中考数学总复习《数与式》专项测试卷（带答案解析）

中考数学总复习《数与式》专项测试卷（带答案解析）

考试时间：90分钟；满分：120分

姓名:班级:考号:

考卷信息:

本卷试题共25题，单选10题，填空6题，解答9题，满分120分，限时90分钟，本卷题型针对性

较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况!

一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1.下列运算结果是正数的是（）

A.3TB.-3:D.-V3

2.下列运算正确的是（）

A.B.«(«+1)=«2+1

C.D.

4y的结果为子，则人

3.已知4为整式，若计算()

xy+y~X+工＞，

A.XB.yC.x+yD.^-y

（2025重庆•中考真题）

4.估十至（百+6）的值应在)

A.8和9之间B.9和10之间C.10和11之间D.11和12之间

5.如果。+0=3,ab=\那么a%+2n/+加的值为()

A.0B.1C.4D.9

6.1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1,1,2,3,5,,这一列数满足：从第三个数开

始，每一个数都等于它的前两个数之和.则在这一列数的前2024个数中，奇数的个数为（）

A.676B.674C.1348D.1350

（2025•江苏南通•一模）

7.己知关于X的多项式以2+云+C.W0）,当“=〃时，该多项式的道为。7,则多项式+3的值可以是（）

B.2c.2D

A.\4-I

11.

8.设xWOyWOz<0,则三数y+-Z+-T(z)x

yz

A.都不大于一2B.都不小于一2

C.至少有一个不大于一2D.至少有一个不小于一2

（2025・重庆开州•模拟预测）

9.有一台特殊功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数为,

只显示不运算，接着再输入整数与，则显示国-司的结果，如依次输入1，2,则输出的结果是=此后每输

入一个整数都是与前次显示的结果进斤求差后再取绝对值的运算.

下列说法：

①依次输入1,2,3,4,则最后输出的结果是2；

②若将2,3,6这3个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是5：

③若随意地一个一个地输入三个互不用等的正整数。，2,4全部输入完毕后显示的最后结果为若人的最大值为

2024,则〃的最小值为2020.

其中正确的个数有（）个

A.0B.IC.2D.3

10.生物学指出，在生物链中大约只有10%的能量能够流动到下一个营养级，在式-/这

条生物链中（4表示第〃个营养级，〃=1,2,…,6）,要使儿获得785干焦的能量,那么需要必提供的能量约为（用

科学记数法表示）（）.

A.785xl（r千焦B.7.85X10?千焦

C.78.5x106千焦D.7.85x6千焦

二.填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）

II.分蟀因式：勿2_4a+2=.

12.已知实数小人满足劭=1,那么工+775的值为.

13.一个四位数，如果它的干位与十位上的数字之和为9,百位与个位上的数字之和也为9,则称该数为“极数”.若

偶数机为“极数”，且令是完全平方数，则〃?=；

14.如图，把凡&凡三个电阻串联起来，线路AB」二的电流为/,电压为U,则U=，&+/&+/&.当凡=20.3

%=31.9%=47.8/=2.2时，U的值为

15.一个各数位均不为0的四位自然数M=砺，若满足a+d=〃+c=9,则称这个四位数为“友谊数”.例如：四

位数1278,71+8=2+7=9,.*.1278是“友谊数”.若丽是一个“友谊数”，且6-a=c-〃=1,则这个数为；

若渺=痂是一个“友谊数”，设F（M）=3,且是整数，则满足条件的M的最大值是________.

（2025北京•中考真题）

16.联欢会有A,B,C,。四个节目需要彩排.所有演员到场后节目彩排开始。一个节目彩排完毕，下一个节目彩排

立即开始.每个节目的演员人数和彩排时长（单位：min）如下：

节目4BCD

演员

102101

人数

彩排

30102010

时长

已知每位演员只参演一个节目.一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排

开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）。

若节目按的先后顺序彩排，则节目D的演员的候场时间为min；

若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按的先后顺序彩排

三.解答题（共9小题，满分72分）

（2025山西•中考真题）

17.（I）计算：+［（-3）+（-1）］；

△“r】1、x+2

（2）化简：---+----p-~~~■

\x-\X+1）x-\

（2025福建•中考真题）

、bc

18.已知实数4,仇m,n满足3m+〃=—,mn=—.

aa

（1）求证：从-12ac为非负数;

⑵若。,瓦。均为奇数，〃?，〃是否可以都为整数？说明你的理由.

