有理数的乘方（讲义沪教版）（原卷版）

第04讲有理数的乘方

启新温故

预习目标知识回顾

1.上一讲我们学习了有理数的乘法与除法，掌握

了“同号得正、异号得负”的符号法则，以及“奇

1.理解有理数乘方的意义，掌握哥、底数、指数

负偶正”的多个数相乘规律。

的概念;.掌握多个有理数相乘的积的符号法则（奇

2.小学阶段我们学习过正方形的面积公式S=

负偶正）；axa=a2,正方体的体积公式V=axaxa=

3

2.能正确进行有理数的乘方运算；ao

3我们还知道a2读作“a的平方”，a3读作“a

3.掌握乘方运算的符号规律（奇负偶正）；的立方”。

4.现在数的范围扩大了一一引入了负数，那么

4.能进行乘方的逆运算（己知恭求底数）；

（-2）2等于多少？（-2户又等于多少？乘方运

5.能运用乘方解决实际问题。算的符号有什么规律？这就是本讲要解决的问

题。

新课一点通

新知导图

H»RX5O1果方的定乂和♦念

题型01：有理数鬲的概念理解

题型02:有理数乘方的运算

HiRjflO3IR方运■的符号福I牌Of^JiEMuX9Mo.

题型03:乘方运算的符号知律

育理数的加法与国法

题型04:有理数乘方的逆运算

知眼点04克皿的M的运舞法则

iwte一•谓行■力重■・

题型05:乘方的应用

知识点os有ami方的逆运算

知识点06果方的实后曲用

预习精讲

⑦想一想

纸对折42次能到达月球吗?

(1)一张足够大的白纸，厚度为0.1

飞起始：普通A4纸(厚度约0.1mm)海

/M_0Qmm。我们把它对折：

同.对品雪〉0.2mm3(2)对折1次后，纸的层数是2层，

厚度为0.1x2=0.2mm；

(3)对折2次后，纸的层数是4层，

八,••

OOO

«Q闺对折20次」、□OQ

,«=100mOOOC

(约1技大楼高)々T1小厚度为0.1x4=0.4mm；

(4)对折3次后，纸的层数是8层，

0Q分

@。：折42次!厚度为0.1x8=0.8mm；

(5)对折4次后，纸的层数是16层,

厚度为

厚度《44万公里！0.1x16=1.6mm；

地月平均距离，38.4万公里

-----------------------------------------------------

:完全可3T甚至超就7

图1

同学们，请看下面这个关于折纸的问题:

一张足够大的白纸，厚度为0.1nm0我们把它对折:

