2026年高考数学一轮复习专练函数与方程

第08讲函数与方程

A夯实基础B相遇高考C素养提升

A夯实基础

一、单选题

1.(2025高三•全国♦专题练习)已知为，%是关于/的一元二次方程X2+⑪+力=0的两个

实数根，且々Cai),再w(1.2),则实数b的取值范围为()

A.(0收)B.(。,£|C.(0,1)D.

x*+4x+3,xK0

2.(2025•内蒙古赤峰•三模)已知函数/")=1+但:>0，若函数g(x)=/(x)-。恰

3

有3个零点，则。的取值茫围为()

A.(-1,3]B.[0,3]C.(-1,0]D.(3,e)U{T}

3.(2026高三・全国・专题练习)函数〃x)=2'+$—5的零点则”=

()

A.1B.2C.3D.4

4.(25-26高一上•全国•课后作业)已知函数”x)=x2-]og/—6,则用二分法求外力的

零点时，其中一个零点的初始区间可以为()

A.[1,2]B.[2,3]C.[3,4]D.[4,5]

5.(2025•安徽•模拟预测)函数/(x)=(a+l)'—a'+x(〃>l)的零点的个数为()

A.1B.2

C.3D.无法碓定，与〃的取值有关

6.(2026高三・全国•专题练习)已知函数“X),若在其定义域内存在实数％满足

=，贝IJ称函数/(x)为“局部奇函数〃，若函数/("=4、-/小2'-3是定义在R上

的“局部奇函数〃，则实数川的取值范围是()

A.[-2,2)B.[-2,+oo)C.(-oo,2iD.[<-2)

d_]r<0

7.(2026高三・全国•专题练习)函数/(»='八的零点个数为()

X-2+1ILV,X>0

A.5B.4C.3D.2

8.(2025-云南•三模)已知定义在R上的函数/(x)=3gl与函数hM=〃心s(l-幻的图象有

唯一公共点，则实数，〃的值为()

A.-2B.-1C.1D.2

二、多选题

9.(24-25高三下•云南昭通•阶段练习)已知定义在R上的函数/")满足

/(0)/(1)<0,且)，=/(工)的图象是一条连续不断的曲线，则()

A./(力在区间(-1,0)上可能存在零点B./(“在区间(TO)上可能存在极值点

C./("在区间(0,1)上一定存在零点D./(力在区间(0,1)上一定存在极值点

三、填空题

10.(24-25高二下・浙江金华・期中)若函数尸/(初工£刈满足/(1+1)=-/(“，且入目-1』

时，/(工)=1一/，已知函数g(x)=」f,则函数介(月=/(“一屋1)在区间［-6,6］内

V，4<U

>

的零点个数有个

四、解答题

11.(24-25高三下•上海•阶段练习)已知/")='J2，，-W+〃CR).

x+a

⑴当4=0时，判断函数y=/(x)的奇偶性；

(2)若函数尸J'。)的图像经过点(1,2),且函数1y=/(x)-f在［o2］上有两个不相等的零点,

求实数〃的值以及实数”的取值范围.

12.(2025高三下•全国,专题练习)关于x的方程ad-2(a+l)x+"-l-0,求〃为何值时？

⑴方程有唯一实根；

⑵方程一-根大于1»一根小于1.

B相遇高考

1.(2024•新课标n卷•高考真题)设函数g(x)=cosx+2奴，当

时，曲线y=/(x)与y=g(x)恰有一个交点，则“=()

A.-1B.gC.1D.2

2.(2023・天津•高考真题)设aeR,函数〃力=加-21-k2一曲+”,若/(”恰有两个零点，

则〃的取值范围为.

C素养提升

logoX,X>0,

1.(24-25高二下•湖南长沙•期中)函数/(幻=胃有且只有一个零点的充要条件

-2+«,x<0

是()

A.a<0B.0<«<—C.—<«<1D.aWO或a>l

22

2.(2025•河北•模拟预测)已知函数/(1)=阿H，方程/(4)=〃有4个不同的根%，

且满足％v占v当<%，则"十毛”的最小值为.

