2026年高考数学第一轮复习练：空间向量的概念与运算（附答案）

§7.6空间向量的概念与运算

(分值:80分)

I。知识过关

一、单项选择题(每小题5分，共20分)

1.在空间四边形A8C。中，E,尸分别为8C,C。的中点，则而T(而+元)等于()

A.-EFB.而C.FFD.-BD

2.(2024・嘉兴模拟)设x,)，£R,a=(l,1,1),〃=(1,ytz),c=Q,-4,2),且。_Lc,b//ct则|2o+例等于

()

A.2V2B.OC.3D.3V2

3.(2025・长春模拟)下列可使非零向量”，力，c构成空间的一个基底的条件是()

A.a,b,。两两垂直B.Z>=xc(AFR)

C.a=/nb+nc(m^〃£R)D.Q+》+C=0

4.已知平行六面体A8CQ-A山CO中，A4尸2,BD=3,砧•尻-福•证=4,则cos〈标，丽〉等于()

A.1B.--C.-D.--

3344

二、多项选择题(每小题6分，共12分)

5.下列命题正确的是()

A.平面a,〃的法向量分别为〃］二(0,1,3),〃2=(1，2,6),贝ija〃〃

B.直线/的方向向量为a=(l,-1,2),直线〃?的方向向量为方=(2,1,-3)，贝IJ/与〃?垂直

C.直线/的方向向量为a=(0,1,-1),平面a的法向量为〃=(1,-1,-1),则/〃a

D.平面a经过4(1,0,-1),8(0,I,0),C(-l,2,0)三点，向量〃二(1,。是平面a的一个法向量，则

〃+/=1

6.下列说法正确的是()

A.在空间直角坐标系。孙z中，点(3,-4,5)关于。ry平面对称的点为(3,-4,-5)

B.对空间任意一点。与不共线的A,B,C三点,^OP=xOA+)VB+zOC,其中x,y,z£R且x+y+z=1,则

P,A,B,C四点共面

C.已知a=(0,1,1),MO,0,-1),则Q在力上的投影向量为(0,0,-1)

D.向量p在基底(a,b,c｝下的坐标为(4,2,3),则向量p在基底仅+b,a-b,c)下的坐标为(3,1,3)

三、填空题(每小题5分，共1()分)

7.已知。=(L0,2),方二(3,-2,1),c=(-Lm,3),若｛。，b,c｝不能构成空间的一个基底，则实数

ni=.

8.(2024.佛山统考)已知棱长为1的正四面体A8CO,M为8c的中点，N为AO的中点，则

BNDM=.

四、解答题(共28分)

9.(13分)如图，四棱锥P-ABCO的底面为正方形，侧棱E4_L底而ABC。，JSPA=AD=2,E,F,”分别是

线段PA,PD,A8的中点.求证：

(1)PB〃平面EFH；(5分)

(2)PO_L平面4〃F.(8分)

10.(15分)如图所示，在三棱柱ABC-481G中，CA=CB=CCi,CA=a,CB=b,西=c,<a,b>=<«,c)

(b,c)=pN是A8的中点.

(1)用a,b,。表示向量硒；(5分)

(2)在线段G8上是否存在点M,使AM_LAiN?若存在，求出M的位置，若不存在，请说明理由.(10分)

能力拓展

每小题5分，共10分

11.（2024.河北省多校联考）1941年中国共产党在严重的困难面前，号召根据地军民，自力更生，艰苦奋斗,

尤其是通过开展大生产运动，最终走出了困境.如图就是当时缠线用的线拐子，在结构简图中线段与

CQ所在直线异面垂直，E,产分别为A8,C。的中点,KEFA.AI3,EF上CD,线拐子使用时将丝线从点A

出发，依次经过。，B,C又回到点A,这样一直循环,丝线缠好后从线拐了上脱下，称为“束丝”.图中

AB=EF=CD=3Ocm,则丝线缠一圈的长度为（）

A.90x^2cmB.90V3cm

C.60YZcmD.80V3cm

12.（2025・唐山模拟）如图，在长方体中，CCi=GDi=V3,GB尸1,点P为线段BC上一点,

则印.印的最大值为,

答案精析

I.C［在空间四边形ABC。中，E为BC的中点，则通+m=2荏，

所以不一"而+照)

=AF~AE=EF.］

2.D［由a±c=>ac=0=>.r—4+2=0=>x=2,由b//c=>-=^-=^=>y=—2,z=l.

2-42

所以|2a+b|=|2(l,1,1)+(1,-2,1)|=|(3,0,3)|=3或.］

3.A［由基底定义可知只有非零向量。，h，。不共面时才能构成空间中的一个基底.

