第九章 图形的变换（知识清单）-苏科版七年级数学下册

第九章图形的变换

思维导图

两要素：平移方向.平移距同

<概念：沿直线平行移动一定扇

平移前后图形81合

/对应线段平行（或共线）目相等

性质---------------------------------

—对应角相等

对应点9平行（或共线）且相等

作图步骤：找关健点一作对应点一瓢次连接

轴对称（两图形）：沿直线翻折后市合

图形（或部分）#=

性质，对应线段/角相等

对舜轴垂直平渊应点连线

作图步骤：找关送点一作对称点一席次连接

轴对称图形（单图形）：沿直线翻折后两旁部分直合

图形的变换

梃念：绕定点按方向转动一定角度

Y----三--要---素--：--旋--转---中--心---.-旋转7~方-向--（-顺--/-逆时针）.旋转角

旋转前后图形,合可以■合

性质，对应点到旋转中心距同相等

旋转变换

对府点与中心评线夹角=ErS§a

中心对称（旋转i8（r）中心对称性质：对应点连线过中心且被平分

作图步骤：定中心/方向/角度一作对应点一顺次函妾

相同点：只改位置，不变形状、大小

不同点

三种变换对比平移：沿直线移动，对应点连线平行（或共线）且相等

轴对称：沿直线翻折，对称轴垂直平分对应点连线

应转：绕定点转动，对应点到中心等距，夹角=旋转角

知识清单

一、平移变换

1.平移概念：

在平面内，将一个图形沿直线的某个方向平行移动一定的距离后得到另一个图形的平面变换

叫作平移.

试卷第I页，共10页

2.平移的性质：

（1）平移前后的两个图形可以重合，对应线段相等,对应角也相笠；

（2）平移前后的两个图形中，两组对应点的连线段平行（或在同一条直线上）且相等.

二、轴对称变换

1.轴对称概念：

将一个平面图形沿某条直线翻折后得到另一个图形的平面变换叫作轴对称，这条直线叫作对

称轴.

2.轴对称的性质：

（1）成轴对称的两个图形可以重合，对应线段相等,对应知也相笑；

（2）成轴对称的两个图形中，不在对称轴上的两个对应点的连线段被对称轴垂直平分.

3.垂直平分线：

垂百n平分一条线段的直线叫作这条线段的垂音平分线，简称中垂线.

4.轴对称图形：

如果一个图形关于某条直线成轴对称的图形是其主身，那么称这个图形是轴对称图形，这条

直线就是对称轴.

三、旋转变换

1.旋转概念：

在平面内，把一个图形绕一个定点按某个方向转动一定角度得到另一个图形的平面变换叫作

旋转，这个定点称为旋转中心,转动的角度称为旗鼓鱼.

2.旋转性质：

（1）旋转前后的两个图形可以重合，对应线段亚笠，对应角也粗笠.

（2）旋转前后的两个图形中，对应点到旋转中心的距离相笠,对应点与旋转中心连线所成

的角都等于旋转角.

3.中心对称概念：

在平面内，若一个图形是由另一个图形绕某个点旋转18个得到的,则称这两个图形成中心

对称，这个点叫作对称中心,两个对称图形上的对应点叫作对称点.

4.中心对称的性质：

成中心对称的两个图形中，对应点的连线段经过对称中心,且被对称中心壬金.

试卷第2页，共1（）页

易错总结

一、平移变换：

注意：决定平移变换的两个关键要素是平移的方向、平移的距离.再描述一个平移变换时,

要先说平移的方向，向哪个方向平移，再说平移的距离，也就是平移多远.如果是在网格中

平移，就说平移几个格.

例如：将水平向右平移10cm.

二、轴对称变换

错误：认为“轴对称的图形与轴对称是同一个意思”.

注意：轴对称图形说的是一个图形，而轴对称是图形变换的一种方式，它关系到两个图

形.这两个并不是同一个意思，注意区分.

三、旋转变换

错误：认为“中心对称与中心对称图形是意义相同

分析：中心对称是图形变换中的其中一种，它说的是两个图形的一种关系，而中心对称图

形是一个图形的一种特点，它讲的是一个图形，这是二者的区别.中心对•称是一种特殊的旋

转变换，当旋转变换的旋转角为180度时，就是中心对称变换.