玉+/

3.(2025高三•全国・专题练习)当实数“取何值时，方程lg(x-l)+lg(3-力=lg(「w)有

一个实数解、两个实数解，没有实数解？

4.(24-25高二下•浙江•阶段练习)已知函数/(幻=以2+(2〃+3)x+6,g(x)=lgx.

(I)若函数/。)在区间(T，：)上不单调，求实数a的取值范围；

⑵用max{m,〃}表示实数旭,〃中的较大者，设函数力(x)=max{/(x),g(x)}(x>0),讨论函数

力")的零点个数.

第08讲函数与方程

A夯实基础B相遇高考C素养提升

A夯实基础

一、单选题

1.（2。25高三•全国•专迎练习）已知4户2是关于X的一元一次方程12+3+%=。的两个

实数根，且引€（。，1）/2€（12）,则实数〃的取值范围为（）

A.（0,+CO）B.fo,|jC.（0,1）D.

【答案】C

【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围、由一元二次不等式的解确定参数

【分析】根据一元二次函数的图象和零点存在定理求解力的取值范围.

【详解】由题意可得为，/为函数/（幻=/+仆+处的两个零点.

因为％G（0,1）,±e（l,2）,结合二次函数图象，利用零点存在定理可得:

/（0）＞02b>0b>0

•/（1）＜0，即，。+2。+1<0,所以•a<-\-2b.

/（2）＞02。+2H4>()a>-b-2

他＞0

所以—-S'解得：。＜小

故选：C.

（-+4x+3,xW0

2.（2025•内蒙古赤峰•三模）已知函数/（X）=]+壮）,；〉0，若函数网”=/（力-。恰

.3

有3个零点，则〃的取值茫围为（）

A.（-1,3]B.[0,3]C.（-1,0]D.（3,4W）|J{-1}

【答案】A

【知识点】函数图象的应用、根据函数零点的个数求参数范围

【分析】由已知作出函数/（X）的大致图象，将函数的零点问题转化为图象的交点问题，即

可求解.

【详解】当x＜0时，/（A）=（X+2）2-1,/（（））=3,

作出的大致图象，如图所示，

---I-卜-JB,

由g（x）=O,得/（X）=a,

若函数g（x）=f（%）-〃恰有3个零点,

则函数>=/（、）的图象与函数）'=〃的图象有3个不同的交点，

则-1<三3.

故选：A.

3.（2026高三・全国•专题练习）函数〃"=21+2-5的零点毛w（aTa）,aeN*，则〃=

（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【知识点】判断零点所在的区间、根据解析式直接判断函数的单调性

【分析】根据零点存在定理可判断.

【详解】函数/（切=2、+；,1-5是连续增函数，〃2）=4+；-5=-；<0,

315

/（3）=8+--5=—>0,

所以函数/3=2、+9-5的零点在（2,3）内，所以a=3,

故选：C.

4.（25-26高一上•全国•课后作业）已知函数/（力=/一1。824-6,则用二分法求/（力的

零点时，其中一个零点的初始区间可以为（）

A.[1,2]B.[2,3]C.[3,4]D.[4,5]

【答案】B

【知识点】判断零点所在的区间

【详解】由函数/（对=犬一唾2工-6,得

/（2）=4-I-6=-3<0,/（3）=9-log23-6=3-log23>0,所以/（2>/（3）<0,又因为函数

/（x）=f-唾2不一6的图象在区间[2,3]上连续，所以函数/（x）的一个零点的初始区间可以

为[2,3].

5.(2025•安徽・模拟预测)函数/(力=(〃+1)'-"+"(。>1)的零点的个数为()

A.1B.2

C.3D.无法确定，与〃的取值有关

【答案】A

【知识点】指数函数图像应用、求函数零点或方程根的个数

【分析】根据条件，利用指数函数的图象与性质，即可求解.

【详解】因为时，由指数函数的图象与性质知，

当x>0时，优>0,A>0,所以/(x)>0,

当xvO时，(0+1)，一/<0,x<0,所以/(x)<0,

又当x=0时，〃力=0,所以函数f(力只有一个零点,

故选：A.