（2025河北•中考真题）

19.如图，有甲、乙两条数轴.甲数轴上的三点A,B,C所对应的数依次为T,2,32,乙数轴上的三点。，E,

尸所对应的数依次为0,x,12.

DE

乙

0

(1)计算A,B,。三点所对应的数的和，并求7方的值；

(2)当点4与点。上下对齐时，点&C恰好分别与点E,尸上下对齐，求x的值.

(2025山东威海•中考真题)

20.定义

我们把数轴上表示数。的点与原点的距离叫做数。的绝对值.数轴上表示数小〃的点A,8之间的距离

Ai3=a-b[a>b).特别的，当。20时，表示数。的点与原点的距离等于a-O.当〃<0时，表示数。的点与原点的

距离等于0—〃.

应用

如图，在数轴上，动点A从表示-3的点出发，以I个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动.同时，动点8从表示

12的点出发，以2个单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动.

AB

—।-----------------1----------------------------------------------------------------------1——>

-3O12

(I)经过多长时间，点八，8之间的距离等于3个单位长度？

(2)求点A,8到原点距离之和的最小值.

(2025四川凉山•中考真题)

21.阅读下面材料，并解决相关问题：

下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第〃行有〃个点……

容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10.

(1)探索：三角点阵中前8行的点数之和为,前15行的点数之和为,那么，前”行的点数之和为

(2)体验：三角点阵中前〃行的点数之和(填“能”或“不能”)为500.

(3)运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，

第三排6盆……第〃排2〃盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？

(2025江苏无锡•一模)

22.阅读下面材料：

一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式.例如：

a+b+c♦abc,a2+b2»...

含有两个字母a,b的对称式的基本对称式是a+b和ab,像a?+b2,(a+2)(b+2)等对称式都可以用a+b,ab表示,

例如：a2+b2=（a+b）2-2ab.请根据以上材料解决下列问题：

（1）式子①a2b2②+J中，属于对称式的是_______（填序号）；

ab

（2）已知（x+a）（x+b）=x2+mx+n.

①若6=-2,〃=匕求对称式&+f的值；

2ab

②若n=-4,直接写出对称式。+与的最小值.

a~h-

（2025江苏盐城•中考真题）

23.发现问题

小明买菠萝时发现，通常情况下，销包员都是先削去菠萝的皮，再斜着铲去菠萝的籽.

提出问题

销售员斜着铲去菠萝的籽，除了方便操作，是否还蕴含着什么数学道理呢？

图I

分析问题

某菠萝可以近似看成圆柱体，若忽略籽的体积和铲去果肉的厚度与宽度，那么籽在侧面展开图上可以看成点，每个

点表示不同的籽.该菠萝的籽在侧面展开图上呈交错规律排列，每行有〃个籽，每列有女个籽，行上相邻两籽、列

上相邻两籽的间距都为d（〃,女均为正整数n>k>3J>0）,如图I所示.

小明设计了如下三种铲籽方案.

方案1：图1是横向铲籽示意图，每行铲的路径长为，共铲行，则铲除全部籽的路径总长为

方案2：图2是纵向铲籽示意图，则铲除全部籽的路径总长为；

方案3：图3是销售员斜着铲籽示意图，写出该方案铲除全部籽的路径总长.

解决问题

在三个方案中，哪种方案铲籽路径总长最短？请写出比较过程，并对销售员的操作方法进行评价.

