八年级数学上册【浙教】第一次月考A卷（考试版+解析）

2023-2024学年八年级数学上学期第一次月考

A卷.基础知识达标测

（考试时间：1（）0分钟试卷满分：120分）

注意事项：

1.本试卷分第【卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准

考证号填写在答题卡上c

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.测试范围：第1章、第2章。

5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.下面四幅画分别是体育运动长鼓舞，武术，举重、摔跤抽象出来的简笔画，其中是轴对称图形的

2.以下列各组线段为边，能组成三角形的是（）

A.2,3,4B.5,5,11C.I,2,3D.3,7,4

3.对于命题“如果+Z2=90°,那么N1*能说明它是假命题的反例是（）

A./I=50。，N2=40°B.=50。，Z2=50°

C.==45°D./I=40。，Z2=40°

4.在数学课上，同学们在练习画边AC上的高时,有一部分同学画出下列四种图形，请你判断一下,

正确的是（）

c

G

C.D.

5.如图，已知力8=40,那么添加下列一个条件后，仍无法判定△4BC三△40C的是（）

A.CB=CDB.ZBAC=ZDACC.ZBCA=ZDACD.N8=NO=90。

6.根据下列条件不能判断AjBC是直角三角形的是()

A.4=55°，包35°

B.4:47=7:4:3

C.AB=3,BC=4,CA=G

2222

D.AB=m-n,BC_^mn,AC=m+n(m>n>Q)

7.已知，图中△4BC的面积为24,将△4BC沿BC的方向平移到△A‘B'C'的位置，使8,和C重合，连接

4C'，交4c于。，则△C'DC的面积为（)

C.8D.12

8.如图，在448C中，点。是BC边上一点,AD=AC,过点D作0E18C交48于E,若2L4OE是等腰

三角形，则下列判断中正确的是（）

A.ZB=ZCADB.NBED=NCADC.ZADB=ZAEDD./BED=ZADC

9.中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一，中国古代称直角三角形为勾股形，较短的直角边

称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，其中勾长、股长的平方和等于弦长的平方，即为“勾股定

理”，勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，在几何问题中有着广泛的应用.

如图，在直线/上依次摆放着五个正方形.已知斜放置的两个正方形的面积分别是2、3,正放置的三

个正方形的面积依次是S1，52,53,则51+2$2+53=（）

A.4B.5C.6D.7

10.在中，人。=8。，点。为48中点，NGDH=90。,/GDH绕点Q旋辆,DG、DH分别与

边4C、BC交于E、尸两点.下列结论：

①AE+8昨匕8：②△OEF始终为等腰直角三角形；③S阳龙的EDF@AE24-CE2=

2

3。产.其中正确的是（）

C.(2X3)D.①②③

二、填空题:本大题有6个小题，每小题4分，共24分.

11.命题“等边三角形的三边相等”的逆命题是，它是命题（填“真”或“假”）.

12.如图，已知AC=Q8,要使A48C出△OC&则需要补充的条件为.

13.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40。，则该等腰三角形的顶角的度数为.

14.如图，将A4BC沿着直线/折叠，使点8落在点尸的位置，若/1一/2=70。，则的度数

是°.

15.如图，在△4BC中，AB=AC,AD=BC=8,点、E,尸是中线力。上的两点，则图中阴影部分的

面积是____.

1A6.如图，已知NMON=40。，P为NMON内一定点，OM上有一点A,ON上有一点、B,当APAB的周

长取最小值时，NAP8的度数是

三、解答题:本大题有7个小题，第17题6分，第18/9每小题8分，第20・21每小题10分，第22・23每小题12

分，共66分.解答写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.（6分）如图，AB||CD,AB=CD,点、E,F在BC上,且BE=C5.求证：

（IMF=DE；

（2MF||DE.

18.（8分）作图题：（要求保留作图痕迹，不写作法）

BC

（1）作^ABC中BC边上的垂直平分线EF（交AC于点E,交BC于点F）；

（2）连结BE,若AC=10,AB=6,求ZkABE的周长.

19.（8分）如图，点。在A48C的边B4的延长线上，过AC的中点F作线段G£SND4C的平分线于

E,交BC于G,RAE//8C.

