2026学年中考数学一轮复习：无理数 分层训练（含答案解析）

无理数——初中数学中考一轮分层训练（含答案解析）

一、基础题

1.如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案.现有六种正方形纸片，面

积分别是3,4,5,6,8,10,选取其中三块（不可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三

角形是面积最小的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（)

B.3,5,8C.4,6.10D.6,8,10

2.若代数式kT在实数范围内有意义,则x的取值范围是（)

A.x<lB.x<lC.x>lD.x>l

3.下列各数中，介于6和7之间的数是（)

A.V28B.同C.V58D.V39

4.比较下列各组数的大小，正确的是（)

A.V24>5B.V9<2C.V^6>-2D.西+1＞竽

5.9的平方根是±3,用下列式子表示正确的是)

A.±V9=3B.V9=±3C.±V9=±3D.炳=3

6.下列二次根式中,与鱼是同类二次根式的是（)

A.—\/8B.^6C.V12D.

7.V=64

8.若再在实数范围内有意义，则X的取值范围是

计算：（）0

9.x/48-V6xV2+|V3-2|+-1.

4_]

10.计算：(1一鱼)+I-V3|-2cos30°4-(1)

11.(1)计算：(-2025)°-|1-V2|+2cos45°；

（2）在解分式方程导=1一2时，小亮的解法如下:

X—53-X

第一步：方程两边都乘％-3,得1一%=-2-2.

第二步：解这个方程，得％=5.

第三步：经检验，％=5为原方程的解.

①在上述解方程过程中，从第步开始错误；

②错误的原因是____________________.

二、能力题

12.如图，用9个直角三角形纸片拼成一个类似海螺的图形，其中每一个直角三角形都有一条直角边

长为1.记这个图形的周长（实线部分）为八则下列整数与I最接近的是（）

A.14B.13D.II

13.将图I中的长方形分成B,C两部分，恰与正方形A拼接成如图2的大正方形.正方形A的面

积为4.拼接后的大正方形的面积是5,图1中原长方形的周长为（)

B

图1图2

A.4V5B.4C.V5+2D.8

14.若方程x?+4x+a=0无实根，化简J16-8a+水等于（）

A.4-aB.a-4C.-(a+4)D.无法确定

15.疡较有意义的X取值范围是（）

A.f一L

BR-------2101

cf-L

D-~~0

16.估计1+遍的值在（）

A.1和2之间B.2和3之间C.3和4之间D.4和5之间

17.如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（）

-10

A.—B.—\foC.v^3D.>/6

18.若a,b为两个连续的正整数，且V1T<从则a+b等于()

A.6B.7C.8D.9

19.下列运算结果正确的是()

A.V34-V2=V5B.—V2)2=1C.3>/3—V3=2D.V3xV2=V6

20.16的平方根是,算术平方根是.

21.已知遮的整数部分是小小数部分是4则百b+Qb=.

22.实数a,b在数轴上的位置如图所示，化简J(a+1)2—J(b_1)2=.

1■I__________I_________I.I—

-1a0h1

23.计算：

(1)|1-V3|+(-1)20244-712-V27

⑵775x区--近

NOVO

24.若一个正数a的两个平方根分别是3b-5和-2b+2.

(1)求a和b的值；

(2)求Q+3b的平方根.

三、拓展题

25.若实数匕的立方根为2,且实数a,匕，c满足Va-15+b+(a-c+2)2=8.

(1)求2a—3b+c的值；

(2)若a,b,c是△48C的三边，试判断三角形的形状，并说明理由.

26.小明在解决问题：已知la二宗后，求2a2—8a+1的值.

他是这样分析与解的：…舟=R+,祗8广2一4

a-2=—\/3,(a-2)2=3,a2-4a+4=3

Aa2-4a=-1,/.2a2-8a4-1=2(a2-4a)+1=2x(-1)+1=-1.

请你根据小明的分析过程，解决如下问题：

,11

sn-----------'7^75-------------

(2)化简：■内+息质+…+

(3)若2=V贬)］，请按照小明的方法求出4a2-8a+1的值.

27.喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于二个正整数，若具中任意两个数乘积的算术

平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根%最大的

整数称为“最大算术平方根”，例：I,4,9这三个数，VT3T4=2,V1V9=3,V4V9=6,其结果

分别为2,3,6,都是整数，所以1,4,9三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2,最大

算术平方根是6.

(1)请证明2,8,18这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根；

(2)已知4,m25三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的5倍,求a的

值.