三三山【山川…7•:

夺三三山刖!…

图1图2图3

（2025广东肇庆•一模）

24.【发现问题】

由(4-犷2。得a12^b2>2abx如果两个正数。，b,即a>0b>0,则有下面的不等式：

a+bNg,当且仅当时取到等号.

【提出问题】若。>0〃>0,利用配方能否求出的最小值呢？

【分析问题】例如：已知%>(),求式子x+士的最小值.

X

解:令G=X,/?=3,则由a+^x+->2lx-=4,当且仅当x=3时，即％=2时，式子有最小值，最小

xxVxx

值为4.

【解决问题】

请根据上面材料回答下列问题：

(1)2+326耳(用“填空)；当x>(),式子x+1的最小值为；

x

【能力提升】

(2)用篱笆围一个面枳为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙(墙长20米)，问这个长方形的

长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？

(3)如图，四边形A4c。的对角线AC、8。相交于点0NAOB△COO的面积分别是8和14,求四边形面

积的最小值.

墙

花园

(2025山东青岛•模拟预测)

25.已知多项式4//_3/),-工-7,次数是b,3a与〃互为相反数，在数轴上，点4表示数〃，点B表示数b.

AB

1~

(l)a=，b=；

(2)若小蚂蚊甲从点A处以2个单位长度/秒的速度向左运动，同时小蚂蚁乙从点8处以3个单位长度/秒的速度也向

左运动，丙同学观察两只小蚂蚁运动，在它们刚开始运动时，在原点。处放置一颗饭粒，乙在碰到饭粒后立即背着

饭粒以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为/秒，求甲、乙两只小蚂蚁到原点的距离相等时所对应的时

间人(写出解答过程)

(3)若小蚂蚁甲和乙约好分别从A,8两点，分别沿数轴甲向左，乙向右以相同的速度爬行，经过一段时间原路返回,

刚好在16$时一起重新回到原出发点A和。，设小蚂蚁们出发，(s)时的速度为v(mm/s),1，与，之间的关系如图.(其

中6表示时间单位秒，mm表示路程单位亳米)

I，)0<Y22<r<55<Y16

v(mm/s)584

①当2<Y5时，你知道小蚂蚁甲与乙之间的距离吗？(用含有，的代数式表示)；

②当Z为时，小蚂蚊甲乙之间的距离是21mm.(请直接写出答案)

参考答案与解析

1.A

【分析】题考查了正数的定义，负整数指数塞的运算，绝对值的化简，乘方，算术平方根的意义，熟练掌握运算法

则是解题的关键.

根据正数的定义，负整数指数鼎的运算，绝对值的化简，乘方，算术平方根的意义计算选择即可.

【详解】解：A、3"=g是正数，符合题意；

B、_3?=-9是负数，不符合题意；

C、—卜3|=-3是负数，不符合题意；

D、是负数，不符合题意；

故选：A.

2.C

【分析】此题考查了合并同类项、单项式乘以多项式、同底数寻乘法、完全平方公式等知识，根据运算法则进行计

算即可作出判断.

【详解】A.片+4=2。2,故选项错误，不符合题意；

B."。+1)=。2+外故选项错误，不符合题意；

C.故选项正确，符合题意；

D.(“-I)?=/-2。+1,故选项错误，不符合题意：

故选：C.

3.A

【分析】本题考查了分式的加减运算，分式的通分，平方差公式，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键.

由题意得"一+二二一~不,对V—+0进行通分化简即可.

x+xy孙xy+yx+xy

【详解】解：•••」■w-Y—的结果为q

xy+yx+X}*xy

.y\x~y-A

'x'+xyxyxy?+y2

.)2+(.-)，)(■¥+>)_-2_k_A

•・町()+)')孙(x+)')孙(x+)')用’+)?x)?+y2

，A=x

故选：A.

4.C

【分析】本题考查的是二次根式的乘法运算，无理数的估算，先计算二次根式的乘法运算，再估算即可.

【详解】解：V712(V2+V3)=2X/6+6

而4<后=2x/6<5

.,.10<2>/6+6<11

故答案为；C

5.D

【分析】本题考查因式分解，代数式求值，先将多项式进行因式分解，利用整体代入法，求值即可.