6.(2026高三・全国•专题练习)已知函数〃“，若在其定义域内存在实数x满足

=则称函数/(x)为“局部奇函数”，若困数〃1)=4-/小2'-3是定义在1<上

的“局部奇函数〃，则实数加的取值范围是()

A.1-2,2)B.1-2,-HO)C.(-co,2iD.[-4,-2)

【答案】B

【知识点】函数与方程的综合应用、函数新定义

【分析】根据函数新定义计算在区间有解问题，列方程换元求解即可.

【详解】根据“局部奇函局'的定义可知,方程f(-x)=-f(x)有解即可,

即4T♦2。-3=-(4V一机•2'-3),所以4。+4'-〃《2。+2')-6=0,

化为(2-x+2')一,〃(2-x+2、)-8=0有解，令2r+2'=t,

由基本不等式可知2c=2,当且仅当工=0时取等，故722,

则有『-向-8=0在⑵物)上有解，设8(/)=/-〃〃-8,对称轴为/=今.

①若〃后4,则4="『+32>0,满足方程在⑵+8)上有解；

②若根<4,要使尸一〃”-8=0在122时有解，则需jg(2)=_2m_4<0，

解得一2«"?<4.

综上可得，实数〃?的取值范围为卜2,内).

故选：B.

\.2_1T<0

7.(2026高三・全国・专题练习)函数〃力=二八的零点个数为()

/X-2+1ILV,X>0

A.5B.4C.3D.2

【答案】D

【知识点】求函数的零点、求函数零点或方程根的个数

【分析】应用分段函数当x〈0时计算零点，当x>0时，应用对数运算结合零点存在定理判

断零点个数即可.

【详解】当xWU时，由£-1=0得x=-l；

当x>0时，/。)=工-2+山在(0,*o)上单调递增，并且

/(1)=I-2+lnl=-l(0,/(2)=2-2+ln2=ln2)0,

即/(1)/(2)<0,所以函数f(x)在区间(1,2)内必有一个零点，

综上，函数/*)的零点个数为2.

故选：D.

8.(2025•云南•三模)已知定义在R上的函数f(x)=3i|与函数/?(x)=，〃cos(l-x)的图象有

唯一公共点，则实数，〃的值为()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】C

【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求cosx(型)函数的对称轴及对称中心、cosx

(型)函数对称性的其他应用

【分析】先推得/(力的对称性与单调性，又力(x)也关于x=l对称，由对称性可知方程

/Wcos(l-1)=3"T唯一的根在对称轴工=1上，代入即可解得.

【详解】因为"i)=3lT=，-则/(2-力=〃工)，

D,XVz

所以/(X)的图象关于X=1对称，且当X>1时，/(X)单调递增，当x<1时，/'(X)单调递减；

又力(x)=〃?cos(l-x)=/〃cosa-l),故可看作由函数y=L8sx向右平移1个单位得到,

所以力(X)=cos(x-1)的图象也关于X=1对称；

又由于函数/(X)与函数"D的图象有唯一公共点，即方程〃?cos(x-1)=3『"只有一根，

因为两函数图象都关于X=1对称，所以方程的根为1，即〃?COS(1-D=3UT,解得m=1.

故选：C.

二、多选题

9.(24-25高三下•云南昭通•阶段练习)已知定义在R上的函数/(“满足/(-

〃0)/⑴<0,且)，=/(1)的图象是一条连续不断的曲线，则()

A.外可在区间(TO)上可能存在零点B.“X)在区间(TO)上可能存在极值点

C./(x)在区间(0,1)上一定存在零点D.外”在区间(0,1)上一定存在极值点

【答案】ABC

【知识点】零点存在性定理的应用、函数极值点的辨析

【分析】假设“。在区间(-1,0)上先减后增时,/(-1)>0,/(0)>0,/(1)<0,由零点存

在性定理与极值点的概念逐项判断即可.

【详解】当/(X)在区间(-1，0)上先减后增，且存在极值点不«-1，0)时，若〃毛)<0,

则设/(一1)>0,/(0)>0,〃/)<0且y=/(x)的图象是一条连续不断的曲线，

故由零点存在性定理,/㈤在(T真)与(天,0)1二有两个零点,故A正确:

此时存在极值点%,故B正确：

由/(。)/'。)<。，且y=/("的图象是一条连续不断的曲线，

故由零点存在性定理可知/(“在区间(0,1)上一定存在零点，故c正确；

若丁(工)在区间(0.1)上单调递减，此时D无法满足，故D错误.

