2025-2026学年广东省深圳市某中学等高三（上）期中数学试卷（含答案）

2025・2026学年广东省深圳市红山中学等高三（上）期中数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.（5分）已知集合力={x|x是不大于10的整数},B={X\X2=X},则/D8为（）

A.{（）,1,2}B.{I,2}C.{0,1}D.{1}

2.（5分）更数一^—的共扰狂数是（）

l+2i

A.I-2iB.1+2-C.-1+2ZD.-1-2/

3.（5分）已知向量』=（3,3）,b=（2,0）,则5在之上的投影向量为（）

A.（2,2）B.（1,1）C.（3,0）D.（V2，近）

4.（5分）若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（）

A.^3-B.1C.-1-D.

2232

5.（5分）已知函数/（x）=小口3,满足了（1・。）4/（〃2-3）<0,则实数a的取值范围为（）

A.（-2,+8）B.（0,+8）C.（-1,2）D.（2,+~）

6.（5分）己知函数f（x）=cos（3x+Q）（3EN*,0<。<卡"），f（0）=~~»且/（X）在（0，

7T）上有且只有一个零点，则f（工）=（）

A.0B.1C.D.

222

7.（5分）已知曲线在点（1,1）处的切线与曲线丫=包巫«>0）只有一个公共点，则。=（）

x

A.e2B.2eC.VeD.1

8.（5分）如图，正四面体容器力8C。的容积为匕里面装了体积为狭丫的水，固定容器底面一边。将容

器倾斜，当水面所在平面恰好过点B且与棱AC,AD分别交F点M,N,则平面与平面BCD的夹

角的余弦值为（）

第1页（共22页）

A.B.sC.D.

343333

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

（多选）9.（6分）某人收集了某城市居民年收入（即所有居民在一年内收入的总和）与力商品销售额的

B./商品销售额的平均数是40.1万元

C.居民年收入介于35到40亿元占比40%

D.4商品销售额与居民年收入成正线性相关

（多选）10.（6分）如图，直二面角4-/中，OECD,动平面MNO分别交平面48C。和平面尸

于直线OM、直线ON,NNOM=2L，则下列命题正确的是<）

2

A.平面C。石厂内不存在与平面A/NO平行的直线

B.平面ABCD内存在无数条直线与平面MNO垂直

C.当平面MNO、平面力88、平面CDE/两两垂直时，它们的交线也两两垂直

D.直线OM、直线ON中至少有一条与直线垂直

（多选）11.（6分）已知函数/（x）=alnx-hx（Z>>0）有大于0的极值，e为自然对数的底，则下列说

法正确的是（）

A.a<0

B.a-be>0

C./(I)</(e)

第2页（共22页）

D./（x）有两个零点且其乘积大于e

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.（5分）已知正项等比数列｛小｝中，m=1,53=7,则的=.

13.（5分）计算si/lX+cos248°+sinl8°cos48°的值为.

14.（5分）一个箱子中有大小质地完全相同的小球共5个，其中红球2个，蓝球3个.现依次不放回地从

箱子中取球，直到取完所有红球为止.设取球次数为X,则X的数学期望E（X）=.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.（13分）在△/BC中，ftA«>£sinA+V3cosA=V3.

（1）求力：

（2）若的角平分线交线段8c于点。，AD=2,求△45C的面积.

4

16.（15分）已知等差数列｛%｝的公差夕>0,前〃项和为S〃,若田的=410,。1«4=。13・

（1）求数列｛斯｝的通项公式；

（2）若数列｛6〃｝满足log2%="an（wGN*）,求数列的前n项和Tn.

17.（15分）如图，在四棱锥中，AD//BC,4B=BC=CD=LD=2,PA=PB=PC=PD=

2

V5.

（1）求证：平面"O_L平面48CQ；

（2）在线段尸力上是否存在一点M,使得平面与平面48CO的夹角的正切值为返？若存在，试

9

确定点”的位置；若不存在，请说明理由.

18.（17分）己知抛物线C：/=2px（〃>0）上•点M与焦点的距离为4,点A/到x轴的距离为JSp.

