生活中的立体图形（原卷版）-小升初数学暑假专项提升（北师大版）

第一章丰富的图形世界

☆1.1生活中的立体图形

/01课堂目标

1.认识柱体、椎体、球体，并能够熟练的进行立体图形的分类；

2.掌握柱体、椎体、球体的特征；

知识

3.掌握柱体特征及其面的个数、棱的条数、顶点个数之间的关系；

4.掌握立体图形的表面积、体积公式.

1.掌握棱柱的顶点数、棱数、面数的计算方法；

方法

2.掌握立体图形的表面积和体积的计算方法.

/02知识梳理

1.认识立体图形

（1）几何图形：从实物中抽象出的各种图形叫几何图形.几何图形分为立体图形和平面图形.

（2）立体图形：有些几何图形（如氏方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内,

这就是立体图形.

2.立体图形的分类

（1）常用的立体图形的分类为：球，柱体（圆柱、棱柱），椎体（圆锥、棱锥）,台体（圆台、棱台）.

（2）也可按照会否有曲面分类：①有曲面（球、圆柱、圆锥），②无曲面（棱柱、棱锥）,

3.点、线、面、体

（1）体H体相交成面，面与面相交成线，线与线相交成点.

（2）从运动的观点来看：点动成线，线动成面，面动成体.点、线、面、体组成几何图形，点、线、面、

体的运动组成了多姿多彩的图形世界.

（3）从几何的观点来看：点是组成图形的基本元素，线、面、体都是点的集合.

（4）长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体，几何体简称体.

（5）面有平面和曲面之分，如长方体由6个平面组成，球由一个曲面组成.

4.几何体的表面积

（1）几何体的页面枳=侧面积+底面积（上、下底的面积和）

（2）常见的几种儿何体的表面积的计算公式:

立体图形表面积公式

圆柱体2nR2+2nRh（R为圆柱体上下底圆半径，人为圆柱体高）

圆锥体兀/+江（/0+/）/36（）（/•为圆锥体低圆半径，。为其高，〃为圆锥侧面展开图中

扇形的圆心角）

长方体2（ab^-ah+bh）（〃为长方体的长，〃为长方体的宽，分为长方体的高）

正方体6/（〃为正方体棱长）

（3）常见的几种儿何体的体积的计算公式:

立体图形体积公式

圆柱体九收〃1式为圆柱体上下底圆半径，〃为圆柱体高）

圆馋体1/3nR:h（K为圆柱体上下底圆半径，〃为圆柱体高）

长方体〃/力（。为长方体的长，力为长方体的宽，力为长方体的高）

正方体/（4为正方体棱长）

/03例题精析

题型一立体图形的认识

例1写出下图中各个几何体的名称.

①②③④⑤⑥

①;②:③;

④»⑤__________;®.

例2将如图几何体分类，并说明理由.

⑥

⑦

例3在下面的几何体中：①长方体；②圆柱；③球；④五棱柱；⑤圆锥；⑥正方体，可以看成有两个底

面的几何体是（）

A.①@④⑥B.②③④C.②④⑤⑥D.①②③⑥

变式1下列儿何体中，属于棱柱的有（填序号）.

变式2（I）下面这些基本图形和你很熟悉，试写出它们的名称;

（2）将这些几何体分类，并写出分类的理由.

八■・

变式3有一个几何体模型，甲司学：它的侧面是曲面；乙同学：它只有一个底面，且是圆形.则该模型

对应的立体图形可能是（）

A.二棱柱B.二棱锥C.圆锥D.圆柱

变式4下列立体图形中，面数相同的是（）

①正方体；②圆柱；③四棱柱；④圆锥.

A.①@B.①③C.②③D.③④

题型二立体图形的棱与面

・・・■・■■・■・■・・・一・・・一・・・・・■・■・・・・»・・・・・・・■・■・■・■・・•・・一•一・・・■・■・■・■・・•・•一・・・・・■・■■・■•>>・・■・■・一・一・一・・・■・■•■■・■・■•一・■■・■・一・・・■•■■・0•・・・一・一・・・■・■・・•・■•・・■・一・■■・一・一・・・■・■・■■・■・一•一

【方法总结］棱柱底面多边形的边数为〃，则该棱柱则为〃棱注，它有2〃个顶点,3〃条棱,〃条侧棱,

有〃+2个面,〃个侧面.

L------------------------------------------------------------------------------------------

例1（1）一个六棱柱有个顶点.

（2）若一个常见几何体模型共有8条棱，则该几何体的名称是_____.

（3）五棱柱的顶点数是,棱数是,面数是.

变式1〃棱柱的面数是1（）,则它有个顶点，共有条棱.

变式2下列说法不正确的是（）

A.长方体是四棱柱B.八棱柱有8个面

C.六棱柱有12个顶点D.经过棱柱的每个顶点有3条棱

变式3不透明袋子中装有一个几何体模型，两位同学摸该模型并描述它的特征.甲同学：它有7个面；

乙同学：它有10个顶点.该模型的形状对应的立体图形可能是（）

A.四棱柱B.五棱柱C.六棱柱D.七棱柱

例2欧拉（Euler,1707~1783）,是世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等

领域都作出了杰出的贡献.他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数V、棱数E、面数F之间存在一定的

数量关系，并研究出了著名的欧拉公式.