D

AE

⑴求证：△ABC是等腰三角形；

（2）若A£=8,AB=\O,GC=2BG,求aABC的周长.

20.（10分）如图，在zUBC中，边48、AC的垂直平分线分别交8c于。、E.

（1）若805,求AADE的周长.

（2）若N8AO+NC4E=60。，求N84C的度数.

21.（10分）如图，在等边△ABOILA。是/8AC的平分线，E为线段A。上一点，以8七为一边且在

BE下方作等边ABEF,连接C凡

⑴求证：AABEGACBF；

⑵直接写出NACF的度数=.

22.（12分）如图，已知：在△48C中，AC=BC=8,24cB=120。，将一块足够大的直角三角尺

PMN«M=90。,NMPN=30。）按如图放置，顶点〃在线段力及上滑动，三角尺的直角边始终经过

点C,并且与CB的夹角/PCB=a,斜边PN交AC于点D.

(1)当PNII8C时，判断△ACP的形状，并说明理由；

⑵点P在滑动时，当4P长为多少时，2ADP与ABPC全等,并说明理由；

⑶点尸在滑动时，△PCO的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出夹角a的大小；若不可

以，请说明理由.

23.(12分)如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，如图1,等腰△4BC与

等樱△4DE中，/BAC=ZDAE=a,AB=AC,AD=AE,我们把它们构成的这个图形叫做“手拉

手模型

(1)【模型探究】

如图1,线段与线段C七.存在怎样的数量关系？请证明你的结论.

(2)【应用模型】

如图2,等腰直角三角形48c中，Z.BAC=90°,5C=2点P是BC边的中点，直线MN经过点

P,且4DPB=30°，点D是直线MN上的动点，将线段AD绕点4顺时针旋转90。，得到线段4E,

连结DE.

①如图3,当点E落在BC边上时，求CE.

②直接写出在点O运动过程中，点。和点E之间的最短.

2023-2024学年八年级数学上学期第一次月考

A卷•基础知识达标测

注意事项：

I.本试卷分第【卷（选择题）和第H卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准

考证号填写在答题卡上。

2.I可答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅第把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.测试范围：第1章、第2章。

5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单选题

1.下面四幅画分别是体育运动长鼓舞，武术，举重、摔跤抽象出来的简笔画，其中是轴时称图形的

【答案】C

【分析】根据轴对称图形的概念判断即可.

【解析】解：4、不是轴对称图形，故错误；

8、不是轴对称图形，故错误；

C、是轴对称图形，故正确；

0、不是轴对称图形，故错误.

故选：C.

【点睛】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折

叠后可重合.

2.以下列各组线段为边，能组成三角形的是（）

A.2,3,4B・5,5,11C.1,2,3D.3,7,4

【答案】A

【分析】运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，并不一定要列出三个不等式，只要

两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度，即可判定这三条线段能构成一个三角形.

【解析】解：由2,3,4可得，2+3>4,故能组成三角形；

由5,5,11可得，5+5<11,故不能组成三角形；

由1,2,3可得，1+2=3，故不能组成二角形：

由3,7,4可得，3+4=7,故不能蛆成三角形；

故选:A.

【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，解题时注意：三角形两边之和大于第三边，三角形的

两边差小于第三边.

3.对于命题“如果+z_2=90。，那么HN2”，能说明它是假命题的反例是（）

A.41=50。，Z2=40°B.zl=50°,Z2=50°

C.=42=45°D.Z1=40°,Z2=40°

【答案】C

【分析】能说明是假命题的反例就是能满足已知条件，但不满足结论的例子.

【解析】解：A、满足条件N1+/2=9O。，也满足结论N1W/2,故项错误，不符合题意；

B、不满足条件，也不满足结论，故选项错误，不符合题意；

C、满足条件，不满足结论，故选项正确，符合题意；

D、不满足条件，也不满足结论，故选项错误，不符合题意.

故选：C.

【点睛】本题考查命题的真假判断，正确记忆能说明它是假命题的反例的含义是解决本题的关键.

