2026年高考数学一轮复习专练：重难点29 巧解圆锥曲线的离心率问题（学生版+解析）

重难点29巧解圆锥曲线的离心率问题

【全国通用】

题型归纳

【题型1利用圆锥曲线的定义求离心率或其范围】..................................................2

【题型2根据离心率求圆锥曲线的标准方程】......................................................3

【题型3利用等量关系或不等关系求离心率或其范围】..............................................3

【题型4利用余弦定理求离心率或其范围】........................................................4

【题型5利用基本不等式求离心率的范围】........................................................5

【题型6椭圆与双曲线综合的离心率问题】........................................................5

【题型7函数法求离心率或其范围】..............................................................6

【题型8坐标法求离心率或其范围】..............................................................6

命题规律

1、巧解圆锥曲线的离心率问题

从近几年的高考情况来看，圆锥曲线的离心率或其取值范围问题是高考的重点、热点题型，主要以选

择题或填空题的形式考查，难度不大；对圆锥曲线中已知特征关系的转化是解决此类问题的关键，相关平

面儿何关系的挖掘应用也可使问题求解更简洁，复习时要加强这方面的训练.

方;斑巧

知识点1图锥曲线的离心率

1.椭圆的离心率

(I)离心率的定义:椭圆的焦距与长轴长的比?称为椭圆的离心率.用e表示，即

(2)离心率的范围:()<e<\.

(3)椭圆离心率的意义:椭圆离心率的变化刻画了椭圆的扁平程度.

当e越接近于1时，c越接近于小从而加越小，因此椭圆越扁；当e越接近于。时，。越接近于

0,从而加越接近于。，因此椭圆越接近于圆；当且仅当时，c=0,这时两个焦点重合，图形

变为圆，它的方程为x?+V=/

2.求椭圆离心率或其取值范围的方法

解题的关键是借助图形建立关于。，4c的关系式(等式或不等式)，转化为。的关系式，常用方法如下：

⑴宣接求出a,c,利用离心率公式求解.

⑵由。与b的关系求离心率,利用变形公式e=J1—4求解.

⑶构造a^c的齐次式.离心率。的求解中可以不求出〃,c的具体值,而是得出〃与c的关系,从而求得e.

3.双曲线的离心率

⑴定义:双曲线的焦距与实轴长的比?，叫作双曲线的离心率.

(2)双曲线离心率的范围:e>l.

(3)离心率的意义:离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小.

因为5=所以e越大，5越大，则双曲线的开口越大.

(4)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率

4.求双曲线离心率或其取值范围的方法

(1)直接求出a,c的值，利用离心率公式直接求解.

(2)列出含有a,b,C的齐次方程(或不等式)，借助于〃=/一消去人转化为含有e的方程(或不等式)求解.

5.抛物线的离心率

抛物线的离心率。=1.

知识点2离心率的范围问题的求解方法

1.不等式法求离心率的范围

(1)利用圆锥曲线的定义求离心率的范围：利用圆锥曲线的定义建立不等关系，结合离心率公式求解.

(2)利用圆锥曲线的性质求离心率的范围：利用圆锥曲线的性质，如：椭圆的最大角、双曲线渐近线的斜率、

通径、三角形中的边角关系、曲线上的点到焦点距离的范围等，建立不等式(不等式组)求解.

(3)利用题目条件中的不等关系，建立不等式(不等式组)求解.

(4)利用基本不等式求离心率的范闱：把离心率的关系式转化为能利用基本不等式的形式，利用基本不等式

建立不等关系进行求解.

2.函数法求离心率的范围

(1)根据题干条件，如圆锥曲线的定义、性质、其他等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系

式；

(2)结合圆锥曲线的离心率的范围，来确定所得函数的定义域；

(3)利用函数的性质求最值或值域，进而求解离心率的最值或取值范围.

3.坐标法求离心率的范围

根据所给条件，设出所求点的坐标，把点的坐标代入曲线方程，结合相关知识，进行求解即可.