例318世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面休中顶点数（V）、面数（F）,棱数（E）之间存在的一个

有趣的关系式，被称为欧拉公式.请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题.

四面体长方体IEA面体正十二面体

（1）根据上面的多面体模型，直接写出表格中的〃?，〃的值，则〃?=，〃=

多面体顶点数（V）面数（F）棱数（E）

四面体446

长方体m612

正八面体n812

正十二面体201230

（2）你发现顶点数（V）、面数（/）、棱数（E）之间存在的关系式是.

（3）一个多面体的面数等于顶点数，且这个多面体有30条棱，求这个多面体的面数.

变式4欧拉（日&「，1707年〜1783年）为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、

航海等领域都做出了杰出的贡献.他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数V（论片”）、棱数E（Edge）、

面数F（F3s“3e）之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式.

（1）观察下列多面体，并把表格补充完整：

名称三棱锥三棱柱正方体正八面体

图形△

顶点数V468

棱数E612

面数尸458

（2）分析表中的数据，你能发现KE、尸之间有什么关系吗？请写出关系式：.

（3）某个玻璃饰品的外形是简单多面体,它的外表面是由二角形和八边形两种多边形拼接而成,且有24

个顶点，每个顶点处都有3条楂，设该多面体外表面三角形的个数为4个，八边形的个数为），个，求x+y

的值.

例4一个雕塑家利用15个棱长为1米的相同正方体，在公园空地设计了一个如图所示的几何体造型,

需要把露出的表面部分都涂上颜色，则需要涂颜色部分的面积为（）

A.46米2B.37米2C.28米？D.25米？

例5如图，图1是一个三阶金字塔魔方，它是由若干个小三棱锥堆成的一个大三棱锥（图2）,把大三

棱锥的四个面都涂上颜色.若把其中1个面涂色的小三棱锥叫中心块，2个面涂色的叫棱块，3个面涂色的

叫角块，则三阶金字塔魔方中“（棱块数）+（角块数）-（中心块数）”得（）

图1图2

A.2B.-2C.0D.4

变式5把50个同样大小的立方体木块堆砌成如图的形状放在桌面上，现在向这堆木块没与桌面接触的五

个面喷油漆，则有块木块完全喷不到漆.

变式6把14个棱长为1分米的正方体摆成如图所示的形式，然后把露出的表血都涂上颜色，则被涂上颜

色的部分面积为（）

A.33平方分米B.24平方分米C.21平方分米D.42平方分米

题型三点、线、面、体的关系

【方法总结】1.体与题相交成面，面与面相交成线，线与线相交成点；2.点动成线，线动成面，面动成

体.

例1在朱自清的《春》中描写春雨“像牛毛、像花针、像细丝，密密麻麻地斜织着”的语句，这里把雨看

成了线，这说明了（）

A.点动成线B.线动成面C.面动成体D.以上都不对

变式1几何图形都是由点、线、面、体组成的，点动成线，线动成面，面动成体，下列生活现象中可以

反映“线动成面”的是（）

A.笔尖在纸上移动划过的痕迹

B.长方形绕一边旋转一周形成的几何体

C.流星划过夜空留下的尾巴

D.汽车雨刷的转动扫过的区域

例2将一个直角三角尺绕它的一直角边所在直线旋转一周，则旋转后所得几何体是（)

A.球B.圆C.三角形D.圆锥

例3如图，将平面图形绕轴旋转一周，可得到的立体图形是（）

，—、

例4下列图形旋转一周，能得到如图几何体的是（）

变式2下面图形是由（）绕直线/旋转一周得到的.

题型四表面积和体积计算

类型一锥和柱体的计算

例1计算如图圆柱的表面积和体积.（单位：厘米）

变式1计算下面圆锥的体积.

30cm

例2圆柱与圆锥的体积之比为2：3,底面圆的半径相同，那么它们的高之比为（）

A.2：3B.4：5C.2：ID.2：9

例3有一个硬纸做成的礼品盒，用彩带扎住（如图），打结处用去的彩带长18厘米.

（1）共需要彩带多少厘米？

（2）做这样一个礼品盒至少要多少硬纸？

（3）这个礼品盒的体积是多少？（兀取3.14）

变式2用一个底面为20cmx20cm的长方体容器（已装满水）向一个长、宽、高分别是16cm,10cm和

5cm的长方体空铁盒内倒水，当铁盒装满水时，长方体容器中水的高度下降了（）

A.IcmB.1cmC.1cmD.1cm

变式3如图，是用塑料薄膜覆盖的蔬菜大棚，长15米，横截面是一个直径2米的半圆.

（1）这个大棚的种植面积是多少平方米？

（2）覆盖在这个大棚上的塑料薄膜约有多少平方米?