【详解】解：・・・。+6=3ab=\

a'b+2a2b2+aly=ab(ci2+lab+加)

=ab(a+b)~

=Ix32

=9；

故选D.

6.D

【分析】将这一列数继续写下去，发现这列数的变化规律即可解答.

本撅主要考杏的是数字规律类问厥，发现这列数的变化规律星解题的关键.

【详解】这一列数为：1,1,2,3,5,8,13,21,34,...

可以发现每3个数为一组，每一组前2个数为奇数，第3个数为偶数.

由于2024+3=6742

即前2024个数共有674组，且余2个数

工奇数有674x2+2=1350个.

故选：D

7.A

【分析】本题考直了二次函数的最值问题，整式的乘法运算，通过消元法将代数式化简为二次函数的形式是解题的

关键.由已知得/+"+c=c-a,化简得所以/-6+3=-6-1一〃+3=-(力+32+孑，再求出/?的

取值范围，最后根据二次函数的图象与性质，可求出+3的取值范围，由此可判断答案.

【详解】•,,当x=a时，该多项式的值为…

:.a-\-ab+c=c—a

整理得a(/+〃+i)=。

a/0

a2+Z>+1=0

即a2=-b-\

a2-h2+3=-b-l-b2+3

=-b2-b+2

=-(b+-)2+-

24

a2=-b-\"0

/.-/?-1>()

/><-1

|Q

•••当方二-1时a2-b2+3=-(b+-)2+-=2

24

根据二次函数的图象可知，当〃<—1时a2-b2+3<2.

故选A.

8.C

【分析】首先把三个数相加，得到(旧卜卜臼+废?

由已知可知％+y+—«-2z+—<-2可得

x)'z

x+l+y+l+2+l,-6,据此即可判定.

【详解】解：X*1--Fy+—+z+—=/%+—]+>>+—|+[z+—

yzxIx八y)\z

*/x<0y40z<0

:.x+-<-2y+-<-2z+，4-2,当且仅当x=y=z=-l时，取等号

xyz

111…

：.x+—+y+-+z+-<-6

yzx

当这三个数都大于・2时，这三个数的和一定大于6这与x+L+y+\z+Lw_6矛盾

yzx

这三个数中至少有一个不大于-2

故选：C.

【点睛】本题考查了利用不等式的取值及反证法，判定命题的真假，难度比较大.

9.D

【分析】本题考查了绝对值，绝对值方程.理解题意并分情况求解是解题的关键.

依次输入1,2,3,4,运算结果依次为|1-2|=1卜3|=2|2-4|=2,即最后输出的结果是2,不判断①的正误：

将2,3,6这3个整数任意地一个一个输入，当第一和第二次输入为2或3,第三次输入为6时，全部输入完毕后

显示的结果最大，最大值为||2-3|-6卜5,可判断②的正误；令。为最大的正整数，当，=1时，%的最大值为

|/7-|1-2||=2024,可求满足要求的解力=2025,此时大的最小值为|1一|2025-2|卜2022；当〃>。>2020时，A的最大

值为卜-//一2|卜忸一〃+2|=2024,可求满足要求的解为人一4=2022,此时女的最小值为卜一|0一2||=卜一8+2|=2020；

综上所述，％的最小值为2020,进而可判断③的正误.

【详解】解：依次输入1，2,3,4,运算结果依次为|1一2|二1|1-3|=2|2-4|=2,・••最后输出的结果是2,①

正确，故符合要求；

将2,3,6这3个整数任意地一个一个输入，当第一和第二次输入为2或3,第三次输入为6时，全部输入完毕后

显示的结果最大，最大值为||2-3|-6卜5,②正确，故符合要求；

令人为最大的正整数，当〃=1时，上的最大值为|〃-|1-2|卜2024

解得，〃=2025或〃=-2023（舍去）

此时女的最小值为"一|2025-2||=2022；

当〃>a>202（）时，"勺最大值为卜一一1=心一a+2|=2024

解得，b-a=2022^b-a=-2026（舍去）

此时k的最小值为卜一性2||=|«-^I2|=2020；

综上所述，女的最小值为2020

・••③正确，故符合要求；

故选：D.

