与三角形有关的线段 同步练习-2026-2027学年人教版八年级数学上册

13.2与三角形有关的线段

第1课时三角形的边

【知识梳理】

1.三角形的三边关系：三角形两边的和①_______第三边；三角形两边的差②___________第三边.【温馨提醒】

通过三角形的三边关系可判断三条线段能否构成三角形.

2.三角形的稳定性：三角形是具有③_______性的图形.

【核心国题】

核心母题1三角形的三边关系①——直接应用三边关系

［例I］以下列长度的三条线段为边，能组成三角形的是（）

A.3,5,9B.4,6,12C.5,6,8D.2,2,4

【变式】已知三角形的两边长度分别是3和6,第三条边的长度是一个奇数，则第三边长度可能是（）

A.3B.5C.6D.9

核心母题2三角形的三边关系②一参数范围与化简

［例2］已知a,b,c是^ABC的三边，且a=3,b=7.

（l）求c的取值范围；

（2诺c为偶数，求仆ABC周长的最大值.

【变式】（1）已知a,b,c是△ABC的三边长化简：|b-c-a|+|a-b+cHa-b-c|的结果是___________;

（2）已知△ABC的三边长分别为3,5,a,化简：|a-2|+|a-8|.

核心母题3三角形的三边关系③一分类讨论

【例3］（教材P9习题T2变式）长为"6,4,3的四根木条，选其中三根组成三角形，选法共有（）

A.I种B.2种C.3种D.4种

【变式】若五条线段的长分别是1cm,2cm,3cm,4cm,5cm,则以其中三条线段为边可围成个

三角形

［例4］（1）若等腰三角形的一边长为4,一边长为8,则其周长为；

（2）已知等腰三角形的周长为16cm,若其中一边长为4cm,求另外两边长.

【变式】用一条长为36cm的细绳围成一个等腰三角形，能围成一条边长为8cm的等腰三角形吗。为什么?

核心母题4三角形的稳定性

[例5]（1）在上网课时把平板放在三角形支架上，用到的数学道理是（）

A.三角形的稳定性B.对顶角相等

C.垂线段最短D.两点之间，线段最短

⑵如图，师傅安装空调在墙上时，一般都会应用这种三角形支架，原理是（）

A.两点确定一条直线B.垂线段最短

c.两点之间线段最短D.三角形具有稳定性i£lr空调

三角形支架

【变式】⑴如图，木工师傅制作口框时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的数学道

理是（）

Apn

A.两点确定一条直线n

B.两点之间，线段最短

BC

C.三角形的稳定性

D.垂线段最短

（2）下列图形中，不具有稳定性的是（）

第2课时三角形的中线、角平分线、高

【知识梳理】

1.三角形的中线、角平分缔口高的概念

⑴中线：在三角形中，连接一个顶点和它所对的边的中点的线段叫作三角形的中线.

⑵角平分线：在三角形中，一个内角的平分线和它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的

角平分浅.

（3）高：从三角形的一个顶点向它所对的边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高.

【温馨提醒】三角形的高、中线与角平分线均指①而垂线是②角平分线是③.

2.三角形的重心：三角形三条中线的交点叫作三角形的重心.

3.三角形的面积公式：S="〃(a是三角形的边，。是这条边上的高).三角形一边上的中线把三角形的面积两等

分.

【核心母题】

核心母题1三角形的中线

【例I】⑴如图I,在△ABC中，AB=8,AC=5,AD是△ABC的中线，则△ABD与△ADC的周长之差为()

A.0B.1C.2D.3

(2)如图2在仆ABC中,D是BC的中点,E是AD的中点，阴影部分的面积为3,则4ABC的面积是________.

【变式1】如图3,在&ABC中,AD是BC边上的中线.△ADC的周长比^ABD的周长多5cm,AB与AC的和为

13cm,则AC=cm.

【变式2】如图.在△ABC中，D是BC的中点，点E在边AB上，ABDE与四边形ACDE的周长相等.

(1)求证：BE=AE+AC;A

⑵若AB=24,AC=18,求AE的长.

BD

核心母题2三角形的角平分线

【例2】如图，CD是△ABC的角平分线,DE〃BC交AC于点E,ZBCD=32°,求/AED的度数.

【变式】（教材Pg练习T,变式）如图，若N1=N2,Z3=Z4,则下列结论中错误的是（）

A.CD是^ABC的角平分线B.AE是^ACD的角平分线

C.□l+C3=1(U^C+LBCA)D.AE是4ABC的角平分线

核心母题3三角形的高

【例3】如图,在△ABC中.AD是边BC上的高.已知AD=IO,AB=12.

⑴请作出AB边上的高CE;

⑵若CE=9.求BC的长

【变式】（教材&oT7变式）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法.

（1）如图1,在^ABC中，NACB=90。，BC=3,AC=4,AB=5,CD±AB,贝!JCD二;

⑵如图2,在^ABC中.AB=4,BC=2,则4ABC的高CD与AE的比是________.

核心母题4三角形的重，心一三条中线的交点

【例4】请仅用无刻度的直尺完成下列画图（不写画法，保留画图痕迹）.

⑴如图1,在^ABC中.E,F分别为AB,BC的中点，请在图1中画出AC的中点M;

（2）如图2.在四边形ABCD中，E,F,G分别为AB,BC,AD的中点，请在图2中画出CD的中点N.

13.2与三角形有关的线段

第I课时三角形的边

【知识梳理】

1.三角形的三边关系：三角形两边的和①大于第三边；三角形两边的差②小于第三边.【温馨提醒】通过三角形

的三边关系可判断三条线段能否构成三角形.