举一反三

【题型1利用圆锥曲线的定义求离心率或其范围】

【例1】(2025•陕西汉中•模拟预测)已知椭圆C:《+y2=I(Q>1)的左、右焦点分别为F].，过点F1的直线

，与C交于48两点，若△48F2的周长为12,则C的离心率为()

A.9B.当C.ID.竽

【变式1-1](2025•内蒙古呼和浩特•模拟预测)双曲线C曝一y2=i(Q>o)经过点9位,1),则C的离心率

e等于（）

A.yB.V3C.V5D.y

【变式1-2]（2025•北京海淀•三模）在平面直角坐标系xQv中，双曲线的中心在坐标原点，焦点在），轴上，

一条渐近线的方程为2x—y=0,则它的离心率为（）

A.V5B.yC.V3D.2

【变式1-3]（2025•山东济南•三模）已知焦点在x轴上的椭圆1,以原点为圆心，椭圆短半轴长

为半径的圆与直线y=遮％+4相交，则C的离心率的取值范围是（）

A.（0,1）B.（0岛C.（1,1）D.。，1）

【题型2根据离心率求圆锥曲线的标准方程】

【例2】（2025•北京门头沟•一模）已知双曲线C经过点（0,1）,离心率为2,则C的标准方程为（）

22

A.x——3=1B.-3-Jy=1

22

C.zy——3=1D.-3-x=1

【变式2-1】（2025・四川乐山•三模）与双曲线今一3=1有公共焦点，且离心率为加椭圆方程为（）

y2y2y.2y2y2y2y2

A.—+—=1B.—+—=1C.—+—=1D.—+—=1

2449502549242550

【变式2-2]（2025•湖北武汉•模拟预测）已知椭圆C:3+盘=1（。>6>0）的上、下焦点分别为&,尸2,离心

率为M过点Fi作直线/（与y轴不重合）交椭圆C于M,N两点，△MNF2的周长为12,则椭圆C的标准方程是

（）

A.立+V=iB.亡+M=ic.-+^=1D.^+-=1

3J39595

【变式2-3]（2025•宁夏石嘴山•模拟预测）双曲线C与椭圆1+4=1有公共的焦点，且C的离心率是2,则

C的标准方程是（）

A./一：=1B.y2-^=lC.--^=1D.g一三=1

3/3412412

【题型3利用等量关系或不等关系求离心率或其范围】

【例3】（24-25高三上•浙江•阶段练习）己知双曲线C:《—《=1（。>0,b>0）的左焦点为&,0为坐标原点，

若在C的右支上存在关于不轴对称的两点P,Q,使得△P&Q为正二角形，且OQ_L%尸，则。的离心率为（）

A.V2B.1+V2C.V3D.1+V3

【变式3-1】（2025・湖北•模拟预测）已知Fi、F2分别为椭圆噂+《=l（Q>b>0）的左、右焦点，点尸（不

在I1上）为y轴上一点，线段PF1与「交于点Q,改而=0,APQF2内切圆的直径为从则椭圆r的离心率

为（）

A.三B.2C.逗D.立

3342

【变式3-2］（2024.湖南衡阳•三模）已知双曲线C:《一\=1（。）0,6>0）的左、右焦点分别为月,尸2,点A在

C的左支上，AF2交C的右支于点B,若乙RAB=々ABA=30。,则双曲线C的离心率为（）

A.半B.—C.V3D.y/5

53

【变式3-3］（2025・河南•模拟预测）已知椭圆6冬+5=l（Q>b>0）上有动点忆。在任意位置时，总存在

椭圆上的另外两点M,N,使△PMN的重心为右焦点几则椭圆E的离心率的取值范围为（）

A.（0,1）B.61）C.（Oj）D.&1）

【题型4利用余弦定理求离心率或其范围】

【例4】（2025•云南玉溪•模拟预测）已知椭圆C：各\=l（a>b>0）的焦点分别为Fi，F2,过a的直线

与C交于P,Q两点，若［PF/=2|QF/,\PQ\=\QF2\,则椭圆C的离心率为（）

A.—B.—C.—D.-

2352

【变式4-1］（2025•河南•模拟预测）设双曲线。:/一3=l（a>0,b>0）的左、右焦点分别为凡，F2,过坐

标原点的直线与C交于48两点，|吊8|=2|田川，用•碰=4小，则C的离心率为（）

A.V2B.2C.V5D.77

【变式4-2】（2025•广东广州•三模）已知椭圆+\=l（a>b>0）的左、右焦点为吊,尸2,过点F2的直线

与E交于忆N两点.若COSNFIM/2=，|MN|=|M&|,则椭圆E的离心率为（）

A.迥B.匹C.3D.