（1）求C的方程；

（2）点产为。的准线上一动点，直线尸。（O为坐标原点）与C交于另一点力，过点P作y轴的垂线

与C交于点从

①求证：直线48过定点；

②若NAOB=22L，求△力。B的面积•

3

第3页（共22页）

2

19.⑴分)已知函数f(x)=/-ex+alnx+b(a,b€R)-

(1)X二夜是否可以为/(》)的极值点？请说明理由；

(2)证明：若/(x)在(0,2]上单调，则/(x)在(0,+8)上单调:

(3)若/'(X)有三个零点X],X2，X3，证明：％1+》2+'3>4.

第4页(共22页)

2025・2026学年广东省深圳市红山中学等高三（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一.选择题（共8小题）

二.多选题（共3小题）

题号91011

答案ACDCDBCD

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

I.【答案】C

【解答】解：集合/={xk是不大于10的整数},

8={巾2=x}={0，1}，

则/GB={0,1}.

故选：C.

2.【答案】B

【解答】解：因为」一二1一2「

l+2i

所以其共恢复数为1+2/.

故选：B.

3.【答案】B

【解答】解：由之=（3,3）,b=（2,0）,

可得@・1）=3><2+3乂0=。|；|2=；•彳=32+32=18,

—r

所以6在残上的投影向量为乌工7・Z=f-X（3,3）=（1，1）.

|；|218

故选：B.

4.【答案】B

第5页（共22页）

【解答】解：由题意，椭圆的两个焦点与短轴的•个端点构成一个正三角形，

・〃一c—1

a2

故选：B.

5.【答案】C

【解答】解：因为/G）=.巾|十一，<WR,

所以/（-X）=-x\x\-x3=-f（x）,

所以y=/（x）是R上的奇函数，

当工20时，/（.r）=x2+P,

因为与在［0,+oo）上均为单调递增函数，

所以y=/（x）在［（）,+8）上为单调递增函数，

所以），=/（%）在K上单调递增，

所以/（I・。）4/（射・3）<0,

即为/（〃2・3）V-f（A・a）=/（〃-1）,

所以〃2-3Va-1»

即/-。-2=（a-2）（a+1）<0,

解得-

即实数。的取值范围为（-1,2）.

故选：C.

6.【答案】A

【解答】解：由题意得/（o）=cos（p=—»结合中€（（）,2L）,可得（p=2L,

223

f（x）=COS（3X+2L）在（0.+8）上的第一个零点满足3X+2I_=2I_,即x=何W（0,TT）,

33263

结合/（X）在（0,n）上有且只有一个零点，

可知/'（x）在（0,n）上的第二个零点工工2m结合u）WN«,可得解得3=1,

63

所以=cos（x+£-）,可得/（£"）=COS-2-=0.

362

故选：A.

7.【答案】B

【解答】解：因为的导数为艮="7，

第6页（共22页）

所以当X=1时，/=1,

所以在点（1,1）处的切线方程为y-l=x-1,即为y=x,

所以y=x与曲线丫=也区（a>0）只有一个公共点，

x

所以乂=理丝仅有一根，

X

所以1=里仅有一根，

ax2

所以尸也尸里■仅有一公共点，

ax

设/（X）=笔，x>o,则/（x）=l-2?x,令，（幻=o,可得*=丘,

所以/（X）的符号为:

所以/（X）在（（），Ve）上单调递增，在（H，+8）上单调递减,

且/（I）=0,/（x）的极大值为/（五）=[-,

所以作出/（x）的图象如下:

a

则工二」-,所以。=2e.

a2e

故选：B.

8.【答案】D

【解答】解：依题意，CO〃平面而平面BMNn平面4C£>=MMCOu平面4CQ,

则MN//CD,

kDNM亭，得4al十，

因此SAAMN.SACD'

第7页（共22页）

则MN=LCD，

2

取8C中点£连接4EG"N=。，连接80,BE,则。为4E中点,

令正四面体ABCD的棱长为4.