2.三角形的稳定性：三角形是具有③稳定性的图形.

【核心母题】

核心母题1三角形的三边关系①——直接应用三边关系

［例1］以下列长度的三条线段为边，能组成三角形的是（C）

A.3,5,9B.4,6,12C.5,6,8D.2,2,4

【变式】已知三角形的两边长度分别是3和6,第三条边的长度是一个奇数，则第三边长度可能是（B）

A.3B.5C.6D.9

核心母题2三角形的三边关系②一参数范围与化简

【例2】（2025江岸期中改编）已知a,b,c是^ABC的三边，且a=3,b=7.

⑴求c的取值范围；

⑵若c为偶数，求4ABC周长的最大值.

解(l)4<c<10;(2)18.

【变式】⑴已知a,b,c是△ABC的三边长化简：|b-c-a|+|a-b+丘|a-b-c|的结果是3a-3b+c;

（2）（2025武昌期中改编）已知△ABC的三边长分别为3,5,a,化简：|a-2|+|a-8|.

解（2）:△ABC的三边长分别为3,5,a,・・・5-3vav3+5,解得2va<8,

|a-2|+|a-8|=a-2+8-a=6.

核心母题3三角形的三边关系③——分类讨论

【例3］（教材P9习题T2变式）长为9,6,4,3的四根木条，选其中三根组成三角形，选法共有（B）

A.1种B.2种C.3种D.4种

【变式】若五条线段的长分别是Icm,2cm,3cm,4cm,5cm,则以其中三条线段为边可围成，个三角形.

【例4】（1）（教材）/o"变式）若等腰三角形的一边长为4,一边长为8,则其周长为2L；

⑵已知等腰三角形的周长为16cm,若其中一边长为4cm,求另外两边长.

解⑵当腰长为4cm时，底边长为16-4-4=8（cm）,三边长分别为4cm,4cm,8cm,

不符合三角形的三边关系，这样的三边不能围成三角形，所以此种情况舍去；

当底边长为4cm时，腰长为（l6~4）+2=6（cm）,三边长分别为4cm,6cm,6cm,

符合三角形的三边关系，故另外两边长都为6cm.

【变式】用一条长为36cm的细绳围成一个等腰三角形，能围成一条边长为8cm的等腰三角形吗?为什么？

解①若腰长为8cm,则底边长为36-8x2=20.

V8+8=16<20,・♦・不能组成三角形，此情况不成立：

②若底边长为8cm,则腰长为（36-疗2=14,此情况成立.

综上所述，可以围成一边长为8cm的等腰三角形.

核心母题4三角形的稳定性

【例5】（1）在上网课时把平板放在三角形支架上，用到的数学道理是（A）

A.三角形的稳定性B.对顶角相等

C.垂线段最短D.两点之间，线段最短

⑵如图，师傅安装空调在墙上时，一般都会应用这种三角形支架，原理是①）

A.两点确定一条直线B.垂线段最短

9上空训

C.两点之间线段最短D.三角形具有稳定性

『"三角形支架

【变式】(1)如图，木工师傅制作门框时，常用木条EF固定长方形门框ABCD,使其不变形，这样做的数学道

理是(C)

A.两点确定一条直线

B.两点之间，线段最短

C.三角形的稳定性

D.垂线段最短

⑵下列图形中，不具白稳定性的是(A)

第2课时三角形的中线、角平分线、高

【知识梳理】

1.三角形的中线、角平分线和高的概念

⑴中线：在三角形中，连接一个顶点和它所对的边的中点的线段叫作三角形的中线.

(2)角平分线：在三角形中，一个内角的平分线和它的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的

角平分线.

(3)高：从三角形的一个顶点向它所对的边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高.

【温馨提醒】三角形的高、中线与角平分线均指①线段,而垂线是②直线,角平分线是③射线.

2.三角形的重心：三角形三条中线的交点叫作三角形的重心.

3.三角形的面积公式：S=；ah(a是三角形的边，h是这条边上的高).三角形一边上的中线把三角形的面积两等

分.

【核心母题】

核心母题1三角形的中线

[例1]⑴如图1,在^ABC中.AB=8,AC=5,AD是乙ABC的中线,则仆ABD与人ADC的周长之差为

(2)如图2.在△ABC中.D是BC的中点,E是AD的中点，阴影部分的面积为3,则△ABC的面积是q

【变式1】如图3.在△ABC中,AD是BC边上的中线,△ADC的周长比^ABD的周长多5cm.AB与AC的和为1

3cm,贝JAC=9cm.

【变式2](2025七一中学月考)如图.在^ABC中.D是BC的中点，点E在边AB上，△BDE与四边形ACDE

的周长相等.

(1)求证：BE=AE+AC;

(2)若AB=24,AC=18,求AE的长.

解(I)VABDE与四边形ACDE的周长相等，

ABD+DE+BE=AC+AE+CD+DE,VBD=DC,BE=AE+AC.

(2)设AE=x,贝！]BE=24-x,由(1)彳导RE=AE+AC,

；・24-x=x+18,解得x=3,AAE=3.

核心母题2三角形的角平分线

【例2】如图.CD是△ABC的角平分线,DE〃BC交AC于点E,ZBCD=32°,求NAED的度数.解：64°.

【变式】(教材P9练习T,变式)如图，若Nl=N2,Z3=Z4,则下列结论中错误的是(D)

A.CD是^ABC的角平分线B.