10.B

【分析】根据10%的能量能够流动到下•个营养级可知：要使&获得785千焦的能量，那么需要上提供的能量约

为785x10千焦，以此类推.设需要匕提供的能量约为x千焦.根据题意列方程0.1)=785计算，即得.

本题主要考查了乘方的应用.热练掌握乘方的意义及运算法则，是解决问题的关健.

【详解】设需要％提供的能量约为上干焦.

根据题意得：().l'x=785

10n=785

解得，x=7.85xl07

・••需要凡提供的能量约为7.85x107千焦.

故选：B.

11.2(«-1)2

【详解】解：先提取公因式2后继续应用完全平方公式分解即可：

原式=2(々2_2〃+1)=2.-1)2

故答案为：2(«-1)2.

12.1

【分析】先根据异分母的分式相加减的法则把原式化简，再把必=1代入进行计算即可.

b2+1+/+1

+0(/+])

a2+b2+2

crb1-^cr+\

_a1+/>2+2

(ab)2+a2+b2+\

'：ab=\

2222

.1st、a+b+2a+b^2

・・原式=百万7rL7rL

【点睛】本题考查了分式的化简求值，分式求值题中比较多的题型主要有三种：转化已知条件后整体代入求值；转

化所求问题后将条件整体代入求值；既要转化条件，也要转化问题，然后再代入求值.

13.1188或4752

【分析】此题考查列代数式解决问题，设出〃?的代数式后根据题意得到代数式的取值范围是解题的关键，根据取值

范围确定可能的值即可解答问题.设四位数/”的个位数字为x,1位数字为>，，将机表示出来，根据《是完全平方

JJ

数，得到可能的值即可得出结论.

【详解】解：设四位数〃?的个位数字为X,十位数字为y,(X是0到9的整数，y是0到8的整数)

・•・〃?=1000(9-y)+100(9-x)+)，+x=99(100-10)，-x)

♦・•明是四位数

・•・99(lD0T0yr)是四位数

即1000<99(l00-10y-x)<10000

=3(100-10y-A)

101

A30—?3(100iOy-A)<303—

33I)33

•・•武是完全平方数

•••3(103-lOy-x)既是3的倍数也是完全平方数

3(100-10y-x)HW36,81,144,225这四种可能

J是完全平方数的所有m值为1188或2673或4752或7425

JJ

又〃?是偶数

••・6=1188或4752

故答案为：1188或4752.

14.220

【分析】本题考查了代数式求值，乘法运算律，掌握相关运算法则，正确计算是解题关键.根据〃=阳+/&+/&,

将数值代入计算即可.

【详解】解：•3=/、+/&+/&

当a=20.3&=31.9&=47.8/=2.2时

U=20.3x2.2+31.9x2.2+47.8x2.2=(20.3+31.9+47.8)x2.2=220

故答案为：220.

15.34566273

【分析】本题主要考查了新定义，根据新定义得至ija+d="c=9,再由b-a=cM=l可求出〃、Ac、d的值，

进而可得答案；先求出M=999a+90b+99,进而得到=9〃+8+3“+"6,根据/M)+"+cd是

131313

整数，得到9〃+8+%；；+6是整数,即3"；；+6是整数,则M+/J+6是13的倍数，求出再按照。从大到

小的范围讨论求解即可.

