仰角N4QE为

32°,山坡CO的坡度i=l：2,点。到4c的距离为4m.

任务：若在观测过程中所有点都在同一竖直平面内，请根据小陈的测量数据计算风电架的高度（结

果精确到\mt参考数据:sin370=0.60,cos37°*0.80,tan370=0.75,sin32°为0.53,cos32°20.85,

tan320-0.62）.

图imz

【解答】解：如答图，延长OE与交于点凡则。凡L/1&过点。作。〃_L8c交8c的延长线于点

H.

，四边形。/"b为矩形，£)/7=4,

/.DH=BF=4.DF=BH.

V/=l:2,

DH1

••-，

CH2

:・CH=8,

设AB=xm,贝ljAF=(x-4)m.

VZJC5=37°,

AD

*：tan/-ACB=

•RC—x〜x

••以一tan37°〜0.75.

VZADF=32°,

Ap

'：tan/-ADF=

•_„x—4x—4

*,DF=tan32°X0^2,

第21页（共29页）

BC=CH=S.

x-4x

--------=8.

0.620.75

解得x心52,

答：风电架48的高度约为52，〃.

21.（9分）阅读与思考

阅读卜.列材料，完成相应的任务.

三角形中的“中顶点”【概念理解】若位于三角形一边上的点将该边分为两条线段，且

这两条线段长的乘积等「这个点与该边所对顶点之间距离的平方，则称这个点为三角形

中该边上的“中顶点”.如图1,在中，点力是8C边上的中顶点，连接力。，则

图1图2图3

【问题解决】问题一：如图2,在6X6的小正方形网格中，每个小正方形的边长均为1,

A,B,C,尸都落在格点（小正方形的顶点）处，则点尸是（填“是”或“不是”）

4c边上的中顶点.

问题二：如图3,在△力8C中，过点力作力EJ_BC于点E,已知点石为4c边上的中顶

点，求证：△力4c是直角三角形.

解：•・•点£为边上的中顶点，

：.BE*CE=AE2.

.BEAE

••布=示

VJE15C,工/AEB=NAEC=90°.

任务:

（1）问题一的横线处应填是

（2）将问题二的证明过程补充完整.

第22页（共29页）

（3）如图4,已知线段力8,P是48上一点，AP=2BP,请作出△48C,使点〃为△48C中48边上

的中顶点（要求：尺规作图，不写作法，标明字母）.

I1I

APB

图4

【解答】（1）解：由勾股定理得：BP=Vl2+22=V5,PC=V22+42=2V5,AP=Vl2+32=V10,

:.BPPC=V5x2遍=10={P2,

・••点P是8C边上的中顶点，

故答案为：是；

（2）证明：•・•点£为〃C边上的中顶点，

:・BE・CE=AE?.

.BEAE

•,族=无

：.N4EB=NAEC=90°,

:ABAEsAACE,

:・NB=NEAC,

VZJ£C=90°,

r.Z^C+ZC=90o,

，N8+NC=90°,

・・・N4/C=90°,

是直角三角形；

（3）解：使点尸为△力AC中48边上的中顶点的△45C,如图即为所求；

，：PB=BC,NPBC=90°,

，PC2=PB2+BC2=2P屋，

・：AP=2BP,

：,AP*PB-2PB2,

第23页（共29页）

：,AP*PB=PC1.

22.（9分）综合与实践

【问题情境】如图1，虚线所示的宽为3〃?、高为2机的矩形区域是室内客厅墙面的一块空白装饰区，设

计师计划在矩形区域上方用装饰线条围出抛物线造型，点力，8分别是抛物线与矩形左右侧边的交点，

A,8两点到矩形上侧的边的距离均为03〃，抛物线的顶点恰好落在矩形上侧的边的中点H处.以矩形

下侧的边所在直线为x轴，抛物线的对称轴为），轴，建立平面直角坐标系（单位长度为1〃?）.

【问题解决】

HHH

।aiiiIi

图1图2图3

（1）请在图I中建立平面直角坐标系，并求出该抛物线的函数表达式.

（2）在（1）的条件下，设计师对抛物线下方的墙面区域，设计了以下两种装修方案：方案一：如图2,

在矩形下方区域围出两条完全相同的新抛物线造型装饰线条，它们的开口方向与（1）中的弛物线相反,

但开口大小（二次项系数的绝对值）相同，这两条抛物线的顶点都在矩形下侧的边上.点C,£分别是

抛物线与矩形左右侧边的交点，且C,。，£在同一条水平线上.方案二：如图3,利用与矩形下侧的

边垂直的两条等长装饰线条和。°,将抛物线下方区域分割为三个装饰区块，其中点。，N均在矩

形下侧的边上，口整个装饰图形关Fy轴对称.

①方案一中，设计师助理认为图2中点月到矩形下侧的边的距离与点B到矩形上侧的边的距离的比值

为"请通过计算验证该说法是否正确.

②方案二中，若到矩形右侧边的水平距离等于点M在竖直方向到抛物线的距离的5倍，当两条装

饰线条的总长度（PQ+MN）最大时，请直接写出QN的长度.

【解答】解：（1）以矩形下侧的边所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，如

第24页（共29页）

由题意得，做一卜1.7),8(*,1.7),抛物线的顶点”的坐标为(0,2),

••・设抛物线的函数表达式为y=ad+2(a#0),将点力的坐标代入得：

Q

1.7=(-3'+2,

解得：a=—

.•.抛物线的函数表达式为y=-去♦+2：

(2)①设计师助理的说法不正确；理由如下：

由题意得，过点C，。的抛物线和过点。，E的抛物线的二次项系数都为4,

•・•过点。，芯的抛物线的对称轴为直线％=/顶点坐标为4,0),

・••过点。，E的抛物线的函数表达式为y=R(x-^)2

XJB

当“知，得:"副(»=磊,

33311

•・•点B到矩形上侧的边的距离为启，—4-—=-^：-,

10401042

••・设计师助理的说法不正确；