28.阅读材料，解答问题：

材料：•.•〃＜近＜8，即：2＜夕＜3，.•.近的整数部分为2,小数部分为4一2.

问题：已知5a+2的立方根是3,力+2的算术平方根是2,c是的整数部分.

(1)的小数部分为.

(2)求2a+b-c的平方根.

答案解析部分

1.【答案】B

【解析】【解答】解：A、选择面积为3,4,5卡片，

，对应正方形的边长为6,75=2,岳,

•••（何2+22,（佝2,

，不能构成直角三角形，A选项不符合题意；

B、选择面积为3,5,8卡片，

・•・对应正方形的边长分别为V5,西,%=2企，

;I⑹2+（伺2=（㈣2,

・♦・围成直角三角形的面积为野多=孚；

C、选择面积为4,6,10卡片，

・•・对应正方形的边长分别为V5=2,瓜国,

・・・22+（佝2=（碘2,

・•・能构成直角三角形，

・•・围成的面积为空=后；

D、选择面积为6,8,10卡片，

・•・对应正方形的边长分别为帼2鱼,

•・,（佝2+（2可工（炳2,

・♦•不能构成直角三角形，D选项不符合题意；

,.亨〈瓜

・•・要使所围成的三角形是面积最小的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是3,5,8,

故选：B.

【分析】根据勾股定理逆定理，结合正方形性质逐项进行判断即可求出答案.

2.【答案】D

【解析】【解答】由题意得，x-l>0,解得X*.

故答案为：D.

【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可.

3.【答案】B

【解析】【解答】解：A、•・•侬<侬<回，

A5<V28<6»故A不符合题意；

B、VV36<V43<V49,

A6<V43<7,故B符合题意；

C.VV49<V58<V64,

A7<V58<8»故C不符合题意；

DsVV27<V39<V64»

A3<V39<4,故D不符合题意；

故答案为：B.

【分析】先估算出每个选项的无理数在哪两个整数之间，然后根据估算的范围得到答案.

4.【答案】C

【解析】【解答】解：A中，•・•旧〈侬，.•.旧V5,故错误；

B中，•.•岭,我，.♦.眄>2,故错误；

C中，•/V^6>7^8,AV=6>-2,故正确；

D中，...iv卓，，通+1<挛，故错误；

故答案为：C.

【分析】A、根据算术平方根的定义，把5化成后的形式，由旧〈任，即可得出后V5,故A

错误；

B、根据立方根的定义，把2化成弼的形式，由眄〉泥，即可得出婀>2,故B错误；

C、根据立方根的定义，把-2化成口的形式，由•口,即可得出g>-2,故C正确；

D、由1<4，根据不等式的性质，在不等式的两边同时加上遮，不等号的方向不变，得出通+1<

竽，故D错误.

逐项进行判断，得出正确的结论，即可求解.

5.【答案】C

【解析】【解答】解：±炳=±3.

故答案为：C.

【分析】根据平方根的定义进行解答.

6.【答案】A

【解析】【解答】解：A、-V8=-2V2,与企是同类二次根式，故A符合题意；

R、历与女不是同类二次根式，故B不符合题意；

C、V12=2V3,与鱼不是同类二次根式，故C不符合题意；

D、一炳二一3,与鱼不是同类二次根式，故D不符合题意；

故答案为：A.

【分析】先将各二次根式化成最简二次根式后，然后根据同类二次根式的定义：被开方数相同的最

简二次根式叫做同类二次根式，逐项进行判断即可.

7.【答案】一4

【解析】【解答】解：lP64=-4,

故答案为：一4.

【分析】根据立方根的定义即可求解。

8.【答案】x>一1且xH2

【解析】【解答】解：•・•舞在实数范围内有意义,

2-x

.[%+1>0

•T2-XH0'

解得：%之一1且义工2.

故答案为：¥？一1且义工2.

【分析】利用二次根式和分式有意义的条件列出不等式组再求出x的取值范围即可.

9.【答案】解：原式=4百一2百+2-8+1

=V3+3

【解析】【分析】先计算二次根式的乘法运算，化简二次根式，绝对值，零次暴，再计算即可.

10.【答案】解：原式=1+V3-2X孚+4

=5

【解析】【分析】原式第一项利用零指数寻法则计算，第二项利用绝对值的代数意义化简，第三项利

用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用负整数指数事法则计算即可得到结果.