对于A,因为非零向量a,ht。两两垂直，所以非零向量atb,c不共面，可构成空间的一个基底，故A

正确；

对于B,8二Q,则b,c共线，由向量特性可知空间中任意两个向量是共面的，所以a与方，c共面，故B

错误；

对于C,由共面向量定理可知非零向量。，力，c共面，故C错误；

对于D,a+b+c=O,即a=—b-c,故由共面向量定理可知非零向量a,5，c共面，故D错误.］

—、|••・・・・♦♦—・・'♦・♦•

4.B［因为+AA^-AB-iAB+AA^-AD

=而•而+初•而一而•同一丽•而=京•(而一而)•丽=4,

所以京•丽二一4,

8s〈京•前〉=患

-421

=——2X3=3—」1］

5.BD［对于A,向量川二(0,1,3)与〃2=(1,2,6)不共线，立面。与夕不平行，A错误；

对于B,由。=(1,-1,2),b=(2,1,,得4历=1乂2—1义1+2><(-3=0，/与〃?垂直，B正确；

对于C,«w=lX(-1)+(-1)X(-1)=0,aln,

则/ua或/〃a,C错误；

对于D,BA=(\,-1,-1),BC=(~\,1,0),

,曰(瓦5•n=l-u-t=0,

由〃=(1,u,f)是平面a的一个法向量，

{BC-n=-1+u=D,

解得“+/=1,D正确」

6.ABD[对于A,点(3,—4,5)关于。外平面对称的点应满足横、纵坐标不变，竖坐标变为相反数，即为

(3,—4,—5),故A正确；

对于B,因为x+y+z=l,贝ijz=\-x~y,所以前=入赦+),而+(1—1一)，)祝,即罚一配=工初一工况+.v词

-yOC,所以而=.莅?+)，而，所以P,A,8,C四点共面，故B正确；

对于C,由投影向量定义可得。在b上的投影向量为今/=46=—8=(0,0,1)，故C错误；

网”1

对于D,设向量p在基底｛a+b,a-b,c｝下的坐标为(x,y,z),

贝ijp=x(a+b)+y(a—b)+zc,

又向量p在基底(a,b,c｝下的坐标为(4,2,3),

则p=4a+2b+3c,

所以4a+2b+3c=x(a+b)+

y(a-b)+zc

=(x+y)a+(x-y)b+zc,

(x+y=4,卜=3,

所以卜_y=2,解得b=1,

(z=3,(z=3,

所以向量p在基底(a+b,a-b,c｝下的坐标为(3,1,3),故D正确.]

7.2

解析依题意a,b,c三个向量共面，

・•・存在唯一有序实数对a,〃),

使c=2a+〃力,

即(一1,〃?，3)

=2(1,0,2)+〃(3,-2,1),

A+3〃=-1,0=2,

-2fi=m,=><//=-1,

12,1+〃=3(zn=2.

解析由题意可知|瓦5|=|近|=|而|=1,

且前屁=前前=丽丽=1

因为M为8c的中点，可为AZ)的中点，

则丽=工瓦二而，DM=BM-BD

25+2

=^BC~~BD,

所以丽•两二

(源+L(那一丽)

=-BABC^--BDBC--BABD--BD2

4422

llixl-ixl-l=-i

=4x2+422222

9.证明(1)VE,”分别是线段PA,A8的中点，

：.PB//EH.

•・・尸8《平面EFH,

且E“u平面EFH,

，尸8〃平面EFH.

(2)建立如图所示的空间直角坐标系.

则40,0,0),

D(0,2,0),

P(0,0,2),

尸(0,1,I),

W(1,0,0).

方=(0,2,-2),AH=(1,0,0),AF=(0,1,1),

・,・丽丽=()乂0+2乂1+(—2)乂1=(),

PD-AH=0Xl+2X0+(—2)X0=0.

：.~PD±AF,~PD±AH,

：.PDLAF,PD1.AH.

*：AHC]AF=A,

且44,ARz平面

・・・PO_L平面

10.解⑴中二羽+丽=京+；荏=_西+/而_*)=_)+1b_c.

(2)假设存在点M,使4M_L4N,设的=2直瓦=跖(4£[0,II),

显然祠=福+砧+的

=c~a+/.b.

因为4MJ_A]N,

所以府•硒=(),

即(c—a+乃)•(一[a+-c)=0,

222

Pfi^k--2ca+2-c2b-c2+-a--ab+2ca--A2ab+-Xb-/.bc=0.

设。=C7?=CG=1,

又〈〃，》〉=〈a,c〉=y,〈〃，c〉=],

所以少a一天+/一C+„ZH■/#=0.

gplxIXIX(-1)-I24XI2-Q+1A)XIXIX(-1)+1M2=O,解得2=|,

所以当GM=|CE时,

AM_LAN.

II.C[依题意成，前