4.在数学课上，同学们在练习画边AC上的高时，有一部分同学画出下列四种图形，请你判断一下，

正确的是（）

【答案】C

【分析】根据三角形的高的概念直接观察图形进行判断即可得出答案.

【解析】解：AC边上的高应该是过B作BE,AC,符合这个条件的是C,

A,B,D都不过B点，故错误；

故选C.

【点睛】本题主要考查了利用基本作图做三角形高的方法，正确的理解三角形高的定义是解决问题

的关键.

5.如图，已知48=40,那么添加下列一个条件后，仍尢法判定△48C三△4DC的是（）

D

A.CB=CDB.LBAC=/.DACC.ZBCA=ZDACD.ZB=ZD=90°

【答案】C

【分析】由图形可知=结合全等三角形的判定方法逐项判断即可.

【解析】解:在△4BC和△ADC中

•••.48=40,AC=AC,

・••当C8=C。时，满足SSS，可证明△48CWA40C,故选项A符合题意；

当乙=时，满足SAS，可证明△ABCWAAOC,故选项B符合题意；

当乙8。4=乙04。时，满足SSA，不能证明△48C三△ADC,收选项C不符合题意；

当/8=/。=90。时，满足HL，可证明△4BC三△4DC,故选项D符合题意；

故选：C.

【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题关键，即SAS，ASA，

AAS，SSS和HL・

6.根据下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是()

A.4=55°，包35°

B.4:/B:47=7:4:3

C.AB=3,BC=4,CA=小

2z2

D.AB=m-n,8C=4?nn,AC=m?+n^m>n>Q)

【答案】D

【分析】根据勾股定理的逆定理、三角形内角和定理判定即可.

【解析】解:A.,.•乙4=55°，,8=35°，，"=180°—‘"一/'=90°，故△4BC是直角三角形;

B.二•乙4：4B:4c=743，，44=180°'=90°，故△4BC是直角三角形；

7+4+3

c.=3,BC=4,G4=^Aff2+AC2=9+7=16=nC2f故AABC是直角三角形；

2222

D.AB=m—n,BC=^mn,AC=m+n(m>n>g),

：.AB2+BC2=(m2-n2)2+(4mn)2=m4+14m2n2+n4,AC2=(rn2-n2)2=m4+2m2n2+

n4,

：,AB2+BC2=^AC2,故△ABC不是直角三角形.

故选：D.

【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，三角形内角和定理以及完全平方公式，判断三角形

是否为直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定义判断.

7.已知，图中AABC的面积为24,将A/WC沿BC的方向平移到△A'B'C’的位置，使8,和C重合，连接

AC^交A,C于。，则△C'DC的面积为（）

【答案】D

【分析】根据平移的性质可得AC=KC',BC=BC\AC||AC,证明△ADCC'DA'，得到40=

，贝再推出AACC'=则AC，,

CD△CL/CLA/1CCS△f/t8CC=SAC2I-4/C,LS△/”ICC=7^Ayirr=12.

【解析】解：由平移的性质可得4c=4C',BC=B'C',ACIIA'C\

AZDCA=ZDA'C',ZDAC=ZDCA^

••△ADC=△CDA（ASA）'

：.AD=C'D,

••SACDC=5sMec

,-BC=CC'，AABC的面积为24,

-S^ABC=S△人cc，=24,

.•.$:加=却-~'=12・

故选：D.

【点评】本题主要考查了平移的基本性质，全等三角形的性质与判定，三角形中线的性质，熟知平

移的性质是解题的关键：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且

相等，对应线段平行且相等，对应角相等.

8.如图，在448CU」，点。是8c边上一点，AD=AC,过点D作0E_L8C交48于E,若ZL40E是等腰

三脩形，则下列判断中正确的是（）

«

A./7?=XCADB.NBED=NCADC.ZADB=ZAEDD.NBED=ZADC

【答案】B

【分析】根据等腰三角形的性质得到乙4。。=",ZADE=N1ME,根据垂直的性质得到

乙B+乙BED=90°,/ADC+/-ADE=90°,根据等量代换得至U/C+乙DAE=LADC+Z-ADE=90°,又

ZB+ZDAE+^CAD+NC=180。,即可得到

乙B+乙G4O=90°才艮据同角的余角相等即可得到"BED=ZCAD.

