山西省运城市某中学2026届高三年级下册冲刺模拟卷（三）数学试卷（含解析）

运城市康杰中学2026届高三冲刺模拟卷（三）

数学试题

一、单选题

1.下列命题中，真命题是（）

A.训eR,e"W0

B.VXGR,2V>X2

C.。+人=0的充要条件是£二一1

b

D."1/>1是必>1的充分条件

2.定义集合A和“的运算：AB={（K），）|xeA,ywB},若集合A={1,2,3},8={2,3},则AOB的真子集个

数为（）

A.31B.32C.62D.63

3.某校高一有学生980人，在一次模拟考试中这些学生的数学成绩X服从正态分布N（1C0Q2）,已知

P（9（XX<l（X））=0.1,则该校高一学生数学成绩在110分以上的人数大约为（）

A.784B.490C.392D.294

4.已知。，〃是两条不重合的直线，“，夕是两个不重合的平面，则使得成立的是（）

A.a_La,blip,aB.aVa,alip

C.aua,b工B,allpD.aua,blip,a工p

5.已知直线/:xcos]+ysi唉=1与圆«：/+）」=5,圆C2：储+）；=2的交点从左到右依次为A,B,C,

JJ

。，则|AB|+|C0=（）

A.1B.2C.3D.4

6.已知双曲线C:£-E=l（a>0,匕>0）的左、右焦点分况为片，B，过片作与C的一条渐近线平行

a~b~

的直线，交。的左支于点尸，且户£，户工，则C的离心率为（）

A.且B.75C.75D.x/7

2

7.若某圆台有内切球（与圆台的上下底面及每条母线均相切的球），且母线与底面所成角的余弦值为:，

则此圆台与其内切球的体积之比为（）

3

2

cos(2^x-2^-«).x<a

8.设atR,函数8）=*_2（E）»X,4'若"X）在区间似+⑹内恰有6个零点,贝心，的取

值范围是（）

二、多选题

24561

9.已知f(x)=(1-2x)7=%+“X+«2x++«4x+%%+a6x+c^x，则()

A.4=14B.4+%+4+4=1093

C.4+2/+343+4久+5为+606+7%=-14D./（一3）除以8所得的余数是7

io.已知正项等比数列｛q｝,等差数列也｝满足：q=a=i,%=A，。3=打+”，记s“为｛（｝前〃项和,

。为血｝前八项和，则下列正确的有（）

A.〃”=2小包=〃

C.存在AcN,使得鼠=7；对任意〃之3,都有意＞7；

11.记VA8C的内角A£C所对边分别为。也％点"为AC的中点，/?=2,里=竺£,延长AC到

cosB2

点。，使点C为线段A。的中点，则（）

A.B=—

3

B.VA8C周长的取值范围为（4,6】

C.8W的最大值为2

D.BD的最小值为26—

三、填空题

12.设aeR,若复数（l+i）（2-ai）在复平面内对应的点位于虚轴上，则。=.

13.从1、3、5、7中任取2个数字，从0、2、4、6中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中

能被5整除的四位数共有个.（用数字作答）

14.如图，抛物线C的方程为丁=2内(〃>0),焦点是尸，圆心在x轴上的圆E与抛物线C在第四象限有且

只有一个公共点M,且它们在点M处的切线是同一条直线.若点M的横坐标为3,/FME=j则实数〃的

6

值为.

四、解答题

15.如图，在二A8C中，角A,B,。所对的边分别为a,b,c,且c=J5，acosC=c(a-cosA).

⑴求b.

(2)若。点满足=ZCAD=2ZDAB,求a.

16.如图，在四棱锥产一A4CD中，底面A8C。为菱形，4?=2,Z4BC=60°,AC//平面3G〃，点G,H

分别在棱Q4,PC上,且GHtPD.

(2)若PB=PD,依与平面PAC所成的角为60。，点A关于平面尸CQ的对称点为M,求点M到平面P48的

距离.

17.已知函数/(x)=sin弓1+lnx-av.

⑴若函数/'(X)在点(1J⑴)处的切线过(-1,1),求a的值;

(2)若证明：/。)＜1恒成立；

(3)试求出正整数。的最小值，使f(x)存在唯一的极值点.