3333

【变式4-3］（2024.湖南衡阳.一模）已知双曲线。《一卷二1,两焦点分别为&'，过右焦点已作直线/交

右支于A，B点、,且同=：福，若乙居48=9则双曲线。的离心率为（）

•3*5

A.-B.-C.-D.2

5Z3

【题型5利用基本不等式求离心率的范围】

【例5】（24-25高二下•上海杨浦•期中）已知椭圆《+《=l（Q>b>0）的左右焦点分别为FL，椭圆

存在一点P,若AF1PF2=120°,则椭圆的离心率取值范围为（）

A•偿，闿B.（川C.加D.［消］

【变式51］（2025高三仝国专题练习）已知双曲线G，Q的焦点分别在X轴，y轴上，渐近线方程为y=±打，

离心率分别为6,。2,则ei+a的最小值为（）

A.2B.2V3C.3D.2企

【变式5-2］（24-25高一下•浙江•期中）已知椭圆6：2+3=1（。>8>0）和双曲线。2：5—《二

l（m>0,n>0）有相同的焦点&,玛,尸为两曲线在第一象限的交点，分别为曲线G，Q的离心率.若

匕PF/2=HP。，则+2的最小值为（）

A.2&B.3V2C.4V2D.6企

【变式5-3］（2025•辽宁•模拟预测）已知椭圆G与双曲线。2有共同的焦点&,F2，P是椭圆G与双曲线。2的一个

公共点，且乙尸建尸2=5其离心率分别为％,。2,则3宏+多的最小值为（）

A.3B.4C.6D.12

【题型6椭圆与双曲线综合的离心率问题】

【例6X2025•浙江绍兴・模拟预测）设椭圆G：9+y2=1和双曲线C2《-y2=1（fl>0）的离心率分别为“,加・

若利•。2=1，则Q=（）

A.6B.3C.1D.苧

【变式6-1］（2024・四川乐山三模）设双曲线的:捺72=1（。>0）,椭圆C2：Ry2=1的离心率分别为6©,

若01=2百02，则。=（）

ATB.也C.四D.在

8423

【变式6-2］（2024•安徽合肥•模拟预测）已知椭圆G：^+y2=l（m>1）与双曲线。2：^-y2=l（n>0）的

焦点重合，%,与分别为G，C2的离心率，则（）

A.e1e2>2B.+e2>2

C.0<e1e2<2D.0Vq+々V2

【变式6-3](2025•山东莉泽•二模)己知外与分别为椭圆卧《=l(a>b>0)和双曲线圣一《二1的离心

率，双曲线渐近线的斜率不超过停，则空的最大值是()

Se1

A.2B.3C.4D.5

【题型7函数法求离心率或其范围】

【例7】(2025•辽宁・模拟预测)已知Q是椭圆+\=1(0VbV3)上的动点：若动点Q到定点P(2,0)的

距离|PQ|的最小值为1，则椭圆M的离心率的取值范围是()

A.(0,y]B.[y,l)c.(0,y]D.^,1)

【变式7-1](2025・甘肃白银•模拟预测)已知椭圆Z和双曲线S的对称中心均为坐标原点，且芍公共焦点，

左、右焦点分别为片，F2,Z与S在第一象限有交点A,若l&Fzl=2|4F2|,则S与Z的离心率之差的取值

范围是()

A.G*)B.$+8)C.(1,1)D.或+8)

【变式7-2](2025高三・全国•专题练习)已知Fi，尸2是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，

且IPFJ<|P尸尸&的垂直平分线经过点尸2.若椭圆的离心率为双曲线的离心率为。2，则多一擀的取值

范围为()

A.(-2,+oo)B.(一|,+8)C.(-2,-j)D.(-1,+8)

【变式7-31(2025高三•全国•专题练习)已知椭圆G看+.=1(%>瓦>0)与双曲线C2吟磊=

1(。2>0,匕2>。)有相同的焦点?1尸2，其中Fi为左焦点，点P为两曲线在第一象限的交点，修工2分别为曲线

G，C2的离心率，若△P&Fz是以PR为底边的等腰三角形，则。2-。1的取值范围为()

A.(…)B,6+8)

C.("8)D.(l,4-oo)

【题型8坐标法求离心率或其范围】

【例8】(2025•江西鹰潭•一模)过椭圆接+5=l(a>b>0)上的点M作圆M+y2二*的两条切线，切点

分别为P,Q.若直线PQ在“轴，y轴上的截距分别为m,n,若5+提=2,则椭圆离心率为()