【详解】解：.・•丽是一个''友谊数"

a+d=b+c=9

又：b-a=c—b=\

/./?=4,c=5

.**a=3>d=6

••・这个数为3456；

砺是一个“友谊数"

/.M=1000«+100/74-10C+J

=1000d+100Z?+10（9-^）+9-«

=999a+90/7+99

F（/W）=—=llld+10/>+ll

.F（M）+ab+cd

••-------------------

13

llla+10b+ll+10a+〃+10c+d

"13

llla+10〃+ll+10a+/?+I0（9-0）+9—a

~13

1206/4-/7+110

=13

\\la+3a+b+\04+6

=13

3a+b+6

=9a+8+

13

,:F（M）+ab+cd是整数

13

・•・9a+8+3%+6是整数,即空产是整数

1•M+b+6是13的倍数

:a、b、c、d都是不为0的正整数，且a+"=〃+c=9

・"W8

・•・当a=8时31<3«+Z?+6<38,此时不满足3。+〃+6是13的倍数，不符合题青：

当〃=7时28<3f/+/?+6<35,此时不满足初+〃+6是13的倍数，不符合题意；

当。=6时25<36/+/?+6<32,此时可以满足3a+b+6是13的倍数，即此时〃=2,则此时4=3,c=7

•・•要使M最大，则一定要满足。最大

，满足题意的M的最大值即为6273；

故答案为：3456：6273

16.60C-A-B-D

【分析】本题考查了有理数的混合运算，正确理解题意，熟练计算是解题的关键.

①节目。的演员的候场时间为30+10+20=60min；②先确定C在A的前面，6在。前面，然后分类讨论计算出每

一种情况下，所有演员候场时间，比较即可.

【详解】解：①节目。的演员的候场忖间为30+10+20=60min

故答案为：60；

②由题意得节目4和C演员人数一样，彩排时长不一样，那么时长长的节目应该放在后面，那么C在人的前面，B

和。彩排时长一样，人数不一样，那么人数少的应该往后排，这样等待时长会短一些，那么B在。前面

•••①按照C—8—A—。顺序，则候场时间为：(10+2+l)x2()+(10+l)xl()+lx3()=400分钟；

②按照C—B—O—A顺序，则候场时间为：(10+2+1)x20+(10+1)x10+10x10=470分钟；

③按照C—A—8—0顺序，则候场时间为：(10+2+1)x20+(2+1)x30+1x10=360分钟；

④按照8-C-A—O顺序，则候场时间为：(10+10+1)x10+(10+1)x20+1x30=460分钟；

⑤按照3-C-O-A顺序，则候场时间为：(10+10+1)x10+(10+1)x20+10x10=530分钟；

⑥按照8-。一C-A顺序，则候场时间为：(10+10+1)x10+(10+10)x10+10x20=610分钟.

・•・按照C-A-8-。顺序彩排，候场时间之和最小

故答案为：C—A-B—D.

17.(I)-10；(2)三

x+2

【分析】本题考查的是分式的混合运算，有理数的混合运算及负整数指数幕，熟知运算法则是解题的关键.

(1)先算括号里面的，再算乘法，负整数指数幕，最后算加减即可；

(2)先算括号里面的，再把除法化为乘法，最后约分即可.

【详解】解：⑴(一6*1一『「+[(-3)+(—1)]

=(-6)x1-^+(-3T)

=—2—4—4

=-10；

x+l+x-1(x+l)(x-l)

(x+l)(x-l)x+2

2x(x+l)(x_l)

-(.r+l)(.r-l)x+2

2x

"x+2'

18.(1)证明见解析；

(2)，〃，〃不可能都为整数，理由见解析.

【分析】本小题考查整式的运算、因式分解、等式的性质等基础知识：考查运算能力、推理能力、创新意识等，以

及综合应用所学知识分析、解决问题的能力.

(1)根据题意得出b=a(3〃?+〃),c=Q〃"7,进而计算〃-12ac，根据非负数的性质，即可求解；

(2)分情况讨论，①以〃都为奇数；②〃?’〃为整数，且其中至少有一个为偶数，根据奇偶数的性质结合已知条件

分析即可.

bc

【详解】(1)解：因为3〃?+〃=2,〃〃2=£

aa

所以〃=a(3m+77),c=amn.

则b2-\2ac=[a(3m+n)f-12a1mn

=a~(9〃『+6nm+//)-12a2inn

=a2(9〃/-6mn+n1)

=a2(3m-n)2.

