高考数学一轮复习 第四章 第2节 同角三角函数的基本关系及诱导公式-含解析

第2节同角三角函数的基本关系及诱导公式

课标要求1.理解同角三角函数的基本关系式:sin%+cos%=l=tana(aHkir+；,kWZ).

2.借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式(a±，a±iT的正弦、余弦、正切)

NXS.=-主干梳理基础落实»»»»?_；—

知识梳

1.同角三角函数的基本关系式

(1)平方关系式:印

(2)商数关系式::翳=tana(a工：+kir,k€Z).

2.三角函数的诱导公式

公式一二三四五六

nIT

妹+”

角2(k£Z)兀+aaka2"5*"

正弦sina国主国主(Z1sjlS[Klcc

余弦cosa181cosa回血疝

正切tana□tanj口士B-tan6——

口诀奇变偶不变，符号看象限

1常用结论与易错提醒〉

1.同角三角函数的基本关系式的几种变形

(1)sin2a=1-cos2a=(l+cosa)(1-cosa)；

cos2a=1-sin2a=(1+sina)(1-sina)；

(sina±cos«)2=1±2sinacosa.

(2)sina=lanacosa(aH-+ku,k€Z).

sin2atan2a(n,.,_„\

(3)sin2a=(。学5+/nr,k€Z)；

sln2a+cos2a7T

8s2a+

sin2a+coszatan2a+l\2/

2.两个易误点

(1)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，则要特别注意判断符号.

(2)“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指］的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化，应用

时要注意.

诊断自测

1.思考辨析(正确的打“V”，错误的打."x”)

(1)当Q为钝角时,cos(7t-a)=cosa(*)

(2)若sin(2E-a)=：(k£Z),贝Usina=j.(*)

闭若。/为锐角，则5访2々+8526=1.(X)

⑷若QSR则tan归鬻恒成立.(”)

2.(人A必修一P185T6(l)改编)若sina=^-,^<a<it,则lana等于(D)

A.-2B.2

C.-D.-i

22

n

4Mnt+nr-•.•-n<,a<1it,.•.cosa=-vl------s-i2n75-a=,,----,s.in.atana=-1--=—.

25cosa2

3.若sinxcos户:，则cosx-sinx的值是(A)

8

A#B."

22

C.TD.±；

22

解析(cosx-sinx)2=1-2sinxcosA-1-2X-=。,所以cosx-sin%=±-.

842

4.(人B必修三P26练习BT2改编)若tan(/=-,则在喀11驾二|.

3sin0+2cos0

2tan0-42x--4

解析因为taneI，所以2sin0-4cos8

sin0+2cos0tanJ+2-+2

-考点突破能力提升»»»»>

考点一同角三角函数的基本关系

角度1“知一求二”问题

[例1](1)已知sina=—,求cosa,tana的值;

JL

解由sina=">0,可知a为第一或第二象限角.

XO

若a为第一象限角，

二-偌)二

则cosa=Vl—sir)2aJ1M

sina12

tana=---=一；

cosa5

若Q为第二象限角，则cosa=-vl-sin2a

5“sina

---,tana=---

13cosa

(2)已知tana=—,求sina,cosa的值.

解由tana=*(),可知a为第二或第四象限角.

MT匕匚I、I

因为tan々=一12，所以-si-n-a=---1-2.

5cosa5

又因为sin2«+cos26t=l,

.12.12

sina=—,sina=---

所以《I?$或13

cosa=---cosa=­.

1313

当Q为第二象限角时，sina=—,cosa=-—；

1313

当a为第四象限角时,sina二-与cos。=邑

角度2“弦切互化”问题

[例2]（2025•山东烟台一模）三知tan-2,则而（C）

A-5

C.-2D.2

-sina-tana2

解析=2.故选C.

sin(rt-a)-sin(等一a)sina+cosatana+1-2+1

角度3"和（差）积互化”问题

【例3】（多选）已知sina+cosa=|,（0,兀），则下列选项中正确的有（CD）

A.sin«-cosa=士:B.tan

C.cosa=-7D.sinacos。二W

525

解析将sina+cos。二工两边同时平方，整理得l+2sinacosa=工，所以sinacos,故D正确：又（0,兀），

52525

所以sina>0,cosa<0,所以由产皿+8sag,解得]，3故C正确；sin%-costan

lsin2a4-cos2a=1,Icosa=

a;故A、B错误.故选CD.

I思维升华，

同角三角函数基本关系的应用技巧

1.正弦、余弦互化：利用sin%+cos%=l可以实现角a的正弦、余弦互化.

22

2.弦切互化：利用公式tan。=列町实现角a的弦切互化，如竺吗哼吧I,Os\na+bs\n«cosa+ccosa（分母构造

cosacsina+dcosa

sin%+cos%）等齐次式类型可化为关于tana的式子.