A.1B.4C."D.兽

2323

【变式8-1］（2025•甘肃甘南•模拟预测）已知双曲线C:圣一£=1（Q＞0,h＞0）的左、右焦点分别为F2,llfl2

分别为双曲线C的两条渐近线，直线I过点尸2,且直线呜，2交于点P，直线/与双曲线C的右半支交于点

Q，且磁=◎，则双曲线C的离心率为（）

A.V2B.1C.V3D.2

【变式8-2］（24-25高二上•福建厦门•期中）如图，过原点。的直线AB交椭圆C:5+A=1（。＞匕＞。）于4B

两点，过点4分别作％轴、的垂线4PMQ,且分别交椭圆C于点P,Q,连接BQ交AP于点M,若丽=：丽,

则椭圆。的离心率为（）

D.在

2

【变式8-3］（2025•甘肃白银•三模）已知A是双曲线。:《一《=1（。＞0,匕＞0）在第一象限上的一点，点8与

点4关于原点。对称，过点A作AM_L48,与C的另外一个交点为M,连接BM,与y轴交于点N,若演=7€M-

NO,贝iJC的离心率为（）

A.\/5B.V6C.V7D.3

一、单选题

1.（2025・河北•模拟预测）已知焦点在x轴上的椭圆［+［=1，其右焦点尸与上顶点A和左顶点B构

9

成面积为4四的三角形，则椭圆的离心率为（）

1＞/2广1口0

AA.—BD・—C・—D.—

3322

2.（2025•广东•模拟预测）已知双曲线。:圣一\=1（。＞0/＞0）的左，右焦点分别为FI，F2,4是双曲线C上

一点，B为线段4F1的中点.若|尸/21=14尸2|=2出尸2|,则C的离心率为（）

v^+i

A.V3+1B.2C.D.V2

2

3.（2025・贵州・模拟预测）已知椭圆区冬+《=1的左、右焦点分别为&,尸2,上顶点为8,

右顶点为小&到直线AB的距离为乩则椭圆石的离心率为（）

4.（2025・江苏宿迁•三模）设双曲线。吗一3=19>0,6>0）的右焦点为尸，。为坐标原点，以。尸为直径

的圆与双曲线的两条渐近线分别交于（除原点外）A,B两点,若[43|=上则双曲线C的离心率为（）

A.4B.2C.V3D.V2

5.（2025・贵州贵阳•模拟预测）设椭圆l（a>b>0）的左、右焦点分别为Fi.F2,上顶点为4,

直线力巴交M于另一点8,AABF2的内切圆与力B相切于点C,若18cl=匕尸21，则椭圆M的离心率为（）

6.（2的杆西.模拟预测）已知楣圆的方程为5+且离心率与双曲线5一卷=1的离心

率互为倒数，则下列椭圆方程不满足上述条件的为（）

A.岩+g=1B.-+^=1C.-+-y2=1D.3x24-4y2=1

4316423Z）

7.（2025・湖南湘潭•一模）已知双曲线。5-《=1（。>0/>0）的右焦点为尸2（2,0）,若圆M:（x+2）2+

（y-6）2=4上存在点P使得PF?的中点在C的渐近线上，则C的离心率的取值范围为（）

A.[2,+oo）B.[3,+on）C.（1,2]D.（1,3]

8.（2025•山东泰安・模拟预测）己知P为椭圆。』+卷=1（。：>8>0）的左顶点，M、N是椭圆上的点.若四

边形。PMN满足丽=加+而，"ONE借用，则椭圆离心率的取值范围是（）

A.M）B.（0,海

C.（0弓）D.（y,l）

二、多选题

9.（2025・湖南长沙•模拟预测）已知椭圆E：总+?=1的左、右焦点分别为FL，点PQwo））是椭圆E

上的一个动点，则下列说法正确的是（）

A.椭圆E的长轴长为5B.椭圆E的离心率为g

C.1W|PF]|W9D.恰好存在两个点尸使得所•函=0

10.（2025•广东揭阳•三模）己知双曲线E：1一《=1,则（）

182

A.E的实轴长是虚轴长的9倍B.E的渐近线方程为〉=±：%

C.E的焦距为4D.E的离心率为平

11.（2025・湖北黄冈•三模）若圆锥曲线C:m/+九、2=1的离心率为5则实数m与n的关系为（）

A.4m=3nB.m=4n

C.4n=3mD.n=4?n

三、填空题

12.（2025・湖南长沙•三模）椭圆C：3+?=1的离心率为.