因为〃，〃?，〃是实数，所以

所以12ac为非负数.

(2)如〃不可能都为整数.

理由如卜.：若，〃，〃都为整数，其可能情况有：①〃?，〃都为奇数：②为整数，且其中至少有一个为偶数.

①当〃?，〃都为奇数时，则3/n+n必为偶数.

又3，〃+〃=2,所以Z?=a(3"?+〃).

因为。为奇数，所以。(3〃?+〃)必为偶数，这与。为奇数矛盾.

②当〃?，〃为整数，且其中至少有一个为偶数时，则〃"?必为偶数.

又因为"〃?=£,所以。

a

因为。为奇数，所以。〃〃?必为偶数，这与「为奇数矛盾.

综上所述，认〃不可能都为整数.

19.(1)30-

6

(2)x=2

【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离的含义，一元一次方程的应用，理解题意是解本题的关键；

(1)直接列式求解三个数的和即可，再分别计算ABA。，从而可得答案；

(2)由题意可得，对应线段是成比例的，再建立方程求解即可.

【详解】(1)解：:甲数轴上的三点A,B,。所对应的数依次为2,32

.・・-4+2+32=30AB=2-(-4)=2-4=6AC=32-(Y)=32+4=36

.A8_6_1

"AC=36=6：

(2)解：•・•点A与点。上下对齐时，点8,C恰好分别与点E,产上下对齐

.DEDF

"AB"AC

.x_12

**6=36

解得；x=2；

20.⑴过4秒或6秒

(2)3

【分析】本题考查了一元一次方程的应用，不等式的性质，绝对值的意义等知识，解题的关键是：

(1)设经过x秒，则人表示的数为-3+x,8表示的数为12-21，根据“点A,B之间的距离等于3个单位长度”列

方程求解即可；

(2)先求出点A,6到原点距离之和为1-3十八|十|12-24然后分X<33<A<6%>6三种情况讨论，利用绝对值

的意义，不等式的性质求解即可.

【详解】(1)解：设经过x秒，则A表示的数为-3+x,3表示的数为12-2x

根据题意,得|【2-2段(-3+刈=3

解得..4或6

答，经过4秒或6秒，点A,3之间的距离等于3个单位长度；

(2)解：由(1)知：点A,B到原点距离之和为卜3+吊+|12-2M

当X<3时|-3+.I|+|12-2X|=3-A:+I2-2X=15-3X

Vx<3

/.15—>6,即|-3++|12-2闻>6

当34x46时|-3+,X|+|12-2A|=X-3+12-2X=9-X

*/3<x<6

3<9-x<6,即3引-3+闻+|12-2x|46

当JV>6口、］|-3+A'|+112-2x|=x—3+lx-12=3x—15

Vx>6

3A-15>3,即|一3+乂+|12-2司>3

综上，卜3+耳+|12-2工|之3

・••点A,8到原点距离之和的最小值为3.

21.⑴36120+

⑵不能

⑶一共能摆放20排.

【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出•元二次方程是解题的关键.

(1)根据图形，总结规律，列式计算即可求解：

(2)根据前〃行的点数和是500,即可得出关于〃的一元二次方程，解之即可判断；

(2)先得到前〃行的点数和是〃(〃+1),再根据题意得出关于〃的一元二次方程，解之即可得出〃的值.

【详解】(1)解：三角点阵中前8行的点数之和为l+2+3+4+5+6+7+8=g(l+8)x8=36

前15行的点数之和为1+2+3+4-14+15=^(1+15)x15=120

那么，前〃行的点数之和为1+2+3+=+=；

故答案为：36；120+

(2)解：不能

理由如下：

由题意得g〃(〃+l)=500

得〃2+”iooo=O

A=12-4X(-KXX))=4(X)1

J此方程无止整数解

所以三角点阵中前〃行的点数和不能是500；

故答案为：不能；

(3)解：同理，前〃行的点数之和为2+4+6++2〃=2xg(l+〃)x〃=〃(〃+l)

由题意得〃("+1)=420

得〃?+?i-42U=0,即(〃十21)(〃-20)=0

解得〃=20或〃=-21（舍去）

・•・一洪能摆放20排.