易错训练

知识点1训练：轴对称图形与中心对称图形的识别问题

I.下列消防标识中，既是轴对称图形乂是中心对称图形的是（）

2.下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）

试卷第3页，共1（）页

知识点2训练：平移的性质解决问题

4.如图，将一个直角三角形力8c沿着直角边口所在的直线向右平移得到直角三角形

3

DEF,已知8C=a,CA=b,S四边形以以=，则E4的长度为（）

ChFA

2

B.-bD.-b

5.如图，将周长为8的Zi/IBC沿AC方向向右平移1个单位得到△/）£尸，则四边形力加D

的周长为（）

6.某数学兴趣小组开展现手操作活动，设计了如图所示的三种图形，现计划用铁丝按照图

形制作相应的造型，则所用铁丝的K：度关系是（）

K-Ub—>1K-b->1K-b—3

A.甲种方案所用铁丝最长

B.乙种方案所用铁丝最长

C.丙种方案所用铁丝最长

D.三种方案所用铁丝一样长

知识点3训练：利用旋转的性质解决问题

试卷第4页，共1（）页

7.如图，将等腰直角三角尺/8C绕顶点4顺时针旋转60。，则N84。'的度数为（）

8.如图,将△力4c绕点力顺时针旋转一定角度得到△力B'C',且如C=30。,点、B,4C

9.如图"BP是由△/（7£绕4点顺时针旋转60。得到的,若NBAP=35Q,AB=3,PB=2,

知识点4训练：利用轴对称的性质解决问题

10.如图，△48c与"EU关于直线MN对称，P为MN上任一点（P不与4H共线），下

列结论中错误的是（）

M

AA1

N

A.△44'尸是等腰三角形B."N垂直平分

C.△力4c与△H"C'的面积相等D.直线的交点不一定在A/N上

11.如图，在正方形网格中有E,F两点,在直线/上求一点P,使PE+尸产最短，则点。

应选在（）

试卷第5页，共10页

E

r

TF

BrD

A.A点、B.B点、C.。点D.。点

12.如图，将一张长方形纸按图中虚线力。对折，再沿直线/剪开，再把它展开后得到

WBC,则下列结论错误的是（）

D

A.AD1BCD.AB=CB

知识点5训练:折叠问题

13.如图，为一长条形纸带,AB//CD,将力4。。沿"'折叠,4。两点分别与H,

6对应，若Nl=65。，则N2的度数为（）

C.55°D.60°

14.将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠,EN,EM为折痕,折叠后点48"在同一

直线上，已知/力EN=34。，则的度数为)

A.34°B.56°C.68°D.73°

15.如图的三角形纸片4BC■中，48=8cm,BC=6cm,AC=5cm,沿过点8的直线折叠这

个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为BD,则的周长为（）

试卷第6页，共10页

A.7cmB.8cmC.11cmD.19cm

知识点6训练：平移变换的作图问题

16.在如图所示的正方形网格中，力，B,。都在格点上.在给定的六个格点(网格中加百

处)中找一个点，并满足下列条件.

图1图2

(1)平移图1中的三角形使得给定的六个格点只有一个格点在其内部(不包括边上),

画出平移后的格点三角形(三个顶点都在格点上的三角形)：

(2)在图2中找一个格点力，画//出。和/8OC,使得/4BD=NBDC.

17.如图，每个小正方形的边长都为1,三角形,48。的顶点都在格点上.

(1)平移三角形48C,使点力平移到点。(点8平移到点，点C平移到点歹)，画出平移

后的三角形QE尸；

(2)连接BE,这两条线段的关系是；

(3)连接BE、BF，则三角形8"的面积是.

18.如图，每个小正方形的边长都为1,三角形48c的顶点和点。都在格点上(每个小正

方形的顶点叫格点).

试卷第7页，共1()页

D.

(1)过点4作8c的平行线力必，点"在格点上；

(2)沿直线平移三角形48C,使点力平移到点。，点8平移到点E,点C平移到点尸，画出

平移后的三角形。/；

(3)线段/。与AE的数量关系是，位置关系是,在平移过程中线段川？

扫过的面枳是.

知识点7训练：轴对称变换的作图问题

19.图1,图2,图3均是3x3的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶

点都在格点上，只用无刻度的直尺，在下列3个网格里分别画出一个三角形并涂上阴影，使

其与△片4。关于某条直线成轴对称图形，要求画出图形的位置不同且顶点都在格点上.

图1图2图3

20.如图，在正方形网格纸中，每个小正方形的边长均为1,ZU4C的三个顶点均在格点上.

(I)在图中作△4AC关于直线MV对称的△4及G;

试卷第8页，共10页

(2)若直线MN上有一点P,请标出使AP+CP的值最小时的位置，并求出AP+CP的最小值.

21.如图所示的是两个4x4的正方形网格，每个小.正方形的顶点称为格点.请在给定的网格

中按照下列要求画图，且使所画图形的顶点均在格点上.

(1)在图①中，画一条不与48重合的线段4夕，使得与力〃关于某条直线对称.

(2)在图②中，画出△489、使其与△48C关于某条直线对称.

知识点8训练：旋转变换的作图问题

22.已知“4C的顶点A,B,C在格点上，按下列要求在网格中画图.