则花_LCQ,BE工CD,AE=BE=2^，

而4ECBE=E,AE,平面力8七,

则COJL平面465,

过点8作直线/〃。，则/〃MM

即平面8MNA平面BCD=l,

/_L平面48E,又BE,8Ou平面

于是4£_L/,BOLLNE8O是平面8MN与平面8CQ的夹角,

2^73

在等腰△力朦中.cosNABE=

BE3

—1----|B0|=y7M2+BE2+2BA-BE=

由B0若(BA+BE)，得

乙

+2X4X2近xgwTl'

o

BE2+B02-0E2(2V5)2+(VT1)2(F)2_5

在△£40中，cosZEBO=每

2BE-B02•乐・后33

所以平面8A/N与平面BCD的夹角的余弦值为皿鼠.

33

A

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分。

9.【答案】ACD

【解答】解：因为10X0.75=7.5,所以居民年收入的第75百分位数是第8个数据，即为43亿元，所

第8页（共22页）

以力选项正确：

因为4商品销售额的平均数是需X(25+30+34+37+39+41+42+44+48+51)=39.1万元，所以8选

项错误；

因为居民年收入介于35到40亿元占比为工-=40%,所以C选项正确；

10

由表可知，月商品销售额随着居民年收入增加而增加，所以成正线性相关，所以。选项正确.

故选：ACD.

10.【答案】CD

【解答】解:对力选项，当平面COE户内平行于OM且在平面MNO外的直线都平行平面所以

A选项错误；

对8选项，当OM_LOO时，在直二面角力-CQ-尸中，可得。必,面。。所,

此时若ON与CQ不垂直时，平面OMN与平面48CO不垂直，

此时平面ABCD内是不存在直线与平面MNO垂直，

否则由面面垂直的判定定理可得平面"OVJ_平面ABCD,这与平面OWN与平面ABCD不垂直相矛盾,

所以8选项错误；

对C,。选项，因为直二面角力-CO-/中，0M在平面COEF内的射影为C。或。；ON在平面44co

内的射影为CO或O，

又NN0M=W-，所以根据三垂线定理可知直线。M、直线ON中至少有一条与直线C。垂直，所以。选

2

项正确；

当平面MN。、平面/8CZ)、平面CQfT7两两垂直时，

可得。W_LCQ,ONLCD,二面角4・CO■尸的平面角为NMON=90°,三平面的交线也两两垂直，

所以。选项正确.

故选：CD.

11.【答案】BCD

【解答】解：因为f，(x)=^-b，

X

所以当时，/(x)V0没有极值，所以。>(),选项4错误;

当。>0时，令f(x)=包玲=0，得乂=包，

xb

所以f管)=aln《-a>0，所以(〉e，所以4-be>0,选项8正确;

第9页(共22页)

由于f(j)〉0,/(I)=-b<0,又/(e)=a-bc>0,所以/(I)</(e),选项C正确；

当X-*0时，f(x)f・8：当Xf+8时，/(X)f・8,

所以/(x)有两个零点，设为Xi，42且K|V》2，

所以l〈jqVe<X2，所以6〈七》2，选项。正确.

故选：BCD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.【答案】16.

【解答】解：正项等比数列｛%｝中,e，S3=7,

设公比为夕,则夕>0,

可得：l+q+q2=7,解得q=2,

故。5=田・/=16.

故答案为：16.

13.【答案】3.

4

【解答】解：cos48°=cos(30°+18°)=cos30°cos18°-sin300sinl80=2^osl8°-工inl80,

22

所以sir?18°+COS248°+sinl80cos48°

=sin218<>+(2J^1COS180-lsinl80)2+sinl80(2^osl80-工inl80)

2222

=si「18°+^COS2180・2^inl80cosl80+lsin2180+：/lsinl8°cosl80-iin2180

42422

=g(sin2180+COS218°)=3.

44

故答案为：1.

4

14.【答案】4.

【解答】解：已知个箱子中有大小质地完全相同的小球共5个，其中红球2个，蓝球3个，

设取球次数为X,则X的可能取值为2,3,4,5,

则尸(X=2)=^-X—=—

5410

P(X=3)=2X—x|—

545435

P(X=4)=2x3x2x-^--X2x—x—+—x—x—x—=—»

54325432543210

P(X=5)=2x3x2x-^--X2x—xL3x—x—xx—x—=^

5432543254325435

第10页(共22页)

则X的数学期望E(X)=2X」-+3XL+4X§+5X2=4.