13.（2025•河南南阳•模拟预测）己知F为椭圆。:今+《=1（。>/）>0）的右焦点，。为原点，4为C上一点,

|。川=|OF|,若|四|=拳则。的离心率为.

14.（2025•黑龙江大庆•一模）已知是双曲线真-3=l（a>b>0）的左、右焦点，以F2为圆心，a为半

径的圆与双曲线的一条渐近线交于48两点，若31ABi>2|演尸2|,则双曲线的离心率的取值范围是.

四、解答题

15.（2025•江苏扬州•三模）已知4（4,0）和P（2,&）,直线4P与椭圆C:《+卷=l（a>b>0）切于点P.

（1）求C的离心率；

（2）若过P的直线Z交C于另一点8,且AABP的面积为4注，求/的方程.

16.（2025・湖南娄底,二模）已知双曲线C%2一'=1的左顶点为人，右焦点为尸，p,Q是C上的两点，线

段PQ的中点为R.当P尸14尸时,\PF\=\AF\.

（1）求C的离心率；

（2）若求直线PQ的一般式方程.

17.(2025・河南•模拟预测)已知辅圆C的中心与坐标原点。重合，尸(3,0)为C的一个焦点，且点8(0,6)在C

上.

(1)求C的方程及离心率；

(2)设点P为C在第一象限的部分上一点，求四边形。尸PB面积的最大值.

18.(2025•甘肃甘南•模拟预测)己知双曲线E:a一必=1(。>0)过点M(2,1),MP,MQ分别为圆C：(%-2产+

y2=r2(0<r<的两条切线，且分别交双曲线E于点P,Q.

(1)求双曲线E的离心率；

(2)证明：直线PQ的斜率为定值.

19.(2025•北京大兴•三模)已知椭圆M：W+《=l(a>b>0)经过点(/),且右顶点为4(2,0).

(1)求椭圆M的方程及离心率；

⑵过点P(-2,2)的直线与椭圆M交于不同两点B,C(均不是椭圆顶点)，直线AB,4c分别与直线OP交于

点M、N,求证：\OM\=\ON\.

重难点29巧解圆锥曲线的离心率问题

【全国通用】

题型归纳

【题型1利用圆锥曲线的定义求离心率或其范围】..................................................2

【题型2根据离心率求圆锥曲线的标准方程】......................................................3

【题型3利用等量关系或不等关系求离心率或其范围】..............................................3

【题型4利用余弦定理求离心率或其范围】........................................................4

【题型5利用基本不等式求离心率的范围】........................................................5

【题型6椭圆与双曲线综合的离心率问题】........................................................5

【题型7函数法求离心率或其范围】..............................................................6

【题型8坐标法求离心率或其范围】..............................................................6

命题规律

1、巧解圆锥曲线的离心率问题

从近几年的高考情况来看，圆锥曲线的离心率或其取值范围问题是高考的重点、热点题型，主要以选

择题或填空题的形式考查，难度不大；对圆锥曲线中」知特征关系的转化是解决此类问题的关键，相关平

面儿何关系的挖掘应用也可使问题求解更简洁，复习时要加强这方面的训练.

知识点I圆锥曲线的离心率

1.椭圆的离心率

(I)离心率的定义:椭圆的焦距与长轴长的比?称为椭圆的离心率.用e表示，即

(2)离心率的范围:0<^<1.

(3)；帕圆离心率的意义:椭圆离心率的变化刻画了椭圆的扁平程度.

当e越接近于1时，c越接近于小从而出"二不越小，因此椭圆越扁；当。越接近于0时，c越接近于

0,从而加，a?—c-2越接近于小因此椭圆越接近于［员］；当且仅当时，c=0,这时两个焦点重合，图形

变为圆，它的方程为一+),2=/

2.求椭圆离心率或其取值范围的方法

解题的关键是借助图形建立关于“,4c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用方法如下：

(1)直接求出〃,c,利用离心率公式6=：求解.

⑵由a与〃的关系求离心率,利用变形公式e=求解.

(3)构造a,c的态次式.离心率e的求解中可以不求出a,c的具体值，而是得出“与c的关系，从而求得a

3.双曲线的离心率

⑴定义:双曲线的焦距与实轴长的比?，叫作双曲线的离心率.