3.和（差）积转换:利用（sinaicosa）2=l±2sinacosa进行变形、转化，可以解决sina+cosa,sinacosa,sina-

cosa知一求二的问题，注意方程思想的应用.

4.巧用“1”的变形：1=sin%+cos%=cos%(tan2a+l)=sin%(l+=tan

【跟踪训练1]（1）已知a是第四象限角，tan。二卷则sina=（D）

A15

A—B

17-u

D.--

17

解析因为tana」总所以列”=一色，所以cosa=--sina,代入sin2a+cos2a=l,得sin2a=—,又a是第四象限

cosa158289

角，所以sin。=磊.故选D.

(2)(2026・浙江金华月考)已知tan(a+^)=V3,则sina-cosa=(B)

A.iB.遗

44

C.-iD.3

22

解析由tan(a+?)=百得上“二+⑶、_0,即字3_b，解得tana=1,所以sinQ•cos

167l-tanatan-i-*ana3

a=si；aes：=与乙==_=更,故选区

sin2a+cos2atan2a+l(回'+14

⑶已知sinacosa=1,.0.-<a<\则cosa-sina的值为(D)

842

B.±|

C.--D.q

42

解析因为sinacosa=3所以(cosa-sina)2=cos2«-2sinacosa+sin2a=l-2sinacosa=l-2x-=；因为巳<a<-,

88442

所以cosa<sina,即cosa-sina<0,所以cosa-sina=—.故选D.

2

考点二诱导公式

【例4】(1)若sin(?r+a)=1,则sin(兀-a)+cos(1-a)等于(A)

A.--B.-

33

2\/22V2

C.----D・-----

33

解析sin(TI+«)=-sina=1,

贝Usin«=-|,则sin(n-a)+cosQ—a)

・・・2

=sina+sina=2sina=—.

3

(2)(2025•河北沧州模拟)已知cos'+x)=j则sin管-x)等T(A)

解析解法一：因为cosg+x)=/

所以sinf——%)=sinn+f-—xl]

=sin(^-x)=-sin[^-Q+x

=-cosf-+x)=-

k4/3

解法二：令则X=r-y,

44

所以sin(乎-x)=sin皆一«-7)］=

sin管-。=-cost=—cos(：+4)=-*

I思维升华〉

1.诱导公式的两个应用

(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.

(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了.

2.常见的互余和互补的角

应用诱导公式求值时，要善于观察所给角之间的关系，利用整体代换的思想简化解题过程.常见的互余关系有

与｝a,?+cc与与等；常见的互补关系有与与乎-6等.

3636443344

［提醒］运用诱导公式计算含有2c的整数倍的三角函数式时，可直接将2兀的整数倍去掉后再进行运算.如

cos(5n-a)=cos(n-a)=-cosa.

【跟踪训练2】(1)已知sinQ+2a)=|,则cosQ-2a)等于(C)

A匹

A，3B-I

=3D±T

解析VsinQ+2a)=

/.cos(f-2a)=cosg-(H+2a)]

=sinQ+2a)=|.

⑵巴竺等中留的值为」

cos(-a-n)sin(-n-a)

翻蚯百弋_-tana・cosa,(-cosa)

“'八cos(n+a)[-sin(n+a)]

tanacos2asinacosa

----------------=—，----------:

-cosasinacosasina

考点三同角三角函数的基本关系和诱导公式的综合应用

siMa-3cos(a+^)cosa

【例5】已知cos(Q+兀)=-2sina,JPI•=(D)

cos2a+l

A.-lB-|

D.-

8

解析由cos(a+7t)=-2sina,得

cosa=2sina,则tan«=-,

2

sin2a-3cos(a+^)cosa

所以

cos2a+l

sin2a+3sinacosa

2cos2a

1-r,341,37

=-tan2a+-tana

22848

I思维升华，

(l)利用同角三角函数的基本关系和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公

式进行变形.

(2)注意角的范围对三角函数值符号的影响.

【跟踪训练3】(1)已知sin(57i+a)=5sin^y+a),则sin2a+sin2a=(

A.--B.—

2626

c.竺D.-

2613

解析由sin(5兀+a)=5sin(^+a),可得-sina=5cosa,即tana=-5,所以sin

2sinac9sa+sin2a_2tana+tan2s_2x(5)+(5)2_15

siMa+cos2atan2a+l(-5)2+l26'

(2)已知。£(0,1)/£&冗)且sin管+a)=V3cos(0一))，V5sin(ic+a)=sin(1—0)则p-a=-^.

解析由题意得卜片保岫女

(―\/3sina=cos/?,(2)

由①?+3x②2得，COS2a+9sin%=3,

又cos2a+sin2a=l,所以sin2«=-,

4

又ae(0,三)，所以sina=1,则a=y.

将a邛代入①,得sin

6Z

因为匹停,7i),所以浮卜则.七卷.