105105

故答案为：4.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.【答案】(1)A=—.

3

(2)34^.

2

【解答】解：(1)因为sinA+V§cosA:对，可得sin(J+—)=亚_,

32

在△48C中，可得力6(0,n),可得力+工=空_,

33

可得力=---；

3

(2)因为。=工，可得8=n・4・。=旺，又因为4。为/。8的角平分线，AD=2,

412

可得/4力。=sin5冗=sin(-2L.+21-)=sin2L<os-^--i-cos-2-6in-^-=-X^2_4-^2_X

612646464222

亚_V2W6

24'

可得N4DB=R-B-ZBAD=TX--2L=i2L,KPAD=AB=2,

12612

在△4CO中，可得sinNOC=sinN/IZ)8=y逆，,

4

由正弦定理可得——第----=普—即4c=sinNADC・4D=--------2=1+V3»

sinNADCsinCsinC、2

16.【答案】⑴斯=2〃+l；

(2)〃=乱一虹I】..

1818X4n

【解答】解：(1)因为等差数列｛斯｝的公差d>0,若。］。3=的0,4|〃4=。3,

第11页(共22页)

adaiqai+3da1+12d

所以—1=」！，即」——=」-----

a3aioai+2da।+9d

整理得，d=2ay

31

由。1。3=。10可得(〃[+2d)=«]+9</»

故a\(a)=。]+6。1

解得。1=3,d=2,

故。〃=3+2(〃-1)=2〃+1；

⑵若log2%=-an=-2w-1,则b„=J,

22n*

故她尸热

则丁产斗誓…

2s23

XT4•…+2--1+2n+l,

4口25272^^+1Q2H+3

两式相减可得，3T〃=3+2(士-2nH

48252冬+126+3

■id)

32产/

=3+2X2n+l

82m+3

4

116n+ll

243x22n收

所以rz=ll__6n±lL.

1818X4n

17.【答案】（1）证明：取力。的中点。，连接R9,BO,可得PO人力D,

因为力O〃8C,AB=BC=CD=^-AD=2,可得力O=OO=8C=2,

2

可得四边形OBCD为平行四边形，可得。3=。。=2,

「。=加卜2一卜02=^5-4=1，

又因为P8=V^=JOB2+PC)2,所以尸O_LO8,

OBCAD=O,OB,OQu平面WO,

所以尸O_L平面/18CZ）,

而尸Ou平面PAD,

所以平面尸/OJL平面ABCDx

第12页（共22页）

(2)存在，证明如下：

取4。的中点£,连接0E,可得。

易O为坐标原点，以OE,OD,OQ所在的直线分别为x,yz轴建立空间宜角坐标系

易得所以。(0,0,()),A(0,-2,0),B(，/§,-1,0),P(0,0,1),D(0,2,

0),

设PM=〃？PD，(0,1),可得A/(0,2tn,-w+1),

AB=(V§，1，0),AM=(0,2m+2,-w+1),

设平面48M的法向量为n=(x,y,z),

可得即(.+2)y+(-m+l)z=0,令尸3

,n*AB=0lV3x+y=0

可得:=(-3,61m+lZ),

m-1

易得平面48CO的法向量1=(0,0,1),

可得〉短守‘面正"沪”1;=11

因为平面MAB与平面ABCD的夹角的正切值为退■，可得|cosv1,

^>i=9_=9

9'一而

6(m+1)

所以|cosv],?>|=|?=|~j=城>有尸-^，

Ini-Isl12+36(m^l)2、回

V(m-1)2

整理可得2〃?2-5〃?+2=0,解得m=工或加=2(舍),

2

即点“(0,1,X).即M为PO的中点.