对折1次后，纸的层数是2层，厚度为0.1X2=0.2mm；

对折2次后，纸的层数是4层，厚度为0.1X4=0.4nun；

对折3次后，纸的层数是8层，厚度为0.IX8=0.8mm；

对折4次后，纸的层数是16层，厚度为0.1义16:1.6mm；

【思考1】观察上面的数据：对折1次是2层，对折2次是4=2X2层，对折3次是8=2X2X2层，对折

4次是16=2X2X2X2层。如果对折n次，纸的层数应该怎样表示？你能用•个简洁的数学符号来表示“n

个相同的数相乘”吗？

【思考2］我们已经知道2X2可以写成22,2X2X2可以写成23。那么：

(1)(^)X(-2)可以写成什么？它等于多少？

(2)(^)X(-2)X(-2)可以写成什么？它等于多少？

(3)观察上面两个结果，你发现负数的乘方在符号上有什么规律？

【思考3】(川)2和母2表示的意义一样吗？如果不一致，它们分别表示什么意思？计算结果相同吗？请

思考并说明理由。

知识点乘方的定义与概念

乘方的定义：

求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。

累的组成：＞axaxax--xa=an

n个

其中，a叫做底数，n叫做指数，an叫做森。

意义：

an表示n个a相乘。例如：23=2x2x2=8,（-3）2=（-3）X（-3）=9。

特殊情况：

a1=a（一个数的1次方等于它本身）；

a°=l（a^O,任何非零数的0次方等于1）o

【即学即练1】

1.125-26六年级上•上海•阶段检测）关于（-2），的说法正确的是（）

A.指数是-2B.结果是-8

C.表不4个-2相加D.表不4个-2相乘

2.（25・26六年级上•上海•期末）乘法运算卜：卜卜£|＞＜卜可以表示为（）

知识点02乘方的读法与书写

读法：

an读作“a的n次方”或“a的n次嘉”；

当n=2时，读作“a的平方”：

当n=3时，读作“a的立方”。

书写规范：

底数为负数或分数时，必须加括号。

例如：（一2产表示（-2）x（-2）,而一22表示一（2x2）=-4,两者完全不同。

（-a）n与一a11的区别（重点）：

形式含义示例

（一。）“n个一Q相乘(-2)3=(-2)x(-2)X(-2)=-8

-anan的相反数-23=一(2x2x2)=-8

注意：当n为偶数时，（-a）un-a“；当n为奇数时，两者数值相同。

【即学即练2】

1.124-25六年级上•上海•阶段检测）下列算式中，正确的是（）

A.-{-2）2=4B.-22=4C.（-2）2=-4D.（-2）'=-8

2.（25-26六年级上•上海静安・期末）下列说法正确的是（）

A.任何有理数的平方都是正数B.任何有理数的立方都是负数

C.3与（-3）3的值相等D.（-3户比（―3广的值大

知识点03乘方运算的符号规律

正数的乘方：

正数的任何次嘉都是正数。

负数的乘方：

负数的奇次幕是负数；

负数的偶次幕是正数。

口诀：“奇负偶正”（与多个有理数相乘的符号规律一致！）

零的乘方：

0的任何正整数次第都是0o

【示例】

（1）24=16（正数f正）

（2）（一3尸=9（负数，偶次一正）

（3）（一3尸=一27（负数，奇次一负）

（4）O2025=0

【即学即练3】

1.125-26六年级上•上海浦东新•阶段检测）在5?）、—（—5）2、+5|、一（—5）、（-5『、中，负数有（）

个

A.0个B.1个C.2个D.3个

2.（25-26六年级上•上海奉贤・期中）在-（-2）,（一2）,卜（-2）|,-卜2|中，负数的个数是（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

知识点04有理数乘方的运算法则

运算步骤：

第一步：定符号——根据底数的符号和指数的奇偶性确定符号；

第二步：算绝对值——将底数的绝对值进行乘方运算。

整数指数累：

正整数的乘方：直接计算。

负整数的乘方：先定符号，再计算绝对值的乘方。

分数的乘方：分子、分母分别乘方。

小数的乘方：先化成分数，或直接计算。

【示例】

（1）（-5）2=+25；（2）（-2）5=-32；

⑶（一乎=,±.⑷（-0.2）2=004。

【即学即练4】

1.125-26六年级上•上海嘉定・期末）下列各对数中，数值相等的是（）

A.一2,和一3?B.（一3丫和73

C.一3x2,和（一3x2）'D.（一3丫和孑

2.（25-26六年级上•上海松江•期中）下列各组数中，数值不相等的是（）

A.5和B.和C.一（一2/和-26D._（一2『和

知识点05有理数乘方的逆运算

定义：

己知一个数的n次幕，求这个数（即底数）的运算，叫做乘方的逆运算。

方法：

若a11=b,且n已知，求a,则a是b的n次方根。

对于初中阶段，主要涉及平方和立方的逆运算：

若a?=b（b>0）,贝ija=士VB（两个解）；

若a?=b,贝！Ja=孤（唯一解）。

注意：

一个正数的平方根有两个（互为相反数）；

负数的平方没有实数解（初中阶段不要求）；

任何数的立方都有唯一的解。

【示例】

（1）若X2=9,则x=±3；

（2）若x3=-27,则x=-3；

（3）若x4=16,贝！）x=±2（因为卧=16,（-2）4=16）.

【即学即练5】

1.（25・26六年级上•上海•期末）已知正整数。力满足7%=凡则当。、〃都取到最小值时，3〃+9的值为一

2.（25-26七年级上•上海浦东新期中）己知〃、〃互为倒数，化简：（-〃户”•产嗔.

知识点06乘方的实际应用

乘方在实际生活中有广泛的应用：

面积与体积：正方形面积S=a2,正方体体积V=a3o

细胞分裂：一个细胞分裂n次后的个数为2%

折纸问题：一张纸对折n次后的层数为2no

拉面问题：拉面师傅拉n次后的面条根数为2%

增长率问题：某数每年增长r,n年后变为a（l+r）%

科学记数法（后续学习）：用axion表示大数。

【即学即练6】

1.（24-25六年级」二上海•阶段检测）某种细胞，每过20分钟便由1个分裂成2个，2个这种细胞，经过1

小时，能分裂成个.

2.（24-25七年级上•上海•阶段检测）随着科技的进步，纳米技术的运用越来越广泛.=那么

In?=nm3.

题型速练►►►

凝01有理数幕的概念理解

【例1】（24-25六年级上•上海黄浦•期末）下列说法中，正确的是（）

A.一个数不是正数就是负数B.任何有理数都有倒数

C.任何有理数的平方都是正数D.正数的相反数一定小于它本身

【例2】（24-25六年级上•上海闵行•期中）下列说法中，正确的是（）

A.0既没有倒数，也没有相反数

B.能够写成分数2（〃、〃是整数，〃/0）的数叫作有理数

a

c.如果•个数的偶次暴是正数，那么这个数是负数

D.如果一个数的平方等于它本身，那么这个数是±1

常见错误/必记结论

-an表示几个Q相乘，不是Q与71相乘。

-底数为负数或分数时必须加括号。

-（-a）n与一。”的含义不同，注意区分。

【小试牛刀】

1.124-25六年级上•上海崇明・期末）若4个-;相乘，写成乘方的形式是_____,计算结果为

2.（24・25六年级上•上海宝山・期末）5个-，相乘用乘方的形式表示：_________.

6

题型02有理数乘方的运算

【例1】（24-25六年级上•上海•阶段检测）计算：.