故选：ABC.

三、填空题

10.(24-25高二下•浙江金华•期中)若函数y=/(x)(xeR)满足〃冗+1)=-/(“，且入目-1』

时，/(x)=l-x2,已知函数g(x)="即"则函数〃(x)=/(x)—g(x)在区间［-6,6］内

■e9x<u

的零点个数有个

【答案】12

【知识点】分段函数的性质及应用、函数周期性的应用、函数图象的应用、求函数零点或方

程根的个数

【分析】根据题意，作出函数/("的图像，即可得到交点个数，从而得到结果.

【详解】因为/(工+1)=-/3，

所以函数y=f(x)(xwR)是周期为2函数，

因为xw[T,l]时，/(x)=l-x2,

所以作出它的图象，则)，=/")的图象如图所示.

再作出函数小)=㈣'二"的图象，

e,x<0

y=J(x)I产g(x)

-6-5^3-1o\135~~6X

容易得出交点为12个.

故答案为：12

四、解答题

11.(24-25高三下•上海•阶段练习)已知/.")=」+(2<Ll)t+%“R).

x+a

⑴当〃=o时，判断函数y=/(x)的奇偶性；

(2)若函数y=/(x)的图像经过点(1,2),且函数y=/(x)-V在[0,2]上有两个不相等的零点,

求实数人的值以及实数”的取值范围.

【答案】⑴答案见解析

(2)/?=2,〃<一5且。。一1

【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数与方程的综合应用、根据函数零点的个数求参数

范围

【分析】(1)利用奇偶函数的判断，直接判断即可；

(2)根据图像过的点坐标，即可求;12的值，结合因式分解，利用函数在区间内有两个不

同的零点转化为方程(文-2)(依+1)=0在固定范围有两个不同的根，即可求出”的范围.

【详解】(1)当a=0时，/(x)=A-v+/?=x2+--l,

XX

因为/(—x)=]2-2_],

当bwO时，/(-x)=,

所以函数y=/(x)既不是奇函数也不是偶函数；

当〃一0时，/(—X)=f—1=/(%),函数y=/(x)是偶函数：

(2)因为函数y=/(x)的图像经过点(1,2),

所以2」+2”1+乙则〃=2,且。工一1,

\+a

所以/@)=f+(加―1卜+2,

x+a

^(x)=f(x)-x2=_"—?!；+♦=0'

则(x-2)(or+l)=0,

因为函数y=/(x)--在［0,2］上有两个不相等的零点，

所以。工0且0<-•-<2,懒得a<-■-,

a2

综上，b=2,a<—且。工一I.

2

12.(2025高三下•全国•专题练习)关于x的方程加-2(4+1)X+〃-1=0,求〃为何俏时？

⑴方程有唯一实根；

⑵方程一根大于1,一根小于1.

【答案】⑴。=。或一;

(2)f/>0

【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围、由一元二次不等式的解确定参数、一元

二次方程根的分布问题

【分析】(1)<>/(A-)-av2-2(a+l)x+«-I,当“=0和〃工。时分情况讨论即可求解;

«>0,。<0

(2)方程一根大于1,一根小于1,必须满足<或✓\解出即可.

川)<。1/(1)>0

【详解】(1)令f(x)=ad-2(。+1)工+。一1.

当。=0时，方程变为一2"一1二(),HPx=-p符合题意;

当〃工0时，A=4(d+1)2-4«(«-1)=0,/.a=-g.

所以当a=0或-;时・，方程有唯一实根.

(2)因为方程有一根大于1,一根小于L/(“大致性象如图⑤，⑥.

所以当a>0时•，方程有一根大于1,一根小于1.