2

【解答】(1)证明：取力。的中点。，连接尸O,BO,可得PO_L/。,

因为力。〃8。，AB=BC=CD=^AD=2,可得彳0=0。=8c=2,

2

可得四边形08co为平行四边形，可得O8=CQ=2,

PO=^p卜2―7={5-4=h

又因为/8=函=JOB2+P02,所以尸O_LO8,

OBC\AD=O,OB,OZ)u平面力SCO,

第13页(共22页)

所以PO_L平面48CQ,

而POu平面PAD,

所以平面平面ABCDx

(2)解：存在，证明如下：

取8C的中点区连接OE,可得

易。为坐标原点，以OE,OD,OP所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系

易得。£=V§,所以。(0,0,0),A(0,-2,0),B(，/§,-1,0),P(0,0,I),D(0,2,

0),

设PM=〃?PD，"作(0，1)，可得M(0,2〃z,-w+1)>

AB=(V§，1，0),赢=(0,2加+2,-w+1),

设平面力AZ的法向量为n=(X,y,z),

可得付厘=0,即((二m+2"-m+l)z=0,令尸3,

,n*AB=0lV3x+y=0

可得】=(-«，3,6(m+l)),

易得平面48c。的法向量?=(0,0,1),

可得而=/十9十泡(肘及理(毗1二|；|=1,

m-1\(m-1)2V(m-1)2

因为平面M48与平面力BCO的夹角的正切值为返•，可得cos<],S>|=-T-^

所以|cos〈n，s>|=|^^

整理可得2m2-5/n+2=0»解得m

即点M(0,1,X).即M为夕。的中点.

2

第14页(共22页)

z

B

18.【答案】（1）产=4x；

（2）①证明：显然直线力8的斜率不为0,设直线的方程为工=加尸7,，>0,设力（勺，为），B

6,及），

由题意可得Q（-1,J2），

2_A

联立丫_&X,整理可得）2-4my-4t=0,

x=my+t

可得），巾2=4〃?，y\yi=~4f,X|X2=

y9yi

月不以即=,RTWX\y2=~y\»

-1X1

即（my\+。歹2=-y1，可得1力+夕2^1=0,

即-4〃〃+伊2+4"，一»2=0，整理可得（4〃？-j，2）（1-/）=0,

由44在抛物线上，可得f=l时，方程恒成立，

即直线彳〃的方程为工=%汁1,即不论小为何值，直线恒过定点（I,（））;

②晅.

2

【解答】解：（1）由题意可得抛物线的准线方程为x=・E,

2

o

3p4=2px

设点"（x,由抛物线的性质可得，q,熊得〃=2,

g=4

所以抛物线的方程为y=4x；

（2）①证明：显然直线48的斜率不为0,设直线48的方程为x=/〃//>0,设力（xpj|）,B

（X2,丁2），

由题意可得尸（-1,以），

第15页（共22页）

2_A

联立y-4x，整理可得炉-4冲-4f=0,

x=my+t

可得yi+72=4〃?，y\yz=-46

y9y

Wf以kop=k（）A，即~~~=一可得X|j，2=~y\>

即（my।+/）N2=-y1，可得njy1乃+少2471=（），

即-4〃〃+少2+4〃7-力=（），整理可得（4ni-（1-4=0,

由48在抛物线上，可得尸1时，方程恒成立，

即直线的方程为工=吁1,即不论m为何值，直线恒过定点（1,0）：

/\2

②由①可得刈+72=4〃7,刃及=-4,X[X2=——7TT——=1，

16

巾+》2=〃？（V1-2）+2=4m2+2,

因为可得cos<赢，而>=JA・0巴=；"+丁：---

22+

310AI•IOBI^/X1+4X1^X24X2

_卜4______________

2

J（x।x2）+4XJx2（xJ+x2）+16X]x2

__3__工

Vl+4（4m2+2）+162

解得加=±叵，

4

可得M-力|=｛（丫]+丫2）2-4了1丫2=[16义岩-4X（-4）=3^3»

第16页（共22页）

2_

lllf(x)=ex-ex+alnx+b,得x>0，

2_

ILf'(x)=—(xex+^-ex+a)»

xx

令¥(病卡(2&e-a)=0，

得a=-2&e近

J(x2)-卡

此时有f，()>2>/2---------------》0,

xx

所以/(x)在(0,+°°)上单调递增，无极值点，

故不是/(X)的极值点；

2_

(2)证明：由1(x)=—(xex+^-ex+a)»且x-0,/(x)一十”，

XX

若/(x)在(0,2］上单调，

则/(x)在(0,2］上单调递增,

所以/(x)20在(0,2］上恒成立，

2.