18.已知椭圆C:£+E=l(a＞力＞0)的长轴长为4,直线y=h伏＞0)与椭圆C交于A,8两点(点A在第

a~b~

一象限).当攵=①时，4,〃在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点.

2

⑴求C的标准方程；

⑵若AM_Lx轴于点M,连接8W并延长交C于点尸，记直线小的斜率为即.

(i)证明：四)为定值；

(ii)设|A例二"AP|,求/的最小值.

19.小明拥有1个电动玩具，厂家配备了一个装电池的盒子，内装满原装4块电池，其中2块为可充电电

池，2块为一次性电池、为了保证随时可玩耍，小明又购买了2次可充电电池备用，他每次玩玩具时就随机

从装满电池的盒子中取出1块使用，若为•次性电池，则使用完毕后丢弃，并补充I块可充电电池装入盒

中；若为可充电电池，则使用完毕后充电，并放入盒中以备卜.次使用.

⑴-；己第〃次使用后一次性电池剩余的块数为兀，求X2的数学期望；

(2)：己第，+1次使用后一次性电池恰好使用完毕的概率为几.

(i)求外；

(ii)分析第几次使用后一次性电池恰好使用完的可能性最大.

参考答案

1.D

【详解】因为e、>0恒成立，故A错误；

当工=2时，2T=22=X2,故B错误;

当。=少=0时，满足。+8=0,但f因分母为零，从而无意义，故C错误：

b

利用不等式的性质可知〃>>1=>必>1x1=1,故D正确.

故选：D

2.D

【详解】由新定义知，AOB=｛（L2）,（1,3）,（2,2）,（2,3）,（3,2）,（3,3）｝,一共6个元素，所以AO6的真子集的

个数为26—1=63.

故选：D.

3.C

【详解】因为X〜N（100,"）,且P（90<X900）=0.1,

所以P（100<XVI10）=P（90<X4100）=0.1,

所以P（X>110）=0.5-P（100<X4110）=0.5-0.1=0.4,

乂因为高一有学生980人，

所以该校高一学生数学成绩在110分以上的人数大约为980x0.4=392.

故选：C.

4.C

【详解】对于A：若a工a,a10,则。//6或。u6

若“//〃，又R0,则。与〃可能平行、相交（不垂直）、异面（不垂直）、相交垂直、异面垂直，

若au»,又。〃丑，则〃与〃可能平行、异面（不垂直）、异面垂直，故A错误；

对于B：若〃_La,blfl,a/Ip..则故B错误；

对干C：若bLQ,a///3,则〃_La,又aua，所以;?，，故C错误；

对于D：若R/夕，aA.fi,则〃与々可能平行或相交（不垂直）或垂直或bua,

又aua,此时不能保证;/成立，如,此时。与人可能平行、异面（不垂直）、异面垂直，故D错误；

故选：C

5.B

【详解】由圆C：/+y2=5,圆心C[0,0),半径〕后,

Ocos—+Osin--1

所以圆心G到直线/的距离4=一广士------」=1,

J/COS2—瓦+S1.I12—兀

V55

同理，圆。2：炉+产=2的圆心为G(。,。)，半径4=加,圆心G到直线/的距离4=1，

所以140=2/2—d；忸q=2｛看一d；=2x/2^I=2,

=2A/5^T=4,

.•.网+卬=|明-忸C=4-2=2.

故选:B.