B相遇高考

1.(2024•新课标口卷•高考真题)设函数g(x)=cosx+2or,当

时，曲线y=/(x)与y=g(x)恰有一个交点，则〃=()

A.-IB.iC,1D,2

【答案】D

【知识点、】函数奇偶性的定义与判断、函数奇偶性的应用、根据函数零点的个数求参数范围、

求余弦(型)函数的奇偶性

【分析】解法一：令尸(x)=o?+aTGa)=cosx,分析可知曲线尸尸⑶与y=G(x)恰有

一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y轴匕即可得。=2,并代入检验即可：

解法二:令〃(x)=/(x)-g(x),x«-1,1),可知/?(可为偶函数，根据偶函数的对称性可知/?(“

的零点只能为0,即可得。=2,并代入检验即可.

【详解】解法■：令/(x)=g(x)，即a(x+l)2-1=cosx+2ov,可得混+〃_]=8$o,

令F(x)=ar2+t/-l,G(x)=cosx,

原题意等价于当x£(T1)时，曲线J=F(x)与尸G")恰有一个交点，

注意到尸(H，G(x)均为偶函数，可知该交点只能在)，轴上，

可得产(0)=G(0),即a—1=1,解得a=2,

若a=2,令尸(x)=G(x),可得2V+i_cosx=0

因为x«Tl),贝I」2X2“』_COSX20,当且仅当x=0时，等号成立，

可得2/+1-cosxNO,当且仅当x=0时，等号成立，

则方程2f+l-cosx=0有且仅有一个实根0,即曲线y=尸⑴与y=G(x)恰有一个交点，

所以。=2符合题意；

综上所述：4=2.

2

解法二：令力(力=/(x)-g(x)=ax+a-l-cosxtxe(-1,1),

原题意等价于力(力有且仅有一个零点，

因为/?(一x)=a(-cos(-x)=ax14-«-l-cosx=//(x),

则力("为偶函数，

根据偶函数的对称性可知力("的零点只能为0,

即〃(0)=。-2=0,解得a=2,

若4=2,贝|J，7(x)=2*2+1-COSX,X6(-1,1),

又因为2/20,1-85工20当且仅当犬=0时，等号成立，

可得力(力20,当且仅当工=0时，等号成立，

即网”有且仅有一个零点0,所以。=2符合题意；

故选：D.

2.(2023・天津•高考真题)设awR,函数/("=加-2"-产-依+1|,若/⑴恰有两个零点，

则a的取值范围为.

【答案】(y,o)u(o,i)"i,+8)

【知识点】根据函数零点的个数求参数范围

【分析】根据绝对值的意义，去掉绝对值，求出零点，再根据根存在的条件即可判断。的取

值范围.

【详解】(1)当f一⑪+1之0时,/(x)=0<=>(a-l)x2+(r/-2)x-l=0,

即[(ti-l)x-l](x+l)=0,

若a=l时，x=-\,此时』-at+120成立；

若时，％=」一或4-1,

a-\

若方程有一根为x=—l,则1+a+lNO,即。之一2且a"；

若方程有•根为x则(」一1—ax_L+lN0,解得：且。工1；

若x=」=-l时，。=0,此时1+a+lNO成立.

(2)当Y-QX+IVO时，/(x)=0=(a+l)f-(a+2)x+l=0,

即[(〃+1)1](1)=0,

若。=一1时，x=【，显然Y-at+lvO不成立；

若a工-1时，x=I或x=—!—,

0+1

若方程有一•根为x-l,贝h-a+lv。，即a>2；

1(\\1

若方程有一根为1=-则——ax」一+l〈O,解得：«<-2：

4+1I4+1J〃+1

若x=」7=l时，。=0，显然f一ar+i<o不成立；

a+l

综上，

当。<-2时，零点为1,一二；

当-24a<0时，零点为工,-1：

a-\

当a=0时，只有一个零点一1；

当0<〃<1时，零点为一二,-1；

a-\

当〃=|时，只有一个零点_1；

当1<〃W2时，零点为一二,-1；

a-1

当。>2时，零点为1,-1.

所以，当函数有两个零点时，4/0且。工1.

故答案为：(7。，0)=(0,1)。(1,+8).

【点睛】本题的解题关键是根据定义去掉绝对值，求出方程的根，再根据根存在的条件求出

对应的范围，然后根据范围讨论根(或零点)的个数，从而解出.