【例2】（25-26六年级上•上海•期末）比较大小：（-0.2）2（）54

A常见错误/必记结论

-先定符号，再算绝对值，

-注意一52与（一5）2的区别：-52=-25,（-5）2=25。

-分数的乘方：分子分母分别乘方；小数的乘方注意小数点的位置。

【小试牛刀】

（

25-26六年级上•上海静安•期末）-'2的倒数是,

3）

题型。3:乘方运算的符号规律

【例1】（25-26六年级上•上海金山・期末）某数的倒数的相反数是2026,则这个数是（）

A.2026B.-2026C.——

20262026

【例2】（25-26六年级上•上海普陀•阶段检测）计算：（-3]=

A常见错误/必记结论

-口诀：“奇负偶正”.

-注意区分（㈤川和-an：前者看底数-a的符号，后者看an的相反数。

【小试牛刀】

1.125-26六年级上•上海闵行,阶段检测）在-0.3,--2；,0.15,0,（-1）4,-22，-（-2尸这七个数中，非

负数有（）

A.3个B.4个C.5个D.6个

2.（25-26七年级上•全国•单元复习）计算中常用到以下法则，负数的奇次塞是____，负数的偶次暴是______，

0的任何正整数次品都是.

题型。4:有理数乘方的逆运算

（111、

【例1】（24-25六年级上•上海•阶段检测）计算：24x-+；

1234J

1（257A

【例2】（25-26六年级上•上海黄浦・期末）计算：史-三-工+&xl.2.

oo12）

A常见错误/必记结论

-偶次哥的逆运算通常有两个解（一正一负），不要漏解！

-奇次基的逆运算有唯一解。

-当等号右边为0时，底数为0（唯一解）。

【小试牛刀】

1.（24-25六年级上•上海•阶段检测）规定⑷=（4-1"（4+1）,如果意_1=歹p上则〃=

2.（25-26六年级上•上海普陀・期末）计算：M+UlxlZO.

\Oo15）

题型05:乘方的应用

（23、5

【例1】（25-26六年级上.上海松江.期末）计算：---

【例2】（25-26六年级上•上海•阶段检测）=;

A常见错误/必记结论

-细胞分裂、折纸、栉面等问题，本质是2n的模型。

-关键是确定分裂/对折的次数。

-增长率为r,n年后为原来的（1+丁）八倍

-体积=棱长的立方，棱长扩大k倍，体积扩大k3倍。

【小试牛刀】

1.（25-26六年级上.上海奉贤.期中）计算：3尹国卜2,

2.（25-26六年级下•上海•期中）东汉名医张仲景的“苓桂术甘汤”药方中，茯苓12克，桂枝9克，白术9

克，炙甘草6克.王医生按这个药方配了一周的中药共重252克，其中共用到白术克.

4

3.（25-26六年级上•上海普陀•期末）计算：-9+1不=.

基础过关

1.（24-25六年级上•上海•阶段检测）下列算式中，正确的是)

A.-(-21=4B.-22=4C.(-2)2=-4D.(-2)3=-8

2.（25-26六年级上•上海普陀・期末）下列说法中，正确的是)

①0没有相反数②负数的奇数次方是负数

③正数的绝对值等于它本身④倒数等于它本身的数只有1

B.③④C.①④D.①②

3.（25-26六年级上•上海普陀•期末）下列说法中正确的是（)

A.。一定表示正数B.零是自然数

C.正数和负数互为相反数D.立方等于本身的数只有。和1

4.（24-25六年级上•上海•阶段检测）下列计算正确的是（）

A.2,=6B.32=6C.-42=-16D.(-1)2=-1

（25-26六年级上•上海普陀•阶段检测）乘法运算-!可以表示为（）

5.

。。。

1

A.--x5B.D.

5

6.（25-26六年级匕上海普陀•阶段检测）如果a是有理数,则下列各式的值一定不小于零的是（）

A.3aB.a2C.a+10000D.T4

7.（25-26六年级上•上海浦东新•阶段检测）在—（-52）、-（-5）2、+5|、-（一5）、（-5）\中，负数有（）

个

A.。个B.1个C.2个D.3个

8.125-26六年级上.上海青浦•期中）下列各组式子中，结果相等的是（）.

A.4?与2，B.（-3『与2'C.与（-ifD.（-0.01丫与-0.01

9.（25-26六年级上•上海•期中）下列说法正确的是（）

A.两个负数的和一定小于每一个加数；

B.若干个有理数相乘，当负乘数的个数为奇数时，积为负数；

C.如果两个数的商为正数，那么这两个数的和为正数；

D.任何有理数的平方都是正数.

10.（25-26六年级上•上海闵行•阶段检测）已知（x+2『与2及-3|互为相反数，则炉-"+），）2四的值为

11.（25-26六年级上•上海青浦•期中）计算：（-OS）：.

12.（24-25六年级上•上海嘉定・期末）一个正方体的棱长为则它体积是_m3.

13.（（24-25七年级上•上海奉贤•阶段检测）已知j=9,一〃?〃=一2，f-1=-,其中。、小、〃均为正整