6.B

【详解】由题意，不妨取双曲线C:£-£=l的一条渐近线为丁=2入.，4(-c,())，5(c,0),

a~b~a

设P«y),则直线";的方程为丁二，(x+c),

解得x=-=^,即尸点横坐标为x=_=£

2c2c

又因为尸耳_LP入，

所以直线PF2的方程为J=-^(A-C),

与y=\(x+c)联立解得才=《卢，即P点横坐标也为x=《卢，

所以一即一(/+。2)=2[/_©一/)],即/=5/,

所以e=£=6,

故选：B

7.A

【详解】将圆台母线延长交于点S,得圆锥5。1,作圆锥S。的轴截面，等腰梯形ABC。为圆台的轴截面,

截内切球。得大圆，并且是梯形ABC/)的内切圆，令SA切圆。于7，如图，

£L\D

设底面圆直径A8=2R,依题意，cos/SAQ=g,SA=3R,SO}=2y/2R,

设内切球半径为「，则O7'=Oq=OO2=，cosZSO7'=1,S0=3「,

SO=4r=2^2R,于是R=瓜,且。.、为S。1的中点，而内切球体积m=午/,

圆台的体积匕=；兀尸•SO7：(1R)215aq(x/2r)2・圻=?r3,

，j444rBj

所以圆台与其内切球的体积比为丁=7

故选:A

【洋角帛】•..f-2(a+l)x+/+5=0最多有2个根.^JfWcos(2^.r-2^)=0^/bW4

乃k1

由27rx-2/ra=-+ki,ZeZ可得x=—+—+〃,AeZ,

24

由()<'+；+a可得-24-<

2,

।79

(1)xva时，当一5K—2a--<-4时，/(x)有4个零点，即一<〃工一；

244

।a]।

当_6W_2a—彳<—5,/(“有5个零点，即:<〃4下；

244

当一7K一2.—!<—6,/(“有6个零点，即?

244

(2)当时，f(x)=x2-2(a+\)x+a2+5,

△=4(a+l)2-4(/+5)=8-2),

当〃<2时，J<0,/(“无零点；

当〃=2时，△=(),/⑺有1个零点：

当〃>2时，令/(。)=/一2a(。+1)+/+5=一2。+520,贝ij2<awg,此时/(x)有2个零点;

所以若〃>|时，/("有1个零点.

综上，要使/。)在区间(。，一)内哈有6个零点，则应满足

[7,9[9,11

—<a<——<a<—1r1il,13

44T44T~7<a-~T

-5或j5或j44,

2<a<-a=2或a>-a<2

22

则可解得a的取值范围是.

9.BCD

【详解】A：二项式的通项公式为乙产G・L.(—2x)'=C>(—2>£,

a,=C；-(-2)=-l4,所以本选项不成立；

4

B：在(1-2x)7=%+《X+/x2+6/+a^x+++中，

令x=],得(l—2xl)7=4+0+生+。3+/+。5+。6+%，

令X=_],得[l_2x(-l)]7=《)_〃]+?_%+《_6+46_%，

两式相加，得

a7_1

-14-37=2(4)+叼+。4+。6)=。0+。2+。4+4=--—=1093,所以本选项成立；

7

C：对等式(1一2A)=%+atx+a2X^+%入,+田/+%八’++生父两边同时求导，得

66

7(1-2x)-(-2)=a}+2a2x+3a3f+4a产，+5a+6%£+7a7.r,

令工=1,得-14=4+2%+3/+4/+54+64+7%,所以本选项成立；

777667

D：/(-3)=7=(8-l)=C28+C!?8-(-l)++C?8'-(-l)+C5(-l)

=C；871G86(1)iiC5s1-(I)61=87|C；86.(1)iiC?8'-(1/8I7,

所以/（-3）除以8所得的余数是7,因此本选项说法正确.

10.ACD

【详解】因为｛4｝是正项等比数列，设公比为。：也｝为等差数列，设公差为d；

因为4=4=1,a2=by,%="；

则axq—/?!+2d,a/=々+,/+九一3d,

即q=l+2d,夕2=2+4"；解得：d=；,q=2；

故％=2"7”=1+3（〃_1）=；〃+《；故A正确，B错误；

因为S.吐上2T;7>叫+也坊=土电；

“\-q”】24

设存在&匕N"使得邑=£,则21-1_仁士斑，可得R—1；故存在A；C正确；

4

由数学归纳法可证：

当〃=3时，53=7,7；=4.5；满足S0>%；

当〃=4时，邑=15,北=7；满足S.>7；；

假设当〃=k时，不等式成立，即2«-1〉上的；

4

当〃=k+1时,左边22一1=2乂2*-1=2乂（2%-1+1）-1=2（2"—1）+1,

因为假设2A—1>£斗，故2（2-l）+l>2xCM+[="、6"+4=（人+1）-+3”+1）+,+4:

41/444

因为公+Q。，故但必出皿*>八±犯必

44

故21-1＞（"+1）*（&+1）

4

故对任意〃23,都有S“>7；恒成立，故D正确.