11.【答案】(1)(-2025)°-|1-V2|+2cos45°

=1-(a-1)+2乂2

=1-V24-1+V2

=2：

（2）①一；②方程右边的—2这一项漏乘了％—3

【解析】（2）观察可知，上述解方程过程中，从第一步开始错误，错误原因是方程右边的-2这一项

漏乘了％—3.

故答案为：一；方程右边的一2这一项漏乘了X—3.

【分析】（1）先计算特殊角三角函数值和零指数累，再去绝对值后计算加减法即可得到答案；

（2）观察解题过程可知，第一步在去分母时，方程右边的-2这一项漏乘了％-3,据此可得答案.

12.【答案】B

【解析】【解答】解：每一个直角三角形都有一条直角边长为1,如图所示，

・•・左起第一个直角三角形的斜边长为五47=近，

第二个直角三角形的斜边长为卜+两=旧，

第三个直角三角形的斜边长为\产+（g）2=6=2,

第四个直角三角形的斜边长为斤”=舟

…1

・•・第九个直角三角形的斜边长为同，

，这个图形的周长（实线部分）为！=1x10+VTU=10+国，

V9<10<10.89,3.32=10.89,

，用丽，即3<仙<3.3,

A13<10+V10<13.3,

・•・!最接近的是13,

故答案为：B.

【分析】根据勾股定理算出前几个直角三角形斜边得长得出规律第n个直角三角形的斜边长为

诉了1,据此得到第九个直角三角形的斜边长aU,进而得到该图形周长/=10+同，根据无理数

的估算求出VIU的范围，进而根据不等式性质求出VTU+10的范围，即可判断得出答案.

13.【答案】A

【解析】【解答】解：设C的长为x,宽为y,则B的长为x+y,宽为y,

•・・A的面积为4,

.*.x=2»

•••拼接后的大正方形的面积是5,

/•r4-y=y/S,

•e•y—\/S—2，

・••图1中原长方形的长为：x+x+y=2x+y=4+而一2=2+遍，宽为弱一2,

・••图1中原长方形的周长为2x（2+遥+逐一2）=4追，

故选：A.

【分析】本题考查列代数式，以及算术平方根的运算，设C的长为x,宽为y,得到B的长为“+

y,宽为y,根据小正方形面积和大正方形面积利用算术平方根，找到x,y之间的关系式，求得x

和y的值，结合周长公式，列出算式，即可得到答案.

14.【答案】B

【解析】【解答】解：♦・•方程x2+4x+a=0无实根，

AA=42-4a<0,

Aa>4,

J16-8a+J（4一炉=|4-a|,

Va>4,

/.|4-a|=a-4,

故答案为：B.

【分析】根据一元二次方程无实根的条件可得△<（）,据此列不等式求出a的范围，然后根据二次根

式的性质“必=⑷”进行化简即可.

15.【答案】D

【解析】【解答】据题意得：x+2>0,

解得%>-2.

故答案为：D.

【分析】根据二次根式中的被开方数必须是非负数，可得x+2NO,据此求出工的取值范围，进而可

确定数轴的画法.

16.【答案】C

【解析】【解答】解：V3

A3<1+\/6<4

故答案为：C

【分析】估算通的范围，结合不等式的性质即可求出答案.

17.【答案】B

【解析】【解答】解：A、因为1<3<4,所以1<乃<2,则一2<-6<一1，不符合数轴上于掌

遮挡点的位置.

B、因为4<6<9,所以2<述<3，则一3<-75<-2,符合数轴上手掌遮挡点的位置.

C、因为IV3<4,所以1<遮<2,g是正数，不符合数轴上手掌遮挡点的位置.

D、因为4V6V9,所以2V乃V3,乃是正数，不符合数轴上手掌遮挡点的位置.

故选：B.

【分析】根据数轴上点的位置关系即可求出答案.

18.【答案】B

【解析】【解答】解：・・・aVVTT<b,且a,b为两个连续的正整数，

/.a=3,b=4,

/.a+b=7.

故答案为：B.

【分析】直接利用<11的近似值得出a,b的值，进而得出答案

19.【答案】D

【解析】【解答】解：A.VX近不是同类二次根式，不能合并，原计算错误；

B.—加■)=3-2^6+2=5—2A/6H1»原计算错误；

C.3\/3—V3=2\/3»原计算错误；

D.>/3xV2=V6»原计算正确；

故答案为：D.

【分析】利用二次根式的加法、二次根式的减法、二次根式的乘法和完全平方公式的计算方法逐项

分析判断即可.