【解析】AD=AC.

:.NADC=NC,

DE1BC,

・•・/BDE=NCDE=90°,

从而KB+乙BED=90°,ZADC+ZADE=90°,

“ADE是等腰三角形，

ZADE=ZDAE,

:./C+ZDAE=ZADC+ZADE=90°,

v/B+ZDAE+ZCAD+NC=180°,

・•.NB+ZCAD=90，

ZBED=ZCAD,

故选B.

【点睛】考查等腰三角形的性质，垂直的性质，三角形的内角和定理，掌握同角的余角相等是解题

的关键.

9.中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之」中国古代称直角三角形为勾股形，较短的直角边

称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，其中勾长、股长的平方和等于弦长的平方，即为“勾股定

理”，勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，在几何问题中有着广泛的应用.

如图，在直线/上依次摆放着五个正方形.已知斜放置的两个正方形的面积分别是2、3,正放置的三

个正方形的面积依次是Sy$2,S3,则S]+2SZ+S3=()

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【分析】结合正方形的性质证明&根据全等三角形的性质推出Si+$2=2,同理,

2s2+S3=3,据此求解即可.

【解析】解：如图,

CBE

•・•图中的四边形均为正方形，

，乙48。=90。，AB=DB>ZACB=90°,

NABC+NO8E=9()。，ZABC+ZCAB=90°,

:・NCAB=/DBE,

在AABC和MOE中，

fZACB=/BED

'ZCAB=/DBE，

AB=DB

：.AABC^ABDE(AAS),

:・AC=BE,

'-DE2+BE2=DB?,

•­DE2+AC2=DB2,

222

VS1=AC,S2=DE,DB=2,

,\S1+S?=2,

同理,2S2+$3=3,

/.S[4-2s2+S3=2+3=5,

故选：B.

【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，结合正方形的性质证明△48。名48。七是解题的关

键.

10.在中，4C=BC,点。为AB中点，4GD”=90>/GDH绕点。旋转，DG、。“分别与边

AC.BC交于E、广两点.下列结论：

①AE+BF=£AB；②始终为等腰直角三角形；③S四龙胞后"=豺口2；④4£"2+"2=

3DF2.其中正确的是()

ADB

A.①②③④B.①④C.®@D.①②③

【答案】D

【分析】连接CD根据等腰直角三角形的性质，就可以得出△.，。^^△。。凡根据全等三角形的性质

得出AE=CF,进而得出CE=8R就有AE+8GAC,再由勾股定理就可以求出结论.

【解析】解：如图所示，连接CD,

•;AC=BC,点、D为AB中点,^ACB=90%

.•.AD=CD=BD=；AB,AA=AB=^ACD=Z.BCD=45%ZADC=ZBDC=90°,

^ADE+/EDC=90。，

AEDC+ZFDC=Z.GDH=9(F,

•••ZADE="CDF.

在ZL4OE和4W中，

(ZA=NDCB

<AD=CD,

{^ADE=NCDF

:./\ADE^ACDF(ASA),

AE—CF,DE-DFt=SACDF•

AC=BC,

：.AC-AE=BC-CF,

CE=BF.

vAC=AE+CE,

\C=AE+BF.

-AC2+BC2=AB2AC=BC,

AC---AB,

2

...AE+BF=与AB,故①正确;

DE=DF,ZGDH=90°,

・••[DEF始终为等腰直角三角形，故②正确；

、S四边形CEDF~S^EDC+SAEDF，

二S四边形CEDF=S-EDC+^AADE=//册。'

乂二九时,

*#,S四边形CEDF=^SAABC=5X=QBL故③正确；

22

VCE+CF="2,DE2+DF2=EF2t

：.CE2+A炉=EF2=DE2+DF-,

又DE=DF,

:.AE2+CE2=2DF2,故④错误;

・♦・正确的有①②③.

故选：D.

【点睛】本题考变了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理以及三角形的面

积公式的运用，根据ASA证明△AOEWZXCQF是解决问题的关键.