(2)双曲线离心率的范围:e>l.

(3)离心率的意义:离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小.

因为3==所以e越大，5越大，则双曲线的开口越大.

(4)等轴双曲线的两渐近线力相垂自，离心率e=，5.

4.求双曲线离心率或其取值范围的方法

(1)宜接求出a,c的值，利用离心率公式直接求解.

(2)列出含有a,b,c的齐次方程(或不等式)，借助于〃=/—/消去b,转化为含有e的方程(或不等式)求解.

5.抛物线的离心率

抛物线的高心率6=1.

知识点2离心率的范围问题的求解方法

1.不等式法求离心率的范围

(1)利用圆锥曲线的定义求离心率的范围：利用圆锥曲线的定义建立不等关系，结合离心率公式求解.

(2)利用圆锥曲线的性质求离心率的范围：利用圆锥曲线的性质，如：椭圆的最大角、双曲线渐近线的斜率、

通径、三角形中的边角关系、曲线上的点到焦点距离的范围等，建立不等式(不等式组)求解.

(3)利用题目条件中的不等关系，建立不等式(不等式组)求解.

(4)利用基本不等式求离心率的范围：把离心率的关系式转化为能利用基本不等式的形式，利用基本不等式

建立不等关系进行求解.

2.国教法求离心率的范围

(1)根据题干条件，如圆锥曲线的定义、性质、其他等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系

式；

(2)结合圆锥曲线的离心率的范围，来确定所得函数的定义域；

(3)利用函数的性质求最值或值域，进而求解离心率的最值或取值范围.

3.坐标法求离心率的范围

根据所给条件，设出所求点的坐标，把点的坐标代入曲线方程，结合相关知识，进行求解即可.

举一反三

【题型1利用圆锥曲线的定义求离心率或其范围】

【例1】(2025♦陕西汉中•模拟预测)已知椭圆C:^+y2=i(Q>i)的左、右焦点分别为过点用的直线

，与C交于4,8两点，若△力BF?的周长为12,则C的离心率为()

【答案】D

【解题思路】根据椭圆的定义求出Q，即可求出C,从而求出离心率.

【解答过程】依题意及椭圆的定义可知△ABF2的周长为:\AB\+\AF2\+\BF2\=\AF2\+\BF2\+\AF,\+

|8FI|=4a=12,

则a=3,又b=1,所以c=Va2-b2=2V2,

则离心率e=-=^

a3

故选:D.

【变式1-1]（2025•内蒙古呼和浩特•模拟预测）双曲线C《—y2=i（Q〉o）经过点则C的离心率

e等于（）

A.—B.V3C.V5D.—

22

【答案】D

【解题思路】首先代入点求如再求离心率.

【解答过程】将（2班,1）代入C曝一y2=l（a>0）中得a=2,因为c=Va2+b2=y/5,

所以e=£=多

故选：D.

【变式1-2]（2025.北京海淀•三模）在平面直角坐标系M7中，双曲线的中心在坐标原点，焦点在），轴上，

一条渐近线的方程为2%-y=0,则它的离心率为（）

A.V5B.yC.V3D.2

【答案】B

【解题思路】根据题意，得到3=；，结合e=2=小+。2,即可求解.

【解答过程】因为双曲线的中心在坐标原点，焦点在y轴上，一条渐近线的方程为2x-y=0,

可得£=2,即"5所以双曲线的离心率为e="J***

故选:B.

【变式（•山东济南・三模）已知焦点在轴上的椭圆以原点为圆心，椭圆短半轴长

1-3]2025x9y1,

为半径的圆与直线y=V3x+4相交，则。的离心率的取值范围是（）

A.（0.1）R.（喈）C.（1,1）D.（当,1）

【答案】B

【解题思路】利用直线与圆的位置关系求出匕的范围，再利用离心率的定义求出范围.

【解答过程】依题意，b>,4=2,又椭圆焦点在％轴上，则a=3,匕<3,则2vb<3,

4百)2+(-1)2

因此。的离心率。=牛生=竿W(0,^).

故选：B.