22.（1）①③；（2）@+=6；⑵"'+'~~口的最小值为二.

aba-b"2

【分析】（1）根据对称式的定义进行判断；

（2）①先得到a+b=-2,ab=；,再变形得到2+f=g"="也二四，然后利用整体代入的方法计算;

2ababab

②根据分式的性质变形得到7+2中=/+4+/+』，再利用完全平方公式变形得到（a+b）2-2ab+

a2b2a~h-

（a+*2M,所以原式=二］镇+?,然后根据非负数的性质可确定3的最小值.

a~b~162a~b~

【详解】解：（1）式子①a2b2②a2-b2③：中，属于对称式的是①③.

ab

故答案为①③；

（2）Vx2+（a+b）x+ab=x2+mx+n

Aa+b=m,ab=n.

①a+b=-2,ab=

(a+b)2-2ab_"~2x2

-+---，----------------0"

ababab1

2

/+1〃4+1'1.21

②才+才3+7+…F

2

/•>CL(a+b)-2ab

=(a+b)2-2ab+-----------

a2b2

—+8+4

16

17.17

=­m-+一

162

V—m2>0

16

./+1Z/+1的最小值为9.

【点睛】本题主要考查完全平方公式,关键是根据题目所给的定义及完全平方公式进行求解即“J.

23.分析问题：方案1：（〃—l）d2A2（n-\）dk；方案2：2（2-方案3：-梳x（2&-l）〃d解决问题：方

案3路径最短，理由见解析

【分析】分析问题：方案1：根据题意列出代数式即可求解：方案2：根据题意列出代数式即可求解：方案3：根据

图得出斜着铲每两个点之间的距离为叵运=回，根据题意得一共有2〃列，2k行，斜着铲相当于有〃条线段

22

长，同时有殊-1个，即可得出总路径长:

解决问题：利用作差法比较三种方案即可.

题目主要考查列代数式，整式的加减运算，二次根式的应用，理解题意是解题关键.

【详解】解：方案1:根据题意每行有〃个籽，行上相邻两籽的间距为d

•••每行铲的路径长为

•・•每列有&个籽，呈交错规律排列

・•・相当于有暴行

・•・铲除全部籽的路径总长为2（〃-1）心

故答案为：（〃一1”2k2（n-l）^；

方案2：根据题意每列有*个籽，列上相邻两籽的间距为d

・••每列铲的路径长为（01"

•・•每行有〃个籽，呈交错规律排列

，相当于有2〃歹U

，铲除全部籽的路径总长为2（k-。加

故答案为：2（k—l）办：

方案3：由图得斜着铲每两个点之间的距离为叵正=«空

22

根据题意得一共有2〃列，2"亍

斜着铲相当于有〃条线段长，同时有2攵-1个

・•・铲除全部籽的路径总长为：鸟（2k-1）nd;

解决问题

由上得：2（n-\）dk-2（k-\）dn=hulk-2dk-hulk+2dn=2d（n-k）>0

・•・方案I的路径总长大于方案2的路径总长；

Ji\J5'

2{k-V\dn--^x（2k~\）dn=（2一码%一2+与dn

*：n>k>3

当A=3时

（2-a）x3-2+t=4—4>0

2（k-1]d,i-x（2k_1）dn>0

・•・方案3铲籽路径总长最短，销售员的操作方法是选择最短的路径，减少对菠萝的损耗.

24.（1）>,2：（2）当长、宽分别为8米，4米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是16米；（3）四边形A6C。面积

的最小值为22+85

【分析】本题考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了等高三角形的在面积计算中的应用.

（1）当x>0时，按照公式〃+。之2而（当且仅当。=力时取等号）来计算即可；当x<0时-4x>0-->0则