函数与导数：隐零点问题（复习讲义）学生版

盛数与导数:隐零点问题复为讲义

知识点解析

一、知火点

1.定义

导数方程［3）=0有实根期,但无法用代数式子直接解出精确值，只能确定取值区间，该零点即为隐零

点。

2.核心等式

极值点处满足:/'3。）=0,是整体代换的关键。

3.常见类型

含c\IriT等超越函数居多,多用于求最值、证明不等式、恒成立求参。

4.必备依据

零点存在定理、导函数单调性、隐零点区间估值。

二、解题原理

先锁定隐零点所在区间，不求解具体数值;利用r3°）=o进行式子代换，消去指数、对数等复杂项，化简原函

数解析式，再结合自变量区间求出最值与范围。

三、解题用路

5.对原函数求导，研究导函数单调性，判断零点唯一性：

6.代入特殊值，利用零点存在定理，锁定隐零点的的区间；

7.写出核心关系式r（m）=o,作为等量替换条件；

8.判断原函数单调区间，确定算0为极大/极小值点；

9.将的代入原函数，用导零等式替换化简；

依据比所在区间,求出函数最值，完成解题。

例题分析

1.（2026•甘肃•模拟预测）已知函数/（⑼=。炉+3simr-妨其导函数为广⑺.

（1）当a=1时，求函数r（4）的值域;

（2）当c6[0,兀]时，/（①）＞0恒成立，求实数Q的取值范围.

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2.(2025•湖南长沙•模拟预测)已知函数/⑺=.

⑴讨论/(/)在其定义域上的单调性;

1

(2)当0VcVI时，若/(%)Vax一1,求实数Q的取值范围.

3.(2026•云南昭通•模拟预测)已知函数/(/)=exsinx-ai,其中a£R.

⑴0，卷,

LZJ

⑴当Q=1时，讨论/(C)的单调性;

⑻若存在"€(0,亨］,使得/⑸>0成立，求a的取值范围；

(2)当。=0时，证明:对任意的。E［0,冗］,f(x)—

4.（25—26高三上・广西柳州・月考）已知函数/（£）=皿（21+叫+/行€田.

（1）若曲线/（%）在力=1处的切线与直线i+3。-1=0垂直，求切点的坐标;

⑵当m=2,cW（。谭）时,求证：/（c）<sinx+♦+1.

q..................

变式训练

5.（2025•黑龙江哈尔滨•模拟预测）已知f⑺=ex-sinx-x.

⑴若gQ）―空""（0VcV年）7,证明:gQ）存在唯一零点;

e工'2

⑵当CW（一8,兀）时，讨论/（］）零点个数.

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6.(24—25高三上•辽宁•期中)—知函数/(①)=ln(a;+1)，函数g(c)的图象与h(x)=-yx3—3x2+6x+2(x

-2)cos(x一2)的图象关于(1,2)中心对称.

(1)求函数g&)的解析式；

(2)证明：-^4/(⑼《必

x+1

(3)若/廿)+g(x)&Qi在2€[0,1]时恒成立，求实数。的取直范围.

7.(24—25高三上•贵州六盘水•月考)设"(c)为九(c)的导函数，若〃(乃在区间。上单调递减，则称以⑼

为。上的“凸函数”.已知函数/(⑼=-sinc+Qd+Q］.

⑴若/⑸为［0噂］上的“凸函数”，求Q,的取值范围；

L2」

(2)证明：当a=-1时，g(c)=/(2；+1)+/+3c+ln(x+2)+2有且仅有两个零点.

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8.(2025•河南濮阳•模拟预测)已知函数/(⑼=e，simc-7nx+1.(mER)

(1)当m=2时，求/Q)在点(0,/(0))处的切线方程；

(2)证明：当OVmVI时，对任意的①W(0,平)，/(/)>1恒成立.

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实战演练

9.(25—26高三上•江西抚州•月考)已知函数/⑸=看0/+词1】2+2cos4.

(1)当Q=0时，BxE[0,兀],/(7)=m，求m的取值范围;

(2)若八乃在(0,+oo)上单调递增,求Q的取值范围.

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