【题型2根据离心率求圆锥曲线的标准方程】

【例2】(2025.北京门头沟.一模)已知双曲线C经过点(0,1),离心率为2,则C的标准方程为()

A./一看=1B.--y2=l

C.y2-y=1D.=1

【答案】C

【解题思路】根据题意设出双曲线方程，在根据离心率公式，即可求出。

【解答过程】由题意知，双曲线的焦点在y轴上，

设双曲线的方程为会总=1(a>0,b>0),

因为双曲线C经过点(0,1),所以Q=l,

因为e=*=2,所以c=2,

a

所以=c2—a2=4—1=3,

所以双曲线的标准方程为好一二=1.

故选:C.

【变式2-1](2025・四川乐山•三模)与双曲线9=1有公共焦点，且离心率为]的椭圆方程为()

A.1+JB.^+4=1c葛+《=1D•各5=1

2449

【答案】c

【解题思路】求出双曲线的焦点，即得C的值，可设出椭圆的标准方程，根据离心率以及小=。2+82,求出

a3的值.

【解答过程】设椭圆的方程为：各

双曲线盘一4二1的焦点为(一5,0),(5,0),

167

所以c=5,又因为离心率为I厅以£

7aa7

所以a=7,又因为b=Va2—c2=2后，

所以圆的方程为[+（=1.

4924

故选:C.

【变式2-2】（2025・湖北武汉•模拟预测）已知椭圆。：3+5=1（汉>6>0）的上、下焦点分别为居了?，离心

率为|，过点&作直线！（与y轴不重合）交椭圆C于MN两点，△MNF2的周长为12,则椭圆C的标准方程是

（）

A-？+y2=lB.9+/=1c.?+?=1D.^+f=l

【答案】D

【解题思路】利用椭圆的定义表示出焦点三角形的周长，求出a的值，结合离心率求II仍的值，即得椭圆方程.

【解答过程】

如图依题意，△"NF2的周长为|M孙+IMNI+INF2I=\MF1\+\MF2\+\NF1\+\NF2\=4a=12,

解得a=3.

设椭圆。的半焦距为c,因为椭I员IC的离心率为j所以e=£=j解得c=2.

3a3

所以b=y/a2-c2=V32-22=遥.

故椭圆C的标准方程为9+?=1.

故选：D.

【变式2-3]（2025•宁夏石嘴山•模拟预测）双曲线C与椭圆9+9=1有公共的焦点，且C的离心率是2,则

C的标准方程是（）

【答案】A

【解题思路】根据椭圆的焦点坐标求出双曲线的焦点坐标，再由双曲线的离心率求出％根据a,b,c关系求出

产后即可得解.

【解答过程】椭圆1+1=1的焦点为(±2,0),

oL

所以双曲线C的焦点为(±2,0)旦焦点在不轴上，即c=2,

因为。的离心率是2,所以e=2=2,即a=l,

a

所以匕2=—=3,故双曲线C的标准方程为小一?=1.

故选:A.

【题型3利用等量关系或不等关系求离心率或其范围】

【例3】(24-25高三上•浙江•阶段练习)己知双曲线C:1一、=l(a>0,b>0)的左焦点为F1,0为坐标原点，

若在C的右支上存在关于x轴对称的两点P,Q,使得APFiQ为正三角形，且OQJ.RP,贝北的离心率为()

A.V2B.1+&C.V3D.1+V3

【答案】D

【解题思路】连接PF2,利用中位线性质得到是4尸2&。=^的宜角三角形，在焦点三角形中利用双曲

6

线定义即可建立Q,C的关系，从而求得离心率.

【解答过程】设双曲线的焦距为2c(c>0),右焦点为尸2,直线OQ交F]P于点M,连接PF2，

因为^PFiQ为正三角形，OQ1F2,所以M为F】P的中点，所以,0时〃尸22，

故/&月尸2=：易知乙尸2a夕=[所以IPF2I=c,|PFj=J5c,

26

由双曲线的定义知|PFi|-IPF2I=2a,即/5C-C=2Q,得e=£=3=1+J5.

aV3-1

故选:D.

【变式3-1］（2025・湖北•模拟预测）已知&、F?分别为椭圆谓十卷=1（。：＞匕＞0）的左、右焦点，点P（不

在「上）为y轴上一点，线段PF1与「交于点Q，前而=0,APQF2内切圆的直径为匕，则椭圆「的离心率

为（）

A.叵B.2C.逗D.更

3342

【答案】A

【解题思路】利用切线长定理可得出IQFzI—lQ&l=从再由椭圆定义可求出IQ&I、IQF2I，结合勾股定理可

得出关于Q、b、c的齐次等式，即可求出该椭圆的离心率的值.