11.ABD

2a-c2a-c.十3-…皿,口ccsC2siiL4-sinC

【详解】对于A,已知篝—由正弦定埋得奇

sinB

即cosCsinB=2siiiAcosB-sinCcos3,得sinCcosB+cosCsinB=2sin4cosB,

则有sin（区+C）=2sinAcosB,得sinA=2siiiAcosB,

又由于AW(0,71),所以siii4>(),故cos8=],

而3«0,冗)，所以8=方，选项A正确：

对于B,在VA8C中，由余弦定理cos8="+''一"，得/+不一改=4,

2ac

所以4=(〃+C)2—3碇，如<(皇)[所以3ac=(a+c)2—4«ja+c)2,即(a+cpWlG,当且仅当〃=。时

取等号，

由于2<a+cW4,

所以V48c的周长的取值范围为(4,6],故选项B正确；

a_c_b_2

对于C,在VA8C中，由正弦定理得sirtAsinCsinB6，

T

4>/3..473.,

a=-----sinA,c=-----sinC,

33

由AC的中点为M,有BW=T(8A+RC),

|=g〔BA+Bc|=g\]a2+c2+ac=gJ4+2ac=g^4+^sinAsinC

U+乜inAsiQ+A〕-4+峪…+

2V3UJ2V33

1,86.…8/1c八1/208/”—

=-M/4H----sin2AH—(1-cos2A)=-J---1—(J3sin2A—cos2A

2V332，33

1,”+&n24」71

2336J

八.7C

0<A<—

2田兀,兀

△ABC为锐角三角形，则

八2冗，兀62

0<----A<—

32

nn—471|It571|'..1-47t

当Ae，有24一不£1%,可|,所以sm12Apl,

6,26,J

有g+4.，-1传同，故|喇的最大值为百，选项c错误；

对于D,设A=e,所以a=1sin。，在△88中由余弦定理，

3

BD2=a2+4-2x2x«cosf6^4--1=—sin26^4-4-^^sin^cosf8+二

I3j33I3)

=­sin2^+4-^^sin6^cos^=—(1-cos2^)+4-^^sin2^

333')3

=牛-g(5/5sin2e+5cos2e)=苧一^^sin(26+8),

tan^=呜)，

TC_

故当20+8=3,即"2一"时，

2

°二F

BQ2取最小值%-也，所以瓦)的最小值为2丁五一26,故D选项正确.

333

故选：ABD.

12.-2

【详解】(l+i)(2—〃i)=2—4i+2i+a=2+a+(2—a)i,

由该复数在复:平面内对应的点位于虚轴上，

则其实部为0，即有2+a=0,解得a=-2.

13.198

【详解】解：①四位数中包含5和0的情况：

C；・C；«M；+A；・8)=9().

②四位数中包含5,不含0的情况：

C；・C；・A；=54.

③四位数中包含0,不含5的情况：

。仁人=54.

四位数总数为90+54+54=198.

故答案为：198.

14.18

【详解】如图，作出抛物线。和圆E在点M处的公共切线/，同时过M作射线MN//X轴,

则有£M_L/,由抛物线的光学性质，可得NFME=NEMN=NFEM=,

6

13+§呜,0卜.E（3+p,0）,

2

且=tan/EMN=—=/。飞，,

皿3（3+〃）-3

乂匕=2px3=6p,代入得。2=6p,解得〃=18.

15.（1）2

⑵师

【详解】（1）由〃cosC=《&-8sA）及正弦定理得sinAcosC=&sinC-cosAsinC，

即sinAcosC+cos^sinC=V2sinC，Kpsin（A+C）=>/2sinC,

由A+Z?+C=7t得，sin(A+C)=sinB,

即sinB=&sinC，进而由正弦定理得Z?==2;

(2)因为NA38+N4ZX=TI,所以sinZAZ)6=sinNAOC,

设则由题意£>C=2i,设ND448,则NC4D=2〃，

则由正弦定理得叵=上,---=乌，，消去x得&sin6=sin26，

sinZ.ADBsin。sinZ.ADCsin2。

所以J5sinO=2sinOcos。，又sir。。。，所以cos6=4^,所以。=£,所以NBAC=,，

244

由余弦定理得/=22+(可-2*2又播85*10,所以a=①

16.(1)证明见解析；

⑵坦

49

【详解】(1)证明：连AC,8。相交于点O,连R7.•••底面4BCO为菱形，・・・AC_Z8力且AO=OC.