二、填空题

11.命题”等边三角形的三边相等'’的逆命题是________，它是__________命题（填“真''或"假"）.

【答案】三边相等的三角形为等边三角形真

【分析】交换原命题的题设与垢论得到逆命题，然后根据三角形的定义可判断逆命题为真命题.

【解析】解：命题“等边三角形的三边相等'’的逆命题是“三边相等的三角形为等边三角形”，此逆命题

为真命题.

故答案为：三边相等的三角形为等边三角形；真.

【点睛】本题考查了命题：如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是

第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题.其中一个命题称为另一个命题的逆命题.

12.如图，已知要使则需要补充的条件为.

【答案】。（答案不唯-）

【分析】本题中有公共边8C=CB,利用SSS来判定全等则只需要添加条件即可.

【解析】解：由题意可知：AC=DBfBC=CB,

・•・利用SSS来判定全等则只需要添加条件

故答案为：（答案不唯一）.

【点睛】本题考查三角形全等的判定，掌握判定定理是本题的解题关键.

13.等腰三角形腰上的高与另腰的夹角为40。，则该等腰三角形的顶角的度数为

【答案】5()。或130。.

【分析】要注意分类讨论，等腰三角形可能是锐角三角形也可能是钝角三角形，然后根据三角形的

内角和以及三角形的外角的性质即可求解.

【解析】解：若三角形为锐角三角形时，如图，AB=AC,ZACD=40°,CD为高，即NADC=90。，

此时NA+NACD+NADO180°,

ZA=180o-90°-40o=50°,

若三角形为钝角三角形时，如图，AB=AC,ZACD=40°,CD为高，即NADC=90。,

此时ZBAC=ZD+ZACD=90°+40°=130°,

综匕等腰三角形的顶角的度数为50。或130。.

【点睛】本题考查了等腰三角形的内容，做等腰三角形的问题时要多去注意是否要分类讨论.

14.如图，将△4BC沿着直线/折叠，使点8落在点F的位置.，若△1一42=70。，则的度数

是°.

【答案】35

【分析】利用折叠的性质可得出=乙BED=dED,结合平角的定义及乙1一乙2=

70。，可求出ZJ?OE+48EO的度数，再在aBOE中，利用三角形内角和定理，可求出的度数.

【解析】解：由折叠的性质，可知：/BDE=NFDE,ZBED=/FED,

;乙1+乙BDE+乙FDE=180%/BED+/FED-^2=180°,

+XRDE+XFDE+/RED+/FED-X2=180°+180°,

即2(/BDE+/BED)+N1-12=360°,

3600-70。

/./BDE+/BED=%=145。.

在△BOE中，ZB+ZBDE+ZBED=180°,

：.ZB=180°-(/80E+/BED)=180°-145°=35°.

故答案为：35.

【点睛】本题考查了三角形内角和定理以及翻折变换，牢记“三角形内角和是18(T”是解题的关键.

15.如图，在△力8c中，AB=AC,AD=BC=8，点E,尸是中线AD上的两点，则图中阴影部分的

面积是.

A【答案】16

【分析】根据等腰三角形的性质可得80=CD=4,SMEF=SACEF，然后根据$履=S^BD计算即

可.

【解析】解：・・FB=AC,

:•△ABC是等腰三角形，

是8c边上的中线，

：.BD=CD=三BC=4,AD1BC,

8EFt与△CEF1关于40轴对称，

•・S4BEF=S4cEF，

V.4D=8,

:*S阴影~S&ABD=2BDAD=-x4x8=16.

故答案为：16.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形面积等知识：熟练掌握等腰三角形的性质是解题的

关键.

16.如图，已知NMON=40。，P为NM0N内一定点,OM上有一点A,ON上有一点用当△叫小的周

长取最小值时，NAP8的度数是。.

N

A

【答案】100

【分析】设点P关于OM、ON对称点分别为P、P”,当点A、B在PT”上时，APAB周长为

PA+AB+BP=PfP%此时周长最小.根据轴对称的性质，可求出NAPB的度数.

【解析】分别作点P关于OM、ON的对称点P、P”,连接。P'、OP\PP,P'P”交OM、ON于点、A、

B,连接RA、PB,此时△以/?周长的最小值等于PP〃.