/63

课时作业

［基础巩固］

一、单项选择题

1.已知角a的终边上有一点尸(一葭),则cos'+a)=(A)

A3Bg

c-iDl

解析由题意知角a的终边上有一点小一I，J则。7(-|)2+图2=1(。为坐标原点)，故sina=(,则

cosQ+a)=-sina=­故选A.

cosaJl-cos2(-a)

.若＜。＜兀，贝人­=(C)

21|cosa|sin(n-a)

A.OB.1

C.2D.-2

解析因为2a<兀,所以cosa<0,sina>0,结合诱导公式可得原式二二+"上=1+1=2.故选C.

2-cosasina

3.(2026•浙江温州月考)已知tan冶，则坐叠逐^^二(D)

2cos(-a)-sin(n-a)

A.-lBlC.-3D.3

解析她受小岂@=2拦皿=3£=塔=3,故选D.

cos(-a)-sin(ir-<z)cosa-sina1-tana

4.已知函数/(x)=asin(兀t+a)+/?cos(JLT+”)+4,R,且/(2025)=3,则/(2026)=()

A.3B.4C.5D.6

解析由fix)=«sin(7tr+a)+bcos+4,得/(2025)=asin(2025jt+(z)+/?cos(2025n+^)+4=-«sina-bcos

，+4=3,即asincx+bcos/S=1,贝!)J(2026)=as\n(2026兀+。)+/9cos(2026n+//)+4=rzsina+bcos//+4=I+4=5.故选C.

5.己知2sina+cosa=V5,则tana=(B)

A.1B.2

C.2或gD.不确定

解析解法一：因为cosa=\/5-2sina且sin%+cos%=1,所以sin2a+(V5-2sina)?=1,整理得5sin2«-4V5sin

a+4=0,所以(遥sina-2)2=0,所以sina=竺,所以cosa更,所以tana=2.故选B.

55

解法二：因为2sina+cosa=V5,所以(2sina+cosci)2=5,所以4sin2a+4sin«cosa+cos2a=5,所以sin2a-4sin«cos

a+4cos2«=0,所以taira-4tana+4=0,所以tan。=2.故选B.

6.(2026•广东深圳模拟)已知sing+0)=：,则tan偿—a)=(B)

A.-gB.±2x/6

C邛D.2x/6

解析因为sin(m+a)=2,所以cos偌-戊)=cos展-得+«)]=sin得+a)=

则sin偌-«)=士Jl-cos2管-a)=±竽，所以tan偌-a)=曙J=±2痣

二、多项选择题

7.已知角a满足sina­cosaWO,则表达式变性虫+刖+碗(0)的取值可能为(AC)

sinacosa

A.-2B.-lC.2D.l

解析当攵为奇数时，原式++当左为偶数时，原式=四+*=1+1=2.所以原表达

sinacosasmacosa

式的取值为-2或2.故选AC.

8.已知cos4600=/,贝ij()

C.cos23(),

D.tan10。=匕0

解析由cos460。=，可得cos100。=/.对于A,sin100=-cos100。=”,A错误；对于B,sin100°=Vl-cos2100°=

B正确；对于C,cos23。。95。。=-户等=—g,C正琳对于D。。二黑=舟,D错

误.故选BC.

三、填空题

9.已知〃为第一象限角,cos（a+10。）二条则tan（170Ja）=2\[2.

解析由。为第一象限角，cos(a+10°)=]，得sin(a+10°)=>/1-cos2(a+10°)=等,

sin(a+10。)

故tan(a+10°)=2V2,

cos(a+10°)

故tan(170。-。)=tan[180°-(a+l00)]=-tan(a+10°)=-2>/2.

10.(2026•四川成都质检)若〃£(0,1),tan则sin0-cos柒-〒.

解析因为〃£(0,1),所以sin彼0,cos。>0,

又因为tan3=更或=工,所以cos叙2sin0,

cosO2

且cos2^+sin2^=4sin2^+sin2^=5sin2^=l,

解得sin月一或sin0=-—（舍去），

55

所以sin9-cos所sin。-2sin%-sin0=-高

四、解答题

sin(a-3ir)cos(2n-a)sin(-a+^)

11.已知/（加二

cos(-ir-a)sin(-H-a)

（1）化简/（Q）；

⑵若所-耳,求八。）的值；

（3）若cos（-a-5）=*代卜用求/（«）的值•

sin(a-3n)cos(2n-a)sin(-cr+芋)

解(1)/(«)='

cos(-n-a)sin(-n-a)

-sinacosa(-cosa)

---------：-----=-cosa.

-cosasincr

⑵若七券,则代券）=_cos（_券）

因为卜,引，所以cos-等，

所以f（a）=-cos

12.已知关于x的方程2x^-（y/3+\）x+m=0的两个根为sin6,cos6,HG（0,2兀），求:

⑴斗+詈4的值；

⑵方程的两根及此时。的值.

4I,I77'/,I\sin6.cos0—sin20,cos20

71——l-tan0sin0-cos6cos0-sin0

tan。