又AC//平面8G”，ACu平面PAC,平面P4CC平面8G”=G〃，AACUGH,

:.GH工BD,又GH1PD,而PZ）c8D=O.

・・・G”1平面依Q,乂AC//G”，・•・ACJ_平面户"。，而POu平面依力,

AACA.PO,AO=OC,iQAC为等腰三角形，即Q4=PC.

(2)若PB=PD,则POJ.8O,由(I)知PO_LAC,I.PO_L平面A8CO,

以。为原点以03,OC,。尸分别为x轴，V轴，z轴建立直角坐标系，

乂A/?=2,VZA«C=60°,则40,TO),B(G,O,O),C(O,l,O)rD(-x/3.0,0),

VPOLAC,AC1BD,，80/平面尸AC,P8与平面PAC所成的角为60°,

JZ«PO=60°,/.PO=\,P(O,OJ).

AAC=(0,2,0),CD=(->/3,-kO),PC=(O,L-1).

设平面PCD的法向量为in=（A-,y\,Z］）

则取％=],X=$.」=(一6f

设历(%,%*2),MC=(-x2,l-y2,-Z2),则A,M到平面PC。的距离相等,

—

|J4C,/w||MC-wzj|25/3|—x,>/3++>/3221

”|时帆ey/1'

/.|x,—V3y2—V3z2+>/3|=25/3.

.x,+1z,“RJ4>/3512、

乂…M'.丁飞口’解得知卜〒亍，亍

/\V4V*「

设平面尸钻的法向量为〃=（丹,为，23），:明=8=（-石,-1,0），4尸=（0,1,1）.

则，"取,0=1,）%=~V5,4=6,，=（1,一百,6）,

.•>'3I%=0

11石+5痒12石

：4石_4旧

则点M到平面P48距离为d7

一访―49•

17.⑴a=2

(2)证明见解析

(3)最小值为2

1

【详解】(1)由已知x>o,rw=|+——a

所以/'⑴=1一。，/(1)=!-«,

则f*)在点(1J⑴)处的切线为：y=(j)(%—1)+(j),

即y=(l-a)x,所以〃一1=1,〃=2：

(2)若a>—,则—ar<—x,(x>0),

22

所以/(x)vsin-x|+lnx--x<l+lnx--x

222

记以呼…”1,则g，(加号

易知xe(0,2)时，g")>0,函数递增；xw(2,+o>)时，g'(x)v0。函数递减,

•••晨力2=屋2)=卜2<1；

717t\

(3)设8(x)=/'(x)=—cos—x+——a,x>0,

212,x

/\

it

1°当a=l时，^(X)=yCOS—x-----1,易知0(1)=0,且XC(0,l)时，<p{x)>—1>0,

(2)XX

xe(l,2)时，^(.r)<--l<0,则1为/*)的极大值点,

x

H兀1.瓦1c/]\兀r1[兀32兀-3

而夕(2)=—cos;r+—1=---------<0,G7(4)=—cos2K+——1=-------=-------->0,

222224244

则存在升)£(2,4),使9(A))=0,即/应为另一极值点，知a=l时不成立;

/

It1

2°当a=2时，^(x)=ycosx\+--2,由“(x)=-jsin

<2)x4厂

4<0恒成立，得火冷在(。，2］上单调递减,

知工e(0.2］时，sin>0,=--sin

4

又夕(g)=亭>0,凶)=-1<0,所以。(x)在(0,2］内存在唯一零点玉w14

即f(x)在(0,2]内存在唯一极值点储；

当xe(2,3)时，7c<-^x<—,所以_]<cosjV.]vO,则以％)<0,7")单调递减，

2212Jx2

无极值;

当工以3,+oo)时，0<1<1则奴工)45十，—2<5+!-2=即二WvO,/*)单调递减，无极值.故〃=2符

x32x236

合要求.

综上：正整数〃的最小值为2,使/(X)存在唯一的极值点.

18.⑴兰+工=1

42

(2)(i)证明见解析；(ii)2夜.

【详解】(1)由题意有2〃=4,所以4=2.

设椭圆焦距为2c,易知椭圆过点,卓。，所以1+祭=1.

又/=/+/,所以/=4一，2

所以子+导=1,即W+4)仅2-2)=0,解得从=2.

22

所以。=2,b=c=0，故C的标准方程为匕+上=1.