20.【答案】±4；4

【解析】【解答】・・•42=16,(-4)-16,

A16的平方根为±4；

算术平方根为4.

故答案为±4,4.

【分析】一个非负数的平方根有两个，它们互为相反数，一个数的立方根只有一个，正数的立方根

为正，负数的立方根为负，。的立方根为0,根据平方根和立方根的意义可求解。

21.【答案】2

【解析】【解答】解：,门v百(2,

•'•a=1,b=\/3—1»

:・gb+ab=V3(V3-1)+V3-1=2.

故答案为：2.

【分析】根据估算无理数大小的方法可得l<V5v2,从而求出其整数部分a,小数部分是b,然后

代入百b+ab,计算求解即可.

22.【答案】b+a

【解•析】【解答】解：由题可得，一1<Q<0,0<b<1,

*,*124-1>0,/?—1<0»

・,・依+1)2-依-1)2

=Q+1+(b-1)

=Q+l+b-1

=a+h.

故答案为:a+b.

【分析】依据数轴即可得到Q+l>0,b—lVO,再根据二次根式的性质斯=|a|=tT(j[<，

即可化简.

23.【答案】(1)解：|1一百|+(—1)2024+0泛一商

=75-1+1+275-3

=73+273-1+1-3

=373-3:

(2)解:V75X卜适普一播

7365/2-4

=5百x-V2

于FT

=5-3+企一企

=2.

【辞析】【分析】

(1)先化简绝对值|1一=6一1,计算乘方(~\)2024=1，开方运算m=26，V27=3,

再计算二次根数的加减法，解答即可.

(2)先化简：属=5技A=孥配严=峥U再运算乘除，最后运算加减法，解答即可.

NoJV82V2

(1)解：|1一门|+(—1)2024+/^一啰

=V3-l+l+2V3-3

=73+273-1+1-3

=3V5—3;

(2)解:V75xJ一运萨一四

会与逗

325v/2

=5-3+V2-V2

=2.

24.【答案】(1)解：・・•一个正数a的两个平方根分别是3b-5和-2b+2,

-5+(-28+2)=0,

：,b=3,

Aa=(3b-5)2=42=16；

(2)解：Va=16,b=3,

Aa+3b=16+3x3=16+9=25,

又25的平方根是±5,

••・a+3b的平方根为±5.

【解析】【分析】

(1)根据一-个正数的两个平方根互为相反数，列式先求出b的值，再根据平方根的意义求出a的值

即可解答；

(2)先求出a+3匕的值，再求出其平方根即可解答.

(I)解：・・•一个正数a的两个平方根分别是3b-5和-2b+2,

，3b-5+(-2b+2)=0,

Ab=3,

Aa=(3b-5)2=42=16；

(2)解：Va=16,b=3,

/.a+3b=16+3x3=16+9=25,

又25的平方根是±5,

・・・a+3b的平方根为±5.

25.【答案】(1)2实数b的立方根为2,

b=23=8

b=8代入—15+b+(Q—c+2)2=8得

J"15+(a-c+2/=0

，a—15=0,a-c4-2=0

Aa=15>c=17

・•・2a-3b+c=2x15-3x8+17=23

(2)Va=15*b=8,c=17

.2+M=152+82=172=c2

根据勾股定理逆定理，

・•・AABC是直角三角形

【解析】【分析】3)本题考察立方根的定义、算术平方根和平方的非负性应用，立方根的定义为若

x3=b,则x是b的立方根；算术平方根和平方数均具有非负性，即结果大于等于0。解题时先由立方

根定义得b=8,代入等式得折!E+(a-c+2)z=0,根据非负性性质列出方程组求出a=15、

c=17,再代入代数式计算即可；

(2)本题考察勾股定理的逆定理应用，若三角形两边的平方和等于第三边的平方，则该三角形为直

角三角形。解题时计算a、b、c的平方，152+82=289=172,满足逆定理条件，因此△ABC是直角三

角形。

(1)•・•实数b的立方根为2,

：.b=23=8

b=8代入迎-15+b+(Q-c+2尸=8得

yja-15+(a-c+2产=0

.,.a-15=0,a—c+2=0

Aa=15,c=17

,\2a-3b+c=2x15—3x8+17=23

(2)Va=15,b=8,c=17

a2+Z)2=152+82=172=c2

根据勾股定理逆定理，

・•・AABC是直角三角形

26.【答案】(1)V3—V2:(V5—V3)

(2)原式：~(V11—V9十V13—V1