（3）大棚内的空间约有多大？

类型二面动成体的计算

例1己知如图是边长为2c7〃的小正方形，现小正方形绕其对称轴线旋转一周，可以得到一个几何体,

求所得的这个几何体的体积.

例2如图，阴影图形是由直角三角形和长方形拼成的，绕虚线旋转一周可以得到一个立体图形，求得到

立体图形的体积.（结果保留兀的形式）

变式1如图是直角梯形A8CQ,如果以A8边为轴旋转一周，得到一个立体图形，这个立体图形的体积

是多少立方厘米？（7：取3.14）.

（单位：厘米）

D

例3把一个长方形绕它的一条边所在的直线旋转一周能得到一个圆柱体，那么把一个长为4cm、宽3cm

的长方形绕它的一条边所在的直线旋转一周后，得到的圆柱体的体积是.（结果保留的兀）

变式2探究：有一长宽的矩形纸板，现要求以其一组对边中点所在直线为轴，旋转180。，得

到一个圆柱，现可按照两种方案进行操作：方案一：以较长的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图①;

方案二：以较短的•组对边中点所在直线为轴旋转，如图②.

图②:

（1）请通过计算说明哪种方法构造的圆柱体积大;

（2）若将此长方形绕着它的其中•条边所在的直线为轴旋转360。，则得到的圆柱体积为多少？

变式3※小明学习了“面动成体''之后，他用一个边长为6cm、Scm和的直角三角形，绕其中一条边

旋转一周，得到了一个儿何体.请计算出儿何体的体积.（锥体体积二;底面积x高）

例4如图所示，在长方形八88中，AB^a,BC=b,且a>〃，将长方形A8CD绕边人8所在的直线

旋转一周形成圆柱甲，再将长方形ABC。绕边8c所在直线旋转一周形成圆柱乙，记两个圆柱的侧面枳分别

为小、S乙.下列结论中正确的是（）

3

I

乙

A.S甲>S乙B.5甲<S乙C.5甲二S乙D.不确定

变式4一个长方形的长和宽分别为3s〃和2cm,依次以这个长方形的长和宽所在的直线为旋转轴，把长

方形旋转1周形成圆柱体甲和圆柱体乙，两个圆柱体的体积分别记作V甲、V6,侧面积分别记作SaS乙,

则下列说法正确的是（）

A.Vi?<V乙,S甲二5乙B.V甲〉V乙,S甲二5乙

C.丫甲二丫乙,s“，二s乙D.Vip>V乙,Sii'<S乙

☆L1生活中的立体图形分类专练

专练一立体图形的认识

1.卜.列哪个几何体是棱锥（）

B.

A.

3.下列儿何体中，属于棱柱的有（填序号）.

专练二立体图形的面与棱

1.几何图形是由____、、、构成的.三棱柱有个面，条棱，个顶

点，其中有条侧棱，个侧面；四棱锥有个面，这些面相交形成了条棱，这些棱

相交形成了个顶点，其中有条侧棱，个侧面，所有侧面都是______形，底面是______

形.

2.如图四个几何体分别是三棱柱，四棱柱，五棱柱和六棱柱，三棱柱有5个面，9条棱，6个顶点，观察图

形，下列说法正确的有（）

①〃棱柱有〃个面；②〃棱柱有3〃条棱；③〃棱柱有2〃个顶点.

A.0个B.1个C.2个D.3个

3.如图，图①所示的几何体叫三棱柱，它有6个顶点，9条棱，5个面，图②和图③所示的儿何体分别是四

棱柱和五棱柱.

（1）四棱柱有个顶点，条棱，个面；

（2）五棱柱有个顶点，条棱，个面；

（3）那么〃棱柱有个顶点，条棱，个面.

4.设棱锥的顶点数为V,面数为F,棱数为E.

（1）观察与发现：如图，三棱锥巾，匕=—，居=一，用=一；五棱锥中，匕=

En=—.（用含有”的式子表示）

（3）探究：①棱锥的顶点数（V）与面数（尸）之间的等量关系：一；②棱锥的顶点数（V）、面数

（广）、棱数（E）之间的等量关系：.

（4）拓展：棱柱的顶点数（V）、面数（〃）、棱数（E）之间是否也存在某种等量关系？若存在，试写

出相应的等式；若不存在，请说明理由.

5.如图，模块①由15个棱长为1的小正方体构成，模块②~⑥均由四个棱长为1的小正方体构成；现在从模块

②一⑥中选出三个放在模块①上，与模块①一起组成一个棱长为3的大正方体，下列四个方案中，符合上述

要求的是（）

模块②模块③

模块①

模快⑥

模块④模块⑤

A.模块②⑤⑥B.模块③④⑥C.模块②④D.模块③⑤⑥

6.将一个所有的面都涂上漆的正方体（如图所示）切开，使之成为27个大小相同的小正方体，那么只有两

面涂漆的小正方体有个.

专练三点、线、面、体的关系

I.如图是一个花瓶，下列平面图形绕虚线旋转一周，能形