由轴对称性质可得，OP'=OP"=OP,/POA=NPOA,NP”OB=/POB,

：.ZPVP"=2ZMON=2x40°=80°,

・•・ZOPP”=ZOP"P'=(180°-80°)v2=50°,

又丁ZBPO=NOP"B=50°,ZAPO=NAP'O=50。，

/.ZAPB=ZAPO+ZBPO=100°.

故答案为100.

【点睛】本题主要考查了轴对称-最短路线问题，找点A与B的位置是关键，需灵活运用粕对称性解

题.

三、解答题

17.如图，AB||CD,AB=CD,点E,尸在8C上，且BE=CP.求证：

(IMF=DE；

(2)AF||DE.

【答案】（1）见解析

⑵见解析

【分析】（1）由全等三角形的判定定理SAS证得A/B尸三△DCE,由全等三角形的性质可得出结

论；

（2）由全等三角形的性质得出dF8=/DEC,证出/4/E=N77EF,由平行线的判定可得出结

论.

【解析】（1）证明：如图，•・・.48||CD,

=NC.

•:BE=CF,

J.BE-EF=CF-EF,

即B尸=CE,

;在△ABF与△OCE中，

fAB=DC

=NC,

IBF=CE

••△ABF=△DCE〈SAS），

A.4F=DE；

（2）,：&ABF"DCE,

AZAFB=/DEC,

「ZAFB+ZAFE=180%/DEC+/DEF=180°,

A^AFE=ZDEF，

：.AF||DE.

【点睛】本题考查了平行线的判定、全等三角形的判定与性质，证明△AB/三ZkOCE是解题的关键.

18.作图题：（要求保留作图痕迹，不写作法）

（1）作^ABC中BC边上的垂直平分线EF（交AC于点E,交BC于点F）；

（2）连结BE,若AC=10,AB=6,求AABE的周长.

【答案】（1）答案见解析；（2）16.

【分析】（1）分别以点B、C为圆心，以大于扣（：长为半径画弧，在BC的两侧两弧分别相交于一点，作

这两点作直线即可；（2）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得BE=CE,从而得到

△ABE的周长等于AB与AC的和,代入数据进行计算即可.

【解析】解：（1）如图所示，

⑵TEF垂直平分BC,

，BE=EC,

•:△ABE的周长=AB+BE+AE=AB+BE+EOAB+BC,

VAB=6,BC=10,

【点睛】此题主要考查J'基本作图，正确线段垂直平分线的性质与画法是解题关键.

19.如图，点。在△/1我:的边8A的延长线上，过AC的中点/作线段GE交ND4C的平分线于£,交BC于

G,且AE〃8c.

(1)求证：AABC是等腰三角形；

(2)若AE=8,AB=10,GC=2BG,求△48C的周长.

【答案】⑴见解析

(2)32

【分析】(I)先根据平行线的性质证明ZC=ZCAE,然后根据角平分线的定义得出N

B二NC,则可证明aABC为等腰三角形；

(2)利用ASA证明△AEFgZXCFG,从而得到CG的长，则可求得的长，再求AABC的周长即可.

【解析】(1)证明：・・・4E||8C

；・NB=NDAE,4c=4CAE.

•・・,4£平分/。4。，

：.ZDAE=ZCAE.

:・/B=/C.

・•・AB=AC,即△ABC是等腰三角形.

(2)解：•・/是AC的中点，

：.AF=CF,

'NC=^FAE

在AA/E和△CTG中，CF=AF

/GFC=ZEFA

：.△AF'Eg△CFG

：.GC=AE=S

•:GC=2BG

，BG=4

：.BC=BG+GC=\2

AC的周长=/W+4C+AC=10+10+12=32.

【点睛】本题主要考查的是等腰三角形的性质和三角形全等的判定，解题的关键是熟练运用等腰三

角形的性质和三角形全等的判定定理.

2().如图，在“8C中，边A8、AC的垂直平分线分别交BCT。、E.

(1)若8c=5,求［ADE的周长.

(2)若N34Z)+NCAE=60。，求NR4C的度数.