⑴将△力AC绕点C顺时针旋转90。得到44C(点力的对应点是点4),画出△4£C；

(2)若马△/!eC大于点。中心对称，其中4，62分别为点4，月的对应点，画出

4c2.

23.作图:

A

R

①

(I)如图①，以点。为中心，把线段48逆时针旋转90。；

(2)如图②，以点。为中心，把三角形48C顺时针旋转120。.

24.【综合实践】：如图，在4x4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，A,8均在

格点上，在给定的网格中按要求画图.

试卷第9页，共1()页

pD

H1.....f—•…j3…4……-…j……：3-…••…一……f-iA-----------------B

图1图2图3图4

(1)在图1中点。在格点上，画出线段48关于点。对称的线段CO(4对应C)：

(2)在图2中点尸在格点上，画出线段力4绕点产逆时针旋转90。所得到的线段Q(4对应

E)；

(3)在图3中，若每个小正方形边长为1,找格点G,〃，使四边形N8G”既是轴对称图形,

又是中心对称图形，此时四边形/I8G”的面积是.

(4)【知识拓展】在图4中线段48关于点。中心对称的线段CQ(力对应C,8对应。)；

点P是平面内任一点，请仅用无刻度的直尺作出点P关于点。中心对称的点。(不写作法,

保留作图痕迹，并用黑色签字笔描深痕迹).

试卷第10页，共10页

1.D

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形

绕某一点旋转18()度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心

对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴

对称图形.

【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

B、是轴对称图形，不是内心对称图形，故本选项不符合题意；

C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意：

D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意，

故选：D.

2.C

【分析】根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图

形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图

形绕着某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做

中心对称图形，这个点就是它的对称中心.

【详解】解：选项A、既是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意；

选项B、既是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意：

选项C、是中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意；

选项D、既是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意；

故选：C.

3.D

【分析】本题考查了轴对称图形的识别，中心对称图形的识别，解题关键是掌握上述知识

点.根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某

一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形直合，那么这个图形就叫做中心对称

图形；如果一个图形沿一条直线折登，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称

图形.

【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

B、不是轴对称图形，是内心对称图形，故本选项不符合题意；

C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意.

答案第1页，共12页

4.C

【分析】本题考查了平移的性质.

22

由5四边初出=可得力。=§力，由平移的性质可得心=。4=5,然后根据

FA=FD-AD,即可求解.

【详解】解：:S四过加加=三3必，即月。•8C=3『b,BC=a，

JJ

AD=：b,

由平移可得

32

FA=FD-AD=b一一b=-b.

55

故选：C.

5.B

【详解】解：由平移可知：4D=CF=l,DP=AC,

••.力切7）的周长=/18+8。+。/+。/+力。=力8+8。+/1。+。/+力。，

•••△/J8C的周长=Z8+8C+ZC=8,

的周长=8+1+1=10.

6.D

【分析】本题主要考查了平移的性质，根据平移的性质可知三个图形都转化为一个长为。,

宽为6的长方形，据此可得答案.

【详解】解：利用平移，可将甲、乙、丙三个图形都转化为一个长为。，宽为6的长方形，

所以三个图形所用的铁丝长度一样.

故选：D.

7.B

【分析】本题考查了旋转的性质，根据旋转可知，NB/1B'=6O。，NB，AC=NB4C=45。,

然后根据/助U=代入数据进行计算即可得解.

【详解】解：由题意可知，/B4C=NBCA=45°,

由旋转可知，/历18'=60。，ZB,AC=ZBAC=45°,

ZBAC'=ZBAB'-NBNC'=15°,

故选：B.

8.B

答案第2页，共12页

【分析】本题考查了旋转n勺性质；熟练掌握旋转的性质，并能进行推理计算是解决问题的关

键.

由旋转可知NC4C即为旋转角，再由8,4C’在同一条直线上，ZBAC=30°,即可求出

NC4c'的大小.

【详解】解：•••8,4。'在同一条直线上，ZBAC=30°,

NC4C'=180。-Z.BAC=180°-30°=150°,

即△力8c至少旋转了150。，

故选：B.

9.252

【分析】本题考查了旋转的性质，解题的关键是熟练掌握旋转的不变性和旋转的三要素.

由旋转的性质即可得到N%C=60。，EC=BP=2,再由角的和差计算求解N/MC的度数.

【详解】解：由旋转得，/历1。=60。，EC=BP=2

•:NBAP=35。,

:"PAC=ABAC-NBAP=25°,

故答案为：25,2.

1().D

【分析】本题主要考查了轴对称的性质，根据轴对称的性质解答即可，解题的关键是掌握轴

对称的性质.

【详解】解：•••△力4。与关于直线MV对称，P为MN上任意一点,

•••力夕=4尸，M/V垂直平分/H,△/8C与△/BC'的面积相等，故B、C选项正确；

••.△4HP是等腰三角形，故A选项正确；

直线48,力⑻关于直线对称，因此交点一定在MN上，故D选项错误；

故选：D.