【解答过程】设△PQF2的内切圆/分别切该三角形三边于点小B、C,如下图所示：

由切线长定理可得|P川=|PC|,\QA\=\QB\t\F2B\=\F2C\,

所以,\QP\+\QF2\-\PF2\=QQA\+|P川)+(|Q8|+|F2F|)-(|PC|+|F2C|)

=\QA\+\QB\=2\QA\,

因为碗,丽=0,则Q4_LQ8,

由圆的几何性质可得〃J_Q力，1BLQB,故四边形4Q8/为正方形，且其边长为1

由对称性可知|PFJ=\PF2\,由椭圆定义可得IQFJ+IQF2I=2a①，

又因为|QP|+|QF2|-|PF2|=2\QA\=b,即IQF2I—|QFJ=b②,

联立①②可得|QR|=a-1|(?F2|=a+1,

22

由勾股定理可得IQFJ2+\QF2\=IF1F2E，即(a+(a+1)=4c2,

整理可得2a2+g=4c2,gp4a2+b2=8c2,Bp4a2+a2-c2=8c2,整理可得A/5Q=3C,

因此，该椭圆的离心率为e=£=半.

a3

故选:A.

【变式3-2]（2024.湖南衡阳•三模）已知双曲线一如=1（。＞0,力＞0）的左、右焦点分别为A',点力在

C的左支上，力6交。的右支于点B，若NFMB==30。，则双曲线C的离心率为（）

A孚B.—C.V3D.V5

S3

【答案】B

【解题思路】取A8的中点M,设|8后|=x,利用双曲线的定义，结合题设条件，求出无二竽。-2a,借助

于Rt△吊尸2”，利用勾股定理列出关于a,c的齐次方程，即可求得.

【解答过程】

如图，取48的中点M,因为4居48=4尸]8力=30。，故得|AF1|=|尸津|,KM1AB,

设IBF2I=》,由双曲线的定义得|叫|=|BF1|=\BF2\+2a=x+2a®,

\AF2\=M&|+2Q=无+4Q,所以|4B|=\AF2\-\BF2\=4a,

在小80中，乙他B二120。，|也|=|&8|,|/B|=4Q,所以FM=蓄意；=居=/a,

昌8|=2|F]M|=竽。，代入①式可得，%=竽。—2a.

•JJ

所以IMF2I=3\AB\+x=2a+a—2a=竿a，

22r~1

在RtAF】F2M中，（等Q）+（等a）=4c2,解得e=（=J=f,

则双曲线。的离心率为孚.

故选:B.

【变式3-3]（2025•河南•模拟预测）已知椭圆£:捻+5=1（。＞8＞0）上有动点”在任意位置时，总存在

椭圆上的另外两点M,N,使△PM.V的重心为右焦点”，则椭圆E的离心率的取值范围为（）

A.（0,0B.Q,l）C,（0,0D.Q,l）

【答案】C

【解题思路】首先利用点P,尸坐标表示MN的中点Q的坐标，再代入椭I员I方程，利用椭圆方程与基本不等式，

表示不等关系式，转化为离心率的不等式，即可求解.

［解答过程1设P（3，涧），MN（%2,%），

MN的中点为Q（XQ,yQ）,“GO），由方=2而，

/_3C-Xp

得;二小

而我+/=（勺+乂2）2（%+%）2,2（*+*）2（*+羽）=

a2b2~4a2十4b2、4az4ft2一

故生茎+造<1,

4a24bz

整理得篝一,〈翳,

因为％的任意性，此不等式恒成立，

故与一2c竺竽2,gp3e2+2e-l<0,

仅242a2

解得0<e<1.

故椭圆E的离心率的取值范围为（0,J.

故选：C.

【题型4利用余弦定理求离心率或其范围】

【例4】（2025•云南玉溪•模拟预测）己知椭圆C：接+\=1（。>8>0）的焦点分别为0,6，过0的直线

与C交于P,。两点，若IPF/=2|QFJ|PQ|=IQF2I，则椭圆。的离心率为（）

A.fB.今C.D.|

23S2

【答案】B

【解题思路】设IQKI=3根据椭圆的定义可得IPF/=23从而得到点P为椭圆的上顶点或下顶点，在△PQA

中由余弦定理可得cos4Q产内2的值，最后在△PRE中由余弦定理可得结果・

【解答过程】设IQFJ=%