【答案】(1)5；(2)120°

【分析】(I)根据线段垂直平分线的性质得到。EA=EC,则△ADE的周长

=AD+DE+EA=BCt即可得出结沦；

(2)根据等边对等角，把N84D+NCAE=60。转化为/8+/O60。，再根据三角形内角和定理即可得

出结论.

【解析】(1)•・•边AB、AC的垂直平分线分别交BC于。、E,：.DA=DB,E4=EC,二•△ADE的周长

=AD+DE+AE=DB+DE+EC=BC=5；

9

(2)\DA=DB,EA=EC,:.乙DAB=4B,ZEAC=ZC,：.ZBAD+ZCAE=ZB+ZC=60°iAZ

340180。一(Zfi+ZC)=180°-60°=120°.

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，

掌握线段的垂宜平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解答本题的关键.

21.如图，在等边aABC中，AO是/84C的平分线，石为线段AO上一点，以8E为一边且在8E下方作

等边△8ER连接CK

(1)求证：&ABEmACBF；

⑵直接写出NAb的度数=.

【答案】(1)见解析

(2)90°

【分析】(1)根据AABC和△8E/是等边三角形，可得EB=BF,/ABE=/CBF,即可求

证；

(2)根据等边三角形的性质可得/8AE=30。，^ACB=60°,再有aABE0△C3F,可得/BCF二N

BAE=30°f即可求解.

【解析】(1)证明：(1);△ABC是等边三角形，・・・4B=BC,ZABE+ZEBC=60\

•••△5E户是等边三角形，：,EB=BF,NCBF+NEBC=60。,

:・/ABE=NCBF,

在dABE和ACBF,VAB=BC,/ABE=/CBF,EB=BF,

/.△ABE/4CBF(SAS)；

(2)解：•・•等边△ABC中，A。是/A4C的角平分线，AZBAE=30°,NAC8=60。，

△ABEWACBF,

：.ZBCF=ZBAE=3Q°t

：.ZACF=NBCF+NACB=300+60°=90°.

【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性

质，全等三角形的判定和性质定理是解题的关键.

22.如图，己知：在△4BC中，AC=BC=8，Z-ACB=1203»将一块足够大的直角三角尺

PMNJM=90。,乙MPN=30。)按如图放置，顶点P在线段上滑动，三角尺的直角边PM始终经过

点、C,并且与CB的夹角NPCB=a,斜边PN交4c于点D.

⑴当PNII8C时，判断AACP的形状,并说明理由;

(2)点P在滑动时，当4P长为多少时，AADP与ABPC全等,并说明理由；

(3)点P在滑动时，△PCO的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出夹角a的大小；若不可

以，请说明理由.

【答案】(Ig/lCP是直角三角形，见解析

(2)当4P=8时，AADP三ABPC,见解析

(3)当a=45。或90。或0。时，△PCO是等腰三角形.

【分析】(1)是直角三角形，埋由为：lilPNIIBC,得到一对内错角相等，4cp为直角,

即可得证；

(2)当4P=8时，AADPWABPC,理由为：根据&4=C8,且44cB度数，求出4力与度数，再

由外角性质得到乙0=乙4尸0，根据4P=8C,利用ASA即可得这；

(3)点P在滑动时，△PCO的形状可以是等腰三角形，可以分三种情况考虑：当PC=PD；PD=

CD；PC=CD,分别求出夹角Q的大小即可.

【解析】(1)解：△4CP是直角三角形，

理由为：

当PNIIBC时，Na=/NPM=30。,

vZACB=120。，

・•・々”=120。-30°=90。，

・••△4CP是直角三角形；

(2)当力P=8时，2ADPWPC,

理由为：

•••LACB=120°，CA=CB,

〃=/?=30。，

・：3(：是色BPC的一个外角，

•••/APC=Za=30°+Zh,

■:ZAPC=NDPC+NAPD=30°4-NAPD,

•••Za=Z4PO,

-AP=BC=8,

：.^ADP=^BPC(ASA)^；

(3)△PCO的形状可以是等腰三角形，

则乙PCO=120°-a,zfCPD=30%