11.D

【分析】本题考查轴对称，两点之间线段最短等知识点，作点/关于/的对称点G,连接

EG,EG与/的交点即可所求.

【详解】解：点尸关于/的对称点G,连接石G,如图，

答案第3页，共12页

由图可知点尸应选在。点；

故选：D.

12.D

【分析】本题考查了剪纸问题，轴对称图形.依据折叠即可得到48=4C,进而得出月。是

△48C的对称轴，据此求解即可.

【详解】解：由题可得，是△/8c的对称轴，

:.ADJ.BC,BD=CD,NB=NC,

根据已知条件无法得出=故D选项错误，符合题意；

故选：D.

13.B

【分析】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，由折叠和平

行线的性质可知N3=/4=N1=65。，再利用平角的定义可求得N2.

-AB//CD,

.-.Z3=Z4=Z1=65°,

/.Z2=180o-650-65o=50°,

故选：B.

14.B

【分析】本题考查了折叠的性质，角的计算，解决此类问题的关键，应结合题意，最好实际

操作图形的折叠，易于找到图形间的关系.

答案第4页，共12页

根据折叠的性质和角平分线的定义即可得到结论.

【详解】解：由题意知乙4fN=NN£W=34。，4MEB=4MEB',

ZA'EN=-NAEA',NB'EM=-/B'EB,

22

:"MEN=-/AEB=-xl80°=90°,

22

.•.N.“E4'=900-34°=56°.

故选：B.

15.A

【分析】本题考查折叠的性质与三角形周长计算，运用折叠全等思想，关键是利用折置后对

应边相等转化线段，易错点是折叠后线段对应关系混淆；思路是根据折叠性质得。E=QC、

BE=BC,将的周长转化为4C+花，代入边长计算.

【详解】解：沿过点8的直线折叠这个三角形，使点。落在48边上的点E处，折痕为80,

vAB=8cm,BC=6cm,AC=5cm,

：.BE=BC=bcm,DE=DC,

,-.AE=AB-BE=AB-BC=S-6=2（cm）t

:."ED的周长=AD+DE+AE=AD+CD+AE=AC+AE=5+2=7（cm）,

故选：A.

16.（1）图形见解析

（2）图形见解析

【分析】（1）根据平移的性质：将△XBC的三个顶点，.4,B,C向上平移22个单位长度,

得4，q,G，依次连接4G，BC，4片，据此画出平移的图形，此时三角形△力中

给定的六个格点只有一个格点在其内部：

（2）根据两直线平行，内错角相等，过点。作连接8。，MiJAABD=ZBDC,利

用网格的特点作出。即可.

【详解】（1）解：如图1,△44G即为所求：

答案第5页，共12页

图I

(2)解：如图2,点。、和N5OC即为所求:

图2

17.(1)见解析

(2)平行且相等

(3)1

【分析】本题考查作图一平移变换，利用割补法求三角形面积，熟练掌握平移的性质是解题

的关键.

(1)利用平移的性质作图即可：

(2)根据平移的性质进行解答即可；

(3)利用割补法求三角形面积即可.

【详解】(1)解：如图，三角形。打'即为所求；

(2)解：连接4。、BE,

由平移的性质可知：AD\\EB,AD=EB,

故答案为：平行且相等；

答案第6页，共12页

=

(3)解：S/BEF=5X3——x5x2——x2xl——x3x3—

9

故答案为：

18.(1)见解析

(2)见解析

⑶AD=BE,AD//BE,20

【分析】本题主要考查了画平移图形，平移的性质，画平行线，熟知相关知识是解题的关键.

(1)取格点M,连接AM,则力加即为所求；

(2)根据点。和点力的位置可确定平移方式，再根据平移方式确定点上和点厂的位置，进

而作图即可；

(3)根据平移的性质可得AD//BE,在平移过程中线段越扫过的面积是四边形

/18EQ的面积，据此求解即可.

【详解】(1)解：如图所示,4W即为所求；

(2)解：如图所示，即为所求；

(3)解：由平移的性质可得4。AD//BE,在平移过程中线段48扫过的面积是

4x5=20.

答案第7页，共12页

【分析】本题考查了画轴对称图形，根据轴对称图形的性质画出图形即可，熟练掌握知识点

20.⑴见解析

(2)见解析，

【分析】本题考查了作图-轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形

的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的.也考查了最短路径问题.

(1)利用网格特点和轴对称的性质画出力、8、C的对应点即可；

(2)连接4c交直线MN于点P,利用两点之间线段最短判断尸点满足条件.再运用勾股

定理可求最短距离.

【详解】(1)解：如图，△44G即为所作图形和所作点：

答案第8页，共12页