C素养提升

102,X,A>0,

1.(24-25高二下•湖南长沙•期中)函数/")=二有且只有一个零点的充要条件

-2x+a,x<0

是()

A.a<0B.0<«<-C.-<a<\D,“WO或

22

【答案】D

【知识点】根据充要条件求参数、根据函数零点的个数求参数范围、对数型函数图象过定点

问题、指数函数图像应用

【分析】由题意得函数的图象过点(1，。)，把问题转化为：函数)，=-2，+a(xW0)没有零

点=函数)，=2'(xW0)的图象与直线。无交点，数形结合可得解.

【详解】因为x>()时，/(x)=log2x,可知函数/(x)的图象过点(1,0),

所以函数/(外有且只有一个零点

O函数y=-2r+a(x<0)没有零点

=函数)，=2l(x<0)的图象与直线J。无交点.

由图可知，函数)，=2'(xW0)的图象与直线丁=々无交点或。＞1.

即函数/*)有且只有一个零点的充要条件是。40或。＞1.

故选：D.

2.(2025♦河北•模拟预测)已知函数=，方程〃x)=a有4个不同的根内,9，弓/，

且满足$＜超＜芭＜勺，则上+0+8的最小值为

【答案】2瓜

【知识点】函数与方程的综合应用、根据函数零点的个数求参数范围、基本不等式求和的最

小值

【分析】根据函数/(司=网4的图象易知％v—1＜%＜。＜为＜1＜,口，且可％=1•设

.q=/〃w(O,l),则X.=--,/=—〃?，代入史1星3中利用换元法及基本不等式

mm占+Z

即可求解.

【详解】在同•平面直角坐标系下，作出函数/(x)=WW|和丁=。的图象如下图所示：

依题意得：x（<-1<T2<G<<I<x4,H.Inx,+lnx4=0,则与4=1.

设七=用£（0,1）,则/=_,玉=——,%,=一，〃，

nim

»，Qf—1+〃厂+81

所以3+&+8=皿________,令］=_L+〃?e（2,+8）,

m

•.一型=*=/+%2"，

xyIx4tt

当且仅当，=#，即l+〃?=">2时，等号成立.

所以更至3的最小值为2m.

故答案为：26.

3.(2025高三•全国•专题练习)当实数。取何值时,方程lg(x-l)+lg(37)=lg(l-m)有

一个实数解、两个实数解，没有实数解？

【答案】答案见解析

【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求对数型复合函数的定义域、用导数判断或证

明已知函数的单调性

【分析】解法1：转化为,*-(。+4b+4=0(1<X<3),令"力二/-(〃+4)彳+4,根据二次

函数对称轴和根的判别式得到不等式或方程，求出答案；

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解法2：转化为a=x+—一4(l<x<3),令y=x+--4(l<x<3),y=a,分别作出上述两个函

xx

数的图像，数形结合得到答案.

【详解】解法L原方程可化为(工-。(37)=1-

HPx2-(</+4)x+4=0(l<x<3),令/(x)=W-(a+4)x+4.

由题意可知，

A=(a+4『-l6=0

①原方程有一个解等价于：/。)/(3)<0或・

解上述不等式或不等式组可得：^<a<\^a=0,

当a=l时，x2-5.r+4=0»解得x=l或4,不合要求，

当。1时，V-：x+4=0,解得x或3,其中1〈襄3,满足只有一个解,

333』

所以当或〃=0时，原方程只有一个解.

△>0,

/⑴>。，.

②原方程有两个解等价于：/(3)>0,解此不等式组可得：。<〃<§，

,。+4,

I<------<3

2

所以当0<a<g时，原方程有两个解.

③由①②可知，当。<0或。之1时，原方程没有实数解，

综上：当;或。=0时，只有个解；当0<4<：时，有两个解：当。<0或时,

没有实数解.

解法2：

4

原方程可化为：(x-l)(3-x)=l-av(l<x<3),即a=x------4(1〈3).

4

令了二”+——4(1<X<3),>T=6Z,

x

其中),=x+：-4在xe(l,2)上单调递减，在x«2,3)上