记Q(x)Mxe'+^eX+a,x>0»

x

则(P(x)XX+Q2亚©+a,当且仅当X二调取等号，

所以当在(0,2］时，。(乂)或『。(立)=27^^+&，

因此有2&e^+a>0»

即a>-2&e去，

此时对任意的(0,18),

都有。(x)〉2^3*(x*)+a)2&e6+a>0,当且仅当x=J5取等号，

此时/(x)2()在(0,+8)上恒成立，

所以/(x)在(0,+°°)上单调递增；

(3)证明：由(2)可知当a〉-2j5e点时，/(、)在(°，+oo)上单调递增，不符合题意;

第17页(共22页)

2_

当a<-2V2e点时，记g(x)=xe'3eX+a(x>0)，

x

2_

石g'(x)=(x+1)ex—(—+1)ex»

x2x

2_

记m(x)=(x+1)e”―(心+1)e"，x>0,

X4XY

22

则加'Cv)=(x+2)/-[(4-今)e7+(为+写)已二•(-马)]

X，XXXX

=(x+2)eY+(工16+7>0,

543e

XXX

于是£(x)在(0,+8)上单调递增，

又g'(V2)=0.

所以当x€(0,亚)时,g'(X)<0,

当x€(V2»K0)时，戈⑴>0,

因此g(x)在(0,7年)上单调递减，在G/2，£°)上单调递增，

所以g(X)nin=g(/)=班/+a，

又g(V2)=2近e亚+a<6

当工一0时，g(X)一+8,且当X—+8时，g(X)f+8,

所以g(.r)恰有两个零点，记为p,q,且pVq,

乂g(X)=g(2),

x

则pq=2,0<p<V2<q,

所以/(x)在(0,p),(q,+8)上单调递增，在(p,q)上单调递减，

不妨设A]<X2<A-3»则有0<榻<p<X2<(/<%3，

考虑证明：x^x2>2p,

①当时,xi+x2>2p成立；

②当pVx2V2〃时，即证：勺>2〃-X2»

此时()<A|<p,0<2p-X2Vp,

即证：f(xi)>f(2p-x2)f

即证：f(X2)~f(2p-X2)>0,p<X2<2p,

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记/?(x)=f(x)-f(2p・£,其中xW(p,2p),

有h‘(x)=f，(x)+f'⑵一尸⑴F?P-x)，

x2p-x

当xW(p,2p)时，有0V2p-xVpVx,

且g(x)>0»g(2p-x)>C>

所以h,(x)=f，(x)+f,(2p-x)=g(x)「嘿3>g(x)+g(2p-x),

x2p-xx

记％(x)=g(x)+g(2p-x)(xE(p,2〃))，

有&'(x)=g'(x)-g'(2pr)且g(x)单调递增，

所以发(A-)>K(p)=0,

则〃(x)单调递增，

则左(x)>k(p)=2g(p)=0,

所以有〃(x)>0,

h(x)在(p,2p)上单调递增，

所以〃(x)>h(p)=0,

即有力5)>0,

则X|+X2>2〃得证.

由①②nJ得X|+X2>2p,又M>今，

因此x1+x2+x3〉2p+q>272pq=4-

【解答】解：(1)不可以，理由如下：

2_

由f(x)"X-eX+alnx+b，得》>仇

2_

且f‘(x)=—(xex+^-ex+a)♦

xx

令f’(&)=a(2&M+a)=0，

得a=-2&e点，

e3)M

此时有f’(x)>2V2--------------------------->0,

x

所以/G)在(0,+8)上单调递增，无极值点，

故乂=&不是/(x)的极值点；

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2_

（2）证明：由f，（x）=—（xex+^-ex+a）»且x-O,/（x）-+8